5. Dynaika uchu postępowego, uchu punktu ateialnego po okęgu i uchu obotowego były sztywnej Wybó i opacowanie zadań 5..-5..0; 5..-5..6 oaz 5.3.-5.3.9 yszad Signeski i Małgozata Obaowska. Zadania 5..-5..4 oaz 5.3.0 opacował Kystyn Kozłowski. 5.. Dynaika uchu postępowego 5... Balon opada ze stałą pędkością. Jaką asę balastu należy wyzucić, aby balon zaczął wznosić się z tą saą pędkością? Masa balonu (z balaste) wynosi 300 kg, a siła wypou 900N. 5... Małpka wspina się po pionowej lianie z pzyspieszenie 0,5 /s. Oblicz siłę napinającą lianę, jeżeli asa ałpki wynosi 5 kg. Masę liany zaniedbać. 5..3. Winda oże pouszać się w góę i w dół z pzyspieszenie o takiej saej watości. W windzie tej na wadze spężynowej stoi studentka. óżnica wskazań wagi pzy uchu w góę i w dół wynosi 50 N. Jakie jest pzyspieszenie windy, jeżeli cięża studentki wynosi 500 N? 5..4. W wagonie pouszający się pozioo z pewny pzyspieszenie wisi na nici ciężaek o asie 00 g. Nić odchylona jest od pionu o kąt 5 0. Oblicz pzyspieszenie wagonu i siłę napinającą nić. 5..5. Dźwig podnosi cięża Q zawieszony na linie, któej dopuszczalne napężenie wynosi F ax. Znajdź najkótszy czas, w któy ożna podnieść ten początkowo spoczywający cięża na wysokość h. Opoy ośodka i cięża liny poinąć. 5..6. Sanki zsunęły się za zbocza o nachyleniu 30 0 i długości 0, po czy do chwili zatzyania pzebyły odległość 00 po toze pozioy. Współczynnik tacia na całej tasie jest jednakowy. Wyznacz jego watość. 5..7. Oblicz wysokość, na jaką oże wjechać saochód, któy ając początkową pędkość 7 k/h, pousza się w góę z wyłączony silnikie. Nachylenie zbocza wynosi 30 0, a efektywny współczynnik tacia 0,. 5..8. Dwa klocki o asach i związane nieważką i nieozciągliwą nicią leżą na pozioy stole. Do piewszego z nich pzyłożono siłę F pod kąte α (patz ys. 5..8.). Współczynniki tacia iędzy klockai, a stołe wynoszą odpowiednio f i f. Oblicz pzyspieszenie klocków i siłę napinającą nić. F α f f ys. 5..8.
5..9. Dwa ciężaki o asach i połączono nieważką i nieozciągliwą nicią pzezuconą pzez bloczek znajdujący się na szczycie ówni (ys. 5..9.). Współczynnik tacia iędzy ciężakie i ównią wynosi f, a kąt nachylenia ówni α. Masę bloczka ożna poinąć. Wyznacz siłę napięcia nici i α pzyspieszenie ciężaków, pzyjując, że ciężaek pousza się w dół. ys. 5..9. 5..0 Klocek o asie = 3 kg położono na wózek o asie M = 5 kg. Współczynnik tacia iędzy tyi ciałai wynosi f = 0,. Na klocek działa pozioa siła F = 0 N, a wózek oże pouszać się swobodnie (bez tacia) po szynach. Znajdź pzyspieszenie klocka względe wózka. 5... Takto ciągnie ze stałą pędkością v = /s pzyczepę o asie = 0 4 kg, działając siłą F = 0 3 N. Ile wynosi watość wypadkowej wszystkich sił działających na pzyczepę? 5... Ciało o ciężaze P = 30 N spada w powietzu z pzyspieszenie a = 8/s. Obliczyć siłę opou powietza. Pzyjąć g = 0 /s. 5..3. Do klocka, początkowo spoczywającego na pozioej powiezchni, pzyłożono pozioo skieowaną siłę ówną ciężaowi klocka, któa działała w ciągu czasu τ = 5s. Jak długo będzie twał uch klocka po zapzestaniu działania siły, jeżeli współczynnik tacia klocka o podłoże f = 0,? 5..4. Dany jest układ jak na ysunku, pzy czy: 3. Tacie i wpływ kążka poijay. Któe z tych ciał ożna zaienić iejscai, aby siła N napinająca nić łączącą asy i nie uległa zianie?
5.. Dynaika uchu punktu ateialnego po okęgu 5... Po wypukły oście o poieniu kzywizny = 00 jedzie saochód ze stałą pędkością v = 54 k/h. Masa saochodu wynosi = 000 kg. Oblicz siłę nacisku saochodu na ost w jego najwyższy punkcie. Jaka usiałaby być pędkość saochodu, aby stacił on kontakt z podłoże? 5... Mały ciężaek o asie = 00 g pzywiązano do nici o długości l = 50 c i wpawiono w uch obotowy po okęgu w płaszczyźnie pozioej. Nić odchyla się od pionu o kąt α = 45 0. Wyznacz pędkość kątową ciężaka, okes obiegu i siłę napięcia nici. 5..3. Kieowca saochodu jadącego z pędkością v zauważa nagle pzed sobą ścianę. Jak powinien zaeagować kieowca: zahaować, czy zakęcić, póbując uniknąć udezenia w ścianę? Współczynnik tacia kół o podłoże wynosi f. 5..4. Jaka jest pędkość satelity na obicie kołowej odległej o h od powiezchni Ziei? Stała gawitacji jest ówna G, asa Ziei wynosi M z,, a jej poień z. 5..5. Okes obiegu Księżyca wokół Ziei wynosi T = 7,3 dób zieskich, a jego śednia odległość od Ziei = 384 400 k. Oblicz asę Ziei. Stała gawitacji G = 6,67 x 0 - N /kg. 5..6. Oblicz poień obity stacjonanego satelity Ziei. Dane są: poień Ziei Z = 6370 k, pzyspieszenie na powiezchni Ziei 9,8 /s i czas twania doby zieskiej 4 godziny. 5.3. Dynaika uchu obotowego były sztywnej 5.3.. Koło zaachowe o oencie bezwładności I = 0, kg obaca się wokół pozioej osi pzechodzącej pzez jego śodek, wykonując n = 600 ob/in. Pzy haowaniu koło zatzyuje się po upływie czasu t = 0 s. Znajdź oent siły haującej i liczbę obotów do chwili zatzyania. 5.3.. Na uę o cienkich ściankach nawinięto nić, któej wolny koniec pzyocowano do sufitu. ua odkęca się z nici pod działanie własnego ciężau (ys. 5.3..). Znajdź pzyspieszenie uy i siłę napięcia nici, jeżeli asę i gubość nici ożna zaniedbać. Początkowa długość nici jest dużo większa od poienia uy. Cięża uy wynosi Q. N Q ys. 5.3..
