II semestr Jan Kubarski
0. Funkcje wielu zmiennych, granice De nition 0.. Ka zd a funkcje f : A! R określona na podzbiorze A R n nazywamy funkcja n-zmiennych. Np. Funkcja f (x; y) xy jest funkcja zmiennych, tak samo jak funkcja f (x; y) x: Funkcja określona na zbiorze pustym f : ;! R nosi nazwe funkcji pustej. Funkcja taka jest tylko jedna. Funkcje f (x; y) ln x y ; g (x; y) p sin (x + y) przedstawiaj a funkcje pusta. Przypomnijmy, ze punkt x 0 jest punktem skupienia zbioru A R n je zeli w A mo zna znaleźć ciag punktów zbie zny do x 0 : De nition 0.. Niech f : A! R b edzie funkcja n-zmiennych (A R n ) zaś x 0 punktem skupienia zbioru A: Mówimy, ze granica n-krotna funkcji f (x) w punkcie x 0 jest liczba je zeli Zapisujemy lub 8 ">0 9 >0 8 xa (d (x; x 0 ) < ) jf (x) j < ) : lim x!x 0 f (x) ; lim f x ; :::; x n : x!x 0 x!x 0 :::::::: x n!x n 0 Dla granic wielokrotnych zachodza takie same prawa rachunku granic (granica sumy, ró znicy, iloczynu, ilorazu) jak dla granic funkcji jednej zmiennej. Remark 0..3 Przyroda granic w a sciwych lub niew a sciwych w punktach nieskończonych dla funkcji wielu zmiennych jest o wiele bogatsza, bowiem wyst epuj a granice w punktach w których pewne wspó rz edne sa skończone a pewne nieskończone. Np. lim f (x; y) () x!a y!
0.. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH, GRANICE 3, 8 ">0 9 >0 9 L 8 (x;y) (jx aj < i y > L ) jf (x; y) j < ) : Analogicznie mo zna okre slíc inne granice podwójne, potrójne, itp. (cz e sciowo w a sciwe a cz e sciowo niew a sciwe). Obliczanie granic wielokrotnych na ogó jest trudniejsze od obliczania granic pojedyńczych. Example 0..4 Obliczyć lim x!0 y!0 Wymaga to pewnego oszacowania. x y x + y : 0 (jxj jyj) x + y jxj jyj jxj jyj x + y x + y jxj jyj : Stad 0 lim x!0 y!0 x y x + y lim x!0 y!0 x y jxj jyj lim x!0 y!0 jxj jyj 0: Oprócz granic wielokrotnych wy zej opisanych spotykamy te z granice otrzymane w wyniku kolejnych przejść granicznych wykonanych oddzielnie dla ka zdej zmiennej w pewnej kolejności, zwane granicami iterowanymi. Np. dla n mamy dwie granice iterowane lim lim f (x; y) ; lim y!b x!a lim x!a y!b f (x; y) : Okazuje sie, ze nie ma zwiazku mi edzy istnieniem i wartościa granicy wielokrotnej a granicami iterowanymi. Example 0..5 Dla funkcji f (x; y) x y x + y mamy: dziedzina x 6 y; czyli p aszczyzna z wyci et a prosta y (0; 0) jest oczywíscie punktem skupienia dziedziny lim lim x!0 y!0 x y x + y ; lim lim x y y!0 x!0 x + y ; x; punkt
4 granica podwójna nie istnieje lim f (x; y) lim x0 y!0 (granica po osi OY ) y!0 lim x!0 y0 lim x!0 6 (granica po osi OX). Granica podwójna nie istnieje bo zale zy od sposobu zbiegania do punktu granicznego. De nition 0..6 Niech f : A! R b edzie funkcja n-zmiennych (A R n ) zaś punkt x 0 niech b edzie punktem skupienia zbioru A: Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie x 0 je zeli ma granice w tym punkcie równa wartości funkcji w tym punkcie: lim f (x) f (x 0 ) : x!x 0 Punkt dziedziny który nie jest punktem skupienia (punkt taki nazywamy punktem izolowanym) uznajemy z de nicji za punkt ci ag ości. Dzia ania dodawania, odejmowania, iloczynu, ilorazu, superpozycji wykonane skończona ilość razy na funkcjach ciag ych daja funkcje ciag e. Analogonem w asności Weierstrassa dla funkcji ciag ych wielu zmiennych jest Theorem 0..7 (W asność Weierstrassa) Ka zda funkcja ciag a na zbiorze zwartym jest funkcja ograniczon a i przyjmuje swoje kresy. 0. Pochodne kierunkowe i czastkowe De nition 0.. Niech funkcja f (x) f (x ; :::; x n ) b edzie dana funkcja n-zmiennych rzeczywistych określona w otoczeniu punktu x 0 (x 0; :::; x n 0). Weźmy dowolny wektor h [h ; :::; h n ] (czesto oznaczamy go innym symbole x [[x ; :::; x n ]). Pochodn a kierunkowa funkcji f w punkcie x 0 w kierunku wektora h nazywamy granic e f 0 h (x 0 ) f (x 0 + t h) f (x 0 ) lim t!0 t f (x 0 + t h ; :::; x n 0 + t h n ) lim t!0 t f (x 0; :::; x n 0) :
0.. POCHODNE KIERUNKOWE I CZASTKOWE 5 Jest to pochodna w punkcie t 0 funkcji ' (t) zmiennej t określonej wzorem ' (t) f (x 0 + t h) ; fh 0 (x 0 ) d dt ' (t) ' 0 (0) t0 ' (t) ' (0) lim : t!0 t Dla pochodnych kierunkowych fh 0 (x 0) zachodza wzory na sume, iloczyn, iloraz funkcji analogiczne jak dla funkcji jednej zmiennej ((f + g) 0 h (x 0) fh 0 (x 0) + gh 0 (x 0) ; itp.). Example 0.. We zmy f (x; y) x + y ; (x 0 ; y 0 ) (; ) ; h [; ] : Lub f 0 [;] (; ) lim t!0 f ( + t ; + t ) f (; ) t lim t!0 + t + ( + t) t ' (t) lim t!0 4t + 5t t 5: f ((; ) + t [; ]) f ( + t; + t) + t + ( + t) 4t + 5t + ; ' 0 (t) 8t + 5; f 0 [;] (; ) ' 0 (0) 5: Example 0..3 Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji xy (x; y) 6 (0; 0) ; f (x; y) x +y 0 (x; y) (0; 0) ; w punkcie (0; 0) w kierunku h [; 0] oraz h [; ] : f 0 [;0] (0; 0) lim t!0 f (t; 0) f (0; 0) t lim t!0 0 0 t 0; f[;] 0 f (t; t) f (0; 0) (0; 0) lim t!0 t lim t!0 t t +t t lim t!0 t nie istnieje.
6 De nition 0..4 Pochodn a kierunkowa w kierunku wersora i-tej osi h e i [0; :::; 0; {z } ; 0; :::; 0; 0; :::; 0] nazywamy pochodna czastkow a funkcji f po i tej i zmiennej i oznaczamy @f @x i (x 0) o ile nazwami zmiennych sa x ; :::; x n ; lub f jx i (x 0 ) ; lub f x i (x 0 ) ; lub Tzn. @f @x i (x 0) f ji (x 0 ) : f (x 0 + t e i ) f (x 0 ) lim t!0 t f (x lim 0; :::; x i 0 + t; :::x n 0) t!0 t f (x 0; :::; x n 0) : Jest to zwyk a pochodna po zmiennej i-tej traktujac pozosta e zmienne jako parametry. Example 0..5 f (x; y; z) xye xz ; f x @f @x yexz + xye xz xz; f y @f @y xexz ; f z @f @z xyexz x ; f xy @ f @x@y : @ @x f yx @ f @y@x : @ @y @f @y @ @x xe x z e xz + xe xz xz e xz + x ze xz ; @f @x @ @y e xz + x ze xz : ye xz + xye xz xz
0.3. KONSEKWECJE CIAG OŚCI POCH. CZAST. 7 0.3 Konsekwecje ciag ości pochodnych czastkowych Theorem 0.3. Je sli pochodne czastkowe @f sa funkcjami ciag ymi, to pochodna @x i kierunkowa fh 0 istnieje w ka zdym kierunku i wyra za si e wzorem fh 0 h @f @x + ::: + hn @f () @x n @f @f ; :::; h ; :::; h n : @x @x n Ze wzoru wynika dalej ciag o sć pochodnej kierunkowej fh 0 (x) dla ka zdego ustalonego wektora h: (W ostatnim wzorze wyst epuje iloczyn skalarny wektorów) Proof. Pominiemy. Example 0.3. Sprawdzimy powy zszy wzór dla funkcji f (x; y) xy + y : We zmy wektor h [x; y] : f 0 [x;y] (x; y) lim t!0 f (x + t x; y + t y) f (x; y) t (x + t x) (y + t y) + (y + t y) xy y lim t!0 t lim x y + y x + t x y + y y + t (y) t!0 x y + y x + y y x y + y (x + y) : Z drugiej strony Stad @f @x y; @f @x x + y: x @f + y x + y @x x y + y (x + y) : Z za o zenia ciag ości pochodnych czastkowych wynikaja te z dalsze konsekwencje.
