ot. Michał Strzszwski dr in. Michał Strzszwski 005-009 Wymiana cipła w brach i prętach Matriały do zajęć z wymiany cipła v. 0.96. Wprowadzni W tchnic mamy do czyninia z dwoma podstawowymi typami zagadniń wymiany cipła: ograniczani wymiany cipła np. izolacja przgród budowlanych intnsyfikacja wymiany cipła np. w wyminnikach cipła. Żbra mają za zadani intnsyfikację konwkcyjnj wymiany cipła. Strumiń cipła przjmowango na drodz konwkcji z powirzchni ciała stałgo mona zapisać: W Q t f t w () gdzi: α współczynnik przjmowania cipła W/m K pol powirzchni wymiany cipła m t f tmpratura płynu º t w tmpratura powirzchni (ścianki) º. Jak wynika z powyszgo równania wymianę cipła przjmowango na drodz konwkcji mona zintnsyfikować zwiększając: współczynnik przjmowania cipła α np. zastępując konwkcję naturalną poprzz konwkcję wymuszoną i zwiększając prędko przpływu płynu rónicę tmpratury t f t w powirzchnię wymiany cipła. Powirzchnię wymiany cipła mona zwiększyć poprzz zastosowani br. W tchnic bra stosuj się przd wszystkim w przypadku przjmowania cipła przz gazy dla których współczynnik przjmowania cipła jst stosunkowo niski. Żbra wykorzystywan są m.in. do zwiększnia ilości cipła wyminiango w grzjnikach konwkcyjnych i nagrzwnicach powitrza oraz w clu intnsyfikacji chłodznia urządzń np. korpusów silników samochodowych motocyklowych i lotniczych jak równi układów lktronicznych (rys. ).. Stopiń obrowania W wyniku zastosowania obrowania wzrasta powirzchnia ścianki. Stosunk powirzchni obrowanj do powirzchni płaskij okrśla się jako stopiń (krotno) obrowania: Grzjniki konwkcyjn o bardzo rozbudowanj powirzchni wymiany cipła przyjęto nazywać grzjnikami konwktorowymi. Powirzchnia obrowana umiszczana na układach lktronicznych jst często z angilskigo nazywana radiatorm chocia z uwagi na dominujący procs wymiany cipła bardzij właściwym okrślnim jst konwktor. Strona Rys.. Przykład powirzchni obrowanj. Konwktor układu lktroniczngo
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła () gdzi: pol powirzchni płaskj m pol powirzchni obrowanj m. Równani () mówi przy stałym współczynniku przjmowania cipła i stałj rónicy tmpratury strumiń przjmowango cipła jst wprost proporcjonalny do powirzchni. Jdnak w praktyc wzrost intnsywności wymiany cipła w wyniku zastosowania obrowania jst niszy ni krotno obrowania. Wynika to z faktu śrdnia tmpratura powirzchni bra jst nisza ni tmpratura powirzchni ścianki w przypadku gdyby ni była obrowana. A więc rónica tmpratury w równaniu () jst nisza w przypadku ścianki obrowanj w porównaniu z ścianką bz br. Zastosowani obrowania zwiększa intnsywno wymiany cipła. hocia w praktyc wzrost tn jst niszy ni krotno obrowania. 3. Załonia upraszczając W clu analityczngo rozwiązania wymiany cipła w brz prostym przyjęto następując załonia upraszczając: Tmpratura w przkroju poprzcznym bra jst stała tzn. tmpratura jst tylko funkcją długości. Współczynnik przjmowania cipła jst stały. podstawa bra t Q x dq Q x+ t f powirzchnia czołowa 4. Bilans cipła Dla lmntu bra mona sporządzić bilans cipła: Q x Qx dq (3) gdzi: Q x strumiń cipła dopływający do lmntu bra na drodz przwodznia W Q x+ strumiń cipła odpływający z lmntu bra na drodz przwodznia W dq α róniczka struminia cipła odpływającgo z lmntu bra na drodz konwkcji W. Powysz równani oznacza rónica pomiędzy struminim cipła dopływającym do i odpływającym z bra jst rozpraszana na drodz konwkcji. Poszczgóln składow bilansu cipła mona zapisać w następujący sposób: Q x Q dt A (4) Q dqx x x (5) Q x Q x dt d A dt A (6) dt d t A A (7) dt d t Q x A dq Ut t f (8) (9) x h Rys.. Schmat do sformułowania równania róniczkowgo Strona
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła gdzi: λ współczynnik przwodznia cipła matriału bra W/mK. A pol powirzchni przkroju poprzczngo bra m t tmpratura º x współrzędna gomtryczna (długo) m α współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj W/m K U obwód przkroju bra m t f tmpratura płynu od strony obrowanj º. dt dt d t A A U t t f (0) dt dt d t U A d t A U t t f t t f Następni po wprowadzniu nadwyki tmpratury w danym przkroju bra nad tmpraturą otocznia t t f otrzymujmy: d U 0 A Następni oznaczamy: m U A - m Wilko m jst stała dla dango bra prostgo i nosi nazwę współczynnika tmpraturowgo bra. Po podstawiniu m otrzymujmy: d m 0 Równani to posiada rozwiązani ogóln postaci: lub gdzi: x mx mx K (6) D sinh( mx) D cosh( mx) K (7) x D D stał całkowania m współczynnik tmpraturowy bra prostgo: U A l l - m m (8) gdzi: δ grubo bra m l długo w trzcim wymiarz m U obwód przkroju bra (dla bra płaskigo U l) m. Natomiast współczynnik m dla bra o przkroju kołowym (pręta): () () (3) (4) (5) Strona 3