5.3.3. Oblicz oent bezwładności olekuły, CO względe osi pzechodzącej pzez śodek asy i postopadłej do osi olekuły. Molekuła jest liniowa z atoe C znajdujący się w jej śodku. Długość wiązania C O wynosi,3 x 0-0. 5.3.4. Wykaż, że oent bezwładności układu składającego się z dwóch as i odległych o od siebie względe osi postopadłej do odcinka łączącego i i pzechodzącej pzez śodek asy układu wynosi µ. µ jest asą zedukowaną układu i wynosi µ =. Otzyany wynik zastosuj do olekuły, CO, dla któej =,3 Ǻ i do + olekuły HCl gdzie =,7 Ǻ. 5.3.5. Pzez bloczek zawieszony na pozioej osi pzezucono nieważką i nieozciągliwą nić, do końców któej pzyocowano ciężaki o asach = 0,5 kg i = 0, kg. Masa bloczka wynosi = 0,4 kg. Bloczek taktujey jako jednoodny kążek. Znajdź liniowe pzyspieszenie ciężaków. Pzyjij, że nić nie ślizga się po bloczku. 5.3.6. Z ówni pochyłej o kącie nachylenia α stacza się bez poślizgu ciało o oencie bezwładności I, asie i poieniu. Wyznacz jego pzyspieszenie liniowe, kątowe i siłę tacia. 5.3.7. Pełne, jednoodne ciała: walec i kula staczają się bez poślizgu z ówni pochyłej o kącie nachylenia α i wysokości h. Masy i poienie tych ciał są jednakowe. Któe z nich stoczy się wcześniej? 5.3.8. Kula o początkowej pędkości w uchu postępowy v 0 = 0 /s wtacza się bez poślizgu na ównię pochyłą o kącie nachylenia 45 0. Jaką dogę pzebędzie kula po ówni do chwili zatzyania się i po jaki czasie wóci do podstawy ówni? 5.3.9. Śodek asy kuli biladowej posiada początkową pędkość v 0 (ys. 5.3.9.). Poień kuli wynosi, jej asa M, a współczynnik tacia poiędzy v 0 kulą i stołe jest ówny µ. Jak daleko pzesunie się kula po stole, zani pzestanie się ślizgać? ys. 5.3.9. 5.3.0. W czasie pokazów ginastyki atystycznej ożna oglądać ćwiczenie, w któy obęcz zucona pzez zawodniczkę tocząc się początkowo z poślizgie waca ku niej i w końcowej fazie uchu toczy się już bez poślizgu. Jest to ożliwe, jeżeli w czasie zutu zawodniczka nada obęczy uch obotowy o odpowiedni kieunku (ys. 5.3.0.). Znajdź związek poiędzy początkową watością pędkości uchu postępowego v 0 i pędkości kątowej ω 0. v 0 ys. 5.3.0. 5.3.. Po idealnie gładkiej pozioej powiezchni ślizga się bez obotów walec. Pędkość liniowa śodka asy wynosi v 0, a kieunek pędkości jest postopadły do osi walca. W pewnej chwili powiezchnia pod walce staje się szostka, a współczynnik tacia posuwistego pzyjuje watość f. Po jaki czasie walec będzie się toczył bez poślizgu i jaka będzie wtedy pędkość jego śodka asy? F α ys. 5.3..
5.3.. Kołowót o asie, oencie bezwładności I 0 i poieniach zewnętzny oaz wewnętzny leży na płaszczyźnie pozioej (ys. 5.3..). Na kołowót nawinięta jest nić, do któej pzyłożono siłę F. Opisz uch kołowotu w zależności od kąta α jaki twozy nić z kieunkie pozioy. l 5.3.3. Ciężki walec o poieniu i oencie bezwładności I l 0 wiuje z pędkością kątową ω 0. W chwili t = 0 do dźwigni F haulcowej pzyłożono siłę F (ys. 5.3.3.) wskutek czego walec zatzyuje się po czasie t. aiona dźwigni ają długości l i l, a współczynnik tacia iędzy dźwignią i walce wynosi f. Oblicz watość siły F. ys. 5.3.3. 5.3.4.* Walec o asie M i poieniu oże toczyć się po pozioy stole. Na walec nawinięta jest nieważka i nieozciągliwa nić, któą pzezucono pzez nieważki bloczek. Na końcu nici zawieszono ciężaek o asie (ys. 5.3.4.). Wyznacz pzyspieszenie ciężaka i siłę tacia działającą na walec pzyjując, że oże być on pełen lub wydążony (cienkościenna ua). ys. 5.3.4. 5.3.5. Na kześle ogący obacać się swobodnie wokół osi pionowej siedzi student i tzya w wypostowanych ękach odważniki po = 5 kg każdy. Odległość każdego odważnika od osi obotu wynosi l = 80 c. Kzesło wiuje wykonując n = ob/sek. Jak zieni się szybkość wiowania studenta, jeśli zegnie on ęce tak, że odważniki będą w odległości l = 0 c od osi obotu? Moent bezwładności studenta i kzesła (całkowity) względe osi obotu wynosi I 0 = 3 kg. 5.3.6.* Belka o długości l i asie M oże swobodnie obacać się wokół pozioej osi pzechodzącej pzez jeden z jej końców. W dugi koniec belki udeza kula o asie ająca pozioą pędkość v 0 (ys. 5.3.6.). Kula gzęźnie w belce. Znajdź pędkość kątową belki tuż po udezeniu kuli. W jakie iejsce belki powinna udezyć kula, aby składowa pozioa siły eakcji osi w chwili udezenia wynosiła zeo? v 0 ys. 5.3.6.