8 Theorem 0.3.3 (Twierdzenie Schwarza) Je sli wszystkie pochodne czastkowe drugiego rz edu sa funkcjami ciag ymi, to @ f @x i @x j @ f @x i @x j @ f @x j @x i ; tzn. (niezale zno sć od kolejno sći ró zniczkowania). Example 0.3.4 Wiele praw zyki ma postać równań z pochodnymi czastkowymi. () Równanie ciep a. Niech B b edzie jednorodnym zycznie cia em i T (x; y; z; t) temperatur a cia a w punkcie (x; y; z) w chwili t: Fourier pokaza - w oparciu o zasad e zachowania energii - ze T musi spe niać równanie ró zniczkowe (zwane równaniem ciep a) k (T xx + T yy + T zz ) T t ; gdzie k jest sta a zwana wspó czynnikiem przewodnictwa cieplnego cia a B ( T xx @ T ; itd). @x () Równanie Laplace a. Potencja grawitacyjny V (x; y; z) dla masy m w punkcie (x; y; z) w polu grawitacyjnym wytworzonym przez mas e M w GmM pocz atku uk adu wspó rz ednych jest równy V (x; y; z) px. Spe nia +y +z on równanie Laplace a V xx + V yy + V zz 0: (3) Równanie Poissona. W przypadku, gdy M jest masa przestrzennego cia a B i (x; y; z) le zy w jego wn etrzu, to V spe nia równanie Poissona V xx + V yy + V zz 4; gdzie jest g esto sci a masy przyciagaj acego cia a B: (4) Równanie falowe. Bernoulli a potem d Alembert odkryli równanie opisujace fal e f (x; y; z; t) (d zwi ekow a, wodna, drgajac a strun e,...) f xx + f yy + f zz c f tt : (5) Równanie Korteweg-de Vries (KdV w skrócie). Równanie opisujace fal e wodna u (x; t) w p ytkiej wodzie u t + u xxx + u u x 0: Rozwiazania (niektóre) tego równania nazywane sa solitonami.
0.4. GRADIENT A POCHODNA KIERUNKOWA 9 0.4 Gradient a pochodna kierunkowa De nition 0.4. Gradientem funkcji f (x; y; z) w punkcie x 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) nazywamy wektor @f (rf) x @x (x 0) ; @f @y (x 0) ; @f @z (x 0) @f @x (x 0) i + @f @y (x 0) j + @f @z (x 0) k gdzie i [; 0; 0] ; j [0; ; 0] ; k [0; 0; ] oznaczaja wersory osi wspó rzednych. Dla funkcji -zmiennych f (x; y) b edzie to wektor @f (rf) x @x (x 0) ; @f @y (x 0) @f @x (x 0) i + @f @y (x 0) j: Zmieniajac punkt x 0 otrzymamy pole wektorowe rf h i @f ; @f ; @f gradi- @x @y @z ent funkcji f: Analogicznie dla funkcji wielu zmiennych f (x ; :::; x n ) : Lemma 0.4. Je sli funkcja f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe, to f 0 h (x) (rf) x h; (iloczyn skalarny gradientu przez wektor). Proof. Wynika to natychmiast z wzoru (). Za ó zmy dalej, ze kvk i zadajmy pytanie: W jakim kierunku v o d ugości pochodna kierunkowa fv 0 (x) osiaga najwi eksz a a w jakim najmniejsza wartość? W tym celu napiszmy iloczyn skalarny (rf) x v w nastepuj acy sposób: f 0 v (x) (rf) x v k(rf) x k kvk cos ; gdzie jest katem miedzy wektorami (rf) x i v. Poniewa z cos ; maksimum jest przyjete gdy cos ; t.j. gdy 0: Znaczy to, ze nale zy wziać v (rf) x k(rf) x k :
0 Zatem, (rf) x k(rf) x k Analogicznie jest kierunkiem w którym f najszybciej rośnie. (rf) x k(rf) x k odpowiada katowi (cos ) i jest kierunkiem w którym f najszybciej maleje, tzn. jest kierunkiem najwi ekszego spadku Example 0.4.3 Ciep o. Rozwa zmy kawa ek jednorodnego materia u którego temperatura w ka zdym punkcie tego cia a jest opisana w danym momencie czasu przez funkcj e skalarna T (x; y; z) : Ruch ciep a odbywa si e zawsze w kierunku najwi ekszego spadku temperatury i dlatego jest opisany przez pole wektorowe J k rt; gdzie k > 0 jest sta a zale zn a od o srodka zwana wspó czynnikiem przewodnictwa cieplnego (rt jest gradientem funkcji skalarnej T ). Przypomnijmy, ze najwi ekszy spadek funkcji T odnotowujemy w kierunku przeciwnym do gradientu, stad minus w powy zszym wzorze). Operatorem Laplace a nazywamy operator oznaczany symbolem r określony na funkcjach skalarnych n-zmiennych f (x ; :::; x n ) wzorem r f @ f @ (x ) + @ f @ (x ) + ::: + @ f @ (x n ) : Funkcje f dla której r f 0 nazywamy harmoniczna. Przyk adem takiej funkcji jest rozwa zana wy zej funkcja (patrz zadanie ni zej). r p Pn i (xi ) 0.5 Ró zniczkowanie czastkowe z o zenia funkcji wielu zmiennych Theorem 0.5. Je zeli funkcja n-zmiennych F (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) U R n, ma ciag e pochodne czastkowe ; za s funkcje x i x i (t) ; t (; ) ; sa @x i ró zniczkowalne, to z o zenie F x (t) ; :::; x n (t)
0.5. RÓ ZNICZKOWANIE CZASTKOWE Z O ZENIA jest te z ró zniczkowalne i zachodzi wzór d dt F @x ::: + @x n x (t) ; :::; x n (t) x (t) ; :::; x n (t) dx dt + ::: x (t) ; :::; x n (t) dxn dt : Theorem 0.5. Je zeli funkcja n-zmiennych F (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) U R n, ma ciag e pochodne czastkowe ; i funkcje x i x i (t ; :::; t m ) ; (t ; :::; t m ) @x i R m ; te z maja ciag e pochodne czastkowe, to z o zenie F x t ; :::; t m ; :::; x n t ; :::; t m ma te z ciag e pochodne czastkowe równe (w tym wzorze t (t ; :::; t m )) @x (x (t) ; :::; x n (t)) @t t ::: + @x n x (t) ; :::; x n (t) dx dt r + ::: x (t) ; :::; x n (t) dxn dt r : Example 0.5.3 Sprawdzíc wzór na pochodne superpozycji dla funkcji F (x; y) (x + y) e x +y ; x r cos '; y r sin ': Najpierw z o zenie, potem ró zniczkowanie: F (x (r; ') ; y (r; ')) r (cos ' + sin ') e r ; (x (r; ') ; y (r; ')) (cos ' + sin ') e r + r e r r @r (cos ' + sin ') e r + r
Najpierw ró zniczkowanie, potem z o zenie(x + y) e x +y @x @r @x e x +y + (x + y) e x +y x; (x (r; ') ; y (r; ')) @x e r + r (cos ' + sin ') e r r cos '; @y e x +y + (x + y) e x +y y; (x (r; ') ; y (r; ')) @y e r + r (cos ' + sin ') e r r sin '; cos '; @y sin '; @r @x @x @r + @y @y @r e r + r (cos ' + sin ') e r r cos ' cos ' + + e r + r (cos ' + sin ') e r r sin ' sin ' e r (cos ' + sin ') + r e r (cos ' + sin ') (cos ' + sin ') e r + r : Analogicznie sprawdzimy sposobami. (x(r;');y(r;')) @' re r ( sin ' + cos ') : dwoma Example 0.5.4 Za ó zmy, ze funkcja y y (x) jest ró zniczkowalna i jest uwik ana w równanie F (x; y) 0; tzn. F (x; y (x)) 0: Powy zsze wzory na ró zniczkowanie z o zenia pozwalaja znale zć pochodn a dy bez znajomo sci funkcji dx y (x) a jedynie funkcji F (x; y) w która jest nasza funkcja uwik ana. (x; y (x)) 0 @x @x dy dx (x; y (x)) @x (x; y (x)): @y (x; y (x)) + @y (x; y (x)) dy dx ;
