Wykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno

Transkrypt

1 ykład emperatura termodynamiczna 6.4 Nierówność Clausiusa 6.5 Makroskopowa definicja entropii oraz zasada wzrostu entropii 6.6 Entropia dla czystej substancji 6.8 Cykl Carnota 6.7 Entropia dla gazu doskonałego 6.9 Energia dostępna i niedostępna 6.0 II zasada termodynamiki dla układu otwartego Reinhard Kulessa

2 Załóżmy, że mamy do dyspozycji dwie dwie odwracalne maszyny cieplne pracujące cyklicznie: A B A B A B ydajność cieplna η t cyklicznej maszyny cieplnej jest zdefiniowana następująco: Reinhard Kulessa

3 energia użyteczna uzyskana praca η t = energia włożona = zużyte ciepło. (6.) rozważanym przypadku będzie to: η (6.3) t = Cykle A i B mogą być skonstruowane różnie. Załóżmy, że wydajność cyklu A jest większa od wydajności cyklu B, oraz że A = B tedy A > B i A < B. Ponieważ obydwie maszyny są odwracalne, maszynę B można odwrócić i połączyć z maszyną A. Uzyskujemy wtedy sytuację jaka jest przedstawiona na następnym rysunku. Reinhard Kulessa 3

4 A B A + B = A - B A B B A idzimy, że otrzymalibyśmy cykl, w którym A - B = B A, jednak narusza sformułowanie Kelvina-Plancka II zasady termodynamiki. Czyli założenie, że η A > η B było niesłuszne. Reinhard Kulessa 4

5 Można więc stwierdzić, że: wszystkie odwracalne maszyny cieplne pracujące pomiędzy tymi samymi temperaturami, mają tą samą wydajność. η t = = = (6.4) Możemy również wyciągnąć wniosek, że / jest funkcją tych temperatur. Mielibyśmy więc zależność: Można pokazać, że, Gdzie F jest pewną nową funkcją. = f (, ) (6.5) F ( ) = (6.6) F ( ) Reinhard Kulessa 5

6 Zależność (6.6) może być spełniona przez wiele funkcji F. Kelvin zaproponował, aby przyjąć najprostszą postać tej funkcji, czyli = (6.7) i równocześnie uznać to równanie za definicję bezwzględnej temperatury termodynamicznej. ydajność odwracalnej maszyny cieplnej pracującej pomiędzy dwoma zbiornikami ciepła o temperaturach N niższej i wyższej, jest dana przez wyrażenie; η t = N (6.8) Reinhard Kulessa 6

7 Maszyna odwracalna Maszyna cykliczna 6.4 Nierówność Clausiusa Z d Z Z C d d Z Rozważmy urządzenie, które pobiera ilość ciepła d Z ze zbiornika o stałej temperaturze Z i transportuje to ciepło do odwracalnej maszyny Z produkującej pracę w ilości d Z. d C Ciepło odrzucone przez maszynę Z zasila cykliczną maszynę C produkującą pracę w ilości d C. Rozważając obydwie maszyny jako jeden system, całkowita praca wykonana jest równa: d =d Z + d C oparciu o wydajność odwracalnego silnika Z, możemy napisać: Reinhard Kulessa 7

8 czyli d' Z d' C = d' Z = d' ( Z Z ) = d' ( Z d' = d' ( + ) = ) d' Równanie to dla pełnego cyklu przyjmuje postać Reinhard Kulessa 8 Z (6.9) d ' d ' = Z. (6.0) Urządzenie pokazane na rysunku nie może wykonać pracy, gdyż proces jest sprzeczny ze sformułowaniem Kelvina - Plancka II zasady termodynamiki. Urządzenie to może pracować tylko z cyklicznym wkładem pracy i cyklicznym przekazywaniem ciepła do zbiornika.