5.3.7.* Na bzegu pozioej, okągłej platfoy o asie M i poieniu stoi student o asie. Platfoa oże obacać się bez tacia wokół pionowej osi. Jaka będzie pędkość kątowa platfoy ω, jeżeli student zacznie chodzić wzdłuż jej bzegu ze stałą względe niej pędkością v. Jaką dogę pzebędzie student względe platfoy w czasie jej jednego pełnego obotu? 5.3.8.* Saolot spotowy z jedny śigłe lecący z pędkością v = 360 k/h wykonuje zakęt o poieniu = 800. Oblicz oent sił wywieany pzez śigło na saolot, jeżeli oent bezwładności śigła wykonującego n = 400 ob/in wynosi I = 5 kg. 3 5.3.9.* Bąk o asie = 0,4 kg i oencie bezwładności I = 5 0 kg wiuje z pędkością kątową ω = 80 s - wokół osi, któa twozy kąt 30 0 względe pionu. Śodek asy bąka znajduje się w odległości l = 0 c od punktu podpacia. Oblicz watość pędkości kątowej pecesji osi bąka. 5.3.0. Dane są dwie pełne kule i B wykonane z tego saego ateiału. Masa kuli jest 8 azy większa od asy kuli B. Ile azy oent bezwładności kuli jest większy od oentu bezwładności kuli B? Moent bezwładności kuli I = 0,4.
ozwiązania: 5.. Dynaika uchu postępowego. 5... Na balon działają siły: ciężkości Q v, wypou F W i opou powietza F O. Ponieważ balon w dół i w góę pousza się ze stałą pędkością, to na podstawie I zasady dynaiki Newtona, sua tych sił, (czyli siła wypadkowa) wynosi zeo. Watość siły opou powietza F 0 zależy od pędkości pouszającego się ciała. W naszy zadaniu watości pędkości pzy opadaniu i wznoszeniu balonu są takie sae, a więc także watości sił opou są jednakowe. Q + FW + FO = 0 Jeżeli balon opada, F O F W v Q ównanie wiążące watości sił a postać: Q FW FO = 0, gdzie Q = Mg. Gdy balon wznosi się: F W Q F O v Q + FO FW = 0, Q = ( M ) g, gdzie asa wyzuconego balastu. ozwiązując te ównania otzyay: F = M W, g a po wstawieniu watości liczbowych: 900 N = 300 kg = 0 kg. 0 s
5... Małpka działa na lianę siłą F skieowaną w dół. Jest to siła napinająca lianę. Zgodnie z III zasadą dynaiki, liana działa na ałpkę siłą eakcji F o takiej saej watości, skieowaną ku góze. Dugą siłą działającą na ałpkę jest siła ciężkości Q. Wypadkowa tych dwóch sił, zgodnie z II zasadą dynaiki nadaje ałpce pzyspieszenie a : a = F + Q. Watość siły F wyznaczyy z ównania: a = F Q, gdzie Q = g, asa ałpki. Ostatecznie: F F = ( a + g) =, = 5 kg 0,5 + 0 = 5,5 N. s s F 5..3.. Na studentkę działają dwie siły: ciężkości Q = g oaz eakcji podłoża (wagi) F. Siła wypadkowa wynosi: a = Q + F. Watość siły F ówna jest sile nacisku na wagę (III zasada dynaiki), czyli wskazaniu wagi. uch w góę: a F a = F Q () Q = g Q uch w dół: F a = Q () F a Q óżnica sił eakcji, (czyli także wskazań wagi) wyznaczonych z ównań () i () wynosi: Q F = F F = a = a, g czyli:
F g = Q 50 N 0 = s 500 N = 0,5. s a 5..4.. Na ciężaek działają siły: ciężkości Q = g oaz eakcji nici F. Ich wypadkowa F nadaje ciężakowi pozioe pzyspieszenie a. Jest to zaaze pzyspieszenie wagonu. Q F α F α F = Q + F = a Q = g, F = a F a tg α = = Q g a = g tgα Q = cosα F Q g F = = cosα cosα Siła napinająca nić a taką saą watość jak siła F z jaką nić działa na ciężaek. 0,kg 0 0 Liczbowe watości: a = 0 tg 5 =,68, F s,035 N = =. 0 s s cos5 5..5.. Na ciało działają dwie siły: ciężkości Q i siła F pzyłożona pzez linę. F Q a Ciało pousza się w góę z pzyspieszenie a, czyli: a = F + Q, a = F Q, Q =, g Q F = a + Q = a + Q. g Siła napinająca linę jest ówna, co do watości, sile F i aksyalna watość pzyspieszenia a ax spełnia ównanie: Q Fax = aax + Q, g
( F Q) ax g Fax aax = = g. Q Q Pzyspieszeniu a ax odpowiada najkótszy czas t in podnoszenia ciała na wysokość h, taki że: h = a ax t in. Ostatecznie: h h tin = =. aax Fax g Q Uwaga: na wysokości h pędkość ciała wynosi 5..6.. Dogę sanek pzedstawia ysunek: v ax = a t = h a. ax in ax a s a α v s Niech a i a oznaczają pzyspieszenia na odcinkach dogi s i s, a t i t czasy pzebycia tych odcinków. v jest pędkością u dołu zbocza. Związki iędzy tyi wielkościai pzedstawiają następujące ównania kineatyczne: s = at, () v = at, () s = vt + at, (3) 0 = v + at. (4) Eliinując czas t z ównań () i () znajdujey: v = sa. (5) ównania (3) i (4) pozwalają otzyać: v s = a, (6) sa a czyli s = = s. (7) a a Dalej należy wyznaczyć pzyspieszenia a i a, któe zależą od współczynnika tacia (tacie kinetyczne). Układ sił działających na sanki na odcinkach s i s pzedstawia ysunek:
y F x y T Q y α α Q Q x v α T F Q v x Na sanki działają tzy siły: ciężkości Q, tacia kinetycznego T lub T oaz eakcji podłoża F lub F. Siły Q i x Q y są zutai wektoa Q na kieunek ównoległy i postopadły do ówni (zbocza), v oznacza pędkość ciała. Ponieważ ciało nie pousza się w kieunku postopadły do podłoża (kieunek y), to I zasada dynaiki pozwala napisać: F + Q y = 0, czyli F Qy = 0 (8) oaz + Q 0, Q 0 (9) F = F = gdzie Q = g, a Q y = Q cosα = g cosα, asa ciała. Dla kieunku ównoległego do podłoża (kieunek x) stosujey II zasadę dynaiki (uch jednostajnie zienny): Qx + T = a, co oznacza: Q x T = a, gdzie Q x = Q sinα = g sinα oaz T = a (0) T = a () Watości sił tacia T i T okeślają związki: T = f, () F T = f F. (3) Pzyspieszenie a znajdujey z ównań (8), (0) i (): a = g( sinα f cosα ). (4) Jest to wyażenie pozwalające obliczyć pzyspieszenie ciała zsuwającego się z ówni pochyłej o kącie nachylenia α, gdy współczynnik tacia wynosi f. Pzyspieszenie a wyznaczay z ównań: (9), () i (3): a = f g. (5) Znak inus oznacza, że pzyspieszenie a zwot pzeciwny do pzyjętego za dodatni (kieunek x) i uch jest jednostajnie opóźniony. Wacając do ównania (7), po skozystaniu z (4) i (5) ay: sinα f cosα s = s. f Po pzekształceniu znajdujey poszukiwany współczynnik tacia: sinα f =. (6) s + cosα s Dla α = 30 0, s = 0, s = 00 otzyujey: f = 0,046.
