WIELORÓWNANIOWY MODEL DYNAMIKI GOSPODARKI POLSKI I NIEMIEC

Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicac ISSN 083-86 Nr 97 06 Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicac Wydział Zarządzania Kaedra Maemayki anna.janiga-cmiel@ue.kaowice.pl WIELORÓWNANIOWY MODEL DYNAMIKI GOSPODARKI POLSKI I NIEMIEC Sreszczenie: Celem zaprezenowanyc w niniejszym arykule badań jes analiza współzależności kszałowania się rozwoju gospodarczego Polski i Niemiec. Zosaną u przedsawione wielorównaniowe modele GARC prezenujące wzajemne relaywne powiązania w zakresie dynamiki rozkładów empirycznyc, ze szczególnym zwróceniem uwagi na dynamikę warości oczekiwanyc i wariancji. Słowa kluczowe: model GARC, rozwój gospodarczy, zmienność. Wprowadzenie Pojawiające się problemy z efekywnością wzrosu gospodarczego wymuszają poszukiwanie wykorzysania szans i możliwości jego osiągnięcia. Gospodarka, wzros gospodarki są pojęciami bardzo skomplikowanymi. Teorie wzrosu gospodarczego mogą być różne, zależą między innymi od ego, czy mamy do czynienia z gospodarką rozwinięą, czy gospodarkami rozwijającymi się. W lieraurze świaowej znajdujemy propozycje analizy wybranyc czynników wzrosu gospodarczego, kóre były rozparywane w doycczasowyc eoriac [Noga, Sawicka, 00]. Nieusannie przeprowadzane badania w dziedzinie idenyfikacji cyklu koniunkuralnego czy eż związanymi z nimi recesjami wysępującymi od zawsze dały podsawę rozwiązań wielu przyczyn ic powsawania, wzbogacając nasze doświadczenia i obserwacje. Prace A.F. Burnsa i W.C. Micella, jako jednyc z pierwszyc auorów klasycznej definicji cyklu, były przełomowe w badaniac koniunkury. Wyniki

54 yc badań zaprezenowano w pracy opublikowanej przez nic w 946 roku p. Measuring business cycles. Według badaczy klasyczna definicja cyklu koniunkuralnego jes definiowana jako rodzaj waań obserwowanyc w działalności gospodarczej narodów organizującyc swą produkcję głównie w przedsiębiorswac [Burns, Micell, 946]. Przeprowadzane badania są również związane ze zjawiskiem zanikającyc cykli koniunkuralnyc w okresac długorwałej prosperiy [Drozdowić-Bieć, 006]. Dodakowo rozwój globalizacji, posęp ecniczny, zmiany poliyczne isonie wpływają na posępującą syncronizację cykli koniunkuralnyc na świecie. Z drugiej srony każdy cykl różni się od nasępnego i poprzedniego, co swarza badaczom problemy w konsruowaniu modeli czy eż znajdowaniu uniwersalnyc narzędzi kszałowania gospodarek. Problemayka syncronizacji cykli koniunkuralnyc wysępującyc ewenualnyc zależności pomiędzy waaniami gospodarczymi była poddawana analizie między innymi przez Kaisera [005]. Na podsawie uzyskanyc wyników Auor udowodnił, że gospodarka niemiecka, ausriacka, francuska, olenderska i belgijska carakeryzują się silnym poziomem syncronizacji cykli koniunkuralnyc. Naomias Azevedo [00] wykazał, że cykle koniunkuralne wysępujące w Szwecji, Finlandii, Wielkiej Bryanii oraz Sanac Zjednoczonyc carakeryzują się zjawiskiem wyprzedzania koniunkury srefy euro o ponad rok, z drugiej srony olandia, Włocy, Japonia oraz iszpania carakeryzują się słabszym empem wyprzedzania, nieprzekraczającym roku. Ekonomiści Dickerson, Gibson i Tsakaloos [998] na podsawie przeprowadzanyc badań swierdzają, że ampliudy cykli koniunkuralnyc krajów Unii Europejskiej carakeryzują się znaczącymi różnicami, a czynnikiem isonie wpływającym na sopień ic syncronizacji są wysępujące związki andlowo- -finansowe. Wynne i Koo [000] udowodnili, że wpływ na syncronizację koniunkury gospodarczej ma również wymiana andlowa. W swoic pracac uwzględniają ak zwany efek sąsiedzwa. Polega on na ym, że zwiększona syncronizacja cykli koniunkuralnyc jes zauważalna w krajac sąsiadującyc, kóre wykazują większą skłonność do wymiany andlowej niż kraje od siebie oddalone. Bergman [004] w swoic pracac udowodnił, że europejskie cykle koniunkuralne są do siebie w wysokim sopniu dopasowane, naomias poziom syncronizacji jes niższy w okresac niskiej zmienności kursu waluowego. Reasumując, należy zauważyć, że przez wiele la powsały różnorodne eorie mające na celu próbę wyjaśnienia isoy problemayki rozwoju gospodarczego,