9 Matematycznie oznacza to d ' 0 (6.) gdzie d jest wynikową pracą. Można również napisać, że d ' (6.) 0 a ostatnia nierówność jest nazywana nierównością Clausiusa. Do tej pory nie braliśmy pod uwagę faktu, że silnik C może być odwracalny. Załóżmy, że tak jest, oraz, że d ' < 0 Jeżeli C jest silnikiem odwracalnym, to otrzymujemy, Reinhard Kulessa 9

10 d' > 0 Jest to niemożliwe, gdyż stworzylibyśmy perpetuum mobile II rodzaju. ynika stąd, że dla procesów odwracalnych w równaniu (6.) musi obowiązywać równość, czyli d' ( ) odwr = 0 (6.3) 6.5 Makroskopowa definicja entropii oraz zasada wzrostu entropii równaniu (6.3) wyrażenie pod całką musi być różniczką zupełną pewnej funkcji stanu. Możemy więc napisać d ' ds = ( ) (6.4) odwr Reinhard Kulessa 0

11 Funkcję S w ostatnim równaniu nazywamy entropią. Równanie to przedstawia makroskopową definicję entropii. Entropia jest zdefiniowana tylko dla procesów odwracalnych, a zmianę wartości entropii można policzyć z zależności; d' (6.5) S = S S = ( ) odwr Rozważmy dwa dowolne punkty stanu naszego układu. Proces Nieodwracalny Cykl=N+O Proces Odwracalny Zgodnie z równaniem (6.) d' d' < 0 Reinhard Kulessa d' = N + Użyliśmy znaku nierówności, gdyż cały cykl jest nieodwracalny. O

12 Reinhard Kulessa iedząc, że ' S S d O = Możemy poprzednie równanie napisać jako; > < + ' lub 0 ' d S S S S d N N ogólnym przypadku możemy napisać; ' d S S (6.6) Znak nierówności jest ważny dla procesów nieodwracalnych, a znak równości dla odwracalnych

13 Dla procesu adiabatycznego d = 0, czyli S S 0. Jeżeli będzie to proces adiabatyczny odwracalny, zmiana entropii będzie równa zero. Proces ten nazywamy procesem izentropowym. Można powiedzieć, że żaden proces rzeczywisty nie jest odwracalny. Gdy proces jest nieodwracalny i adiabatyczny, entropia musi wzrastać. Dla układu izolowanego, 0. (6.7) S izol oparciu o równanie (6.4) możemy znaleźć, że dla odwracalnego procesu izotermicznego odwr izoterm = S (6.8) układzie współrzędnych i S możemy przedstawić adiabatyczny proces odwracalny i nieodwracalny.. Reinhard Kulessa 3

14 Pr. odwracalny adiab. Pr. nieodwr. adiab. Im większy jest wzrost entropii, tym bardziej proces jest nieodwracalny. Powodem mniejszej lub większej nieodwracalności procesów są wszelkiego rodzaju tarcia, tak samo jak mieszanie warzechą w zupie. S S nieodwr.- adiab. 6.6 Entropia dla czystej substancji Pokazaliśmy, że entropia jest własnością układu termodynamicznego i to własnością ekstensywną. Jest taką samą własnością jak energia całkowita, wewnętrzna i entalpia. Można ją liczyć z entropii właściwej. Reinhard Kulessa 4

15 S = m s (6.9) Dla czystych substancji entropia może być stablicowana tak jak entalpia, objętość właściwa, czy inna własność termodynamiczna. Podaje się dwojakiego rodzaju wykresy, zależność temperatury od entropii, czy zależność entalpii od entropii. a ostatnia zależność nazywa się wykresem Moliera. 6.7 Entropia dla gazu doskonałego Opierając się na już wyprowadzonych zależnościach, du dh = = c c V p d d Oraz faktu, że dla procesu odwracalnego d =ds i przyjmując, że gaz idealny jest cieczą ściśliwą możemy napisać: Reinhard Kulessa 5

16 czyli d ' = du + p dv = ds du p ds = + dv. Korzystając z równania gazu doskonałego, mamy p R = v czyli d ds cv + dv R v =. Dla c V = const otrzymujemy na zmianę entropii pomiędzy dwoma stanami gazu idealnego wyrażenie s V + ln s = c ln R (6.0) v Reinhard Kulessa 6 v

17 Równanie to można również napisać inaczej w oparciu o zależności d ' = dh vdp = ds d dp, ds = c p R p jako s p ln s = c ln R (6.) p p Zarówno w równaniu (6.0) i (6.) zmiana entropii jest liczona między dwoma stanami układu termodynamicznego (p,v, ) i (p,v, ). Ponieważ entropia jest funkcja stanu, jej zmiana nie powinna zależeć od procesu. Reinhard Kulessa 7