5..7.. Układ sił ciężkości Q, tacia T i eakcji ysunek. F, któe działają na saochód pzedstawia h Q v y F Q x T Q s x α y ównanie wektoowe, wynikające z II zasady dynaiki, a postać: a = Q + F + T. zutując wektoy na kieunki x i y otzyay ównania wiążące watości sił: a = Q T, () x 0 = Q y + F, () gdzie: Q x = Q sinα = g sinα, Q y = Q cosα = g cosα, (3) T = f F. Watość pzyspieszenia a w kieunku x wyznaczona z ównań () (3) wynosi: a = g ( sinα + f cosα ). (4) Znak inus oznacza, że wekto a a zwot pzeciwny do zwotu osi x. Saochód do chwili zatzyania się pzebędzie dogę s w czasie t, a jego pędkość zaleje od watości v 0 (na dole zbocza) do zea (na wysokości h). at s = v0 t + (5) 0 = v0 + at (6) h = s sinα (7) Z ównań (5) i (6) otzyay: v0 s =. (8) a Ostatecznie ównania (4), (7) i (8) dają: v0 sinα h =. g( sinα + f cosα ) k Dla v 0 = 7 = 0, α = 30 0, f = 0,, g = 0 /s, otzyay: h = 7,5. h s 5..8.. Na klocki działają siły, jak na ysunku.
y F a N N F F α x T T Q Q Q, Q - siły ciężkości, T, T - siły tacia, F, F - siły eakcji podłoża, N, - siły, jakii nić działa na klocki, N F - dodatkowa siła zewnętzna. Oba klocki (były sztywne) i nieozciągliwa nić pouszają się z taki say pzyspieszenie a (kieunek x). Duga zasada dynaiki w zapisie wektoowy a postać: a = F + Q + F + N + dla klocka o asie T oaz a = N + Q + F + dla klocka o asie. T zutując te wektoy na kieunki x i y otzyujey ównania: a = F cosα N T () 0 = F sinα Q + F a = N 0 = Q T + F ównania uzupełniające: Q = g, T = f F Q = g, T = f F Pzyjujey na chwilę, że nić posiada asę n. Klocki na nić działają siłai () (3) ' N i ' N. ' N a ' N n Oznacza to, że: ' ' a = N N. (4) n
Widać, że gdy n = 0 (nić nieważka) to N = ' ' N. le zgodnie z III zasadą dynaiki: ' ' N = N oaz N = N. więc dla nieważkiej nici: N = N = N. (5) ównania: (), (), (3), (4) i (5) pozwalają wyznaczyć pzyspieszenie układu: F( cosα + f sinα ) g ( f + f ) a = (6) + oaz siłę napinającą nić: F( cosα + f sinα ) + g ( f f ) N =. (7) + Powyższa analiza jest słuszna, jeżeli Q > F sinα (klocek nie odywa się od podłoża) i F ( cosα + f sinα ) g ( f + f ) (czyli a 0 ). Maksyalna watość pzyspieszenia i napięcia nici wystąpi dla kąta α, takiego, że tg α = f (aksiu wyażenia: cosα + f sinα ). Wzoy (6) i (7) ożna stosować ównież w pzypadku, gdy siła F skieowana jest w dół względe poziou. Wtedy pzyjujey α < 0. 5..9.. x N a Q Q, Q a - siły ciężkości, F N Q N, N - siły z jakii nić działa na ciężaki, x T Q T x - siła tacia, y y Q F - eakcja podłoża. α α ównania wektoowe są następujące: a = Q + N, a = N + Q + T +. F zuty tych wektoów na kieunki x i y twozą ównania: a = Q N oaz a = N Q X T () 0 = F Q. y Gdzie Q = g, Q = g, = g cosα, Q x Q sinα = g sinα, Q y = Q cosα = T = f F. Nieozciągliwość nici oznacza, że a a = a N = N = N =. Z kolei nieważkość nici i bloczka spawia, że: (patz ozwiązanie zad. 5..8.). Wykozystując powyższe związki otzyujey następujący układ ównań: a = g N, a = N g sinα f Jego ozwiązanie jest: g cosα.