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła m 4 U A d d 4 d - m (9) gdzi: d śrdnica bra (pręta) m. 5. Warunki brzgow. Warunk brzgowy u podstawy bra ma postać: 0 0 x 0 : t t (0) t t gdzi: f. Warunk brzgowy na końcu bra (na powirzchni czołowj) mo mić rón postaci w zalności od przyjętych załoń: a. Wymiana cipła z powirzchni czołowj bra jst pomijalni mała lub czoło bra jst zaizolowan ciplni: x h : d xh 0 b. Żbro jst bardzo długi i w związku z tym tmpratura na końcu bra jst równa tmpraturz otocznia: h t h 0 x h t f : () c. Zachodzi konwkcyjna wymiana cipła z powirzchni czołowj bra: h x h : Q h A (3) W praktyc zazwyczaj z wystarczającą dokładnością spłniony jst warunk brzgowy a poniwa powirzchnia czołowa bra jst znaczni mnijsza od jj powirzchni bocznj. zasami dla br płaskich wymianę cipła przz powirzchnię czołową uwzględnia się w sposób przybliony poprzz przyjęci w obliczniach długości bra powiększonj o połowę jgo grubości. Do dalszych rozwaań przyjmimy warunk brzgowy a. 6. Wyznaczni stałych całkowania Po podstawiniu do równania (6) warunku brzgowgo otrzymujmy: (4) Następni uwzględniamy warunk brzgowy a: m m 0 (5) (6) Z koli z równania (4) wyznaczamy : (7) i podstawiamy do równania (6): (8) (9) (30) (3) (3) Strona 4 ()
t(x) º Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Następni wyznaczamy stałą z równań (7) i (3): (33) (34) (35) (36) 7. Tmpratura bra prostgo Tmpraturę w danym punkci bra prostgo mona wyznaczyć na podstawi równania ogólngo (6) podstawiając wyznaczon stał całkowania i : mx mx x (37) mx mx x (38) mx mx x (39) x x (40) x Uwzględniając dfinicję cosinusa hiprboliczngo: uzyskujmy: x x x cosh (4) x cosh m h cosh x (4) t cosh m h x x t t t f f cosh (43) Przykład Sporządź rozkład tmpratury bra o wysięgu h = 50 mm i grubości δ = 5 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 70º a tmpratura płynu t f = 0º. Rozwiązani: Rozkład tmpratury na podstawi równania (43) przdstawiono na rysunku 3. 80 70 60 50 40 30 0 0 0 00 0 0 03 04 05 x m Rys. 3. Rozkład tmpratury bra płaskigo dla danych z przykładu Strona 5
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła 8. Strumiń cipła ałkowity strumiń cipła oddawany przz bro mona okrślić m.in. na podstawi struminia cipła przwodzongo przz podstawę bra: Q Q x0 (44) Q Przy czym: d A (45) x0 d x0 m mx m mx m m m (46) W związku z tym otrzymujmy: Q Am (47) Następni podstawiamy stał całkowania: Q Am (48) Q Am (49) Uwzględniając dfinicję tangnsa hiprboliczngo: uzyskujmy: x x x x tanh (50) x Q Am tanh (5) 9. Pozorny współczynnik przjmowania cipła dla bra Jdnym z sposobów obliczania ilości cipła oddawango przz bro jst załoni myślow cipło wyminian jst przz podstawę bra na drodz konwkcji (tak jak by bra ni było) rys. 4. W związku z tym naly znalźć taki współczynnik przjmowania cipła α * aby po podstawiniu go do równania () uzyskać strumiń cipła zgodny z równanim (5): * mtanh (5) Współczynnik tn okrśla się jako pozorny lub równowany współczynnik przjmowania cipła. Aby bro spłniało swój cl tzn. intnsyfikowało wymianę cipła pozorny współczynnik przjmowania cipła powinin być większy od współczynnika rzczywistgo. t t * A Rys. 4. Myślow zastąpini ścianki obrowanj przz ściankę płaską (tak jakby bra ni było) t f Strona 6
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Przykład Okrśl pozorny współczynnik przjmowania cipła oraz strumiń cipła dla bra z przykładu. Długo w trzcim wymiarz przyjmij l = m. Rozwiązani: Wsółczynnik tmpraturowy bra wynosi: m 50 005585 8 55 m - Pozorny współczynnik przjmowania cipła wynosi: * mtanh 58 58 55 tanh8 55 05 786 5 W/m K Jak widać pozorny współczynnik przjmowania cipła jst znaczni wyszy od rzczywistgo. Powirzchnia podstawy bra wynosi: A l 005 005 m Znając pozorny współczynnik przjmowania cipła strumiń cipła mona obliczyć w następujący sposób : * Q A 0. Efktywno bra t t 786 5 005 70 0 34 6 W f Efktywnością bra χ okrśla się stosunk ilości cipła przjmowango z jgo powirzchni do ilości która byłaby przjmowana z powirzchni równj powirzchni podstawy bra gdyby bra ni było. Q rz (53) Qo gdzi: Q rz strumiń cipła przjmowango przz płyn omywający bro W Q o strumiń cipła który byłby przjmowany z powirzchni równj powirzchni podstawy bra gdyby bra ni było W. Po podstawiniu odpowidnich strumini cipła dla bra prostgo otrzymujmy: mtanh Am tanh U U tanh tanh (54) A A A Aby bro spłniało swój cl tzn. intnsyfikowało wymianę cipła jgo fktywno powinna być większa od jdności. Przykład 3 Okrśl fktywno bra. Pozostał dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: U l 5 7 U tanh A A l l l tanh tanh tanh8 55 05 585 50 005 Zastosowani bra spowoduj ponad piętnastokrotny wzrost wyminiango struminia cipła w porównaniu z sytuacją gdyby bra ni było. Efktywno bra mona równi obliczyć na podstawi pozorngo współczynnika przjmowania cipła: * 786 4 5 7 50 Strona 7
