POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA. Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji

Transkrypt

1 POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA Instytut Maszyn Cieplnych Optymalizacja Procesów Cieplnych Ćwiczenie nr 3 Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji Częstochowa 2002

2 Wstęp. Ze względu na szczególną uwagę skierowaną obecnie na ekonomikę procesów technicznych, zagadnienia optymalizacji w technice cieplnej znajdują coraz szersze zastosowanie a sama analiza optymalizacyjna jest nieodzownym elementem każdego procesu projektowego. Metody optymalizacyjne znajdują ponadto zastosowanie do analizy jakościowej urządzeń i systemów pracujących w przemyśle od wielu lat, co do których istnieje podejrzenie, iż możliwe jest dokonanie poprawy sprawności tych urządzeń oraz ich ekonomiczności. Podstawowym warunkiem bez którego nie da się prowadzić analizy optymalizacyjnej jest dysponowanie matematycznym modelem - opisem analizowanego urządzenia czy procesu. Dla silnie rozbudowanych i skomplikowanych układów często nie jest możliwe uzyskanie analitycznego modelu matematycznego, bez wprowadzania daleko idących uproszczeń badanego systemu. Postęp technik komputerowych pozwala jednak na zastosowanie innych metod poszukiwania - formułowania modeli nawet złożonych układów i prowadzenie ich analizy optymalizacyjnej. 1 Cel ćwiczenia. Celem niniejszego ćwiczenia jest numeryczne wyznaczenie ekonomicznej średnicy rurociągu do przesyłania gorącej cieczy oraz optymalnej grubości izolacji rurociągu, z zastosowaniem metody gradientu prostego. Uzyskanie postawionego celu wymaga sformułowania matematycznego opisu procesu - funkcji kryterialnej oraz opracowania numerycznych procedur reprezentujących algorytm gradientu prostego i zastosowanie ich do sformułowanej funkcji kryterialnej. 2 Treść zadania. Wyznaczyć ekonomiczną średnicę oraz grubość izolacji rurociągu do przesyłania gorącej cieczy w ilości W [kg/s] o gęstości ρ [kg/m 3 ] i lepkości µ [kg/m s]. Rurociąg pracował będzie w ruchu ciągłym przez τ lat. Cena jednego metra rurociągu (wraz z armaturą, montażem i konstrukcją) zależy od zarówno od średnicy D rurociągu jak również grubości izolacji i wynosi: c r = A (D+2δ+2 ) n gdzie A i n są danymi wielkościami stałymi, natomiast δ jest grubością ścianki rurociągu. Zakłada się, że roczny koszt remontów i utrzymania rurociągu stanowi b% jego ceny. Dana jest cena c e [zł/j] energii elektrycznej zużytej do napędu pompy oraz sprawność η zespołu pompa - silnik. Obliczenia przeprowadzić dla rurociągu o długości L [m] i czasu T [lat]. 1

3 3 Sformułowanie funkcji kryterialnej. W celu znalezienia optymalnej średnicy oraz grubości izolacji rurociągu należy sformułować funkcję kryterialną, której jedynymi niewiadomymi będą poszukiwane przez nas parametry. Należy zatem sformułować zależność całkowitych kosztów sumarycznych K w funkcji poszukiwanej średnicy rurociągu D oraz grubości jego izolacji. Całkowite koszty przedstawiają się zatem następująco: K = K i + K e + K iz + K en (1) K i - koszty instalacji rurociągu, związana z zakupem armatury, montażem i konstrukcją rurociągu, K e - koszty eksploatacji rurociągu, związany z kosztami energii potrzebnej do napędu silnika pompy tłoczącej ciecz, K iz - koszt izolacji rurociągu, związany z zakupem materiału izolacyjnego K en - koszt strat energii cieplnej tłoczonego czynnika 3.1 Koszt instalacji rurociągu. Na podstawie danych przedstawionych w treści zadania, koszty inwestycyjne można wyrazić zależnością: ( ) 1 K i = + (0.01 b) A (D+2δ+2 ) n [zł/m] (2) τ τ - trwałość rurociągu, b, A, n - współczynniki, D - poszukiwana wewnętrzna średnica rurociągu, - poszukiwana grubość izolacji rurociągu, 2

4 3.2 Koszt eksploatacji rurociągu. Kolejnym składnikiem kosztów całkowitych K są koszty eksploatacyjne K e zwiazane z koniecznością tłoczenia czynnika w rurociągu a zatem koniecznością zakupu energii elektrycznej potrzebnej do napędu silnika pompy. Koszty te można zatem wyrazić zależnością: c e - cena energii elektrycznej, T - okres bilansowy, N - moc silnika pompy, L - długość rurociągu, K e = c e T N L [zł/m] (3) W zależności tej nie znana jest moc silnika N. Wielkość ta zależy m.in. od własności fizycznych transportowanego płynu, od rodzaju ruchu jakim się porusza a także od stanu (chropowatości) powierzchni wewnętrznej rurociągu. Wielkość ta wyznaczyć można z zależności: N = P W η ρ [W ] (4) P - spadek ciśnienia płynu na długości 1 m rurociągu, W - wydatek masowy płynu, η - sprawność układu pompa - silnik, ρ - gęstość czynnika, Nieznany w równaniu (4) spadek ciśnienia P płynu można wyznaczyć ze wzoru Darcy- Weisbacha w postaci: P = λ L D U 2 2 ρ [Pa] (5) λ- współczynnik strat przepływu, U - średnia prędkość liniowa przepływu, 3