a = N = ( sinα + f cosα ) g + ( + sinα + f cosα ). + g, Uwaga: jeżeli ciężaki pouszałyby się w pzeciwną stonę, watości pzyspieszenia i siły naciągu nici wynosiłyby: a = N = ( sinα f cosα ) g + ( + sinα f cosα ). + g 5..0.. y x T F a F II zasada dynaiki dla klocka, kieunek pozioy, ównanie skalane: a = F () T gdzie a pzyspieszenie klocka w układzie odniesienia związany z Zieią, Q T siła tacia działająca na klocek. II zasada dynaiki dla wózka, kieunek pozioy: F T a M a = T () gdzie a pzyspieszenie wózka w układzie odniesienia związany z Zieią, T siła tacia działająca na wózek. Q Oczywiście z III zasady dynaiki ay: T = T = T. Pzyspieszenie klocka względe wózka wynosi: aw = a a. (3) Kozystając z ównań () i () otzyay: F T + M a W =. (4) Pzyspieszenie a W spełniać usi waunek: a W 0, co oznacza, że powinna wystąpić elacja: F T +. (5) M
Siła tacia pzyjować oże watości od 0 do Tax = = f F = f Q f g. W ty zadaniu 3 Tax = 0, 3kg 0 = 6 N, czyli T 6 N 7, N ax + = + =. s M 5 Ponieważ F = 0 N, widać, że nieówność (5) jest spełniona, czyli a w > 0 i klocek pzesuwa się względe wózka. Występujące tacie jest tacie kinetyczny, a siła tacia pzyjuje watość T ax. Zate pzyspieszenie klocka względe wózka wynosi: F Tax + M 0 N 7, N a W = = = 4,7. 3kg s Dla F 7, N, klocek względe wózka nie pousza się i aw = 0. 5... Zgodnie z I zasadą dynaiki Newtona, pzyczepa pousza się ze stałą pędkością wtedy, gdy sua działających na nią sił ówna jest zeu. Cięża pzyczepy ównoważony jest siłą eakcji podłoża, a siła, jaką takto działa na pzyczepę, ównoważy siłę opoów uchu. 5... Na spadające w powietzu ciało działa, skieowana pionowo w dół, siła ciężkości P oaz pzeciwnie do niej zwócona siła opou powietza F op. Zgodnie z II zasadą dynaiki Newtona: P F op = a, skąd: F op = P a. Ponieważ: P = g, więc: P = g i ostatecznie: P g a F op = P a = P = 6N. g g 5..3. W piewszy etapie uchu, pod działanie pozioo skieowanej siły, ównej ciężaowi klocka (F = g) oaz pzeciwdziałającej jej siły tacia (T = fg), klocek pousza się uche jednostajnie pzyspieszony z pzyspieszenie a, któego watość wynika z II zasady dynaiki Newtona: g fg = a skąd: a = g( f) W ciągu czasu τ działania siły F, klocek osiągnie pędkość końcową: v = aτ, ówną jednocześnie pędkości początkowej klocka w dugi etapie jego uchu. W dugi etapie uchu, po zapzestaniu działania siły F, klocek pousza się uche jednostajnie opóźniony, pod działanie haującej siły tacia T= fg, z pzyspieszenie a. Watość tego pzyspieszenia ównież wynika z II zasady dynaiki Newtona: fg = a, skąd: a = fg.
Pędkość klocka w ty etapie jego uchu aleje (od pędkości początkowej v ) zgodnie z ównanie: v k = v a t. Klocek zatzya się (v k = 0) po czasie: v a t = = τ. a a Podstawiając znalezione popzednio watości a oaz a, otzyay: f t = τ = 60s. f 5..4. Pzedstawiony na ysunku układ ciał pousza się pod działanie siły ciężkości P3 = 3g działającej na ciało o asie 3. Pzyspieszenie, z jaki pousza się układ, wynika z II zasady dynaiki Newtona: 3g = ( + + 3 ) a, skąd: 3g a = + + 3 Naciąg N nici łączącej ciała o asach i ówny jest sile, któa ciału o asie nadaje pzyspieszenie a: 3 N = a = g. + + 3 Siła ta nie ulegnie zianie, gdy zaieniy iejscai ciała o asach i. 3 5.. Dynaika uchu punktu ateialnego po okęgu. 5... Na saochód działają siły: ciężkości Q, eakcji ostu F, pociągowa silnika i tacia. Dwie ostatnie skieowane są stycznie do tou i ównoważą się. W najwyższy punkcie ostu, siły Q i F są współliniowe, a ich wypadkowa jest siłą dośodkową F d. Czyli: F Q v Q F Q = g F d v = a więc: = F F d v = g.
Dla = 000 kg, g = 0 /s, v = 54 k/h = 5 /s, = 00, otzyay: 4 F =,55 0 N. Siła nacisku na ost a watość liczbową ówną F. Jeżeli saochód taci kontakt z podłoże, to F = 0, czyli Zate pędkość 5... v g =. k v = g = 3,6 = 3,8. s h Na ciężaek działają dwie siły: siła ciężkości dośodkową F : d Q i siła nici N. Ich wypadkowa jest siłą y 0 Q N α α F d α l x F d =Q + N, Q = g. zutując te siły na osie x i y otzyay: F d = N sinα, N cosα - Q = 0. Watość siły dośodkowej opisuje wzó: F d = ω, gdzie ω - pędkość kątowa ciężaka, poień okęgu, po któy pousza się ciężaek, = l sinα. Z powyższych zależności otzyay: g g l cosα ω =, N = π, T = = π. l cosα cosα ω g Watości liczbowe: ω = 5,3 s, N =,4 N, T =,8 s. 5..3.. Jeżeli kieowca hauje, saochód pousza się uche postoliniowy jednostajnie opóźniony i do zatzyania się w czasie t pzebywa dogę s, taką że: s = vt + ½ at, 0 = v + at, T gdzie a = - - pzyspieszenie, T = fg siła tacia, asa saochodu i kieowcy. v Czyli s =. fg Jeżeli kieowca zakęca to saochód pousza się po okęgu o poieniu i siłą dośodkową jest siła tacia: F d = T, v s