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 55 lecz żadna z nic w pełni go nie opisuje. Rozważana problemayka jes bardzo złożonym zjawiskiem, wysępujące waania akywności gospodarczej są zauważalne we wszyskic dziedzinac życia społeczno-gospodarczego, co znajduje swoje odbicie w rudności znalezienia właściwyc narzędzi i meod badawczyc. Celem opracowania jes analiza porównawcza rozwoju gospodarczego wybranyc krajów: Polski i Niemiec z wykorzysaniem modeli GARC. W analizie porównano Polskę z Niemcami, ponieważ jes o pańswo, w kórym zjednoczenie dwóc pańsw znacząco wpłynęło na posać sysemu gospodarczego, dodakowo osłabiając jego gospodarkę. Wprowadzane ransformacje mające na celu wyrównanie poziomu życia w obu częściac krajów pogarszały wyniki gospodarcze poprzez między innymi brak zdolności do jednoczesnego reagowania na niepokojące zmiany ekonomiczne. Zaprezenowano eapy konsrukcji oraz posać wielorównaniowego modelu GARC, kóry pozwala opisać między innymi zmienne wariancje oraz kowariancje prezenujące wzajemne relacje między badanymi zjawiskami. Na podsawie wybranyc danyc empirycznyc wyznaczono omawiany model, kóry może sanowić podsawę podejmowania decyzji pod kąem dalszego rozwoju gospodarczego oraz umożliwić przeprowadzenie analizy niekóryc przyczyn zmienności [Fiszeder, 009]. Zarówno eeroskedasyczność analizowanyc procesów rozwoju gospodarczego, jak i auokorelacja składnika resz mają wpływ na kszałowanie się w rozparywanyc okresac efeku ARC.. Dane empiryczne W celu przedsawienia analiz dla wybranyc pańsw (Polska, Niemcy) przygoowano dane empiryczne, korzysając z danyc publikowanyc przez Główny Urząd Saysyczny oraz na sronie Eurosau dane o rocznym poziomie PKB. Wskaźnik PKB sanowi podsawową deerminanę zmian w rozwoju gospodarek i zarazem czynnik kszałujący waania koniunkuralne [ellwig, 997]. Za okres analizy przyjęo laa 00-0. Wyznaczono wskaźniki rozwoju gospodarczego, dzieląc produk krajowy bruo przez liczbę ludności w danym kraju. PKB pełni rolę zmiennej syneycznej [Yamarone, 006] carakeryzującej w pewnym ujęciu syuację ekonomiczną kraju, sanowi również miarę poziomu koniunkury gospodarczej w badanym kraju [adaś-dyduc, 04]. Analizę poszerzono o dosępne w Rocznikac Saysycznyc informacje na ema podobnyc czynników, jakie uwzględniono do opisu kszałowania zmienności rozwoju gospodarczego wybranyc pańsw [adaś-dyduc, 05].