0.6. RÓ ZNICZKI 3 Np. Znale zć pochodn a funkcji y (x) dla x 0 uwikanej w funkcj e e x y + x y i taka, ze y (0) 0: Pomocniczo de niujemy F (x; y) e x y +x y dy dx x0 @x @y (0; 0) (0; 0) @(e x y +x y ) @x @(e x y +x y ) @y e x x0;y0 x0;y0 y + xj x0;y0 e x y j x0;y0 : Zagadnieniem istnienia funkcji uwik anej w dane równanie zajmiemy si e później. 0.6 Ró zniczki pierwszego i wy zszych rz edów 0.6. Ró zniczka pierwszego rz edu Za ó zmy, ze funkcja f (x) ; x (x ; :::; x n ) ; jest określona w otoczeniu punktu x 0 i posiada pochodna kierunkow a fh 0 (x 0) w ka zdym kierunku h R n : De nition 0.6. Funkcj e kierunku h przy ustalonym x 0 nazywamy ró zniczk a (pierwsza ró zniczk a) funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem (df) x0 (df) x0 : R n! R; h 7!f 0 h (x 0 ) : Zaobserwujmy na konkretnych przyk adach zachowanie si e ró zniczki funkcji zmiennych f (x; y) w przypadku, gdy pochodne czastkowe funkcji f sa ciag e, i gdy nie sa ciag e. Example 0.6. Rozwa zmy funkcj e f (x; y) xy(x+y) x +y gdy (x; y) 6 (0; 0) ; 0 gdy (x; y) (0; 0) :
4 W ka zdym punkcie (x; y) 6 (0; 0) funkcja ma ciag e pochodne czastkowe @f @x y xy + x y (x + y ) ; @f @y x x y + xy (x + y ) : W punkcie (0; 0) te z sa pochodne czastkowe Pochodna czastkowa @f @x @f (0; 0) lim @y t!0 f (tx; 0) f (0; 0) (0; 0) lim t!0 t @f @x ( f (0; ty) f (0; 0) t 0 lim t!0 t 0; 0 lim t!0 t 0: y xy+x y (x +y ) gdy (x; y) 6 (0; 0) ; 0 gdy (x; y) (0; 0) : @f nie jest funkcja ciag a w punkcie (0; 0) ; bo granica podwójna lim x!0 zale zy y!0 @x od wyboru kierunku: @f lim 0; (granica po osi OX), x!0 @x y0 @f lim x0 @x lim y 0 y x0 (0 + y y!0 y!0 ) lim 6 0: x0 y!0 Podobnie pochodna czastkowa @f nie jest te z ciag a w (0; 0) : Znajdziemy teraz @y ró zniczk e funkcji f (x; y) w punkcie (0; 0) : f[h;k] 0 (0; 0) f (0 + th; 0 + tk) f (0; 0) lim t!0 t f (th; tk) lim t!0 t lim t!0 thtk(th+tk) t h +t k t lim t!0 lim t!0 hk (h + k) h + k t 3 hk(h+k) t (h +k ) t hk (h + k) : h + k
0.6. RÓ ZNICZKI 5 z y x hk(h+k) h +k Wykres tej funkcji nie jest oczywíscie p aszczyzn a; funkcja hk(h+k) nie jest h +k bowiem liniowa. Rozwa zmy teraz jakikolwiek inny punkt np (; ) i obliczmy tam pochodne kierunkowe f 0 [h;k] (; ) f ( + th; + tk) f (; ) lim t!0 t lim t!0 (+th)(+tk)(3+th+tk) 6 (+th) +(+tk) 5 t 8h + k + 30thk tk + 4th + 5t h k + 5t hk lim t!0 5 5 + th + t h + 4tk + t k 8 5 h + 5 k k jest oczywíscie p aszczyzn a, funkcja ta jest lin- 8 h + 5 Wykres funkcji 8h + 5 iowa. 5 k z 6 4 4 0 4 0 0 4 4 y x 4 5 6
6 Ostatnia obserwacja jest typowa dla funkcji o ciag ych pochodnych czastkowych (wynika to z powy zszych lematów). Theorem 0.6.3 Je sli funkcja f (x ; :::; x n ) ma w punkcie x 0 ciag e pochodne czastkowe to jej pierwsza ró zniczka (df) x0 : R n! R jest funkcja liniowa i wyra za si e wzorem (df) x0 h ; :::; h n @f @x (x 0) h + ::: + @f @x n (x 0) h n : Wyrazimy ja jeszcze inaczej. W tym celu weźmy funkcje h (x ; :::; x n ) x i : Jej ró zniczka w ka zdym punkcie jest taka sama; oznaczamy ja przez dx i : Poniewa z @xi i @x j; to j dx i h ; :::; h n h i : () Stad (df) x0 @f @x (x 0 ) dx + ::: + @f @x n (x 0 ) dx n : Punkt w którym pierwsza ró zniczka jest zerowa nazywamy punktem krytycznym. Zgodnie z nast epnymi rozdzia ami w punktach krytycznych moga być ekstrema lokalne danej funkcji. 0.6. Ró zniczki drugiego i wy zszych rz edów Za ó zmy, ze funkcja f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe do rzedu drugiego. Wtedy pochodna kierunkowa w ustalonym kierunku h fh 0 x ; :::; x n @f x ; :::; x n h + ::: + @f @x @x n @f x ; :::; x n h i @x i i x ; :::; x n h n posiada dalej ciag e pochodne czastkowe wzgledem zmiennych x ; :::; x n i oczywiście pochodna kierunkow a w dowolnym kierunku k; (fh 0 )0 k (patrz wniosek (0.3.)): Oznaczamy ja krócej f 00 : Wyra za sie ona wzorem f 00 h;k h;k i;;j @ f @x i @x j hi k j : (3)
0.6. RÓ ZNICZKI 7 Istotnie: f 00 h;k i j i;;j i;;j! 0 @f @x i hi @ @x j i h! @f @x i hi @ f @x j @x i hi k j @ f @x i @x j hi k j k j (na mocy Tw. Schwarza) De nition 0.6.4 Ró zniczk a drugiego rz edu funkcji f w punkcie x 0 (w otoczeniu którego jest okre slona i w którym ma pochodne czastkowe ciag e drugiego rz edu) nazywamy funkcj e d f x 0 : R n! R ; h 7!f 00 h;h (x 0 ) : Proposition 0.6.5 Ró zniczk a drugiego rz edu funkcji f w punkcie x 0 (w otoczeniu którego jest okre slona i w którym ma pochodne czastkowe ciag e drugiego rz edu) wyra za si e wzorem d f @f x 0 d dx j @x j j i;;j Proof. Na podstawie wzoru (3) oraz () @ f @x i @x j (x 0) dx i dx j : d f x 0 (h) fh;h 00 (x 0 ) @ f @x i @x j hi h j i;;j i;;j @ f @x i @x j dxi (h) dx j (h) i;;j @ f @x i @x j dxi dx j! (h) :
8 Ró zniczka druga w danym punkcie jest wi ec znana z algebry forma kwadratowa. Example 0.6.6 Dla funkcji -zmiennych korzystajac ze Tw. Schwarza dostajemy Analogicznie d f @ f @x dx dx + @ f dx dy + @x@y + @ f @y@x dy dx + @ f dy dy @y @ f @x @ f (dx) + @x@y dx dy + @ f @y (dy) : d 3 f @3 f @x 3 (dx)3 + 3 @3 f @x @y (dx) dy + 3 @3 f @x@y dx (dy) + @3 f @x 3 (dy)3 : Np. dla f (x; y) x 3 @ f @x@y x y mamy @f @x 3x 4x @ f ; @ f 0 : @y@x @x y df 3x 4xy dx x dy; 4xy; @f @y d f d 3x 4xy dx + d x dy (6x 4y) dx dx + ( 4x) dy dx + + ( 4x) dx dy + 0dy (6x 4y) (dx) 8xdx dy: d 3 f d (6x 4y) (dx) d (8x) dx dy 6 (dx) 3 4 (dx) dy 8 (dx) dy 6 (dx) 3 (dx) dy: x ; @ f @x 6x 4y; Analogicznie dla funkcji f o ciag ych pochodnych czastkowych do rz edu k de niujemy ró zniczke rzedu k w danym punkcie wzorem x 0 d k f x 0 : R n! R wzorem d k f x 0 (h) f (k) (x h; :::; h 0 ) : {z } k razy