v = T. Czyli poień okęgu wynosi: v =. T Minialny poień odpowiada aksyalnej watości siły tacia T = T ax = fg, v = fg. in Widać, że s < in, a więc kieowca powinien zdecydować się na haowanie. 5..4.. Na satelitę o asie, pouszającego się z pędkością v po obicie kołowej o poieniu działa tylko siła gawitacji, któa jest siłą dośodkową: F G = F d, GM z v =, gdz ie = z + h, z v s G stała gawitacji, F G M z asa Ziei, z poień Ziei. GM z Otzyay: v =. z + h h Dla h = 0 pędkośc v nosi nazwę piewszej pędkości kosicznej. Jej watość liczbowa wynosi v = 7,9 k/s. 5..5.. 3 4π 4 Odp.: M z = = 6 0 kg. GT 5..6.. Satelita stacjonany pousza się po obicie o poieniu, któej płaszczyzna pokywa się z płaszczyzną ównikową. Okes obiegu ówny jest dobie zieskiej. Zate (patz: zad. 5..4.) GM z v = = ω, v = ω, π ω =. T GM Ponieważ pzyspieszenie zieskie g = z, poień satelity stacjonanego pzedstawia wzó: z
T π 3 z = g. 7 Liczbowa watość: = 4, 0 = 4 00 k. 5.3. Dynaika uchu obotowego były sztywnej. 5.3... Na koło działa siła tacia, któej oent haujący M okeśla II zasada dynaiki dla uchu obotowego: M = Iε, gdzie ε - pzyspieszenie kątowe, I oent bezwładności. Pędkość kątowa ω i pzyspieszenie kątowe ε łączy zależność: dω ε =, dt któą w pzypadku uchu jednostajnie opóźnionego (co zakładay) ożna zapisać: ω k ω ε = 0, t gdzie ω k pędkość końcowa, tutaj ω k = 0, ω 0 pędkość początkowa ω 0 = π n, n początkowa liczba obotów k oła w ciągu sekundy. πn Czyli ε =, t πni a M = -. t Minus we wzoach oznacza, że uch jest opóźniony i wekto oentu siły a zwot pzeciwny do wektoa pędkości kątowej. Do chwili zatzyania koło pzebędzie dogę kąto wą ϕ: ϕ = ω t + ε t. Uwzględnienie powyższych zależności daje: ϕ = π n t. ϕ Całkowita liczba obotów: N = = n t. π Liczbowe watości: 0 dla n = 600 ob/in = 0 s, I = 0, kg, t = 0s otzyay: M = -0,63 N, N = 00 obotów. 5.3... N Na uę działają dwie siły: siła ciężkości Q i siła nici N. Duga zasada dynaiki dla uchu postępowego uy a postać: Q
czyli a = Q N, Q = g, gdzie a pzyspieszenie śodka asy uy. a = Q + N, II zasada dynaiki dla uchu obotowego uy względe jej osi a postać: M = N = I ε. Czyli: N sin90 0 = Iε, gdzie poień uy, I = - oent bezwładności względe osi uy, ε - pzyspieszenie kątowe. Ponieważ iędzy nicią i uą nie a poślizgu, to Po pzekształceniach otzyay: a = Siła napięcia nici a watość ówną N. ε = a. g, N = Q. 5.3.3.. Model cząsteczki CO pzedstawia ysunek. Całe asy atoów zlokalizowane są paktycznie w jądach, któe taktujey jak punkty ateialne. O C O Moent bezwładności olekuły względe osi postopadłej do osi olekuły dany jest wzoe: I = O, gdzie O asa atou tlenu, O = O, N 3 O = 6 0 kg ol - asa olowa tlenu atoowego,
3 N = 6,0 0 ol - liczba vogada. Jeżeli =,3 0 0 otzyay: I = 6,8 0 46 kg. 5.3.4.. Moent bezwładności olekuły względe osi postopadłej do osi olekuły I = +, () = +. () Z definicji śodka asy: =. (3) ozwiązując układ ównań () i (3) ze względu na i i wstawiając otzyane wyniki do ównania () otzyay: I = = µ, + gdzie µ = jest asą zedukowaną układu. + W pzypadku olekuły CO: O = O = = 6,66 0 kg, N 3 O = 6 0 kg ol - asa olowa tlenu atoowego, 3 N = 6, 0 0 ol - liczba vogada, C = C = = 6,99 0 kg N 3 C = 0 kg ol - asa olowa wegla atoowego, 6 µ CO =,4 0 kg, 0 =, 3 0. Czyli 46 I CO =,46 0 kg. Dla olekuły HCl: 3 H = 0 kg ol -, 3 l - i I HCl = kg Cl = 0 46 35,45 kg o,57 0.
5.3.5.. ' N N ' N N x Należy pzeanalizować uch tzech ciał: dwóch ciężaków, któe pouszają się uche postępowy i bloczka, któy wykonuje uch obotowy. Na każdy z ciężaków działają siły: ciężkości Q, i siła nici N,. Dugą zasadę dynaiki dla tych ciał o żna zapisać: a = Q + N, a =Q + N. Q Q Ponieważ nić jest nieozciągliwa, to watości pzyspieszenia a i a są jednakowe: a = a = a. Pzyjując, że ciężaek pousza się w dół (zwot > dodatni) ożey napisać ównania skalane: a = Q N, () - a = Q N, () gdzie Q = g, Q = g. Blok obaca się wokół nieuchoej osi pzechodzącej pzez jego śodek. Moenty sił i eakcji osi są ówne 0. Obót bloku następuje pod wpływe oentów sił napięcia nici: I ε = M + M (3) gdzie ε - pzyspieszenie kątowe, ' ' ' M = N i M = N N ' i N - oenty sił, z jakii nić działa na blok. Jeżeli pzyjąć, że wektoy, ', N ' i N leża w płaszczyźnie katki, to wektoy M i M są postopadłe do katki. M zwócony jest od nas, a M do nas. Watości oentów sił wynoszą M = N sin90 0 = N, M = N sin90 0 = N, gdyż = = poień bloczka, a N = N i N = N na podstawie III zasady dynaiki. Pzyjując zwot od nas za dodatni, ożey zapisać ównanie (3) w postaci skalanej: Iε = M M = N N. (4) Pzyspieszenie kątowe bloczka ε i liniowe ciężaków a wiąże zależność ε = a, (5) gdyż nić nie ślizga się po bloczku. ozwiązując układ ównań (), (), (4), (5), po uwzględnieniu, że I = otzyay: a = g( ), + + oaz N = (g - a), N = (g + a).