56 W pierwszym eapie badania w celu oszacowania odpowiedniego modelu wyznaczono model ARIMA(,,) [Janiga-Cmiel, 03]. Nasępnie wykazano, że analizowany składnik losowy jes obciążony auokorelacją [osking, 980; Doman, Doman, 004]. Wykazano również, że składnik losowy jes eeroskedasyczny [ong, Seade, 999] i wysępują okresy pogrupowanej wariancji [Engel, 987]. W celu wykrycia wysępowania efeku ARC zasosowano zaproponowany w lieraurze es Ljunga-Boxa [Demos, Senana, 998]. W kolejnym kroku wyznaczone składniki losowe modeli uwzględniono do konsrukcji wielorównaniowego modelu GARC [Janiga-Ćmiel, 03].. Ogólna posać wielorównaniowego modelu GARC dla szeregu czasowego Analizujemy wielowymiarowy proces rozwojów gospodarczyc wybranyc pańsw [Engle, 98]: y ) T = ( y,..., y k. () Prognozując sany oczekiwane warości y, możemy uwzględnić między innymi model ARIMA(p,q,s), gdzie: E ( y y, y,..., y p ) = μ( y ). () Uzyskujemy wówczas warości oczekiwane sanu rozwoju gospodarczego w analizowanym okresie. Prognozując wariancję procesów rozwoju gospodarczego, możemy uwzględnić na przykład modele klasy GARC [Vronos, Dellaporas, Poliis, 003]. Wyznaczamy wówczas macierz : = p T E( y,..., y ) = Var( y : k =,..., p). (3) k Zdefiniowana w en sposób macierz wariancji i kowariancji warunkowej będzie sanowiła podsawę konsrukcji modelu klasy GARC. Model ARIMA(p,q,s) przedsawiający dynamikę zmiennej y uwzględnia reszy modelu η. Wówczas macierzą przekszałcającą reszy modelu ARIMA w reszy modelu GARC będzie macierz i przekszałcenie o przyjmuje posać: = η. (4)

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 57 Przekszałcenie o można zaprezenować dla przypadku dwuwymiarowego za pomocą równania macierzowego: =,,,, η. (5) η Równanie o wiąże składowe resz i η za pomocą ocen wariancji i kowariancji warunkowej macierzy. W nasępnym kroku przekszałcamy macierz wariancji i kowariancji do posaci:,,,, =, 0,,,,. (6) Uwzględniając przekszałconą w en sposób macierz, ransformaę resz na η definiujemy w posaci: =, =,,,,. (7) Zależność jednyc i drugic resz gwaranuje odpowiednio: ( : <) =0, ( : <) =, (8) Wyznaczenie powyższyc zależności jes konieczne przy konsrukcji modelu vec. Macierz P wysępująca w równaniu (8) o macierz podobieńswa macierzy wariancji i kowariancji resz z macierzą rzeczywisą. W przypadku gdyby wyznaczona macierz P była macierzą jednoskową, wówczas orzymalibyśmy najsilniejsze z możliwyc podobieńswa yc macierzy. Wielowymiarowy proces rozwoju gospodarczego wybranyc pańsw, kórego dane wyjściowe są przedsawione w macierzy (), ma wymiar kxn, gdzie k o ilość porównywanyc krajów, a n o ilość dokonanyc obserwacji. Przedsawiony model wymaga skonsruowania modelu vec, na podsawie kórego należy wyznaczyć elemeny dolnego rójkąa macierzy α (i). Liczba yc elemenów będzie określana wzorem:

58 () = (). (9) Model powinien uwzględniać wyraz wolny różny od zera: (), (),. =, (0) Dla k =, p = q = model przyjmuje posać:,, =,,,,,,,,. (),, Dodakowo zakładamy, że =, = ze względu symerię całego modelu. W analogiczny sposób przeprowadzamy konsrukcję modeli dla przypadku 3. Macierz jes warunkową macierzą wariancji i kowariancji szeregów czasowyc procesów badanyc rozwojów gospodarczyc sopnia k, gdzie k o ilość porównywanyc gospodarek. Za pomocą P oznaczono diagonalną macierz sopnia k. Przez oznaczamy unormowaną macierz orzymaną w wyniku przekszałcenia: = P P T. () Uwzględniając znaną macierz korelacji, macierz ę można przedsawić za pomocą wzoru: = r ). (3) ( ij ii, jj. Proces losowy spełnia relację = P i jes procesem, kóry podlega carakerysyce VEC-GARC(p,q). W celu oszacowania paramerów modelu z poszerzoną macierzą kowariancji wyznaczamy zmodyfikowany model vec uwzględniający w opóźnieniac macierzy macierz [Franco, Zakoian, 009]: q ( i) ( j) vec( ) = ω α vec( i T i) β vec( j). (4) i= p j=