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła. Sprawno bra Sprawnością bra η okrśla się stosunk ilości cipła przjmowango z jgo powirzchni w rzczywistości tzn. przy śrdnij tmpraturz powirzchni bra t ś do ilości która byłaby przjmowana gdyby tmpratura bra była taka jak u podstawy. t t t ś Q rz (55) Q max f tś t f tś t f (56) t t t t f Rys. 5. Rozkład tmpratury w przkroju płaskij ścianki obrowanj gdzi: Q rz rzczywisty strumiń cipła przjmowango przz płyn omywający bro W Q max maksymalny strumiń cipła przjmowango przz płyn omywający bro przy jgo tmpraturz wynoszącj t W α współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj W/m K t ś śrdnia tmpratura bra º t tmpratura u podstawy bra º t f tmpratura płynu od strony obrowanj º. Powysza dfinicja odnosi rzczywistą ilo oddawango cipła do warunków gdyby ni następował spadk tmpratury wzdłu bra. Sytuacja taka miałaby mijsc dla matriału doskonal przwodzącgo cipło (λ = ). Poniwa w praktyc bra wykonuj się z matriałów dobrz przwodzących cipło (m.in. stal aluminium) osiągan wartości sprawności bra mogą być bliski jdności al jdnak od nij mnijsz. Przy załoniu stałj wartości współczynnika przjmowania cipła α oraz pominięciu przjmowania cipła z powirzchni czołowj bra (powirzchnia ta jst w praktyc znaczni mnijsza od powirzchni bocznj) mona zapisać: Am tanh (57) Uh m tanh m h (58) tanh (59) A więc o wartości sprawności bra prostgo dcyduj jgo gomtria (wysięg i grubo lub śrdnica) oraz właściwości cipln (współczynnik przjmowania cipła i współczynnik przwodznia cipła). Zalno sprawności bra prostgo od iloczynu przdstawiono na rys. 6. Dla małych warto sprawno bra jst bliska jdności. Oznacza to śrdnia tmpratura bra t ś jst bliska tmpraturz u jgo podstawy t. Sytuacja taka ma mijsc w przypadku krótkich br oraz br wykonanych z matriału dobrz przwodzącgo cipło. Natomiast dla duych wartości iloczynu sprawno bra malj asymptotyczni do zra. Oznacza to śrdnia tmpratura bra dąy do tmpratury otocznia. Jdnoczśni na rys. 6 pokazano bzwymiarowy strumiń cipła czyli stosunk struminia cipła dla dango wysięgu h do struminia cipła dla wysięgu niskończni dugo. Dla wartości = 30 strumiń cipła osiąga ok. 995% swojj wartości maksymalnj i dalsz zwiększani wysięgu ni powoduj zauwaalngo wzrostu struminia cipła a więc jst niclow. Strona 8
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła 0 9 8 Bzwymiarowy strumiń cipła 7 6 5 4 Sprawno bra 3 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 Rys. 6. Sprawności bra prostgo i bzwymiarowy strumiń cipła (stosunk struminia do struminia cipła dla bra o niskończni duym wysięgu) w zalności od iloczynu Przykład 4 Okrśl sprawno bra. Dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: tanh m h tanh8 55 05 tanh 973 8 55 05 973 787 W tym przypadku ilo cipła oddawango przz bro będzi o ok. % mnijsza w porównaniu z sytuacją jśli bro na całj powirzchni posiadałoby taką tmpraturę jak u jgo podstawy (λ = ). Przykład 5 Okrśl śrdnią tmpraturę bra. Dan jak w poprzdnich przykładach.. Rozwiązani: Z równania tś t t t f f t t ś t t f f mona wyznaczyć śrdnią tmpraturę bra: t t 0 0 787 70 0 5 t t 9 ś f f Strona 9
M Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Przykład 6 Oblicz strumiń cipła oddawango przz bro. Pozostał dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: hl 05 m Maksymalny strumiń cipła przjmowango z bra przy jgo tmpraturz wynoszącj t wynosi: Q t t 50 0 70 0 W max f 400 Strumiń przjmowango cipła przy jgo rzczywistj tmpraturz wynoszącj t ś wynosi: Q Qmax 787400 34 6 W Znając śrdnią tmpraturę bra momy równi obliczyć strumiń cipła na podstawi prawa Nwtona: Q t t 50 0 5 9 0 34 W ś f 6 Strumiń cipła oddawany przz bro mona równi wyznaczyć z matmatyczni równowanych wzorów: 585 0058 5570 0 tanh8 55 05 34 W Q Am tanh 6 lub Q 34 6 W l f t t tanhm h 50585 005 70 0 tanh8 55 05 Poza tym strumiń cipła mona obliczyć znając pozorny współczynnik przjmowania cipła (patrz przykład ): * Q A t t 786 5 005 70 0 34 6 W f. Sprawno ścianki obrowanj Sprawnością ścianki obrowanj η okrśla się stosunk ilości cipła jaką przjmuj w rzczywistości płyn omywający ściankę do ilości jaką przjmowałby gdyby tmpratura powirzchni ścianki była jdnakowa i równa t. h gdzi: gdzi: Q rz (60) Q max Q rz rzczywisty strumiń cipła przjmowango przz płyn omywający ściankę W Q max maksymalny strumiń cipła przjmowango przz płyn omywający ściankę przy stałj tmpraturz jj powirzchni wynoszącj t W. ( t t f ) ( tś t ( t t f ) f ) (6) α współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj W/m K t ś śrdnia tmpratura bra º t tmpratura u podstawy bra º t f tmpratura płynu od strony obrowanj º. t f t t Rys. 7. Ścianka płaska obrowana t ś t f Strona 0
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła (6) (63) (64) (65) ( ) (66) Przykład 7 Okrśl sprawno ścianki obrowanj o modul M = 4 cm. Pozostał dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: M l 04 005 035 035 35 m ( ) ( 787) 84 35 Wynika z tgo ilo cipła oddawango przz ściankę obrowaną będzi o ok. 6% mnijsza w porównaniu z sytuacją jśli cała powirzchnia ścianki od strony obrowanj posiadałaby tmpraturę t. Jak widać sprawno ścianki obrowanj jst wysza od sprawności bra. Wynika to z faktu powirzchnia ścianki obrowanj składa się zarówno z powirzchni br jak i z powirzchni międzybrowj o tmpraturz t. Sprawno ścianki jst śrdnią waoną z sprawności bra i sprawności powirzchni międzybrowj wynoszącj 00%. Sprawno ścianki obrowanj jst wysza od sprawności bra. Przykład 8 Oblicz strumiń cipła oddawango przz ściankę obrowaną. Dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: Maksymalny strumiń cipła przjmowango z ścianki obrowanj przy stałj tmpraturz jj powirzchni wynoszącj t : Q t t 50035 70 0 W max f 540 Rzczywisty strumiń cipła przjmowango z ścianki obrowanj: Q Qmax 84540 454 6 W Strona
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła 3. Prznikani cipła przz płaską ściankę obrowaną Rozpatrzmy procsy składow prznikania cipła przz ściankę obrowaną: przjmowani cipła po stroni gładkij: t W Q f (67) t przwodzni cipła w ścianc: Q t W t przjmowani cipła po stroni obrowanj: Q t f t W (69) Odnosząc strumiń cipła do powirzchni ścianki po stroni obrowanj mona zapisać ogóln równani prznikania cipła przz ściankę obrowaną: gdzi: Q k k t f W (70) t f k współczynnik prznikania cipła przz ściankę obrowaną odnisiony do powirzchni ścianki po stroni obrowanj W/m K. W m K Opór przjmowania po stroni gładkij i opór przwodznia w ścianc odnision są standardowo do powirzchni strony gładkij. Jdnak współczynnik prznikania cipła odnisiony jst do powirzchni strony obrowanj. Dlatgo w clu przlicznia dwóch pirwszych oporów ciplnych na powirzchnię w powyszym wzorz występuj dwa razy stopiń obrowania φ. Natomiast opór przjmowania po stroni obrowanj z załonia odnisiony jst do powirzchni i w związku z tym ni wymaga przliczania. (68) (7) Przykład 9 Oblicz gęsto struminia cipła prznikającgo przz ściankę obrowaną (gęsto struminia cipła odniś do powirzchni obrowanj). Współczynnik przjmowania cipła od strony gładkij α = 577 W/m K. Grubo ścianki = 5 mm. Tmpratura płynu po stroni gładkij t f = 90º. Współczynnik przwodznia cipła dla ścianki przyjąć taki sam jak dla bra. Pozostał dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: M l 04 04 m k q 35 3 375 04 577 005 3 375 3 375 585 50 84 90 0 3367 W/m k ( t f t f ) 33 68 8 33 68 W/m K Strona
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Przykład 0 Okrśl gęsto struminia cipła (odnisioną do powirzchni płaskij) prznikającgo przz ściankę obrowaną. Dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: q q 3367 83 375 366 3 W/m Przykład Oblicz tmpratury t i t. Dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: Tmpraturę na powirzchni ścianki od strony gładkij mona obliczyć znając tmpraturę omywającgo płynu współczynnik prznikania cipła i gęsto struminia cipła odnisioną do powirzchni gładkij: t q 366 3 t f 90 7 3 577 Podobni znając tmpraturę t mona obliczyć tmpraturę t : 005 t q 73 3663 70 585 t Tmpraturę t mona równi obliczyć wychodząc od tmpratury t f. Przy czym w tym przypadku w obliczniach naly uwzględnić warto gęstości struminia cipła odnisioną do powirzchni obrowanj. t q 3367 8 t f 0 7 0 50 84 4. Pozorny współczynnik przjmowania cipła dla ścianki obrowanj Inną mtodą obliczania struminia cipła prznikającgo przz ścianki obrowan jst myślow zastąpini ścianki obrowanj ścianką płaską i wyznaczni pozorngo (równowango) współczynnika przjmowania cipła ścianki który w przypadku przjmowania z powirzchni ścianki płaskij zapwniałby taki sam strumiń cipła jaki przjmowany jst z ścianki obrowanj. Poniwa powirzchnia obrowana składa się z br i powirzchni międzybrowych to pozorny współczynnik przjmowania cipła dla ścianki jst śrdnią waoną pozorngo współczynnika przjmowania dla bra i wartości rzczywistj dla powirzchni międzybrowych: A A M M * * W/m K Dzięki pozornmu współczynnikowi przjmowania cipła momy traktować ściankę obrowaną jak ściankę płaską. Po wyznaczniu pozorngo współczynnika przjmowania cipła ścianki po stroni obrowanj dalj traktujmy ściankę jak ściankę płaską a obliczona gęsto struminia cipła będzi odnisiona do powirzchni ścianki po stroni gładkij. (7) Strona 3
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Przykład Oblicz pozorny współczynnik przjmowania cipła dla ścianki obrowanj i gęsto struminia cipła. Dan jak w poprzdnich przykładach. Rozwiązani: * M k M 786 5 005 50 04 005 4 W/m 577 04 3 7 W/m K 005 585 4 Obliczona powyj warto współczynnika prznikania cipła odnisiona jst do powirzchni gładkij i w związku z tym jst inna ni w przypadku korzystania z mtodyki sprawności ścianki obrowanj. Przy czym stosunk tych współczynników prznikania cipła równy jst krotności obrowania. q 90 0 366 W/m k ( t f t f ) 3 7 3 5. Prznikani cipła przz cylindryczną ściankę obrowaną Obrowan ścianki cylindryczn czyli rury obrowan (rys. 8) stosuj się m.in. w nagrzwnicach powitrza. Na postawi bilansu cipła w lmnci bra w warunkach ustalonych mona sformułować następując równani róniczkow: gdzi: Przy czym: d A dr d dr d dr (73) A pol walcowj powirzchni izotrmicznj m r współrzędna walcowa m θ nadwyszka tmpratury nad tmpraturą otocznia t t f K α współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj W/m K d pol powirzchni przjmowania cipła m. A r (74) d 4rd r (75) W związku z tym zakładając współczynnik przjmowania cipła jst stały otrzymujmy: d d r dr 4r dr dr dr i po uporządkowaniu równania: d d dr r dr 0 Jst to równani Bssla zrowgo rzędu. Równani to posiada następując rozwiązani ogóln: I mr K mr K r o o t f K Q x Q x+dr (78) r o t r r r t h dr d dq Rys. 8. Ścianka cylindryczna obrowana t f (76) (77) Strona 4
Sprawno bra Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła gdzi: I o K o zmodyfikowan funkcj Bssla (dostępn w Exclu i w tablicach załącznik ) stał całkowania m współczynnik tmpraturowy bra (tak jak dla bra prostgo o przkroju prostojątnym): - m m (79) Po uwzględniniu warunków brzgowych: r r r. : (80) d. r r : 0 dr rr h otrzymuj się rozkład nadwyki tmpratury wzdłu prominia bra nad tmpraturą otocznia: mrkmr Imr K o mr mr K mr I mr K mr I o r K (8) I o o gdzi: θ nadwyka tmpratury u podstawy bra nad tmpraturą otocznia t t f K. Strumiń cipła przpływający przz podstawę bra a następni przjmowany przz omywający płyn wynosi: mr Kmr Imr Kmr mr K mr I mr K mr I Q r m W (83) I W związku z tym sprawno bra wynosi: Q Q o r m r r I I o mr Kmr Imr Kmr mr K mr I mr K mr (84) max( ) o o Zalno sprawności bra od iloczynu pokazano na rys. 9. Dla r / r = 00 uzyskuj się wartości sprawności bra prostgo. (8) 0 9 8 7 6 5 4 3 r /r =00 (bra prost) r /r =5 r /r =50 r /r =00 r /r =300 r /r =40 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 Rys. 9. Zalno sprawności bra od iloczynu Strona 5
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Sprawno bra mona równi obliczyć w sposób przybliony korzystając z równania aproksymującgo Schmidta [5]: gdzi: tanh mr mr (85) r r 35ln r r (86) Sprawno bra pirściniowgo mona równi wyznaczyć znając sprawno bra prostgo po uwzględniniu współczynnika korygującgo ε wyznaczango z wykrsu (rys. 0). pr (87) Współczynnik ε jst funkcją stosunku nadwyk tmpratury na końcu bra θ i u jgo podstawy θ oraz stosunku promini bra r do r. r f gdzi r (88) cosh 0 r /r =00 (bra prost) 9 5 50 8 00 7 300 6 400 5 0 3 4 5 6 7 8 9 0 / Rys. 0. Współczynnik poprawkowy ε dla br pirściniowych Przykład 3 Oblicz sprawno bra pirściniowgo. Promini bra r = 40 mm r = 80 mm grubo δ = mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła bra λ = 53 W/mK. Rozwiązani: m 50 44 59 m 5 3 00 - Strona 6
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła I sposób (rozwiązani dokładn): mr 44 59 04 784 mr 44 59 08 3 567 r m r r 04 44 59 08 04 I I II sposób (wg równania Schmidta): o mr Kmr Imr Kmr mr K mr I mr K mr 08 08 35ln 43 04 04 tanh mr mr tanh44 59 04 43 o 6593 868 966 006 440 9680 006 6593 490 44 59 04 43 III sposób (z wykorzystanim wykrsu): h r r r r 08 04 04 m 44 59 04 78 08 00 04 0 44 Dla = 78 i r / r = 00 odczytujmy z wykrsu warto sprawności bra η = 44. IV sposób (z wykorzystanim współczynnika ε ): tanh m h cosh r r m h tanh44 59 04 tanh 784 44 59 04 08 00 04 cosh 784 0 37 Z wykrsu (rys. 0) odczytujmy warto ε = 8. pr 0 530 8 435 784 530 Wartości sprawności bra okrślon cztrma mtodami są zblion. W przypadku posługiwania się wykrsami naturalnym ogranicznim jst dokładno odczytu z wykrsu. 6. Zadania do samodzilngo rozwiązania Zadani Okrśl pozorny współczynnik przjmowania cipła dla bra o wysięgu h = 50 mm grubo δ = 5 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K. Matriał bra: a) kork (λ = 045 W/mK); b) stal (λ = 53 W/mK); c) aluminium (λ = 06 W/mK); d) midź (λ = 386 W/mK). Strona 7
d Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła W których przypadkach bro będzi intnsyfikowało wymianę cipła? Odpowidzi: a) α * = 30 W/m K; b) α * = 763 W/m K; c) α * = 96 W/m K; d) α * = 959 W/m K. Zadani Dla danych z zadania. okrśl fktywno bra płaskigo. Odpowidź: a) χ = 6; b) χ = 53; c) χ = 85; d) χ = 9. Zadani 3 Okrśl sprawno bra płaskigo. Wysięg bra h = 70 mm grubo δ = 3 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K. Matriał bra: a) tytan (λ = 5 W/mK); b) stal (λ = 53 W/mK); c) aluminium (λ = 06 W/mK); d) midź (λ = 386 W/mK). Odpowidzi: a) η = 303; b) η = 56; c) η = 799; d) η = 879. Zadani 4 Okrśl tmpraturę u podstawy bra płaskigo t. Wysięg bra h = 70 mm grubo δ = 3 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Śrdnia tmpratura bra t ś = 78º a tmpratura omywającgo płynu t f = 0º. Odpowidź: m = 394 m ; η = 556; t = 30º. Zadani 5 Okrśl fktywno bra płaskigo którgo sprawno wynosi 776. Wysięg bra h = 40 mm grubo δ = 3 mm. Odpowidź: χ = 7. Zadani 6 Oblicz wysięg bra płaskigo h. Grubo bra δ = mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 35º a tmpratura omywającgo płynu t f = 5º. Długo w trzcim wymiarz l = m. Strumiń cipła oddawany przz bro wynosi 9364 W. Odpowidź: m = 447 m ; η = 749; h = 5 mm. Zadani 7 Okrśl śrdnią tmpraturę t ś i tmpraturę na końcu t k bra prostgo o przkroju kołowym (pręta). Wysięg bra h = 50 mm śrdnica d = 5 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 80º. Tmpratura omywającgo płynu t f = 5º. t t f t k Odpowidź: m = 63 m ; η = 54; t ś = 3897º; t k = 75º. h Strona 8
d Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Zadani 8 Okrśl tmpraturę bra płaskigo w punktach o współrzędnych x = cm i x = 4 cm. Wysięg bra h = 60 mm grubo δ = 4 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 60º. Tmpratura omywającgo płynu t f = 4º. Odpowidź: m = 74 m ; η = 68; t( cm) = 3698º; t(4 cm) = 460º. Zadani 9 Dla bra płaskigo okrśl współrzędną punktu którgo tmpratura równa jst tmpraturz śrdnij bra. Wysięg bra h = 50 mm grubo δ = 5 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 585 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 50º. Tmpratura płynu omywającgo bro t f = 0º. Odpowidź: m = 63 m ; η = 659; x = 06 cm. t x t ś Zadani 0 Oblicz strumiń cipła oddawango przz bro prost o przkroju prostokątnym. Wysięg bra h = 45 mm grubo δ = mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 06 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 0º. Tmpratura płynu omywającgo bro t f = 0º. Długo w trzcim wymiarz l = 650 mm. Odpowidź: m = 558 m ; η = 863; Q = 7 W. Zadani Dobirz wysięg bra prostgo o przkroju kołowym (pręta) tak aby było w stani oddawać strumiń cipła Q = 4 W. Śrdnica bra d = 7 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 5 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 0º. Tmpratura omywającgo płynu t f = 0º. Odpowidź: t h t f t k m = 340 m ; η = 354; h = 0 mm. Zadani * Dobirz śrdnicę bra prostgo o przkroju kołowym (pręta) tak aby było w stani oddawać strumiń cipła Q = 7 W. Wysięg bra h = 04 mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K a współczynnik przwodznia cipła matriału bra λ = 55 W/mK. Tmpratura u podstawy bra t = 0º. Tmpratura omywającgo płynu t f = 0º. Odpowidź: m = 95 m ; η = 476; d = 0 mm. Zadani mona rozwiązać itracyjni. Zadani 3 Pręt midziany o współczynniku przwodznia cipła 30 W/mK i o przkroju x 6 mm umiszczono w picu z którgo wystaj odcink pręta o długości 80 cm. Tmpratura na końcu pręta wynosi 693º a tmpratura omywającgo go powitrza 45º. Współczynnik przjmowania cipła wynosi 5 W/m K. Oblicz tmpraturę pręta w drzwiach pica oraz strumiń cipła odprowadzany przz pręt do otocznia. Odpowidź: m = 3698 m ; η = 336; t = 796º; Q = 530 W. Strona 9