0.6. RÓ ZNICZKI 9 Ró zniczka ta jest równa d k f x 0 i ;:::;i k Pomocnym mo ze te z być wzór d k+ f x 0 i ;:::;i k @ k f @x i :::@x i k (x 0 ) dx i ::: dx i k : d @ k f @x i :::@x i k (x 0 ) dx i ::: dx i k : (4) Np. dla funkcji z poprzedniego przyk adu(6x 4y) (dx) 8xdx dy: d 3 x 3 x y d (6x 4y) (dx) + d ( 8x) dx dy 6dx (dx) 4dy (dx) 8dx dx dy 6 (dx) 3 (dx) dy: Trzecia ró zniczka dla tej funkcji jest wi ec jednakowa w ka zdym punkcie. 0.6.3 Wzór Taylora Zacznijmy od przyk adu funkcji -zmiennej. Example 0.6.7 Dla funkcji -zmiennej f (x) wzory wyra zaj ace ró zniczki pierwszego i wy zszych rz edów sa bardzo proste, bowiem jest tylko jedna zmienna, powiedzmy, x i ró zniczki d k f musza wyra zać si e w terminach dx: df f 0 dx; d f f 00 (dx) ; d k f f (k) (dx) k : Oczywíscie oraz dx (h) h; (dx) k : R! R; h 7! dx (h) ::: dx (h) h k :
0 Wzór Taylora funkcji f (x) o srodku x 0 ró zniczek mo zemy wi ec zapisać za pomoc a f (x 0 + h) f (x 0 ) + f 0 (x 0 )! ::: + f (n) (x 0 ) n! f (x 0 ) + (df) x 0 (h)! h + f 00 (x 0 )! h + ::: h n + f (n+) (x 0 + h) (n + )! + (dn+ f) x0 +h (h) (n + )! + ::: + (dn f) x0 (h) n! h n+ + Okazuje si e, ze dla funkcji wielu zmiennych wzór Taylora wyra zaj acy przyrost f x 0 + h ; :::; x n 0 + h n f x 0; :::; x n 0 najprościej wyra za si e w terminach ró zniczek wy zszych rz edów i wyglada dok adnie tak samo jak dla funkcji -zmiennej. Theorem 0.6.8 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Je sli funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) ma ciag e pochodne czastkowe do rz edu k + w otoczeniu punktu x 0 to dla dostatecznie ma ych h (tak aby odcinek aczacy x 0 z punktem x 0 + h zawiera si e w tym otoczeniu), zachodzi wzór f (x 0 + h) (5) f (x 0 ) + (df) x 0 (h)! + dk+ f x 0 +h (h) (k + )! + ::: + dk f x 0 (h) k! dla pewnej liczby (0; ) (zale znej od pozosta ych wielko sci: f; x 0 ; h). + (6)
0.6. RÓ ZNICZKI We wspó rz ednych wzór ten wyglada mniej przejrzyście f x 0 + h ; :::; x n 0 + h n f x 0; :::; x0 n + kx + r! r + (k + )! i ;:::;i r i ;:::;i k+ W szczególności dla funkcji -zmiennych f (x 0 + h; y 0 + k)! @ r f @x i :::@x i r (x 0 ) h i ::: h ir + @ k+ f @x i :::@x i k+ (x 0 + h) h i ::: h i r+ : f (x 0 ; y 0 ) + kx kx r @ r f + r! s @x r s @y (x 0; y s 0 ) h r s k s + r s + Xk+ k + @ k+ f (k + )! s @x k+ s @y (x s 0 + h; y 0 + k) h k+ s k s : s Wydaje si e jednak szybciej otrzymać wzór Taylora bezpośrednio z ogólnego wzoru (5) wyliczajac kolejne ró zniczki w oparciu o wzór (4). Example 0.6.9 Dla f (x; y) x ln (y + ) otrzymujemy dla punktu (0; 0) f (0; 0) 0 df x ln (y + ) dx + x y + dy; (df) (0;0) 0; x d f d (x ln (y + )) dx + d dy y + ln (y + ) (dx) + x dy dx + y + + x y + dx dy + x (y + ) (dy) ln (y + ) (dx) + 4x y + dx dy x (y + ) (dy) ;
Zatem d f (0;0) ln (dx) ; d 3 f d ( ln (y + )) (dx) + 4x +d dx dy y + x d (y + ) (dy) y + dy (dx) + 4 y + (dx) dy 4x (y + ) dy dx dy x (y + ) dx (dy) + + x (y + ) 3 (dy)3 6 y + (dx) dy + x (y + ) 3 (dy)3 : 6x (y + ) dx (dy) + f (x; y) ln x 0 + 0 + + 6 y + x y 6 x (y + ) x y + x (y + ) 3 y3 : Dla ma ego przyrostu (x; y) (t.j. bliskiego (0; 0)) zaniedbujac trzecia ró zniczke mamy w przybli zeniu f (x; y) ln x : f (x; y) x ln (y + ) ; x ; y 5
0.6. RÓ ZNICZKI 3 f (x; y) x ln (y + ) ; x ; 0:5 y 0:5 (d f) (0;0) (h; k) h ln 0.8 z 0.6 0.4 0. 0.4 0. 0.0 0.000. 0.4 y x 0.6 z 0.4 0. 0.0 0.4 0. 0.00 0. 0.4 k h Ze wzoru Taylora otrzymujemy wzór przybli zony rz edu k f (x 0 + h) f (x 0 ) + (df) x 0 (h) + ::: + dk f x 0 (h)! k! i oszacowanie bezwzgl edne b edu d k+ f sup (h) x 0 +h (k + )! : 0 Example 0.6.0 Znale zć przybli zenie rz edu za pomoc a wzoru Taylora funkcji f (x; y) e x cos y w pobli zu punktu (0; 0) : Rozwiazanie: df e x cos y dx e x sin y; df (0;0) dx; d f d (e x cos y) dx d (e x sin y) dy (e x cos y dx e x sin y dy) dx (e x sin y dx + e x cos y dy) dy e x cos y (dx) e x sin y dx dy e x cos y (dy) : d f (0;0) (dx) (dy) :
4 (df) f (x; y) (0;0) (x; y) f (0; 0) +! + x + x y : + (d f) (0;0) (x; y)! Example 0.6. Znale zć przybli zenie rz edu oraz za pomoc a wzoru Taylora funkcji f (x; y) x y w pobli zu punktu (; 3) a nast epnie obliczyć w ten sposób przybli zone warto sci wyra zenia (:0) 3:05, porównać wyniki z warto sci a obliczona na kalkulatorze. Rozwiazanie. f (x; y) x y e y ln x : df @ @x xy dx + @ @y xy dy x y y dx + x y ln x dy: df (;3) 3dx: d f d x y y dx + d (x y ln x) dy @ @x xy y dx + @ @y xy y dy dx + @ + @x (xy ln x) dx + @ @y (xy ln x) dy dy x y y (y ) (dx) + x y y ln x + x y dx dy + x y ln x (dy) d f (;3) 6 (dx) + dx dy: f ( + x; 3 + y) f (; 3) + (df) (;3) (x; y)! + 3x + 3 0:0 :06 (df) f ( + x; 3 + y) (;3) (x; y) f (; 3) +! + 3x + 6x + x y + (d f) (;3) (x; y)! + 3x + 3x + xy + 3 0:0 + 3 (0:0) 3 + 0:0 0:05 :06:
0.7. EKSTREMA LOKALNE 5 Warto sć dok adniejsza z kalkulatora :0 3:05 :063 0.7 Ekstrema lokalne 0.7. De nicja lokalnego ekstremum De nition 0.7. Mówimy, ze funkcja n-zmiennych f (x) określona w otoczeniu punktu x 0 R n ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, je zeli istnieje otoczenie U tego punktu (zawarte w dziedzinie funkcji) w którym wartości funkcji nie przewy zszaj a f (x 0 ) ; tzn. f (x) f (x 0 ) ; dla x U: Je zeli zachodzi nierówność ostra f (x) < f (x 0 ) dla x 6 x 0 to mówimy o maksimum lokalnym w a sciwym. Dla nierówności w przeciwna strone mamy odpowiednio minimum lokalne i minimum lokalne w a sciwe. 0.7. Warunek konieczny Theorem 0.7. Warunek konieczny ekstremum lokalnego. Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) okre slona w otoczeniu punktu x 0 posiada w tym punkcie ró zniczk e (df) x0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Wówczas (df) x0 0; w szczególno sci pochodne czastkowe w tym punkcie sa równe zeru @f @x (x 0) ::: @f @x (x 0) 0: n Proof. Dla dowolnego wektora h R n określmy pomocniczo funkcje ' () f (x 0 + h) : Jej dziedzina zawiera pewne otoczenie punktu 0 0 i funkcja ta posiada w 0 0 ekstremum lokalne. Poniewa z funkcja ' () ma pochodna w tym
6 punkcie ' 0 (0) ' () ' (0) lim! f (x 0 + h) f (x 0 ) lim! fh 0 (x 0 ) to z Tw.Fermata w punkcie tym pochodna jest zero. Stad fh 0 (x 0) 0 a tym samym (df) x0 (h) fh 0 (x 0 ) 0: Przed warunkami wystarczajacymi omówimy pewien przyk ad. Example 0.7.3 Rozwa zmy funkcj e f (x; y) x 3 3x + y 3 + 3y : f (x; y) x 3 3x + y 3 + 3y ; x 3; 3 y : 3 z 0 0 0 y 4 3 4 x Mamy @f @x 3x 6x; @ f @x 6x 6; @f @y 3y + 6y; @ f @x@y 0; @ f @y 6y + 6 df 3x 6x dx + 3y + 6y dy; d f (6x 6) (dx) + (6y + 6) (dy) :
0.7. EKSTREMA LOKALNE 7 Pierwsza ró zniczka znika w punktach (x; y) takich, ze 3x 6x 0 3y + 6y 0: Po rozwiazaniu otrzymujemy 4 punkty A (0; 0) ; A (0; ) ; A 3 (; 0) ; A 4 (; ) : W ka zdym z tych punktów wzór Taylora mówi f (x; y) f (A) + d f A + ::::; zatem, w przybli zeniu funkcja f (x; y) po przesuni eciu punktu A do (0; 0) wygl ada jak (d f) A f (x; y) f (A) d f A : Zobaczymy to na przyk adzie powy zszej funkcji. Przy okazji zaobserwujemy w ka zdym z tych 4 punktów nast epuj ace elementy znak pochodnej @ f @x 6x 6; wyró znik W det " @ f @x @ f @x@y @ f @x@y @ f @y # 6x 6 0 det 0 6y + 6 okre slono sć formy kwadratowej d f (6x 6) (dx) + (6y + 6) (dy)
8 A (0; 0) W 36 < 0; d f 6 (dx) + 6 (dy) ; (0;0) -nieokre slonego znaku x 3 3x + y 3 + 3y 4 z 0 0 0 4 y x Brak lokalnego ekstremum (d f) (0;0) 6 (dx) + 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h + 3k z 0 0 y 0 x Druga ró zniczka nieokreślona
0.7. EKSTREMA LOKALNE 9 A (0; ) @ f 6 < 0; @x 6 0 W det 36 > 0 0 6 d f (0; ) 6 (dx) 6 (dy) Example 0.7.4 x 3 3x + y 3 + 3y ujemnie określona 3 y z 4 0 0 4 x Maksimum lokalne (d f) (0; ) 6 (dx) 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h 3k 0 zy 0 0 4 x 6 -ró zniczka ujemnie określona
30 Example 0.7.5 A (; 0) x 3 3x + y 3 + 3y @ f 6 > 0; @x 6 0 W det 36 > 0 0 6 d f (0; ) 6 (dx) + 6 (dy) dodatnio okre slona z y 4 0 0 4 3 x Mnimum lokalne (d f) (0; ) 6 (dx) + 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h + 3k 6 z 4 y 0 0 0 x -ró zniczka dodatnio określona
0.7. EKSTREMA LOKALNE 3 Example 0.7.6 A (; ) 6 0 W det 0-6 d f (0;0) 6 (dx) 6 (dy) ; 36 < 0; -nieokre slonego znaku 3 4 z 0 y 4 3 x x 3 3x + y 3 + 3y Brak lokalnego ekstremum (d f) (0;0) 6 (dx) 6 (dy) ; (d f) (0;0) (h; k) 3h 3k 50 4 4z 0 0 0 50 4 4 Example 0.7.7 Druga ró zniczka nieokre slona y x
3 0.7.3 Warunki wystarczajace Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) określona w otoczeniu punktu x 0 posiada w tym punkcie druga ró zniczke (d f) x0. Przypomnijmy wzór d f x 0 d f x 0 h ; :::; h n i;;j i;;j @ f @x i @x j (x 0) dx i dx j ; @ f @x i @x j (x 0) h i h j : Wprowadźmy dla krótkości oznaczenie a ij Druga ró zniczka jest wi ec funkcja a ij a ji : @ f @x i @x j : Z Tw. Schwarza g : R n! R określona wzorem gdzie macierz g h ; :::; h n a ij h i h j ; i;;j [a ij ] i;jn jest symetryczna. Ka zd a taka funkcje nazywamy forma kwadratow a a macierz [a ij ] i;jn macierza tej formy. Dowodzi si e w algebrze, ze dokonujac tzw. ortogonalnej zmiany uk adu wspó rz ednych (tzn. dokonuj ac obrotu przestrzeni R n ) mo zemy w nowym uk adzie wspó rzednych otrzymać forme kwadratow a bez wyrazów mieszanych: a ij 0 dla i 6 j; tzn forme kanoniczn a postaci h + ::: + n (h n ) ; przy czym wspó czynniki ; ::: n sa tu pierwiastkami charakterystycznymi macierzy A [a ij ] i;jn ; tzn. pierwiastkami wielomianu charakterystycznego w () det (A I) : Zmiana taka nie zmienia wyznacznika macierzy, jest wiec on równy iloczynowi ::: n : Forma g ma nieosobliwa macierz A (tzn. W : det A 6 0) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie liczby i sa niezerowe. Dla n mamy x + y : (Uwaga, dopuszczajac wszystkie
0.7. EKSTREMA LOKALNE 33 nieosobliwe zmiany uk adu wspó rz ednych, zatem równie z nie ortogonalne, mo zemy zawsze sprowadzić forme kwadratowa do takiej postaci kanonicznej w której wspó czynniki i 0; +; :) Przypomnijmy z algebry, nastepujac a de nicje De nition 0.7.8 Form a kwadratow a g : R n! R nazywamy dodatnio okre slon a, je zeli (w postaci kanonicznej i > 0), ujemnie okre slon a, je zeli (w postaci kanonicznej i < 0), g (h) > 0 dla ka zdego 0 6 h R n ; g (h) < 0 dla ka zdego 0 6 h R n ; nieokre slonego znaku, je zeli istnieja wektory h i h R n dla których g (h ) > 0 i g (h ) < 0: W postaci kanonicznej wszystkie i 6 0 i nie sa tego samego znaku. Powy zsze trzy mozliwości wyczerpuja jedynie przypadek form niezdegenerowanych, tzn. o macierzy nieosobliwej (inaczej o wyznaczniku W : det A 6 0); równowa znie, w postaci kanonicznej zaden ze wspó czynników nie jest zero. Przyk ad z rysunkami powy zej wskazywa na to, ze w punkcie znikania pierwszej ró zniczki i przy warunku niezdegenerowania drugiej ró zniczki (tzn. W 6 0) zachodza odpowiedniości zachowanie w punkcie druga ró zniczka wyró znik minumum lokalne w aściwe dodatnio określona W > 0 maksimum lokalne w aściwe ujemnie określona W > 0 brak ekstremum nieokreślonego znaku W < 0
34 W przypadku zdegenerowanym W 0 nic powiedzieć si e nie da o istnieniu ekstremum lokalnym o czym świadcza nastepujace proste przyk ady poni zszych funkcji -zmiennych x + y 4 ; x + y 3 W punkcie (0; 0) pierwsza ma minimum w aściwe, druga nie ma zadnego ekstremum, chocia z obie maja w punkcie (0; 0) drugie ró zniczki nieujemne (d f) (0;0) (h; k) 0 oraz W 0. dla f (x; y) x + y 4 0; jest minimum lokalne df x dx + 4y 3 dy; d f (dx) + y (dy) ; d f (h; k) (0;0) h 0; W 0 0 0 0 dla f (x; y) x + y 3 ; f 0; n n > 0; 3 f 0; < 0 brak lokalnego minimum n n3 df x dx + 3y dy d f (dx) + 6y (dy) d f (h; k) (0;0) h 0 W 0 0 0 0 Zobaczmy na rysunku drugi z tych przyk adów x + y 3 ; (d f) (0;0) 0
0.7. EKSTREMA LOKALNE 35.5.0 8 6 4 z 0 0.5 0.0 4 y 0.5 x.0.5 oraz pierwszy x + y 4 ; (d f) (0;0) 0 Brak ekstremum, W 0 i d f 6 0 y 6 4 0 0 0 z 8 Jest ekstremum, W 0; d f 6 0 Theorem 0.7.9 Warunki wystarczaj ace istnienia ekstremum lokalnego Za ó zmy, ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; x n ) jest okre slona w otoczeniu punktu x 0 (x 0; :::; x n 0) i posiada w tym otoczeniu ciag e pochodne czastkowe do rz edu drugiego oraz jej pierwsza ró zniczka znika w x 0 Wówczas, je zeli druga ró zniczka x (df) x0 0: (d f) x0 (d f) x0 jest dodatnio okre slona, to w x 0 jest minimum lokalne, jest ujemnie okre slona, to w x 0 jest maksimum lokalne, (d f) x0 jest nieokre slonego znaku, to w x 0 nie ma ekstremum lokalnego. Przed rozpocz eciem dowodu tego twierdzenia wyka zemy pomocniczy lemat.