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 59 W powyższym modelu macierz współczynników przy opóźnieniac oznaczamy odpowiednio: (i) α macierz współczynników przy opóźnieniac składnika losowego, ( j) β macierz współczynników przy opóźnieniac macierzy wariancji i kowariancji, przy czym ω o wyrażenia sałe w poszczególnyc modelac: ( i) ( i) α = α, ( i) ( i) β = β. (5) Macierz P o macierz losowa powiązań między procesami losowymi, : = P. (6) Przekszałcone reszy modelu wyznaczamy zgodnie ze wzorem: Macierz sałyc: Uwzględniając powyższe zależności, orzymujemy: = P. (7) ω = P ω. (8) q p k T ( i) ( j), = mr iαsr i βsr, s' r' i= j= s s ' ' > r ' r = ' sr ω. (9) s' r', j Macierz wariancji i kowariancji warunkowej będzie oznaczona w analizie za pomocą i będzie miała posać = [ ij, ], i, j =,..., 5. Wprowadzamy oznaczenia: = vec[ ] =. (0) Macierz powyższą przedsawiamy jako wekor kolumnowy wierszami kolejno do środkowego wyrazu ij wiersza dla i j. Zaprezenowana macierz uwzględnia odpowiednie uporządkowanie kowariancji: [ ] = [ cov(, ) u ] = sr s r < u,. ()

60 Rozwinięcie formuły modelu macierzy kowariancji definiujemy nasępująco: q k p k ( i) ( j) sr, = Cov( s, r u, u < ) = ωsr αsr, s' r' s', i r', i βsr, s' r' s' r', j i = s', r' = j = s', r' = s' r' s' r'. () (i) ( j) Wysępujące w ym modelu macierze α oraz β o iloczyny Kronekera dodanio określonyc wcześniej macierzy wariancji i kowariancji. Macierz zawiera warunkowe wariancje i kowariancje przy określonyc wariancjac i kowariancjac ( j) okresów. Wyznaczamy model ARC(,), dla kórego p =, i oznacza o uwzględnienie jednego opóźnienia macierzy, czyli składnika doyczącego. Naomias warość q = oznacza rozparywanie jednego opóźnienia składnika losowego. Model wekora vec ( ) przyjmuje posać:, ω, a, a, a,, vec( ) =, = ω a, a, a,,,, ω a, a, a,, (3) b, b, b,, b, b, b,,,. b, b, b,, (i) α β ( j) Macierze oraz dla i, j = 0, o kwadraowe macierze ocen paramerów. Sopień yc macierzy jes równy ilości elemenów danego rójkąa macierzy kowariancji. W związku z powyższym model = vec( ) można przekszałcić, a rozwinięcie = vec ) przyjmuje nasępującą posać: sr, ( = ω [, ] b bsr asr, asr, bsr bsr, sr,, [ ],, s, r,,,, a a. sr, sr,,. Naomias dla k 3 posać modelu jes już bardzo rozbudowana.. (4)

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 6 3. Analiza zależności rozwoju gospodarczego Polski i Niemiec Celem badania jes analiza wysępowania możliwyc zależności w rozwojac gospodarczyc wybranyc pańsw. Do wykrycia yc zależności zosaną wykorzysane modele GARC. Niniejszy przykład prezenuje porównanie Polski oraz Niemiec. Pierwszy eap analizy rozwoju gospodarczego Polski i Niemiec obejmuje konsrukcję macierzy, a nasępnie macierzy p z uwzględnieniem p-opóźnień. Dla Polski i Niemiec wyznaczona podmacierz sopnia drugiego sanów korelacyjnyc rozwoju gospodarczego przyjmuje posać:,78 0,43 =. (5) 0,43,83 Zgodnie z opisaną wcześniej procedurą w kolejnym kroku wyznaczamy macierz, uwzględniając jedno opóźnienie:,77 0,59 =. (6) 0,59 5,30 Wykorzysując macierz,78 (i) vec ( ) = 0,43, wyznaczamyα :,83 3,6 0,75 3,5 () α = 0,75 0,8 0,7. (7) 3,5 0,78 3,34 Podobną procedurę przeprowadzamy, aby wyznaczyć vec dla macierzy. Orzymujemy macierz w posaci: 3,99 vec ( ) =,66. (8) 7,50

6 j Macierz β dla j = : 5,9 6,6 9,9 () β = 6,6,75,45. (9) 9,9,45 56,5 () W kolejnym kroku należy wyznaczyć macierze α, uwzględniając dla macierzy α opóźnienia () (), a dla macierzy β macierz. Model vec ( ) opisujący powiązania rozwoju gospodarczego Polski oraz Niemiec przyjmuje w osaeczności posać: 0,43 3,6 vec( ) 0,35 = 0,75 0,7 3,5 5,9 6,6 9,9,8 0,4,3 5,54,5 9,95 6,6,75,45 0,4 0, 0,3,5 0,09,0 0,75 0,8 0,78 9,9,,45, 56,5,,3, 0,3,,,4, 9,95,,0, 3,5,,,. 3,5, 0,7,, 3,34, (30) Konsrukcja modelu na ym eapie zosała zakończona, ponieważ dalsze opóźnienia wprowadzane do modelu są nieisone saysycznie. Na podsawie uzyskanyc wyników można zauważyć, że orzymany model carakeryzuje się macierzami α () i β () o wariancjac i kowariancjac bezwzględnie niższyc niż w macierzac α () i β (). Osani eap analizy obejmuje wyznaczenie prognozy wariancji na dwa nasępne okresy. Orzymujemy nasępujące macierze wariancji i kowariancji: 0,35 0,67 =, (3) 0,67 0,0 0,0 0,04 =. 0,04 0,06

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 63 Porównując wariancje (3), orzymujemy:,35 > 0,0,, = 0, =, = 0,0 >, = 0,06. (3) Widzimy, że w prognozowanyc okresac nasąpi spadek warości wariancji składników reszowyc. Oznacza o, że rozwój porównywanyc gospodarek będzie podlegał procesowi sabilizacji. W przypadku wyznaczonyc macierzy kowariancja obu resz jes ujemna oraz:, = 0,67 co do bezwzględnej warości jes większa od = 0,04., (33) Oznacza o, że z upływem czasu kowariancja badanyc rozwojów gospodarczyc ulega również endencji spadkowej, co będzie spowodowane uniezależnianiem się rozwojów gospodarczyc analizowanyc krajów. Wyznaczone warości elemenów macierzy są bliskie zera, a akże nieisone saysycznie, więc do wyznaczenia prognoz dalszego rozwoju możemy wykorzysać wyłącznie macierz. Podsumowanie W niniejszym arykule dokonano porównania rozwoju gospodarczego Polski i Niemiec. Zarówno eeroskedasyczność procesów rozwoju gospodarczego, jak i auokorelacja składnika resz spowodowały znaczące ukszałowanie się w rozparywanyc okresac efeku ARC. Zaprezenowane modele przedsawiają san rozwoju gospodarczego, o czym świadczą wariancje składnika losowego yc modeli. Proces rozwoju gospodarczego jes procesem eeroskedasycznym i auokorelacyjnym, na co wskazuje wysępowanie efeku ARC, i sanowi o drugi z czynników decydującyc o zasosowaniu ego ypu modeli. Modele ak przedsawione mogą być w przyszłości podsawą podejmowania decyzji pod kąem dalszego rozwoju gospodarczego. Lieraura Azevedo J. (00), Business Cycles: Cyclical Comovemen wiin e European Union in e Period 960-999. A Frequency Domain Approac, Working Paper, Banco de Porugal. Bergman M. (004), ow Similar Are European Business Cycles? Working Paper, Lund Universiy, Deparmen of Economics.

64 Burns F., Micell W.C. (946), Measuring Business Cycle, Sudies in Business Cycles NBER (New York). Demos A., Senana E. (998), Tesing for GARC Effecs: A One-Sided Approac, Journal of Economerics, 86. Dickerson A.P., Gibson.D., Tsakaloos E. (998), Business Cycle Correspondence in e European Union, Empirica. Drozdowić-Bieć M. (006), Wskaźniki wyprzedzające, Prace i Maeriały Insyuu Rozwoju Gospodarczego, SG, Warszawa. Doman M., Doman R. (004), Ekonomeryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Poznań. Engel R.F. (987), Mulivariae ARC wi Facor Srucures Coinegracion in Variance, Discussion Paper 87, Universiy of California, San Diego. Engle R.F. (98), Auoregressive Condiional eeroscedasiciy wi Esimaes of e Variance of e Unied Kingdom, Economerica. Fiszeder P. (009), Modele klasy GARC w empirycznyc badaniac finansowyc, Wydawnicwo Naukowe Uniwersyeu Mikołaja Kopernika, Toruń. Franco C., Zakoian J.M. (009), GARC Models. Srucure, Saisical Inference and Financial Applicaions, NY. adaś-dyduc M. (04), Wielowymiarowa analiza relacji gospodarczyc w rejonie śląskim [w:] W. Szkunik (red.), Problemy społeczno-ekonomiczne w relacjac międzynarodowyc. Analiza modelowa rozwoju regionów, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kaowice. adaś-dyduc M. (05), Polis Macroeconomic Indicaors Correlaed-predicion wi Indicaors of Seleced Counries [w:] M. Papież and S. Śmiec (eds.), Proceedings of e 9 Professor Aleksander Zelias Inernaional Conference on Modelling and Forecasing of Socio-Economic Penomena, Conference Proceedings, Foundaion of e Cracow Universiy of Economics, Cracow. ellwig Z. (997), Ekspansja gospodarcza Polski końca XX wieku, Wydawnicwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań. ong Y., Seade R.D. (999), A New Tes for ARC Effecs and Is Finie-Sample Performance, Journal of Business and Economic Saisics, 7. osking J. (980), Te Mulivariae Pormaneau Saisic, Journal of American Saisical Associaion. Janiga-Ćmiel A. (03), Analiza zależności przyczynowyc rozwoju gospodarczego Polski i wybranyc pańsw Unii Europejskiej, Sudia Ekonomiczne, Zeszyy Naukowe Wydziałowe nr 59, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kaowice. Janiga-Ćmiel A. (04), Dynamiczna analiza procesów rozwoju gospodarczego, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kaowice. Kaiser M. (005), Euro Zone: Uncompleed Convergence, BNP PARIBAS Conjoncure, No. 7, p. 0-33.

Wielorównaniowy model dynamiki gospodarki Polski i Niemiec 65 Noga M., Sawicka M. (red.) (009), Modele rozwoju gospodarczego dla Polski w dobie inegracji europejskiej i globalizacji, Wydawnicwo CeDeWu, Warszawa. Vronos I.D., Dellaporas P., Poliis D.N. (003), A Full-facor Mulivariae GRAC Model, Ecomomerics Journal. Wang P. (003), Financial Economerics. Meods and Models, Rouledge Capman & all. Wynne M.A., Koo J. (000), Business Cycles under Moneary Union. A Comparison of e EU and US, Economica. Yamarone R. (006), Wskaźniki ekonomiczne: przewodnik dla inwesora, Wydawnicwo elion, Warszawa. A MULTI-EQUATION MODEL OF DYNAMICS OF POLIS AND GERMAN ECONOMY Summary: Te sudy examines e developmen of Polis economy as well as e economies of seleced counries in e period from 00 o 03. Models based on e GDP grow in paricular counries were buil. A comparaive analysis of e developmen of economies in e counries concerned (Poland, Germany) is presened. A mulivariae GARC model was buil. Te eory of e consrucion of a mulivariae GARC model and is esimaion meod are discussed. Keywords: GARC model, economic developmen, volailiy.