Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

Podobne dokumenty
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

ELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

4. RACHUNEK WEKTOROWY

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Pierwiastek z liczby zespolonej

RBD Relacyjne Bazy Danych

Pierwiastek z liczby zespolonej

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Analiza matematyczna i algebra liniowa

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Podstawy układów logicznych

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE

Programy współbieżne

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Badanie regularności w słowach

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 9 grudnia 2016 roku

4.2. Automat skończony

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Spis treści. Wstęp... 4

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

1 Działania na zbiorach

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Analiza Matematyczna (część II)

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

3. F jest lewostronnie ciągła

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

MATEMATYKA cz. 1 ALGEBRA i GEOMETRIA ANALITYCZNA

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Relacje. Relacje / strona 1 z 18

Przekształcenia automatów skończonych

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Transkrypt:

pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny X zbiór pusty Zbiory wyznczone przez funkcje zdniowe Symbol bstrkcji { x: P(x } ozncz zbiór tych i tylko tych elementów zbioru X, które spełniją funkcję zdniową P(x. O funkcji zdniowej P(x mówimy, że wyzncz zbiór {x:p(x}. Niech X {, 2, 3, 5, 7, 9 } {x X: x>3} { 5, 7, 9 } { x: x x } X { x: x x } rbr Głut

Zdnie P(x jest prwdziwe { x X : P(x} X x Zdnie P(x x jest prwdziwe { x X : P(x} Zdnie P(x jest fłszywe { x X : P(x} X x Zdnie P(x jest fłszywe { x X : P(x} x Zdnie P(x jest prwdziwe { x X: P(x} X x P(x x { x X: P(x} Zdnie P(x jest prwdziwe { x X: P(x} x x P(x { x X : P(x} X Inkluzj Zbiór jest zwrty w zbiorze ( jest podzbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy element zbioru nleży do zbioru. Zbiór nie jest zwrty w : ( ( Zbiór jest włściwie zwrty w zbiorze (jest podzbiorem włściwym zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrty w, le zbiór nie jest zwrty w. ( Uwg: le Inny zpis: dl oznczeni, że jest podzbiorem włściwym rbr Głut 2

Równość zbiorów Zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mją te sme elementy. ( ( { x : P( x} { x : R( x} ( P( x R( x x Sum zbiorów: Dziłni n zbiorch { x : x x } Iloczyn (przecięcie zbiorów: { x : x x } n U i i ozncz sumę zbiorów, 2,..., n n I i i ozncz iloczyn zbiorów, 2,..., n rbr Głut 3

Dziłni n zbiorch Różnic zbiorów: \ { x : x x } Różnic symetryczn zbiorów: ( \ ( Dopełnienie zbioru: X X ' X \ { x : x } Prw lgebry zbiorów X ' X ' X' X ' X X ( '' ( \ ' rbr Głut 4

rbr Głut 5 Prw lgebry zbiorów Prw lgebry zbiorów Prw przemienności: Prw łączności: Prw rozdzielności: Prw de Morgn: ( ( C C ( ( C C ' ' ' ( ' ' ' ( ( ( ( C C ( ( ( C C Sprwdznie z pomocą kół Sprwdznie z pomocą kół Euler Euler ' ' ' (

Digrmy Venn Niepustość dnego zbioru zznczmy n digrmie poprzez znk + n obszrze symbolizującym ten zbiór. To, że dny zbiór jest pusty, zznczmy n digrmie poprzez znk (lub zkreskowując obszr symbolizujący ten zbiór. + symbolizuje, że: X Digrmy Venn Obszr I symbolizuje IV Obszr II symbolizuje Obszr III symbolizuje \ \ II I III Obszr IV symbolizuje ( + +? rbr Głut 6

( \? Digrmy Venn + ( + + Zbiór, którego elementmi są zbiory, nzywmy rodziną tych zbiorów. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru nzywmy zbiorem potęgowym zbioru i oznczmy P(. Np.: { b, c } P( {, {b}, {c}, {b, c} } Funkcj chrkterystyczn zbioru: gdy χ ( gdy rbr Głut 7

Moc zbioru liczb krdynln Liczność zbioru skończonego liczb jego elementów Uogólnienie pojęci liczby elementów Moc zbioru liczb krdynln dl zbiorów skończonych liczność dl zbiorów nieskończonych: crd N ℵ (lef zero crd R c (continuum Dw zbiory są równoliczne, gdy istnieje funkcj wzjemnie jednoznczn z jednego zbioru w drugi. Zbiory równoliczne mją te smą moc tę smą liczbę krdynlną. Iloczyn krtezjński zbiorów Iloczynem krtezjńskim (lub produktem zbiorów i nzywmy zbiór wszystkich i tylko tkich pr uporządkownych, których pierwsze elementy nleżą do zbioru, drugie do zbioru. Oznczmy: x (,b x ( b x { (, b : b } Np.: {, 2} {, b, c } x { (,, (, b, (, c, (2,, (2, b, (2, c } x 2 x... x n { (, 2,... n : i i, i, 2,... n } rbr Głut 8