18 6.8 Cykl Carnota Stwierdziliśmy do tej pory, że wydajności wszystkich cyklów odwracalnych pracujących pomiędzy tymi samymi temperaturami są takie same i dane równaniem (6.8). Przykładem takiego cyklu jest cykl Carnota. p A =const B D N =const N C N N V S S Reinhard Kulessa 8

19 . Odwracalna przemiana izotermiczna z pobraniem ciepła. Odwracalna przemiana adiabatyczna z pracą wykonana przez układ 3. Odwracalna przemiana izotermiczna z oddaniem ciepła 4. Odwracalna przemiana adiabatyczna z praca wykonana na układzie oparciu o diagram -S znajdujemy, = S N = Praca uzyskana jest równa: netto = N =( N S Reinhard Kulessa 9 N ) S Na diagramie -S praca wykonana jest równa powierzchni prostokąta.

20 Zgodnie z podaną we wzorze (6.4) definicją wydajności maszyny cieplnej, otrzymujemy na wydajność cyklu Carnota wartość η t netto N = = ( ) S S = N (6.) Możemy podać ogólne stwierdzenie, że dla każdego cyklu Odwracalnego wypadkowa praca jest równa powierzchni zakreślonej na diagramie -S. 6.9 Energia dostępna i niedostępna Otrzymaliśmy wyrażenie na wydajność cyklicznej maszyny cieplnej operującej w oparciu o dwa zbiorniki ciepła o różnych temperaturach. ydajność ta zależy od najniższej dostępnej temperatury 0, która normalnie jest średnią temperaturą atmosferyczną. Reinhard Kulessa 0

21 Praca jaką możemy uzyskać pobierając ciepło d ze zbiornika o temperaturze jest równa: 0 d ' = ( ) d ' (6.3) Energią dostępną dla danego ukłądu nazywamy część ciepła dodaną do układu, która może zostać zamieniona w pracę przez szereg odwracalnych maszyn pracujących pomiędzy temperaturą układu a 0. max 0 = ( ) d' (6.4) Energia niedostępna jest równa różnicy pomiędzy całkowitym ciepłem dodanym a uzyskaną pracą. Dla przejścia ze stanu do zakładając, że ciepło jest oddane w procesie odwracalnej maszyny, zachodzi; Reinhard Kulessa

22 max max 0 = ( ) d' odwr = = 0 ( S S ) 0 ds Praca niedostępna wynosi więc: nied = ( S ) (6.5) 0 S 6.0 II zasada termodynamiki dla układu otwartego Omawialiśmy I zasadę termodynamiki dla układów otwartych, oraz poznaliśmy metody obliczania bilansów energii i ciepła. Zajmijmy się analizą układu otwartego zawartego w pewnej objętości kontrolnej z punktu widzenia II zasady termodynamiki. Reinhard Kulessa

23 d' dt σ Objętość kontrolna d' dt zewn wlot-input wylot-exit m i e i h i s i m e e e h e s e Ponieważ entropia jest funkcją stanu może być transportowana tak jak entalpia czy energia wewnętrzna.ciepło i praca są dodawane do granicy objętości kontrolnej. Reinhard Kulessa 3

24 Entropia może wnikać do objętości kontrolnej przez transport masy lub ciepła. Entropia wpływająca z transferem ciepła może przenikać do objętości kontrolnej w różnych miejscach o różnej temperaturze i możemy ją zapisać jako: ds dt = pow i d ' dt i (6.6) i odpowiada temperaturze powierzchni dla ciepła i. Równocześnie wzrost entropii może następować na wskutek pewnych procesów nieodwracalnych. Może istnieć wiele strumieni wpływających i wypływających do objętości kontrolnej. Dla krótkiego przedziału czasu produkcja entropii będzie wynosiła; ds dt wytw = out mese in misi pow i d' dt i + ds dt σ (6.7) Reinhard Kulessa 4

25 Zgodnie z II zasadą termodynamiki ds. 0 dt Pamiętamy że znak = odnosi się dla procesów odwracalnych, a znak > dla procesów nieodwracalnych. Dla stałego strumienia masy i stacjonarnego stanu naszego układu zachodzi ds, wtedy = 0 oraz m i = m e dt out mese σ in misi σ i wytw d' dt (6.8) Dla procesu adiabatycznego i stałego strumienia masy s s (6.9) e i. Reinhard Kulessa 5