L iczbowe watości dla g = 0 : a = 3,33 s -, N = 3,33 N, N =,67 N. s Uwaga: jeżeli bloczek byłby nieważki, czyli = 0, I = 0, to z ównania (4) widać od azu, że N = N. 5.3.6.. T F Q x y x Toczenie się ciała wygodnie jest ozpatywać jako złożenie uchu postępowego śodka asy i uchu obotowego względe osi pzechodzącej pzez śodek asy. Do obu odzajów uchu stosujey II zasadę dynaiki. Q y Q α α Na ciało toczące się po ówni pochyłej działają tzy siły: siła ciężkości Q, siła eakcji ówni F i siła tacia T. Dugą zasadę dynaiki dla uchu postępowego ożna zapisać: a = Q + F +T. Po zutowaniu wektoów na kieunki x i y a y: a = Q x T, () 0 = F - Q y, gdzie Qx = Qsinα = g sinα, Q y = Qcosα = g cosα. Ponieważ nie a poślizgu, to występujące tacie jest tacie statyczny: T T ax = ff = fq y = fgcosα, gdzie f współczynnik tacia ( statycznego). Duga zasada dynaiki dla uchu obotowego a postać: Iε = T, gdzie I - oent bezwładności względe osi pzechodzącej pzez śodek asy, ε - pzyspieszenie kątowe. uch obotowy względe osi syetii jest wynikie działania tylko oentu siły tacia, gdyż oenty sił Q i F wynoszą 0. W zapisie skalany ay: Iε = T sin90 0 = T, () Paiętając, że pzy baku poślizgu obowiązuje zależność: ε = a, (3) gdzie ε pzyspieszenie kątowe w uchu obotowy względe osi pzechodzącej pzez śodek asy, a pzyspieszenie liniowe śodka asy, poień ciała,
ay układ tzech ównań (), (), (3), z któego wyznaczyć ożna a, ε i T. Po ozwiązaniu tego układu otzyay: a = g sinα, ε = I + g sinα I +, T = g sinα. + I Waunek, pzy któy ożliwe jest toczenie bez poślizgu a postać: g sinα fg cosα lub + I + I f ctgα. 5.3.7.. Jeżeli oba ciała ozpoczynają uch, to tę saą odległość w kótszy czasie pzebędzie ciało pouszające się z większy pzyspieszenie. Z ozwiązania zad. 5.3.6. widać, że większe pzyspieszenie liniowe będzie iało ciało o niejszy oencie bezwładności. Ponieważ I kuli =, a walca I walca =, to jest oczywiste, że szybciej stoczy się kula. 5 5.3.8.. Odp: 7v 0 s = 0g sinα t = - doga, jaką pzebędzie kula do chwili zatzyania się, 4v 0 - czas, po któy kula wóci do podstawy ówni. 5g sinα Dla v 0 = 0 s, α = 30 0, s = 9,9, t = 3,36 s. 5.3.9.. v0 Odp: s =. 49 µ g 5.3.0.. v 0 T v
Po zetknięciu się obęczy z podłoże ziany w czasie jej pędkości liniowej i kątowej opisują wyażenia: v = v 0 at, ω = ω 0 - εt, T gdzie a = - pzys pieszenie lini ow e, T siła tacia kinetycznego występująca w czasie poślizgu, asa obęczy, M T ε = = - pzy spieszenie kątowe, I I M = T oent siły tacia, poień obęczy, I - oent bezwładności względe osi obęczy I =. Wykozystując powyższe zależności otzyujey następujący związek: v 0 0 ω = v ω +. Po zianie zwotu pędkości liniowej, obęcz w końcowej fazie toczy się bez poślizgu, a więc v ω = -, v < 0, ω > 0, czyli v0 ω =. v 0 Pędkość v spełni waunek: v < 0 gdy ω 0 > v0. Jeżeli chcey np. aby v = v 0, to pędkości v 0 i ω 0 uszą spełniać związek: ω 0 = 3v0. 5.3... Jeżeli walec znajdzie się na powiezchni szostkiej o wspólczynniku tacia f, pojawia się siła tacia posuwistego T, któa zniejsza pędkość liniową walca. Moent M tej siły względe osi walca nadaje u uch obotowy. Walec będzie toczył się początkowo w obecności poślizgu. v 0 v T M = Iε = T, gdzie T = fg, M = Iε = T sin90 0 = T, asa walca. Z dugiej zasady dynaiki
więc pzyspieszenie walca T = a, -T = a, a = -fg. Po czasie t pędkość liniowa walca wynosi: v = v 0 + at = v 0 fgt, a pędkość kątowa: ω = ε t. M T fg Pzyspieszenie kątowe: ε = = =. I I I Jeżeli począwszy od chwili t uch walca a być bez poślizgu, to v = ω, fg czyli v 0 fgt = t, I v0 stąd t =. fg + I Pędkość liniowa walca w uchu bez poślizgu jest stała i wynosi: v0 v = I + Dla walca I =, czyli 5.3... v t = 0 3 fg, v = v0. 3 Wygodnie jest taktować uch kołowotu jako obót wokół chwilowej osi, pzechodzącej pzez punkty, w któych kołowót styka się z podłoże. Taki obót uwaunkowany jest tylko oente siły F względe osi. Moenty pozostałych sił: tacia T oaz ciężkości i eakcji podłoża (niezaznaczonych na ysunku) wynoszą 0. Zate: M = F x = I ε, T O α C α B F gdzie x = CB,
OB x + cosα = =, czyli x = cosα - oaz I = I 0 + oent bezwładności względe osi (na podstawie twiedzenia Steinea), I 0 oent bezwładności względe osi kołowotu, a ε = pzyspieszenie kątowe, a pzyspieszenie liniowe śodka asy. Stąd cosα F. I a = 0 + Jeżeli cosα >, to a > 0 i kołowót będzie pouszać się w kieunku nici (nić nawija się). Gdy cosα <, nić odwija się z kołowotu. Kiedy cosα =, ε = 0 i uch obotowy nie występuje, a uch postępowy szpuli opisuje ównanie: Ma = Fcosα - T = F - T, gdzie T = f(g - Fsinα) f - współczynnik tacia posuwistego. Ponieważ sinα = cos = α otzyay: a = F ff fg +. 5.3.3.. l l N T N' T ' F
ysunek pzedstawia siły działające na dźwignię i walec po ozpoczęciu haowania. Z III zasady dynaiki wynika, że T = T N = N. Waunek ównowagi oentów sił względe osi - ożna zapisać: F l N l = 0. Fl Stąd N =. l Siła tacia działająca na walec wynosi: Fl T = f N = f N = f. l Związany z nią oent siły Fl M = T = f l nadaje walcowi pzyspieszenie kątowe (opóźnienie): M ε =. Pędkość kątowa walca aleje od ω 0 do 0 w czasie t: 0 = ω 0 - ε t. Poszukiwana watość siły F wynosi: 0 I 0l F = ω. t f l 5.3.4.. Sytuację pzedstawia ysunek. ozpatujey dwa ciała: walec i ciężaek. Ponieważ nić jest nieozciągliwa i nie ślizga się po walcu, to watość pzyspieszenia liniowego a B punktu B jest taka saa jak watość pzyspieszenia ciężaka a: a B = a. I 0 B N T O N ' Q Nieważkość nici i bloczka pozwala napisać (poównaj ozwiązania zadań 5..8. i 5.3.5.): N = N.