5 przy czym dla przewodów o przekroju kołowym jest: U = 4 W π ρ L 2 [m/s] (6) D Niewiadomą wielkością w równaniu (5) jest ponadto współczynnik strat przepływu λ, który zależny jest od liczby Reynolds a Re: przy czym liczba Reynolds a określona jest zależnością λ = f(re) (7) Re = D U ρ = 4 W L (8) µ π µ D i jest wielkością charakteryzującą ruch tłoczonego czynnika. Wynika stąd bezpośrednio, że współczynnik strat λ jest zależny od poszukiwanej wartości średnicy D rurociągu. Należy tutaj zwrócić szczególną uwagę na fakt, iż zależność współczynnika λ od liczby Reynolds a jest różna dla różnych wartości liczby Re. Z tego stwierdzenia wynika zatem konieczność założenia charakteru przepływu i przyjęcia odpowiedniej postaci zależności (7) Zakładając, że przepływ w rurociągu ma charakter turbulentny można przyjąć zależność współczynnika λ od liczby Reynolds a w postaci: λ = Re 0.25 (9) co pozwala ostatecznie zapisać równanie (3) z uwzględnieniem zależności (4) (6) oraz (8) i (9) w postaci: 3.3 Koszty izolacji. K e = 8 8, 76 c e T W 3 π 2 ρ 2 η ( ) 0.25 (10) D 5 4 W π µ D Koszty te związane są jedynie z wydatkami ponoszonymi na zakup materiału izolacyjnego, zatem odniesione do jednego metra długości rurociągu można opisać zależnością: K iz = M F L L 1 τ = M 1 τ π ] [(D + 2δ + 2 ) 2 (D + 2δ) 2 4 F - pole przekroju warstwy izolacyjnej, M - cena 1 m 3 materiału izolacyjnego [zł/m 3 ], - poszukiwana grubość warstwy izolacyjnej, (11) 4

6 3.4 Koszty strat energii. Efektem różnicy temperatur pomiędzy otoczeniem i czynnikiem płynącym w rurociągu jest wymiana ciepła pomiędzy nimi, która powoduje powstawanie strat energii cieplnej podczas transportu czynnika w rurociągu. Koszt traconej energii cieplnej zależy od ilości oddawanego do otoczenia ciepła i jej ceny. Zatem koszt strat energii K en można wyrazić zależnością: K en = d e Q [zł/m] (12) d e - cena energii cieplnej Powstaje jednak pytanie, w jaki sposób wyznaczyć strumień ciepła przenikający przez ścianę rurociągu oraz izolację. Wiadomo, że zależy on od różnicy temperatur pomiędzy ośrodkami a także od rodzaju materiału przez który następuje przewodzenie ciepła. W ogólnym przypadku, dla przewodów o przekroju kołowym, strumień ciepła opisany jest związkiem: Q - strumień przekazywanego ciepła, Q - ciepło, τ - przyrost jednostkowy czasu, Q = Q τ = k π (t w t z ) [W/m] (13) t w - temperatura czynnika cieplejszego (wewnątrz rurociągu), t z - temperatura czynnika chłodniejszego (otoczenia), k - współczynnik przenikania ciepła, Proces przenikania ciepła, a zatem i postać współczynnika przenikania ciepła zależy od ilości przegród przez które następuje wymiana ciepła. Dla prostego przypadku z jedną przegrodą, przenikanie ciepła składa się z wnikania ciepła na styku czynnika cieplejszego i przegrody, przewodzenia ciepła w przegrodzie i wnikania ciepła na styku przegrody i czynnika chłodniejszego. W sytuacji bardziej złożonej, w której mamy do czynienia z większą liczbą przegród o różnych właściwościach fizycznych mamy równierz do czynienia ze zjawiskiem wnikania ciepła na styku sąsiadujących przegród. Pomijając jednak dla uproszczenia zjawiska zachodzące na styku przegród, w naszym przypadku materiału rury oraz izolacji, można zapisać współczynnik przenikania ciepła k w następującej postaci: 5

7 1 k = 1 i=n ln(d zi /d wi ) (14) α w d w1 2λ i=1 i α z d zn α w - współczynnik wnikania ciepła (czynnik cieplejszy ścianka rury), α z - współczynnik wnikania ciepła (izolacja powietrze), λ i - współczynnik przewodzenia ciepła i-tej warstwy, d wi - średnica wewnętrzna i-tej warstwy, d zi - średnica zewnętrzna i-tej warstwy, N - liczba warstw przegrody, 3.5 Koszty całkowite. Przedstawione powyżej związki pozwalają na zapisanie funkcji kryterialnej opisującej zależnośc całkowitych kosztów tylko od poszukiwanych wielkości średnicy rurociągu D oraz grubości izolacji. Zależność ta przedstawia się następująco: K = f(d, ) = = ( 1 + (0.01 b)) A (D+2δ+2 ) n c e T W 3 τ π 2 ρ 2 η [ (D + 2δ + 2 ) 2 (D + 2δ) 2] M 1 + π 4 + [ ] [ π (t w t z ) T s d e / α w D 2λ s ln ( D+2δ D ( D 5 4 W π µd ) + 1 2λ iz ln ( D+2δ+2 D+2δ ) (15) τ ) ] + 1 α z (D+2δ+2 ) Powyższe wyrażenie stanowi funkcję kryterialną, dla której - w celu wyznaczenia optymalnych wartości średnicy rurociągu i grubości izolacji - poszukuje się minimum bezwarunkowego, tzn.: min(k = { D = D opt K i ) (16) = opt 6

8 4 Metoda rozwiązania. Sformułowana w punkcie 3 funkcja kryterialna (15) umożliwia zastosowanie algorytmów optymalizacyjnych, które dla prostych funkcji kryterialnych nie wymagają stosowania narzędzi komputerowych. Algorytmy te dają się jednak zapisać w postaci kodu numerycznego przez co pozwalają uzyskiwać rozwiązania znacznie szybciej. Do tego typu funkcji kryterialnej (15) można np. zastosować metodę Gradientu prostego, która ze względu na swoją prostotę bardzo łatwo daje się zapisać w postaci kodu numerycznego a jednocześnie pozwala szybko uzyskać rozwiązanie. Metoda Gradientu prostego wykorzystuje kierunek K poszukiwania minimum, którym jest kierunek ujemnego gradientu funkcji S K = G (17) natomiast w przypadku poszukiwania maksimum obowiązuje zasada K = G (18) przy czym stały jest krok L z jakim poruszamy się w kierunku K. Rysunek 1: Zasada metody gradientu prostego. Algorytm tej metody można przedstawić w postaci kolejnych kroków: 1. Przyjąć punkt początkowy Y i oraz długość kroku l Y i = D i i (19) 2. Wyznaczyć wartość gradientu funkcji kryterialnej S w punkcie Y i 7

9 G i = S Y (20) Yi G i = G id G i S = Y Yi S D S (D i, i ) 3. Wyznaczyć wartość kierunku poszukiwań K i min(s) = K i = G i lub max(s) = K i = G i (21) 4. Wyznaczyć nową wartość Y i+1 Y i+1 = Y i + l K i (22) 5. Sprawdzić czy: S(Y i+1 ) S(Y i ) < ɛ (23) Algorytm powtarza się dopóki warunek (23) nie jest spełniony, przyjmując w kolejnej iteracji punkt Y i+1 jako punkt początkowy. 5 Różniczkowanie numeryczne. W celu numerycznego wyznaczenia gradientu G funkcji kryterialnej S w punkcie Y i skorzystać można z definicji pochodnej tzn. ilorazu różnicowego. Dla funkcji dwóch zmiennych zależność opisująca pochodną funkcji S w punkcie Y i = D i i przedstawia się następująco: S(D, ) = S(D i + h, i ) S(D i, i ) D h S(D, ) (Di, i ) (Di, i ) gdzie h stanowi krok numerycznego całkowania = S(D i, i + h) S(D i, i ) h (24) 8

10 6 Dane do zadania. τ = 10 lat - trwałość rurociągu n = współczynnik A = współczynnik b = 5 % - współczynnik d e = 36, [zł/j] - cena energii cieplnej T = 1 rok - okres bilansowy L = 1 m - długość rurociągu T s = T [s] - okres bilansowy W = 1000 [kg/s] - wydatek masowy przepływu ρ = 958 [kg/m 3 ] - gęstość tłoczonego płynu η = sprawność układu pompa - silnik µ = [P a s] - dynamiczny współczynnik lepkości płynu δ = [m] - grubość ścianki rurociągu M = 250 [zł/m 3 ] - cena materiału izolacyjnego t w = 100 [ C] - temperatura tłoczonego płynu t z = 10 [ C] - temperatura otoczenia c e = 0.4 [zł/kw h] - cena energii elektrycznej α w = 928 [W/m 2 K] - współczynnik wnikania ciepła (płyn rurociąg) α z = 4.6 [W/m 2 K] - współczynnik wnikania ciepła (izolacja otoczenie) λ s = 52 [W/mK] - współczynnik przewodzenia ciepła w stali λ iz = [W/mK] - współczynnik przewodzenia ciepła w izolacji 9