RELCJE Relcj wyrż związek zchodzący między zdnymi obiektmi Dowolny podzbiór x 2 x... x n nzywmy n rgumentową relcją n zbiorze x 2 x... x n Dowolny podzbiór R n nzywmy n rgumentową relcją w zbiorze. Gdy n 2 relcj dwurgumentow (binrn Przykłd: Zpisujemy ją też: Relcje dwurgumentowe R { (,, (,2, (2,4, (3,6,... } jest relcją n N R { (,b N x N: b 2 } R N x N, Rb b 2 Liczby orz b są w relcji, jeśli b jest dwukrotnością. Kżd funkcj zdniow dwóch zmiennych wyzncz pewną relcję. xry P(x,y le istnieją relcje, które nie są określone przez żdną funkcję zdniową. To, że dw elementy są ze sobą w relcji zpisujemy: (,b R lub Rb rbr Głut 9

Relcję binrną możn przedstwić w postci tbeli lub digrmu (grfu. Np.: {, 2, 3, 4, 6} R x, Rb ( mod b 6 2 3 4 jeśli R x b 2 3 4 6 2 3 2 3 2 3 4 4 4 6 6 6 Dziedzin relcji R x : { : ( : Rb} b zbiór poprzedników pr nleżących do R (lew dziedzin Przeciwdziedzin relcji R x : { b : ( : Rb} zbiór nstępników pr nleżących do R (prw dziedzin Pole relcji sum dziedziny i przeciwdziedziny rbr Głut

Relcj binrn R 2 jest identycznościow zwrotn {(, b : b} zbiór pr (, dl wszystkich R kżdy element jest w relcji z smym sobą przeciwzwrotn przechodni ~ R żden element nie jest w relcji z smym sobą, b, c (( Rb brc Rc jeśli jest w relcji z b, b w relcji z c, to jest w relcji z c Relcj binrn R 2 jest symetryczn jeśli i b są w relcji, to b i również (nie m wyróżnionego kierunku słbo ntysymetryczn (symetryczn silnie ntysymetryczn, b ( Rb br, b (( Rb br b relcj w obie strony możliw jedynie, gdy elementy są równe, b ~ ( Rb br relcj w obie strony w ogóle nie jest możliw rbr Głut

Relcj binrn R 2 jest spójn, b Dl relcji binrnej R w zbiorze relcję: R nzywmy relcją odwrotną do relcji R. kżde dw elementy są w relcji w jedną lub drugą stronę Digrm relcji odwrotnej R - otrzymujemy z digrmu relcji R przez zminę kierunku wszystkich strzłek Relcję R nzywmy relcją pustą. {(, b ( Rb br b 2 : br} Relcję R 2 nzywmy relcją pełną. Relcj binrn R jest równowżnościow, jeśli jest zwrotn, symetryczn i przechodni Dl dowolnej relcji równowżności R w zbiorze i dowolnego zbiór [ ] R { b : Rb} nzywmy klsą bstrkcji elementu względem relcji R. Kls bstrkcji kls równowżności zbiór wszystkich elementów będących z w relcji R. Element nzywmy reprezentntem klsy. Jeśli Rb, to [] R [b] R Jeśli ~ Rb, to zbiory [] R i [b] R są rozłączne. Zbiór wszystkich kls bstrkcji nzywmy zbiorem ilorzowym i oznczmy /R rbr Głut 2

Relcj binrn R 2 nzywn jest słbo porządkującą (częściowym, słbym porządkiem, jeśli jest zwrotn, słbo ntysymetryczn i przechodni. Pr (, R nzywn jest zbiorem częściowo uporządkownym. Relcj binrn R 2 nzywn jest silnie porządkującą (porządkiem, jeśli jest silnie ntysymetryczn i przechodni. Relcj binrn R 2 nzywn jest słbo porządkującą liniowo, jeśli jest zwrotn, słbo ntysymetryczn, przechodni i spójn. Relcj binrn R 2 nzywn jest silnie porządkującą liniowo, jeśli jest silnie ntysymetryczn, przechodni i spójn. Relcj R jest funkcją jednej zmiennej wtedy i tylko wtedy, gdy kżdemu elementowi przyporządkowuje dokłdnie jeden przedmiot. x, y, z (( xry xrz y z Relcj jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem pr uporządkownych, wśród których nie m dwóch różnych pr o tkim smym elemencie pierwszym. Digrm relcji nie może wówczs zwierć dwóch strzłek o tym smym początku. Relcj jest wzjemnie jednoznczn wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją i gdy relcj do niej odwrotn też jest funkcją. rbr Głut 3