Inne zależności: pzyspieszenie śodka asy walca: a O = ε gdzie: ε - pzyspieszenie kątowe uchu obotowego, poień walca, pzyspieszenie punktu B: a B = a = a O + ε = a O II zasada dynaiki dla walca: - uch postępowy: Ma O = N T, - uch obotowy: I ε = N + T, II zasada dynaiki dla ciężaka: a = Q N, czyli a = g N. ozwiązanie tego układu ównań jest - pzyspieszenie ciężaka: - siła tacia działająca na walec: a 4g =, M I 4 + + a I T = M. 4 Dla pełnego walca I = M czyli: 4g a =, T = Ma. 3 M 4 + 8 Znak - oznacza, że w ty pzypadku siła tacia a zwot pzeciwny do założonego, czyli skieowana jest w pawo. Dla walca wydążonego I = M czyli: g a =, T = 0. M + Bak siły tacia oznacza tutaj, że walec wydążony oże toczyć się bez poślizgu nawet po idealnie gładki stole. 5.3.5.. Moenty sił ciężkości i eakcji osi względe osi obotu wynoszą 0. Ich linia działania pzechodzi pzez oś. Dla układu student-kzesło-odważniki spełniona jest zasada zachowania oentu pędu. Początkowy oent pędu układu wynosi: L = (I 0 + l )ω, gdzie ω = π n, a po zgięciu ąk: L = (I 0 + l )ω, gdzie ω = π n. Ponieważ L = L otzyay:
I n = n 0 + l. I 0 + l Dla n = ob/s, I 0 = 3 kg, = 5 kg, l = 0,8, l = 0, ay n =,8 ob/s. 5.3.6.. Na belkę działają dwie siły: siła ciężkości i eakcja osi. Pzyjijy oś za oś odniesienia. Moent eakcji osi wynosi 0 ponieważ jej linia działania pzechodzi pzez oś. Moent siły ciężkości ównież wynosi 0, gdyż zakładay iż czas haowania kuli w belce jest badzo kótki i belka w ty czasie nie odchyli się znacząco od pionu. Można, więc pzyjąć, że spełniona jest zasada zachowania oentu pędu. Moent pędu układu kula-belka pzed udezenie kuli ówny jest oentowi pędu kuli L = v 0 l. Po udezeniu L = Iω + l ω = (I+l ) ω, l gdzie I = 3 Ml. v 0 Ponieważ L = L otzyay: v ω = 0 l v0 = I + l M l + 3. Składowa pozioa siły eakcji osi jest jedyną siłą zewnętzną ogącą zienić pęd układu. Jeżeli siła ta wynosi 0, to spełniona jest zasada zachowania pędu. Pzyjijy, że kula udeza w belkę w odległości a od osi obotu. Pęd układu pzed zdezenie ówny jest pędowi kuli p = v 0. l v 0 a Po udezeniu kuli pęd układu wynosi: p = ω a + Mv S, gdzie v S = ω l pędkość śodka asy belki. Z kolei z zasady zachowania oentu pędu ay: czyli v 0 a = Iω + a ω, 0 ω =. I + a Po dobnych pzekształceniach ożna zauważyć, że pęd p daje się zapisać w postaci ułaka: p p =. I + a M la + a v a
M la Ml Widać, że p = p jeżeli I =. Ponieważ I = więc dla a = l spełniona jest zasada 3 3 zachowania pędu i składowa pozioa siły eakcji osi wynosi zeo. Jeżeli np. M la > I czyli a > 3 l to p > p, a więc pęd układu wzasta. Pozioa składowa eakcji osi a w ty pzypadku watość óżną od zea i zwot taki jak udezająca kula. 5.3.7.. Kozystay z zasady zachowania oentu pędu układu student-tacza. Początkowy oent pędu wynosi L = 0 (student i tacza nie pouszają się). Jeżeli student chodzi wzdłuż bzegu taczy z pędkością v względe niej, a tacza obaca się z pędkością kątową ω, to oent pędu układu L ożna zapisać: L = (v-ω) - Iω, gdzie I = M - oent bezwładności taczy. Z zasady zachowania oentu pędu L = L = 0 otzyay: v ω =. M + π Okes obotu taczy wynosi T =, a poszukiwana doga: ϖ s = vt = π ( + M ). 5.3.8.. Układ wektoów pzedstawia ysunek. Śigło działa na saolot oente siły: M = Ω L, v O M ϖ Ω gdzie Ω - wekto kątowej pędkości pecesji, L = I ω - oent pędu śigła, I oent bezwładności śigła, ω = πn pędkość kątowa śigła, n częstość obotów. v Tutaj Ω =, v pędkość liniowa saolotu w jego uchu po okęgu o poieniu. Wekto Ω zwócony jest do nas.
Tak więc watość oentu siły M wynosi: M πniv =. Liczbowa watość dla n=400 ob/in = 40 s -, I = 5 kg, v = 360 k/h=00 /s, = 800 : M = 47 N. 5.3.9.. 0,4 kg 0 0, gl Odp.: Ω = = s =. I ω s 0,005 kg 80 s 5.3.0.. Moent bezwładności kuli : I = 0,4, a kuli B: I B = 0,4BB. Stosunek tych wielkości: I = I B B B Pzyjując, że obie kule wykonane są z tego saego ateiału o jednakowej gęstości : ρ =, V gdzie: 4 V = π 3 - objętość kuli, 3 ożey znaleźć związek iędzy asai kul i ich poieniai: skąd: a więc: B B = B B 3, = 3, I = 3 I B B B Ponieważ wiey, że = 8 I = 3 I B i ostatecznie: I = 3I B. B, więc: