2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie

Transkrypt

1 Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x 2 t (B ) E (2:) Zamiast t (X) b dziemy pisa (t X), tj. lub, gdy nie ujawniamy argumentu X t (X) (t X) t () =(t ): (2:2) Odwzorowanie ( ) nazywa si tradycyjnie funkcj ruchu dla ustalonego czasu t (t ) ma odwzorowanie odwrotne, kt re oznaczamy ; t (), oczywi cie dla x = (t X) ; t (x) =X = ; (t x) (2:) W og lno ci (por. Arnold (98), s. 2{6, 7-22, 26{2 Rymarz (99), s. 24, 9-4) ruch cia a materialnego traktuje si jako z o enie:

2 6 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo jego ruchu sztywnego, czyli zmiany po o enia jako ci g ego cia a sztywnego (por. s. 4, okre lenie ci g ego cia a materialnego) w czasie i przestrzeni jego odkszta cenia g adko zale nego od czasu. W naszych rozwa aniach b dziemy zajmowa si ruchem cia abstrahuj c od ich ruch w sztywnych, bowiem odgrywaj one rol drugoplanow (por. Rymarz (99), s. 4). Zgodnie z motywacj empiryczno-racjonaln przedstawion w wst pie do Podrozdzia u.4, ruchy cia a B b dziemy opisywa r wnie wzgl dem ustalonej konguracji odniesienia B { = {(B ). Zatem ruch t cia a B dany relacjami (2.){(2.) i jego funkcj ( ) zast puje si (por. wzory (.44){(.49)) ruchem t = t { ; i funkcj ruchu ( ) =( { ; ()) wzgl dem konguracji odniesienia B { cia a B wobec tego mamy B { X! t (X)=x 2 B t t (B { )= t (B ) (2:4) B { X! (t X) =x 2 B t (t B { )= t (B ) (2:5) gdzie B t nazywamy konguracj cia a B w chwili t podczas jego ruchu, lub kr tko konguracj aktualn. Pole pr dko ci w ruchu cia a B jest okre lone wozorami w opisie materialnym (por..7): w opisie przestrzennym (por. s. 6): B { X! V (t X) = t(t X) (2:6) B t x! v(t x) =V (t ; (t x)): (2:7) Gradient odkszta cenia cia a B (.){(.2), (.44){(.47)) wzorem w jego ruchu okre la si (por. wzory F(t X) =r X (t X) (2:8) i wzgl dem przyj tego w przestrzeni E uk adu wsp rz dnych wyra a si macierz kwadratow w wymiarach postaci F(t X) = jx (t X) jx 2 (t X) 2 jx (t X) 2 jx 2 (t X) 2 jx (t X) jx 2 (t X) jx (t X) jx (t X) jx (t X) C A (2:9)

3 2. Ruch i kinematyka 7 Dla pola pr dko ci v w ruchu cia a B okre la si r wnie jego gradient r x v, kt ry w uk adzie wsp rz dnych E wyra a si macierz (r x v)(t x)= v jx (t x) v x 2 (t x) v v 2 jx (t x) v 2 jx 2 (t x) v v jx (t x) jx 2 (t x) v jx (t x) jx (t x) jx (t x) C A (2:) Maj c na uwadze okre lenie pola pr dko ci (2.7) oraz x = (t X) wyra amy wyraz o wka nikach j k macierzy (2.) przez funkcj ruchu i jej r niczkowanie wzorem st d wynika zwi zek (r x v) j k (t x) =j jtjx (t ; (t x)) ( ; ) jx k (t x) (2:) (r x v)(t x) =F jt (t ; (t x))f ; (t x) (2:2) bowiem g adko funkcji ruchu pozwala przestawia pochodne cz stkowe wzgl dem t i X. Wz r ten pozwala wyznaczy pr dko gradientu odkszta cenia F jt (t X) za pomoc gradientu pr dko ci r x v(t x) w ruchu cia a B. Uwaga 2.. Gradient pr dko ci (r x v)( ) jest tensorem, kt rego sk adowe s dane macierz (2.). Tensor ten mo na przestawi w postaci sumy (r x v)(t x) =d(t x)+!(t x) (2:) gdzie d( ) i!( ) oznaczaj jego cz symetryczn i antysymetryczn odpowiednio, tj. d(t x) (r x v) sym (t x) = 2 ((r xv)(t x)+(r x v) (t x)) ( 2 (vj jx k (t x)+v k jx j (t x))) j k= 2 (2:4)!(t x) (r x v) as (t x) = 2 ((r xv)(t x) ; (r x v) (t x)) ( 2 (vj jx k (t x) ; v k jx j (t x))) j k= 2 (2:5) Cz symetryczna d( ) gradientu pr dko ci (r x v)( ) wyra a pr dko zmiany elementu d ugo ci (por. wzory (.4), (.5), (.2), (.8), (.42)) krzywej materialnej C t = t (C { ) gdzie C { jest regularn i dostatecznie g adk krzyw w konguracji odniesienia B {,tzn. C { = fx 2 B { : X = ^X(z) z2 I ^X() 2 C r (I) r>2g:

4 8 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Aby towykaza rozwa my kwadrat elementu d ugo ci tej krzywej jako funkcj zmiennej t, tj. (dl) 2 (t x) jx=(t ^X(z)) = X j= (( j (t ^X(z)) jz )2 (dz) 2 (2:6) i jego pochodn wzgl dem zmiennej t, kt ra wyra a si (por. (2.6), (2.7), (2.4)) wzorem ((dl) 2 (t x) jx=(t ^X(z)) ) jt =2 ( j (t ^X(z)) jz (V j (t ^X(z))) jz (dz)2 =2 ( j (t ^X(z))) jz (v j jx k (t x)) jx=(t ^X (z)) (k (t ^X))) jz (dz) 2 (2:7) =2(dx (d(t x) dx)) jx=(t ^X(z)) gdzie dx = (dx dx 2 dx ) pierwsza " oznacza mno enie skalarne w E, a druga " oznacza mno enie kolumny (dx) przez macierz d(t x) wed ug regu y wiersz kolumna". Zatem tensor d( ) jest miar pr dko ci zmian kwadratu elementu d ugo- ci krzywej materialnej C t i dlatego nosi nazw tensora pr dko ci odkszta cenia cia a B wjego ruchu. Tym sposobem stwierdzenie wyra one po r wno ci (2.5) jest udowodnione. Je eli cia o materialne B porusza si jak cia o sztywne (por. Arnold (98), s. 9{2), to w wczas tensor pr dko ci odkszta cenia d( ) znika, tj. d( ) = w B t: (2:8) gdy t>. Istotnie, poniewa w takim ruchu cia a materialnego B dl(t x) = const wobec tego na mocy r wno ci (2.7) mamy ju tez tego stwierdzenia. Udowodnimy jeszcze stwierdzenie odwrotne: je eli w ruchu cia a B tensor pr dko ci odkszta cenia d( ) znika, tj. (2.8), W wczas w danej chwili t cia o B porusza si jak cia o sztywne. Istotnie, z r wno ci (2.8) i wzoru (2.4) mamy uk ad r wna r niczkowych cz stkowych pierwszego rz du liniowy v j jx j (t x) = j = 2 v j jx k (t x) =;v k jx j (t x) j 6= k = 2 (2:9)

5 2. Ruch i kinematyka 9 kt ry jest uk adem nadokre lionym (bo liczba r wna jest 6, a niewiadomymi funkcjami w tym uk adzie s sk adowe v v 2 v pola pr dko ci v) i jego rozwi zania (o ile istniej ) s w klasie funkcji C r; (B t ) r>2. Zr wna uk adu (2.9) po stosowanym zr niczkowaniu ich i dzi ki (2:9) otrzymujemy v j jx k x j = ;v k jx j x j x v k = ;(divv) jx k k = 2 (2:2) wkonguracji aktualnej B t. Zatem sk adowe v (t ), v 2 (t ), v (t ) pr dko ci v(t ) s funkcjami harmoniczymi w B t, a zatem w tym obszarze s analitycznymi funkcjami zmiennej x =(x x 2 x ). Rozwa my funkcj skalarn ' okre ln wzorem '(t x) =x j v j (t x) x v(t x) (2:2) Funkcjatajestr wnie funkcj harmoniczn w obszarze B t, a zatem i analityczn w tym obszarze wzgl dem zmiennych x = (x x 2 x ) i na mocy r wna (2:9) 2 spe nia r wno ci ' jx j (t x) =vj (t x)+x k v k jx j (t x) =vj (t x)+x k v j jx k (t x) j = 2 : St d otrzymujemy to samo '(t x) =x j ' jxj(t x) (2:2) z kt rej wynika, i funkcja skalarna ' jest wzgl dem zmiennych x = (x x 2 x ) jednorodna stopnia pierwszego, tzn. '(t x) =x (t) =x j j (t) (2:24) gdzie funkcje () 2 () () s klasy C r;, r>2. Zatem na mocy (2.2) i przedstawienia (2.24) oraz analityczno ci w obszarze B t sk adowych v (t ), v 2 (t ), v (t ) pr dko ci v(t ) wynika, i sk adowe te s r wnie funkcjami jednorodnymi stopnia pierwszego wzgl dem zmiennej x =(x x 2 x ) z dok adno ci do sk adnik w (t), 2 (t), (t) odpowiednio, tzn. v j (t x) =A j k (t)xk + j (t) (2:25) j = 2, przy czym wsp czynniki A j k (t) na mocy r na uk adu (2.9) spe niaj r wno ci A j j (t) Aj k (t) =;Ak j (l) (2:26) dla j = 2 ij 6= k = 2.

6 4 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Zatem pole pr dko ci v, kt re spe nia uk ad r wna (2.9), ma przedstawienie v(t x) =A (t)x + (t) (2:27) gdzie A (t) jest macierz o wymiarach, kt rej wyrazy A j k (t) spe niaj r wno ci (2.26), czyli jest antysymetryczn, tzn. A (t) =;A (t) a (t) jestwektorem o skadowych (t), 2 (t), (t). Wyrazy tej macierzy mo emy na mocy przedstawienia (2.27) i r wna uk adu (2.9) wyrazi wzorami A 2(t) =; 2 (rotv) (t) A (t) = 2 (rotv) 2(t) (2:28) A 2 (t) =; 2 (rotv) (t) Jak wiadomo z mechaniki klasycznej (por. Arnold (98), s. 9{2) ka da macierz antysymetryczna wyznacza w przestrzeni E wektor pr dko ci k towej. Zatem macierz A (t) dana wzorami (2.28) wyznacza wektor pr dko ci k towej, kt ry jest identyczny zwektorem bowiem mamy A (t)x = 2 (rotv)(t) 2 rotv (t) x (2:29) Pole rotacji pola wektorowego pr dko ci v nazywa si wirowo ci ruchu i oznacza si symbolem w(t x) = (rotv)(t x): (2:29) 2 Zatem, przedstawienie pola pr dko ci v( ) w przypadku, gdy tensor pr dko ci odkszta cenia d( ) znika w obszarze B t ma na mocy wzor w (2.27), (2:29),(2 29) 2 posta v(t x) = w(t) x + (t) (2:) 2 kt ra ko czy dow d stwierdzenia odwrotnego ze s. 8.