1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

Transkrypt

1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y, otrzymujemy y = x +1. Wstawiając teraz do równania drugiego, dostajemy ( ) x +1 = x 1. Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy x 4 +x +1 = x 1 4 x 4 +x +1 = 8x 4 x 4 +x 8x+5 = 0. Suma współczynników wielomianu stojącego po lewej stronie równania jest równa 0, więc liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem otrzymane równanie możemy zapisać w postaci (x 1)(x 3 +x +3x 5) = 0. Również pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie jest x = 1, zatem (x 1) (x +x+5) = 0. Jednocześnie x + x + 5 = (x + 1) > 0, więc jedynym rozwiązaniem jest x = 1, a stąd y = 1, czyli rozwiązaniem danego układu jest para (x,y) = (1,1). Uwaga 1. Metoda podstawiania jest metodą przekształceń równoważnych, więc nie musimy dokonywać sprawdzenia. Uwaga. Tę metodę trudno polecać w gimnazjum. Sposób. Dodając stronami równania danego układu, otrzymujemy x x+1+y y +1 = 0 x +y = y 1+x 1 (x 1) +(y 1) = 0. Suma liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich jest równa zero, stąd x = y = 1, czyli rozwiązaniem tego układu może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że tak jest istotnie. W tej metodzie musimy dokonać sprawdzenia, ponieważ dodawanie równań stronami nie jest przekształceniem równoważnym.

2 Sposób 3. W tym sposobie odejmiemy równania stronami. Otrzymujemy wtedy skąd x y = 0 lub x+y + = 0. Jeśli x y = 0, czyli x = y, to x y = y 1 x+1 (x y)(x+y) = (x y) (x y)(x+y +) = 0, x = x 1 x x+1 = 0 (x 1) = 0, stąd x = 1. Zatem rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Jeżeli natomiast x+y + = 0, czyli y = x, to x +x+1 = 4 x = ( x ) 1 (x+1) = 4. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że ten przypadek zachodzić nie może. Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że para (x,y)=(1,1) spełnia dany w zadaniu układ równań. Sposób 4. Zapisując dany układ równoważnie y = x +1 x = y +1, zauważamy, że x > 0 i y > 0. Stosując zależność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb dodatnich, dostajemy y = x +1 x = x. Analogicznie x y. Zatem z nierówności y x y otrzymujemy, że x=y, a stąd x =x 1, czyli x = 1. Zatem m jest para (x,y) = (1,1).. /VI OMG, zawody I stopnia/ Rozwiązać układ równań { x +x(y 4) = y +y(x 4) =. Wymnażając nawiasy w równaniach, dostajemy { x +xy 4x = (1) y +xy 4y =.

3 Odejmując teraz równania stronami, otrzymujemy a stąd y = x lub y = x+4. Jeżeli y = x, to x y 4(x y) = 0 (x y)(x+y) 4(x y) = 0 (x y)(x+y 4) = 0, x +x(x 4) = x 4x+ = 0 (x 1) = 0, czyli x = 1. Zatem rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że jest to rozwiązanie danego układu równań. Jeżeli natomiast y = x+4, to x +x( x+4 4) = 0 =. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w tym przypadku układ (1) nie ma rozwiązań. Sposób. Dodając stronami równania układu (1), otrzymujemy skąd y = x+. Wtedy x +y +xy 4x 4y = 4 (x+y) 4(x+y)+4 = 0 (x+y ) 0, x +x( x+ 4) = x x x =, skąd x = 1. Zatem y = 1 + = 1. Czyli rozwiązaniem może być para (x,y) = (1,1). Bezpośrednio sprawdzamy, że tak jest istotnie. 3. Rozwiązać układ równań x 7 = y +z 7 y 7 = z +t 7 z 7 = t +x 7 t 7 = x +y 7. Dodając stronami równania danego układu, otrzymujemy x 7 +y 7 +z 7 +t 7 = x +y +z +t +x 7 +y 7 +z 7 +t 7, skąd x + y + y + z = 0. Suma liczb nieujemnych jest równa zero tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest równa zero. Zatem rozwiązaniem tego układu może być tylko (x,y,z,t) = (0,0,0,0). Łatwo sprawdzić, że otrzymana czwórka spełnia dany układ.