36 Lemma 0.7.0 Je zeli forma kwadratowa g (h ; :::; h n ) P n i;j a ij h i h j o macierzy symetrycznej A [a ij ] jest dodatnio okre slona, to istnieje " > 0 taka, ze ka zda forma kwadratowa P n i;j b ij h i h j o macierzy symetrycznej B [b ij ] takiej, ze jb ij a ij j < " dla wszystkich i; j jest te z dodatnio okre slona. Proof. Lematu. Rozwa zmy w przestrzeni R n sfere n wymiarowa S n fx R n ; kxk g (tzn. zbiór wersorów): Jest to zbiór domkniety i ograniczony, czyli zwarty. Forma kwadratowa g (h ; :::; h n ) P n i;j a ij h i h j jest ciag a i na zbiorze zwartym S n (w asność Weierstrassa dla funkcji wielu zmiennych) przyjmuje swoje kresy. Rozwa zmy kres dolny funkcji g na sferze S n : " o inf khk g (h) : Z w asności Weierstrassa " o jest przyjete w pewnym punkcie h o ; a wiec " o g (h o ) > 0 z za o zonej dodatniej określoności formy g; oraz a ij h i h j g (h) g (h o ) " o i;j dla ka zdego wektora h S n : Weźmy " " o n : Poka zemy, ze dla macierzy B [b ij ] takiej, ze jb ij a ij j < " forma P n i;j b ij h i h j jest te z dodatnio określona. Dla dowolnego wersora h (h ; :::; h n ) S n mamy jh i j ; skad P n i jhi j n oraz (b ij a ij ) h i h j jb ij a ij j h i h j i;j i;j < " " i;j h i h j h i i " n " o : h j j
0.7. EKSTREMA LOKALNE 37 Zatem dla dowolnego wersora h (b ij a ij ) h i h j > " o i;j b ij h i h j i;j (b ij a ij + a ij ) h i h j i;j (b ij a ij ) h i h j + i;j > " o + " o 0: Dla dowolnego wektora niezerowego h wektor b ij h i h j khk i;j i;j h khk a ij h i h j i;j jest wersorem, wiec h i b ij khk h j khk > 0: Analogicznie dowodzimy lematu dla ujemnie określonych form kwadratowych. Proof. twierdzenia. Dla (d f) x0 dodatnio określonej. Ze wzoru Taylora dostajemy f (x 0 + h) f (x 0 ) + (df) x0 (h) {z } + d f (x 0 (h) : (7) +h) d f (x 0 +h) (h) i;;j 0 @ f @x i @x j (x 0 + h) h i h j Z za o zenia dodatniej określoności drugiej ró zniczki mamy i;;j @ f @x i @x j (x 0) h i h j > 0 dla h 60: Po ó zmy dla krótkości a ij (x) @ f @x i @x j (x) :
38 Z lematu wnosimy o istnieniu liczby " > 0 takiej, ze ka zda forma kwadratowa P n i;j b ij h i h j jest dodatnio określona gdy jb ij a ij (x 0 )j < ": Z ciag ości funkcji a ij (x) @ f (x) znajdziemy liczb e @x i @x j ij > 0 taka, ze gdy kx x 0 k < ij to ja ij (x) a ij (x 0 )j < ": Weźmy min ij : Wtedy dla khk < i dowolnej (0; ) zachodzi k(x 0 + h) x 0 k < skad druga forma kwadratowa o macierzy [a ij (x 0 + h)] jest te z dodatnio określona. W szczególności gdy dodatkowo h 60 i;;j Ostatecznie ze wzoru (7) otrzymujemy a ij (x 0 + h) h i h j > 0: f (x 0 + h) f (x 0 ) d f (x 0 +h) (h) > 0 dla khk < i h 60 co dowodzi, ze w punkcie x 0 jest minimum w aściwe. Dla (d f) x0 ujemnie określonej analogicznie. Przypadek trzeci zostawiamy jako zadanie teoretyczne. []Zadanie teoretyczne przypadek trzeci. W zwiazku z powy zszym twierdzeniem istotnego znaczenia nabiera umiej etność rozstrzygania czy dana forma kwadratrowa b ed aca druga ró zniczk a badanej funkcji jest czy nie jest określonego znaku. Zagadnienie to zosta o rozstrzygni ete przez Sylvestra (84-897) Notka: James Joseph Sylvester by poet a i satyrykiem angielskim zanim nie pozna Cayleya. Arthur Cayley (8-895) studiowa i praktykowa prawo w Londynie, dopóki nie pozna Sylvestra. Po zawarciu znajomości wspólnym zainteresowaniem okaza a si e matematyka. Sylvester zacza j a wyk adać w 855 r w Woolwich a Cayley w 863 w Cambridge. Cayley spokojnie tam pracowa 30 lat a Sylvester zacza udzielać sie bardziej światowo. Od 877 mia wyk ady na Uniwersytecie Hopkinsa w Baltimore w Stanach. I to w aśnie od tych wyk adów zacze a sie matematyka w Stanach Zjednoczonych. Najwa zniejszym osiagni eciem Cayleya i Sylvestra jest rachunek macierzowy. Wprowadzili Oni macierz przekszta cenia liniowego i formy kwadratowe. Theorem 0.7. Tw. Sylvestra. Za ó zmy, ze forma kwadratowa g : R n! R ma macierz symetryczna A [a ij ] :
0.7. EKSTREMA LOKALNE 39 Na to aby forma g by a dodatnio okre slona potrzeba i wystarcza aby wszystkie wyznaczniki M k a ::: a k ::: ::: ::: a k ::: a kk ; k ; ; :::; n by y dodatnie M a > 0; M a a a a a ::: a n :::M n ::: ::: ::: a n ::: a nn > 0: > 0; ::: Na to aby forma g by a ujemnie okre slona potrzeba i wystarcza aby wyznaczniki w powy zszym ciagu by y na zmian e ujemne i dodatnie M a < 0; M a a a a > 0; :::; M n ( ) n a ::: a n ::: ::: ::: a n ::: a nn > 0: Remark 0.7. Przypadek n : Wykresem formy kwadratowej g (h; k) a h + b h k + c k jest w przypadku okre slonego znaku (dodatniego lub ujemnego) jest paraboloida eliptyczna h + k 8 z 6 4 0 0 y 0 x
40 w przypadku nieokre slonego znaku paraboloida hiperboliczna z 0 0 0 4 y 4 x h k Z ogólnej teorii wiadomo, ze dla formy a h + b h k + c k zawsze mo zna tak wybrać osie uk adu wspó rz ednych OX 0 i OY 0 (zachowujac pocz atek uk adu bez zmian) aby w tym uk adzie forma nie mia a sk adnika mieszanymi zmiennymi h k; t.j. aby by a postaci a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 ) : Wówczas gdy oba wspó czynniki a 0 i b 0 sa tego samego znaku otrzymujemy paraboloid e eliptyczna, za s gdy sa ró znych znaków paraboloid e hiperboliczn a. Odpowiedni a zmian e zmiennych mo zemy odszukać nast epuj aco: przypadek a 6 0 lub c 6 0 : Za ó zmy, ze a 6 0 (c 6 0 rozpatrujemy analogicznie). Rozwa zmy przekszta cenie dla g (h; k) a h + b a k + c a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 ) b k a a 0 a; b 0 c b a h 0 h + b a k; k0 k: Macierz tego przekszta cenia jest nieosobliwa b a 0 przypadek a 0 c: Stosujemy przekszta cenie 6 0: g (h; k) b h k b (h k) + b (h + k) a 0 (h 0 ) + b 0 (k 0 )
0.7. EKSTREMA LOKALNE 4 dla a 0 b ; b0 b h 0 h k; k 0 h + k: Macierz tego przekszta cenia jest nieosobliwa 6 0: Remark 0.7.3 W przypadku n forma kwadratowa jest postaci g (h) ah i wykluczona jest mo zliwo sć nieokre slonego znaku. Skoro d f f 00 (dx) i gdy f 00 (x 0 ) 6 0 to (d f) x0 jest okre slonego znaku i ekstremum istnieje. Widzimy z Tw. Sylvestra ze dla formy dodatnio określonej lub ujemnie określonej drugi wyznacznik jest zawsze dodatni M a a a a a (a ) > 0. (a a dla macierzy symetrycznej). a Remark 0.7.4 W przypadku n (tylko) mo zemy atwo równie z scharakteryzować przypadek nieokre slono sci znaku formy a h + b h k + c k w asnie poprzez M : Mianowicie ma być wtedy M a b b c ac b < 0: Istotnie, je zeli a 6 0 to w postaci kanonicznej (po odpowiedniej zmianie zmiennych) wspó czynniki sa wy zej wyliczone jako równe a i c ac b b : a a Zatem sa one ró znych znaków wtedy i tylko wtedy gdy ac b < 0. Je sli a 0 c to bezpo srednio z postaci kanonicznej powy zej otrzymanej widzimy, ze wspó czynniki a 0 b ; b0 b s a ró znych znaków. aczac to z Tw. Sylvestra otrzymamy dla funkcji -zmiennych nast epujace Twierdzenie. Theorem 0.7.5 Warunki wystarczaj ace ekstremum lokalnego funkcji -zmiennych. Za ó zmy, ze dana funkcja f (x; y) jest okre slona w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ) i posiada tam ciag e pochodne czastkowe do rz edu drugiego oraz, ze (df) (x0 ;y 0 ) 0: Wówczas,
4 je zeli wyró znik jest dodatni @ f @ f @x W @x@y @ f @y@x @ f @y (x0 ;y 0 ) @ f @x (x 0; y 0 ) @ f @y (x 0; y 0 ) @ f @x@y (x 0; y 0 ) > 0 to w punkcie (x 0 ; y 0 ) jest ekstremum lokalne, przy czym je zeli @ f @x (x 0 ; y 0 ) > 0 to jest minimum lokalne w a sciwe, je zeli @ f @x (x 0 ; y 0 ) < 0 to jest maksimum lokalne w a sciwe, je zeli wyró znik jest ujemny W < 0 to nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (x 0 ; y 0 ) : 0.8 Najwi eksze i najmniejsze wartości funkcji Niech f (x ; :::; x n ) b edzie funkcja ciag a i określona w pewnym zbiorze zwartym K; która ma skończone pochodne czastkowe wsz edzie z wyjatkiem oddzielnych punktów. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, ze w tym zbiorze f osiaga w pewnym punkcie wartość najwi eksz a (i w pewnym punkcie wartość najmniejsza). Je zeli punkt taki le zy wewnatrz zbioru K to w nim funkcja ma maksimum lokalne. W tym przypadku nale zy do zbioru punktów podejrzanych o ekstremum, czyli punktów krytycznych (znikania pierwszej ró zniczki, tzn. znikania pochodnych czastkowych) lub punktów w których nie istnieje któraś z pochodnych czastkowych. Funkcja mo ze mieć swoja najwi eksz a (najmniejsza) wartość równie z na brzegu. Dlatego te z, aby znaleźć najwi eksz a (najmniejsza) wartość funkcji w zwartym zbiorze K; trzeba znaleźć punkty wewnetrzne podejrzane o ekstremum i obliczyć wartości funkcji w punktach brzegowych. Przyk ady patrz Zaporo zec, Metody rozwiazywania zadań z analizy matematycznej punkt 783, Fichtenholz T, punkt 00. 0.9 Ekstrema funkcji uwik anych W rozdziale tym poznamy sposób szukania ekstremów lokalnych funkcji y y (x ; :::; x n ) uwik anych w dane równanie F (x ; :::; x n ; y) 0 bez rozwiazy-
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 43 wania tego równania wzgl edem y (w wielu sytuacjach rozwiazania takiego nie da sie bowiem uzyskać, np. w równaniu sin y + ln y + x xy ). De nition 0.9. Mówimy, ze funkcja y y (x ; :::; x n ) ; (x ; :::; x n ) 0 R n, jest zadana przez równanie (lub uwik ana w równanie) F (x ; :::; x n ; y) 0; (x ; :::; x n ; y) R n+ ; je zeli (x ; :::; x n ; y (x ; :::; x n )) dla (x ; :::; x n ) 0 ; F (x ; :::; x n ; y (x ; :::; x n )) 0 dla (x ; :::; x n ) 0 : Np. funkcja y (x) p x jest uwik ana w równanie x + y : Najtrudniejszym teoretycznie problemem jest stwierdzenie istnienia funkcji uwik anej y y (x ; :::; x n ) w dane równanie F (x ; :::; x n ; y) 0 spe niajacej warunek poczatkowy y (x 0 ; :::; x n0 ) y 0 taki, ze F (x 0 ; :::; x n0 ; y 0 ) 0: Warunkiem tym jest nieznikanie pochodnej czastkowej w tym punkcie. @y Nie b edziemy tego dowodzić z powodu d ugiego i trudnego dowodu. Reszta jest wzgl ednie atwa, gdy z bez trudności znajdziemy szukane pochodne funkcji uwik anej korzystajac z Tw. o pochodnej z o zenia. W terminach tych pochodnych mo zna wyrazić warunki konieczne i warunki wystarczajace na ekstremum lokalne. 0.9. Ekstrema lokalne funkcji uwik anych jednej zmiennej Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych jest obliczenie pochodnych funkcji uwik anej. Theorem 0.9. (n) Za ó zmy, ze F (x; y) jest dana funkcja -zmiennych w p askim otwartym obszarze R klasy C (t.j. z ciag ymi pochodnymi czastkowymi i ). Za ó zmy dalej, ze dany jest punkt (x @x @y 0; y 0 ) b ed acy rozwiazaniem równania F (x; y) 0; t.j. F (x 0 ; y 0 ) 0: Je sli to @y (x 0; y 0 ) 6 0
44 istnieje funkcja y y (x) klasy C okre slona w otoczeniu (x 0 "; x 0 + ") punktu x 0 i uwik ana w równanie F (x; y) 0; t.j. F (x; y (x)) 0 dla x (x 0 "; x 0 + ") i spe niaj aca warunek pocz atkowy y (x 0 ) y 0 ; pochodna funkcji y (x) w ka zdym punkcie x z pewnego otoczenia punktu x 0 zadana jest wzorem dy dx (x) @x @y (x; y (x)) (x; y (x)): Proof. Dowód cz eści pierwszej pomijamy. Udowodnimy cz eść druga. Niech y (x) b edzie funkcja klasy C uwik an a w równanie F (x; y) 0 spe niajaca warunek poczatkowy y (x 0 ) y 0 : Wtedy F (x; y (x)) 0: Ró zniczkujemy te funkcje po zmiennej x (x; y (x)) + @x @y Jeśli (x @y 0; y 0 ) 6 0 to z ciag ości @y (x; y (x)) :dy (x) 0: dx równie z @y otoczeniu punktu x 0 : W otoczeniu tym dy dx (x) Theorem 0.9.3 Je zeli (x; y (x)) 6 0 w pewnym @x (x;y(x)) @y (x;y(x)): funkcja F (x; y) jest klasy C w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ) (t.j. ma ciag e pochodne czastkowe do rz edu ), F (x 0 ; y 0 ) 0; @y (x 0; y 0 ) 6 0; to funkcja y y (x) okre slona w otoczeniu punktu x 0 uwik ana w równanie F (x; y) 0 i spe niaj aca warunek y (x 0 ) y 0 jest klasy C ; przy czym
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 45 je sli dy dx (x 0) 0 (czyli @x (x 0; y 0 ) 0) to d y dx (y 0 ) @ F @x (x 0;y 0 ) : @y (x 0;y 0 ) Proof. Pominiemy dowód, ze funkcja uwik ana jest klasy C : Poka zemy wzór wyra zaj acy druga pochodna. W tym celu dwukrotnie zró zniczkujemy równość F (x; y (x)) 0: Pominiemy dla krótkości zapisu punkty w których ró zniczkujemy (punkty ((x; y (x))) dla pochodnych czastkowych funkcji F oraz x dla pochodnych funkcji y) (x; y (x)) + @x @y @ F @x + @ F @y@x dy @ dx + F @x@y + @ F @y dy dx dy (x; y (x)) (x) 0: dx dy dx + @y d y dx 0: Wstawiamy punkt (x 0 ; y 0 ) : Uwzgledniaj ac dy (x dx 0) 0 otrzymujemy @ F @x (x 0; y 0 ) + @y (x 0; y 0 ) d y dx (x 0) 0: Stad natychmiast wynika szukany wzór. Dzi eki powy zszemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi wystarczajacemu na ekstremum lokalane funkcji jednej zmiennej (I semestr) otrzymujemy jako wniosek poni zsze twierdzenie. Theorem 0.9.4 Je zeli funkcja F (x; y) jest klasy C (x 0 ; y 0 ) oraz w otoczeniu punktu F (x 0 ; y 0 ) 0; @x (x 0; y 0 ) 0; @y (x 0; y 0 ) 6 0; wówczas gdy @ F @x (x 0;y 0 ) @y (x 0;y 0 ) > 0 to funkcja y (x) uwik ana w równanie F (x; y) 0 i spe niaj aca warunek y (x 0 ) y 0 posiada w punkcie x 0 minimum lokalne,
46 gdy @ F @x (x 0;y 0 ) @y (x 0;y 0 ) maksimum lokalne. < 0 to powy zsza funkcja y (x) posiada w punkcie x 0 Example 0.9.5 Zbadać ekstrema lokalne funkcji y y (x) uwik anej w równanie F (x; y) x 3 + y 3 3axy 0 gdzie a 6 0 jest parametrem. Rozwiazanie: Piszemy stosowny uk ad równań F (x; y) x 3 + y 3 3axy 0; @x 3x 3ay 0; @y 3y 3ax 6 0: Rozwiazanie otrzymanego uk adu jest najwieksza trudno sci a w takim zadaniu. W tym przypadku mo zemy wyznaczyć y z drugiego równania i podstawíc do pierwszego: y x a ; x 3 + x6 a 3 3x x 0 x 3 x 3 + x6 0 a 3 + x3 0 a 3 x 0 lub + x3 a 3 0 x 0 lub x 3p a Uwzgl edniaj ac zwiazek y x stwierdzamy, a ze rozwi azaniem s a dwie pary liczb x 0; y 0; zoraz x 3p a; y 3p 4a:
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 47 W punkcie (0; 0) pochodna @y 3y 3ax 0 i nie mo zemy stwierdzíc istnienia funkcji uwik anej dla tego punktu. Punktem tym nie b edziemy si e wi ec zajmować. W punkcie a 3p ; a p 4 mamy @y a 3p ; a 3p 4 3 (y 0 ) 3ax 0 3 a 3p 4 3a a 3p 3a p 3 6 0: Dowodzi to istnienia funkcji uwik anej y (x) takiej, ze y 3p a 3p 4a i tego, ze funkcja ta ma w punkcie x 0 3p a ekstremum lokalne. O rodzaju tego ekstremum decyduje liczba @ F (x @x 0 ; y 0 ) (x @y 0; y 0 ) 6x 0 3 (y 0 ) 6a 3p 3ax 0 3a 3p a : Zatem, dla a > 0 mamy maksimum lokalne bo a minimum lokalne, bo > 0: a < 0 a dla a < 0 mamy 0.9. Ekstrema lokalne funkcji uwik anych dwu zmiennych Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych funkcji z z (x; y) uwik anej w równanie F (x; y; z) 0 jest obliczenie pochodnych czastkowych funcji z (x; y) przy pomocy funkcji F (x; y; z) : Theorem 0.9.6 (n) Za ó zmy, ze F (x; y; z) jest dana funkcja 3-zmiennych w przestrzennym otwartym obszarze R 3 i ze jest ona klasy C. Za- ó zmy dalej, ze dany jest punkt (x 0 ; y 0 ; z 0 ) b ed acy rozwiazaniem równania F (x; y; z) 0; t.j. F (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 0: Je sli to @z (x 0; y 0 ; z 0 ) 6 0
48 istnieje funkcja z z (x; y) klasy C okre slona w otoczeniu 0 punktu (x 0 ; y 0 ) i uwik ana w równanie F (x; y; z) 0; t.j. i spe niaj aca warunek pocz atkowy F (x; y; z (x; y)) 0 dla (x; y) 0 z (x 0 ; y 0 ) z 0 ; pochodne czastkowe funkcji z (x; y) sa w ka zdym punkcie (x; y) z pewnego otoczenia punktu (x 0 ; y 0 ) zadane wzorami @z @x (x; y) (x; y; z (x; y)) @x (x; y; z (x; y)); @z @z @y (x; y) (x; y; z (x; y)) @y (x; y; z (x; y)): Je sli funkcja F (x; y; z) jest klasy C to wspomniana wy zej funkcja uwik ana z z (x; y) jest te z klasy C, przy czym @z je zeli dz dx (x 0; y 0 ) 0; dz dy (x 0; y 0 ) 0 to @ z @x (x 0; y 0 ) @ z @x@y (x 0; y 0 ) @ z @y (x 0; y 0 ) @ F (x @x 0 ; y 0 ; z 0 ) (x @z 0; y 0 ; z 0 ) ; @ F (x @x@y 0; y 0 ; z 0 ) (x @z 0; y 0 ; z 0 ) ; @ F (x @y 0 ; y 0 ; z 0 ) (x @z 0; y 0 ; z 0 ) (krócej mo zna te wszystkie wzory zapisać w postaci z jij F jij F jz : Dowód jako zadanie teoretyczne. Dzi eki powy zszemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi wystarczajacemu na ekstremum lokalane funkcji dwu zmiennych otrzymujemy jako wniosek poni zsze twierdzenie.
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK ANYCH 49 Theorem 0.9.7 Je zeli funkcja F (x; y; z) jest klasy C w otoczeniu punktu (x 0 ; y 0 ; z 0 ) oraz F (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 0; @x (x 0; y 0 ; z 0 ) 0; @y (x 0; y 0 ; z 0 ) 0; (x @z 0; y 0 ; z 0 ) 6 0; wówczas, gdy @ F @x @ F @x@y @ F @x@y @ F @y (x0 ;y 0 ;z 0 ) @ F @x @ F @y @ F > 0 @x@y to funkcja z (x; y) uwik ana w równanie F (x; y; z) 0 i spe niaj aca warunek z (x 0 ; y 0 ) z 0 posiada w punkcie (x 0 ; y 0 ) ekstremum lokalne, przy czym gdy gdy @ F @x (x 0;y 0 ) @y (x 0;y 0 ) @ F @x (x 0;y 0 ) @y (x 0;y 0 ) > 0 to jest to minimum lokalne, < 0 to jest to maksimum lokalne. Uwaga. U zycie powy zszego wyznacznika uzasadnione jest nast epuj aco: @ @ z @ z F @x @x @x@y @ z @ z @ F @x@y @z @z @ F @ F @x @x@y @ F @ F @x@y @y @z @x@y @y i znaki obu wyznaczników @ F @x@y @z @ z @x @ z @x@y @ z @x@y @ z @y @ F @y @z oraz @ F @x @ F @x@y @ F @x@y @ F @y sa takie same.