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Zadani 4 Tmpratura głowicy grzjnj lutownicy wynosi 500º. Głowica ta jst umiszczona na rurc stalowj o współczynniku przwodznia cipła 585 W/mK i śrdnicach d z /d w = 8/6 mm. Wwnątrz rurki znajduj się wkład cramiczny z przwodami lktrycznymi. Tmpratura otocznia wynosi 30º a współczynnik przjmowania cipła 5 W/m K. Oblicz jaka powinna być minimalna długo rurki aby tmpratura jj końca na którym znajduj się drwniana rączka ni przkraczała 60º jśli wkład cramiczny mona traktować jako izolację idalną. Odpowidź: m = 7 m ; = 303; h min = 554 cm. max 60º h min =? 500º d w d z Zadani 5 Dan jst bro płaski o grubo δ = mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 30 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła bra λ = 53 W/mK. Okrśl wysięg bra płaskigo dla którgo strumiń oddawango cipła osiągni: a) 90%; b) 950% c) 995% wartości maksymalnj (dla wysięgu niskończni dugo). Odpowidź: m = 44 m ; a) = 47; h = 603 cm; b) = 83; h = 750 cm; c) = 99; h = 6 cm. Dla > 30 ni obsrwuj się zauwaalngo wzrostu struminia oddawango cipła. Zadani 6 Okrśl bzwymiarowy strumiń cipła oddawango przz bro i skomntuj poprawno doboru wysięgu bra. Grubo δ = mm. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła bra λ = 53 W/mK. Wysięg bra: a) 0 mm b) 35 mm c) 00 mm. Odpowidź: m = 4459 m ; a) = 45; Q/Q(h= ) = 49; bro nidowymiarowan zwiększni wysięgu mo istotni zwiększyć strumiń oddawango cipła; b) = 56; Q/Q(h= ) = 96; wysięg dobrany prawidłowo dalsz zwiększni wysięgu spowoduj stosunkowo mały przyrost struminia oddawango cipła; c) = 446; Q/Q(h= ) = 000; bro znaczni przwymiarowan mona znaczni zmnijszyć wysięg bz zauwaalngo zmnijsznia struminia oddawango cipła dua czę bra ma tmpraturę zblioną do tmpratury omywającgo płynu i ni uczstniczy w wymiani cipła. Zadani 7* W rurociągu zaizolowanym korkim płyni solanka. Tmpratura zwnętrznj powirzchni rury w mijscu mocowania t a = 0º. Tmpratura otaczającgo powitrza t f = 0º. Rurociąg przymocowany jst do stropu za pomocą płaskownika o przkroju 30 x 5 mm i długości L = 30 mm. Grubo izolacji rurociągu δ iz = 50 mm. Współczynnik przjmowania cipła z powirzchni płaskownika α = 6 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła płaskownika λ = 53 W/mK. Strona 0
Q 5 Q s =0 Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Oblicz: strumiń cipła przpływający przz płaskownik do rurociągu Q; tmpraturę płaskownika na wysokości zwnętrznj powirzchni izolacji rurociągu t b. Załonia: Tmpratura w przkroju poprzcznym płaskownika jst stała (jdnowymiarow przwodzni cipła). Strumiń cipła wyminiany pomiędzy płaskownikim i stropm Q s oraz pomiędzy płaskownikim i izolacją rurociągu Q iz są pomijalni mał. Wskazówka: Płaskownik naly potraktować jako dwa systmy (dwa opory cipln) połączon szrgowo. t f Q iz =0 t b t a 30 iz L Odpowidź: m = 746 m ; Q = 60 W; t b = 94º. Zadani 8 Dana jst płaska ścianka obrowana. Wysięg bra h = 45 mm. Grubo bra δ = mm. Grubo ścianki = 4 mm. Długo w trzcim wymiarz l = 750 mm. Moduł bra M = 4 mm. Ilo br n = 0 szt. Współczynnik przwodznia cipła matriału z którgo wykonan są ścianka i bra λ = 53 W/mK. Współczynnik przjmowania cipła od strony gładkij α = 600 W/m K współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj α = 65 W/m K. Tmpratura płynu po stroni gadkij t f = 30º a po stroni obrowanj t f = 30º. Oblicz: strumiń prznikającgo cipła gęstości struminia cipła odnision do powirzchni gładkij i obrowanj tmpratury powirzchni ścianki śrdnią tmpraturę bra. Odpowidź: I sposób: m = 584 m ; η = 48; η = 448; k = 368 W/m K; Q = 474 W; q = 368 W/m ; q = 30 356 W/m ; t = 794º; t = 770º; t ś = 5º. II sposób: α * = 505 W/m K; = 646 W/m K; k = 3036 W/m K; pozostał wyniki jw. Posłuni się pozornym współczynnikim przjmowania cipła uwzględnia wymianę cipła przz bro w sposób synttyczny i dlatgo mtoda ta umoliwia szybki obliczni struminia cipła al ni umoliwia bzpośrdnigo wyznacznia śrdnij tmpratury bra. Strona
M Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Zadani 9 Dana jst płaska ścianka obrowana. Grubo bra δ = mm. Grubo ścianki = 4 mm. Długo w trzcim wymiarz l = 50 cm. Moduł bra M = 4 mm. Ilo br n = 80 szt. Współczynnik przwodznia cipła matriału z którgo wykonan są ścianka i bra λ = 53 W/mK. Współczynnik przjmowania cipła od strony gładkij α = 500 W/m K współczynnik przjmowania cipła od strony obrowanj α = 60 W/m K. Tmpratura płynu po stroni gadkij t f = 30º a po stroni obrowanj t f = 30º. Dobirz wysięg bra h tak aby przz ściankę prznikał strumiń cipła 5 kw. Odpowidź: m = 3454 m ; = 505; h = 0436 m. Zadani 0 Oblicz sprawno bra pirściniowgo. Współczynnik przjmowania cipła α = 50 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła bra λ = 585 W/mK. a) r = 0 mm r = 30 mm δ = mm; b) r = 0 mm r = 60 mm δ = mm; c) r = 0 mm r = 60 mm δ = mm. Odpowidzi: a) η = 96; b) η = 389; c) η = 54. Zadani * Dana jst rura obrowana. Współczynnik przjmowania cipła od strony wwnętrznj α = 650 W/m K a od strony zwnętrznj α = 0 W/m K. Współczynnik przwodznia cipła matriału rury i bra λ = 53 W/mK. Moduł M = 3 mm. Grubo bra δ = mm. Śrdnic rury d z /d w = 6/4 mm. Śrdnica bra D = 30 mm. Tmpratura wody wwnątrz rury t f = 90º. Tmpratura powitrza na zwnątrz rury t f = 0º. t f t t t f Oblicz liniową gęsto struminia prznikającgo cipła q l oraz tmpratury na powirzchni rury t i t. Odpowidzi: m = 80 m ; α * = 3955 W/m K; = 455 W/m K; k = 5798 W/mK; q l = 4059 W/m; t = 7580º; t = 7563º. d w d z D Litratura. Boszko M.: Wymiana cipła. Politchnika Warszawska. Skrypt do wykładów. 004. (http://ap.pw.plock.pl/boszko). Knr R.: Vorlsung Wärm- und Stoffübrtragung Rhinisch-Wstfälisch Tchnisch Hochschul Aachn. 004. (http://www.wuk.rwth-aachn.d/d/html/download/skript.html) 3. Kostowski E. t al.: Zbiór zadań z przpływu cipła. Politchnika Śląska. Gliwic 978. 4. Linhard J. H. IV Linhard J. H. V: A Hat Transfr Txtbook. Third Edition. Phlogiston Prss ambridg Massachustts U.S.A. (http://wb.mit.du/linhard/www/ahtt.html) 5. Schmidt Th. E.: Di Wärmlistung von bripptn Obrflächn Abb. ds Dutschn Kälttchnischn Vrins 4/950. 6. Wigand B. von Wolfrsdorf J.: Wärmübrtragung. Manuskript zur Vorlsung. Univrsität Stuttgart. 00. 7. Wrszko D.: Wybran zagadninia z tchniki ciplnj. Oficyna Wydawnicza Politchniki Wrocławskij. 999. 8. Wiśniwski S. Wiśniwski T. S.: Wymiana cipła. WNT. Warszawa 000. 9. Zllr M.: Wärm- und Stoffübrtragung. Übungsaufgabn und Lösungn Rhinisch-Wstfälisch Tchnisch Hochschul Aachn. 00. (http://www.wuk.rwth-aachn.d/d/html/download/skript.html) Strona
Michał Strzszwski: Matriały do zajęć z wymiany cipła Załącznik. Zmodyfikowan funkcj Bssla x I o (x) I (x) K o (x) K (x) x I o (x) I (x) K o (x) K (x) 0 0000 0000 50 740 4336 369 0 3 40446 0 3 005 050 47 98538 5 9789 6680 33083 0 3 369 0 3 000 005 757 47760 5 3584 954 9657 0 3 3393 0 3 3 06 57 375 30560 53 35648 3080 659 0 3 8999 0 3 4 0404 040 45 844 54 39009 358 3846 0 3 5966 0 3 5 0635 579 944 0 6564 55 4695 38588 387 0 3 356 0 3 6 090 337 7775 0 308 56 46738 438 985 0 3 083 0 3 7 63 379 6605 0 0503 57 573 46436 7 0 3 8665 0 3 8 665 439 56535 0 8678 0 58 56038 5946 5444 0 3 676 0 3 9 30 497 48673 0 7653 0 59 6377 55900 3860 0 3 499 0 3 0 66 565 40 0 609 0 60 6734 634 440 0 3 3439 0 3 36 6375 36560 0 50976 0 6 73663 6739 67 0 3 050 0 3 3937 747 385 0 43459 0 6 878 73886 005 0 3 0805 0 3 3 4693 7973 785 0 3755 0 63 8846 800 9004 0 4 969 0 4 4 5534 886 4366 0 3084 0 64 9696 8906 8083 0 4 8693 0 4 5 6467 987 38 0 7739 0 65 069 97735 7593 0 4 77989 0 4 6 7500 0848 8795 0 4063 0 66 654 0730 650 0 4 69978 0 4 7 8640 963 6550 0 0936 0 67 779 78 58570 0 4 6798 0 4 8 9896 37 4593 0 86 0 68 44 938 568 0 4 5636 0 4 9 77 448 885 0 5966 0 69 5370 408 4775 0 4 5059 0 4 0 796 5906 389 0 3987 0 70 6859 5604 4480 0 4 4548 0 4 4463 7455 0078 0 75 0 7 8495 738 3874 0 4 40779 0 4 69 94 8969 0 0790 0 7 9 885 34308 0 4 3667 0 4 3 896 0978 7940 0 9498 0 73 66 0679 30836 0 4 3884 0 4 4 30493 98 707 0 8375 0 74 4434 77 778 0 4 9535 0 4 5 3898 567 6348 0 7389 0 75 686 4958 498 0 4 6530 0 4 6 35533 7554 55398 0 6584 0 76 9433 74 40 0 4 3833 0 4 7 3847 306 4955 0 57738 0 77 3309 33 04 0 4 4 0 4 8 4573 330 4380 0 53 0 78 35468 330 8 0 4 939 0 4 9 4507 366 39006 0 4586 0 79 3894 36385 687 0 4 788 0 4 30 48808 39534 34740 0 4056 0 80 4756 39987 4647 0 4 5537 0 4 3 5945 436 30955 0 35634 0 8 46950 43948 373 0 4 3964 0 4 3 5747 47343 7595 0 3643 0 8 5559 48305 849 0 4 55 0 4 33 646 580 46 0 87 0 83 5666 5396 0658 0 4 83 0 4 34 67848 5670 958 0 4999 0 84 694 58366 95880 0 5 043 0 4 35 7378 6058 9599 0 39 0 85 6836 646 8658 0 5 997 0 5 36 8077 6797 7500 0 9795 0 86 7546 70538 77606 0 5 8000 0 5 37 87386 74357 563 0 768 0 87 8445 7755 6987 0 5 73736 0 5 38 9569 8404 3966 0 5706 0 88 90580 8566 683 0 5 66309 0 5 39 369 898 48 0 3999 0 89 9954 93754 56540 0 5 59635 0 5 40 30 97595 60 0 483 0 90 0936 039 5088 0 5 53637 0 5 4 34 688 99800 0 3 36 0 9 7 336 4579 0 5 4845 0 5 4 344 706 8975 0 3 9938 0 3 9 37 467 44 0 5 43399 0 5 43 4668 8 79880 0 3 887 0 3 93 454 370 37096 0 5 3904 0 5 44 600 4046 749 0 3 7933 0 3 94 5953 5079 3339 0 5 354 0 5 45 748 5389 63999 0 3 7078 0 3 95 7535 6585 30058 0 5 360 0 5 46 9093 6863 57304 0 3 6350 0 3 96 975 84 7059 0 5 8435 0 5 47 858 8479 53 0 3 56538 0 3 97 89 0065 4360 0 5 5587 0 5 48 794 53 4597 0 3 5055 0 3 98 394 07 93 0 5 305 0 5 49 495 99 489 0 3 45 0 3 99 560 480 9747 0 5 07 0 5 50 740 4336 369 0 3 40446 0 3 0 857 670 7780 0 5 8649 0 5 Strona 3