4 4. Rozwiązać układ równań x 7 = y +y 7 y 7 = z +z 7 Po dodaniu równań stronami, dostajemy skąd z 7 = t+t 7 t 7 = x+x 7. x 7 +y 7 +z 7 +t 7 = x+y +z +t+x 7 +y 7 +z 7 +t 7, (1) x+y +z +t = 0. Zauważmy, że różne od zera liczby a i a 7 są tego samego znaku. Rzeczywiście, jeśli a jest liczbą dodatnią, to również a 7 jest liczbą dodatnią, a jeżeli a jest liczbą ujemną, to również liczbą ujemną jest a 7. Przyjmijmy, że jedna z liczb spełniających dany układ jest dodatnia, np. x > 0. Wtedy t 7 = x+x 7 > 0, skąd t > 0. Kontynuując to rozumowanie, dostaniemy, że liczby x, y, z, t są dodatnie. Zatem x+y +z +t > 0. Uzyskaliśmy sprzeczność z (1), więc żadna z liczb nie może być dodatnia. Analogicznie wykazujemy, że żadna z liczb spełniających układ nie może być ujemna. Zatem jedynym rozwiązaniem może być (x,y,z,t) = (0,0,0,0). Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że tak jest istotnie. 5. /I OMG, zawody I stopnia/ Rozwiązać układ równań 5x +9y = 1yz 9y +4z = 0xz 4z +5x = 30xy. Dodając stronami wszystkie trzy równania układu, otrzymujemy czyli 50x +18y +8z = 1yz +0xz +30xy, (5x 30xy +9y )+(5x 0xz +4z )+(9y 1yz +4z ) = 0. Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, dostajemy (5x 3y) +(5x z) +(3y z) = 0. Zatem, jeśli trójka (x,y,z) jest rozwiązaniem danego układu, to 5x=3y=z. Przyjmując x=t, obliczamy y= 5 3 t, z= 5 t. Bezpośrednie podstawienie pokazuje, że wszystkie trójki (x,y,z) = (t, 5 3 t, 5 ) t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą, spełniają dany układ równań.

5 6. Rozwiązać układ równań 30x +10y = 1yz 8y +5z = 0xz 3z +0x = 30xy. Dodając stronami wszystkie trzy równania układu, otrzymujemy czyli 50x +18y +8z = 1yz +0xz +30xy, (5x 30xy +9y )+(5x 0xz +4z )+(9y 1yz +4z ) = 0. Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, dostajemy (5x 3y) +(5x z) +(3y z) = 0. Zatem, jeśli trójka (x,y,z) jest rozwiązaniem danego układu, to 5x=3y=z. Przyjmując x = t, obliczamy y = 5 3 t, z = 5 t. Podstawienie tych zależności do równania pierwszego daje ( 30t 5 ) t 5 = 1 3 t 5 t, skąd 30t t = 50t, czyli t = 0. Stąd rozwiązaniem może być trójka (x,y,z) = (0,0,0). Bezpośrednie podstawienie potwierdza, że jest to rozwiązanie danego układu równań. 7. Wyznacz wszystkie trójki (x, y, z) liczb rzeczywistych spełniające układ równań { x +y +z = 33 x+3y +5z = 34. Mnożąc drugie równanie układu przez, otrzymujemy { x +y +z = 33 x 6y = 10z = 68. Dodając równania otrzymanego układu równań, dostajemy kolejno x x+y 6y +z 10z = 35 x x+1+y 6y +9+z 10z +5 = 0 (x 1) +(y 3) +(z 5) = 0. Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest równy zero. Stąd możliwe rozwiązanie danego w zadaniu układu równań to (x,y,z)= (1,3,5). Jednak = 35 33, więc dany układ nie ma rozwiązania.

6 Sposób. W tym sposobie wykorzystamy nierówność Schwarza: Dla dowolnych liczb rzeczywistych x 1, x,..., x n oraz y 1, y,..., y n prawdziwa jest nierówność (1) x 1 y 1 +x y + +x n y n x 1 +x + +x n y1 +y + +y n. Nierówność (1) można zapisać w sposób równoważny () (x 1 y 1 +x y + +x n y n ) (x 1 +x + +x n ) (y 1 +y + +y n ). Uwaga. O nierówności Schwarza można przeczytać np. w: II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, Kraków 009. Stosując nierówność () dla liczb: 1, 3, 5 oraz x, y, z, otrzymujemy Stąd Jednak (x+3y +5z) ( )(x +y +z ) = (34+1) (34 1) = 34 1 < 34. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że dany w zadaniu układ nie ma rozwiązania. 8. Rozwiązać układ równań x 1 +4 = 3x 1 +x x +4 = 3x +x 3 x 3 +4 = 3x 3 +x 4 x 4 +4 = 3x 4 +x 5 x 5 +4 = 3x 5 +x 1. Dodając stronami wszystkie równania układu i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, otrzymujemy x 1 +x + +x (x 1 +x + +x 5 ) (x 1 +x + +x 5 ) = 0 x 1 +x + +x 5 4(x 1 +x + +x 5 )+5 4 = 0 (x 1 4x 1 +4)+(x 4x +4)+ +(x 5 4x 5 +4) = 0 (x 1 ) +(x ) + +(x 5 ) = 0. Suma kwadratów jest równa zero, stąd każdy składnik tej sumy jest równy zero, zatem (x 1,x,x 4,x 5 ) = (,,,,). Bezpośrednio podstawiając do układu stwierdzamy, że jest to jego rozwiązanie. Sposób. Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność (1) a +4 4a, bo jest ona równoważna nierówności (a ) 0. Zatem, na podstawie (1), dostajemy a stąd x x 1. Analogicznie 3x 1 +x = x x 1, x 3 x, x 4 x 3, x 5 x 4 i x 1 x 5,

7 czyli x 1 x 5 x 4 x 3 x x 1, skąd x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5. Wstawiając tę zależność do jednego z równań układu, otrzymujemy x 1 +4 = 4x 1 x 1 4x 1 +4 = 0 (x 1 ) = 0, a stąd x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5 =. Zatem rozwiązaniem może być tylko (x 1,x,x 4,x 5 ) = (,,,,). Łatwo sprawdzamy, że jest to rozwiązanie danego układu. 9. /II OMG, zawody III stopnia/ Rozwiązać układ równań ab = a+b bc = b+c ca = c+a. Odejmując stronami równania pierwsze i drugie danego układu, uzyskujemy ab bc = a c b(a c) (a c) = 0 (b 1)(a c) = 0. Stąd b=1 lub a=c. Nie może być b=1, bo wtedy z równania pierwszego mamy sprzeczność a = a + 1. Wobec tego a = c. Rozpatrując równania drugie i trzecie, otrzymujemy analogicznie, że b=a. Zatem a=b=c. Wstawiając tę zależność do równania pierwszego, dostajemy a = a wówczas a = 0 lub a =. Stąd a a = 0 a(a ) = 0, (a,b,c) {(0,0,0), (,,)}. Bezpośrednim podstawieniem sprawdzamy, że obie trójki spełniają dany układ równań. Sposób. Dla b = 1 pierwsze równanie przyjmuje postać a = a+1, co nie może zachodzić. Zatem b 1. Przekształcając równanie pierwsze, otrzymujemy a = b b 1. Podobnie z drugiego równania c= b skąd wniosek, że a=c. Analogicznie wykazujemy, b 1 że a = b i w konsekwencji a = b = c. Dalszy ciąg rozwiązania jak w sposobie 1. Sposób 3. Zauważmy, że ab = a+b ab a b+1 = 1 (a 1)(b 1) = 1.

8 Zatem dany w zadaniu układ możemy zapisać w postaci (a 1)(b 1) = 1 (1) (b 1)(c 1) = 1 (c 1)(a 1) = 1. Mnożąc stronami równania otrzymanego układu, dostajemy a stąd ((a 1)(b 1)(c 1)) = 1, (a 1)(b 1)(c 1) = 1 lub (a 1)(b 1)(c 1) = 1. Jeżeli (a 1)(b 1)(c 1) = 1, to wykorzystując równania układu (1), dostajemy, że (a,b,c) = (,,). Jeśli natomiast (a 1)(b 1)(c 1) = 1, to (a,b,c) = (0,0,0). Należy jeszcze sprawdzić, że wyznaczone trójki spełniają dany układ równań. 10. Rozwiązać układ równań: (a+b) = 4c (b+c) = 4a (c+a) = 4b. Zauważmy, że liczby a, b i c muszą być nieujemne. Odejmując stronami równanie drugie od pierwszego, otrzymujemy (a+b) (b+c) = 4c 4a a +ab+b b bc c = 4c 4a a c +ab bc+4a 4c = 0 (a c)(a+c+b+4) = 0. Ponieważ liczby a, b i c są nieujemne, więc wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie, stąd a = c. Analogicznie dostajemy, że b = c, więc a = b = c. Wstawiając tę zależność do pierwszego z równań, otrzymujemy (a) = 4a 4a = 4a 4a(a 1) = 0, skąd a = 0 lub a = 1. Zatem rozwiązaniami danego układu (co można sprawdzić bezpośrednio) są trójki: (a,b,c) {(0,0,0), (1,1,1)}. Sposób. Zauważmy, że liczby a, b, c są liczbami nieujemnymi. Dany układ możemy zapisać w postaci równoważnej a+b = c b+c = a c+a = b.

9 Wybierzmy spośród liczb a, b, c tę, która jest nie mniejsza od pozostałych. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że jest liczba c, czyli c a i c b. Jeżeli a > b, to a > b = a+c a = a, czyli a > a. Uzyskaliśmy sprzeczność. Analogicznie wykazujemy, że nie może być a < b. Zatem może być tylko a=b. Wtedy c= a+b = a =a, czyli ostatecznie a=b=c. Dalsza część rozwiązania jak w sposobie /V OMG, zawody I stopnia/ Liczby całkowite a, b, c, d spełniają układ równań { a+b+c+d = 101 ab+cd = 00. Wykazać, że dokładnie jedna z tych liczb jest nieparzysta. Niech liczby całkowite a, b, c, d spełniają podany układ równań. Jeżeli suma czterech liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą, to wśród nich jest dokładnie jedna liczba nieparzysta lub są dokładnie trzy liczby nieparzyste w przeciwnym przypadku ich suma byłaby liczbą parzystą. Jeżeli wśród czterech liczb całkowitych dokładnie trzy są nieparzyste, to przy każdym podziale na dwie grupy po dwie liczby, w jednej będą dwie liczby nieparzyste, a w drugiej jedna parzysta i jedna nieparzysta. Zatem suma iloczynów liczb tych dwóch grup będzie liczbą nieparzystą. Ten przypadek nie może więc zachodzić. Stąd wśród liczb a, b, c, d jest dokładnie jedna liczba nieparzysta. 1. Liczby a, b, c spełniają układ równań abc = 1 1 a + 1 b + 1 c = a+b+c. Wykazać, że co najmniej jedna z liczb a, b, c jest równa 1. Liczby a, b, c spełniające układ równań są różne od zera. Możemy więc pomnożyć drugie równanie układu przez abc = 1. Wtedy ab+bc+ca = a+b+c. Wykorzystując jeszcze raz równanie pierwsze, dostajemy albo równoważnie 1+ab+bc+ca = abc+a+b+c, abc ab bc ca+a+b+c 1 = 0. Grupując wyrażenia po lewej stronie równości, otrzymujemy Stąd a = 1 lub b = 1, lub c = 1. ab(c 1) b(c 1) a(c 1)+(c 1) = 0 (c 1)(ab a b+1) = 0 (c 1)(a(b 1) (b 1)) = 0 (c 1)(b 1)(a 1) = 0.

10 13. Rozwiązać układ równań: x 1 1+x 1 x 1+x = x = x 3 x 3 1+x 3 = x 1. Zauważmy, że trójka (x 1,x ) = (0,0,0) jest rozwiązaniem danego układu. Jeżeli natomiast x 1 0, to wtedy z równania pierwszego x 0, a w konsekwencji, z równania drugiego, również x 3 0. W tym drugim przypadku możemy dany układ zapisać równoważnie 1+x 1 x = 1 1 x 1+x (1) x = 1 x 3 1+x 3 x = 1. 3 x 1 Układ (1) rozwiążemy dwoma sposobami. Po pomnożeniu obustronnie każdego równania układu (1) przez, otrzymujemy a stąd 1 x 1 1 x 1 x 3 1+x 1 x 1 1+x x 1+x 3 x 3 = x = x 3 = x 1, x +1 = 0 x 3 +1 = 0 x 1 +1 = 0. Dodając stronami wszystkie równania otrzymanego układu, dostajemy ( 1 ) ( ) ( ) +1 = 0, x 1 x x 3 albo równoważnie x 1 x x 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 0. x 1 x x 3 Suma kwadratów jest równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest równy zero, czyli x 1 = 1, x = 1, x 3 = 1. Stąd drugim rozwiązaniem układu (co sprawdzamy bezpośrednim podstawieniem) jest trójka (x 1,x ) = (1,1,1).

11 Sposób. W tym sposobie wykorzystamy nierówność a +b ab, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b. Zauważmy ponadto, że liczby x 1, x, x 3 są dodatnie. Z pierwszego równania układu (1) dostajemy Zatem 1+x 1 x 1 = 1+x 1 1 x 1 1 x = 1+x 1 x 1 x 1 1 x 1, 1 x 1 = 1 x 1. czyli x x 1. Analogicznie, wykorzystując pozostałe równania układu (1), otrzymujemy, że x 3 x i x 1 x 3, a w konsekwencji x 1 = x = x 3. Wstawiając tę zależność np. do równania pierwszego, otrzymujemy 1+x 1 x = 1, 1 x 1 skąd x 1 = 1. Zatem drugim rozwiązaniem układu (co sprawdzamy bezpośrednim podstawieniem) jest trójka (x 1,x ) = (1,1,1). 14. Rozwiązać układ równań: x 1 + x 1 = x x + x = x 3 x 3 + = x x 1. 3 Zauważmy, że jeśli x 1 >0, to również x >0 i x 3 >0. Ponadto, jeśli trójka (x 1,x ) jest rozwiązaniem układu, to równieź trójka ( x 1, x, x 3 ) jest jego rozwiązaniem. Zatem wystarczy na początku szukać rozwiązań w zbiorze liczb dodatnich. Na podstawie nierówności a+ a, która jest prawdziwa dla dowolnej liczby a > 0, otrzymujemy x 1 = x 3 + x 3, skąd x 1. Analogicznie x oraz x 3. Dodając stronami równania danego układu, dostajemy x 1 +x +x 3 + x 1 + x + x 3 = x 1 +x +x 3, a stąd x 1 + x + x 3 = x 1 +x +x 3. Łatwo sprawdzić, że trójka (x 1,x ) = (,, ) spełnia warunki zadania. Gdyby przynajmniej jedna z niewiadomych, np. x 1, była większa od, to mielibyśmy x 1 +x +x 3 > 3 oraz + + < 3, x 1 x x 3

12 ponieważ dla x 1 > mamy x 1 < =. Zatem (na podstawie uwagi na początku zadania) rozwiązaniem układu są trójki (x 1,x ) = (,, ) oraz (x 1,x ) = (,, ). 15. Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera. Znaleźć wszystkie funkcje f:r R, które dla dowolnej liczby x R spełniają równanie ( ) 1 f(x)+f = 3x. x Załóżmy, że taka funkcja istnieje. Ponieważ równość jest spełniona przez każdą liczbę x różną od zera, więc możemy dokonać zamiany zmiennej x na 1/x. Dane równanie przyjmuje wtedy postać ( ) 1 f +f(x) 3 x x. Zatem dla dowolnej różnej od zera liczby x spełnione są równania ( ) 1 f(x)+f = 3x x ( ) 1 f +f(x) = 3 x x. Rozwiązując ten układ, w którym przyjmujemy f(x) za niewiadomą, otrzymujemy f(x) = x 1 x. Musimy jeszcze dokonać sprawdzenia, że wyznaczona funkcja spełnia równanie dane w zadaniu (założyliśmy, że taka funkcja istnieje nie wiedząc czy tak jest istotnie). Tak jest ponieważ ( ) ( 1 f(x)+f = x 1 ) + x x x x = 4x x + x = 3x. x Zatem istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca warunki zadania. 16. Znaleźć wszystkie funkcje f:r R, które dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełniają równanie f(x)+f(1 x) = x. Tak jak w zadaniu poprzednim, przyjmijmy, że taka funkcja istnieje. Ponieważ równość jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x, więc możemy dokonać zamiany zmiennej x na 1 x. Dane równanie przyjmuje wtedy postać f(1 x)+f(x) = (1 x). Dla dowolnej liczby rzeczywistej x spełnione są równania { f(x)+f(1 x) = x f(1 x)+f(x) = (1 x). Z równania pierwszego mamy f(1 x) = x f(x) co po wstawieniu do równania drugiego daje (x f(x))+f(x) = (1 x).

13 Wyznaczając z tego równania f(x), dostajemy f(x) = 1 3 x + 3 x 1 3. Sprawdzamy, że ta funkcja spełnia warunki zadania ( 1 f(x)+f(1 x) = 3 x + 3 x 1 ) ( (1 x) + 3 (1 x) 1 ) = 3 = 3 x x x+ 1 3 x x 1 3 = x. 17. /LXII OM, zawody II stopnia/ Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y 3 ) = 7 (x+y)(x 3 y 3 ) = 3. Na podstawie wzorów na sumę i różnicę sześcianów otrzymujemy (x y)(x+y)(x xy +y ) = 7 oraz (x+y)(x y)(x +xy +y ) = 3. Lewe strony tych równań nie mogą być równe zero (bo różne od zera są prawe strony równań), więc można je podzielić stronami. Wtedy skąd czyli x xy +y x +xy +y = 7 3, 7(x +xy +y ) = 3(x xy +y ), x +5xy +y = 0. Ostatnią równość możemy zapisać w postaci z której y = x lub x = y. x +5xy +y = (x+y)(x+y) = 0, Dla y = x pierwsze równanie układu przyjmuje postać 3x ( 7x 3 ) = 7, czyli x 4 = 1 3. Zatem w tym przypadku układ nie ma rozwiązania. Dla x = y równanie pierwsze przyjmie postać 3y ( 7y 3 ) = 7, skąd y 4 = 1 3. Stąd dostajemy dwie możliwe pary rozwiązań danego układu (x,y) = ( 4 1 ), 3 4 ( oraz (x,y) = 3 4, ). 3 Łatwo sprawdzić, że obie pary spełniają podany układ równań.