Relacje. Relacje / strona 1 z 18

Transkrypt

1 Relacje Relacje / strona 1 z 18

2 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka uporządkowana; n 2) (a) (x 1, x 2 ) = {{x 1 }, {x 1, x 2 }}, (b) (x 1, x 2,..., x n+1 ) = ((x 1, x 2,..., x n ), x n+1 ). Definicja R.3. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór: A B = {(x, y) x A y B}. Relacje / strona 2 z 18

3 Iloczyn kartezjański Definicja R.4. (iloczyn kartezjański n zbiorów; n 2) Iloczynem kartezjańskim zbiorów A!, A!,...., A! (n 2) nazywamy zbiór: A! A!... A! = {(x!, x!,..., x! ) x! A! x! A!... x! A! }. Definicja R.5. (n-ta potęga kartezjańska zbioru; n 1): (a) A! = A, (b) A! = A A A n razy Relacje / strona 3 z 18

4 Relacje n-członowe (teoriomnogościowo) Definicja R.6. (relacja n-członowa; n 2) Niech n 2. Relacją n-członową nazywamy dowolny podzbiór zbioru n-tek uporządkowanych. Komentarz: Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru, a zatem i on jest relacją (tzw. relacją pustą). Elementami n-członowej relacji niepustej są n-tki uporządkowane. Terminologia: Gdy n = 2 i relacja jest niepusta, to nazywamy ją relacją binarną. Gdy n = 3 i relacja jest niepusta, to nazywamy ją relacją ternarną. Relacje / strona 4 z 18

5 Relacje n-członowe przykłady Przykład P.1. jest relacją binarną. {(Audi, BMW), (BMW, Audi), (Fiat, Ferrari)} Przykład P.2. jest relacją ternarną. {(Audi, BMW, Opel), (Fiat, Ferrari, Alfa)} Relacje / strona 5 z 18

6 Relacje n-członowe w zbiorze Uwaga: Mówiąc dalej o relacjach n-członowych, zawsze zakładamy, że n 2. Definicja R.7. (relacja n-członowa w zbiorze; n 2). Mówimy, że relacja n-członowa R jest n-członową relacją w zbiorze A wtw R A n. Wniosek. Niepusta n-członowa relacja w zbiorze A jest zbiorem n-tek uporządkowanych elementów zbioru A. Komentarz: Czasami pojęcie n-członowej relacji w zbiorze definiuje się następująco: R jest n-członową relacją (n 2) w zbiorze A wtw R A n. Relacje / strona 6 z 18

7 Dziedzina i przeciwdziedzina relacji binarnej Notacja: Zamiast (x, y) R piszemy xry. Definicja R.8. (dziedzina, przeciwdziedzina i pole relacji binarnej) Niech R będzie relacją binarną. Dziedziną relacji R nazywamy zbiór: D! = {x! (xry)}. Przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór: D! = {y:! (xry)}. Polem relacji R jest zbiór: P! = D! D!. Przykład P.3. R = {(Jaś, Małgosia), (Małgosia, Jaś), (Piotruś, Zosia)}. Wówczas: D! = {Jaś, Małgosia, Piotruś}, D! = {Małgosia, Jaś, Zosia}. P! = {Jaś, Małgosia, Piotruś, Zosia}. Relacje / strona 7 z 18

8 i-ta dziedzina relacji n-członowej; (n > 2) Notacja: Zamiast (x!, x!,..., x! ) R piszemy R(x!, x!,..., x! ). Definicja R.9. (i-ta dziedzina relacji n-członowej; n > 2 oraz 1 i n). Niech R będzie relacją n-członową, gdzie n > 2. Pod pojęciem i tej dziedziny (1 i n) relacji R rozumiemy zbiór: D!! = {y:!!...!!!!!!!!...!! R(x!,..., x!!!, y, x!!!, x! )}. Przykład P.4. R = {(Małgosia, Jaś, Zosia), (Kasia, Piotruś, Beata)}. D!! ={Małgosia, Kasia}, D!! = {Jaś, Piotruś}, D!! = {Zosia, Beata}. Relacje / strona 8 z 18

9 Diagramy relacji binarnych Niech R = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c), (c, b)}. O a, b, c zakładamy, że są one różne między sobą (zbiór). Relacje / strona 9 z 18

10 Matryce relacji binarnych Niech R = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c), (c, b)}. a b c a b c Relacje / strona 10 z 18

11 Własności relacji binarnych: zwrotność (Z), przeciwzwrotność (PZ) i niezwrotność (NZ) Definicja R.10. Mówimy, że relacja binarna R jest w zbiorze A : (i) zwrotna wtw, gdy!! (xrx), (ii) przeciwzwrotna wtw, gdy!! (xrx), (iii) niezwrotna wtw, gdy!! xrx, (!! (xrx)). Przykład P.5. Relacja równości (=) w danym zbiorze liczb jest w nim zwrotna. Przykład P.6. Relacja ojcostwa w zbiorze wszystkich ludzi jest w nim przeciwzwrotna. Przykład P.7. Relacja lubienia kogoś w zbiorze wszystkich ludzi jest w nim niezwrotna - ale nie przeciwzwrotna. Relacje / strona 11 z 18

12 Własności relacji binarnych: symetryczność (S), przeciwsymetryczność (PS), antysymetryczność (AS) Definicja R.11. Mówimy, że relacja binarna R jest w zbiorze A : (i) symetryczna wtw, gdy (ii) przeciwsymetryczna wtw, gdy (iii) antysymetryczna wtw, gdy Przykład P.8.!! y! (xry yrx),!! y! (xry (yrx)), Relacja pokrewieństwa jest symetryczna w zbiorze ludzi. Przykład P.9.!! y! (xry x y (yrx)). Relacja większości > w zbiorze liczb rzeczywistych jest w nim przeciwsymetryczna. Przykład P.10. Relacja bycia większym lub równym w zbiorze liczb rzeczywistych jest w nim antysymetryczna. Przykład P.11. Relacja określona przez warunek x jest zakochany w y nie jest symetryczna w zbiorze ludzi; nie jest ona też w nim przeciwsymetryczna, ani antysymetryczna. Relacje / strona 12 z 18

13 Własności relacji binarnych: przechodniość (P) i spójność (Sp) Definicja R.12. Mówimy, że relacja binarna R jest w zbiorze A : (i) przechodnia wtw, gdy!!!! z! (xry yrz xrz), (ii) spójna wtw, gdy!!!! xry yrx x = y. Przykład P.12. Przykład P.13. Przykład P.14. Przykład P.15. Relacja większości > (mniejszości < ) w R jest przechodnia. Relacja większości > (mniejszości < ) w R jest spójna. Relacja bycia większym lub równym w R jest w nim spójna. Relacja lubienia kogoś w zbiorze ludzi nie jest w nim ani przechodnia, ani spójna. Relacje / strona 13 z 18

14 Relacje równoważnościowe (Rw) i klasy abstrakcji Definicja R.13. Mówimy, że relacja binarna R jest relacją równoważnościową w zbiorze A wtw, gdy R jest w A zwrotna, symetryczna i przechodnia. Przykład P.16. Relacja identyczności (=) jest relacją równoważnościową w dowolnym zbiorze. Przykład P.17. Relacja posiadania tego samego wzrostu jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich ludzi. Relacje / strona 14 z 18

15 Klasy abstrakcji relacji równoważnościowej Definicja R.14. Niech A będzie niepustym zbiorem, zaś R będzie relacją równoważnościową w A. Klasą abstrakcji elementu x A względem relacji R nazywamy zbiór: [x] R = {y A xry}. Uwaga: Do klasy abstrakcji elementu x A względem relacji równoważnościowej R w A należą wszystkie te elementy zbioru A, które pozostają w relacji R do x, i tylko one. Relacje / strona 15 z 18

16 Relacje równoważnościowe i klasy abstrakcji Twierdzenie T.1. Niech A będzie niepustym zbiorem, natomiast R niech będzie relacją binarną w zbiorze A. Jeżeli R jest relacją równoważnościową w A, to dla dowolnych elementów x, y A: (i) x [x] R, (ii) [x]! = [y]! wtw, gdy xry, (iii) jeśli [x] R [y] R, to [x] R [y] R =. Twierdzenie T.2. (zasada abstrakcji) Niech A będzie niepustym zbiorem i niech R będzie relacją równoważnościową w A. Relacja R ustala podział zbioru A na rozłączne i niepuste podzbiory (mianowicie klasy abstrakcji) w taki sposób, że dwa elementy x, y zbioru A należą do tego samego podzbioru wtw xry. Notacja: Przez A R oznaczamy zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji R w zbiorze A. Relacje / strona 16 z 18

17 Porządki i liniowe porządki Definicja R.15. Niech R będzie relacją binarną w zbiorze A. Relację R nazywamy porządkującą zbiór A wtw, gdy R jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna w A. Mówimy wówczas, że R porządkuje zbiór A, i parę uporządkowaną < A, R > nazywamy zbiorem uporządkowanym. Przykład P.18. Relacja niewiększości w (dowolnym) niepustym zbiorze liczb rzeczywistych porządkuje ten zbiór. Relacja zawierania w (dowolnym) zbiorze podzbiorów danego zbioru niepustego porządkuje ten zbiór. Relacje / strona 17 z 18

18 Porządki i liniowe porządki Definicja R.16. Relację binarną R w zbiorze A nazywamy liniowo porządkującą zbiór A wtw, gdy R porządkuje zbiór A i R jest spójna w A. Mówimy wówczas, że relacja R liniowo porządkuje zbiór A, i parę uporządkowaną < A, R > nazywamy zbiorem liniowo uporządkowanym lub łańcuchem. Przykład P.19. Relacja niewiększości w (dowolnym) niepustym zbiorze liczb rzeczywistych liniowo porządkuje ten zbiór. Relacje / strona 18 z 18