Dynamika punktu materialnego

Transkrypt

1 Dynaika punktu aterialnego 1. O czasie t 1 =14.0 s saochód o asie =1200 kg był w punkcie r 1 =[100,0,25] i iał pęd p 1 =[6000,0,-3600] kg /s. Jaka była pozycja saochodu w czasie t 2 =14.5 s? 2. Kierowca prowadzi saochód (o asie =1000 kg) z prędkością v 0 =[25,15,0] /s. Nagle wykonał anewr skrętu i haowania w wyniku czego jego prędkość zalała do v 1 =[10,18,0] /s. a) Jaki był wektor ziany pędu podczas trwania anewru? b) Jeżeli anewr trwał 3 sekundy, jaka była wtedy średnia siła działająca na saochód? 3. Na ciało o asie = 500 g działa siła F = 10 N przez czas t = 4 s. Jaki ruche porusza się ciało podczas działania siły? Jaka będzie prędkość końcowa v ciała? Ile wynosi droga s przebyta przez to ciało? Jaka jest prędkość średnia? 4. Siła F=50 N działa na swobodną asę =20 kg na drodze s=2. Z jaką prędkością będzie poruszać się to ciało, gdy siła przestanie działać? 5. Kulka o proieniu r i asie spada swobodnie w powietrzu. Opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości v kulki i wyraża się wzore: F op = asv 2, gdzie a jest współczynnkie kształtu, s jest aksyalną powierzchnią prostopadłą do kierunku prędkości. Znajdź aksyalną prędkość, do której oże rozpędzić się kulka. 6. Wagon o asie =16 ton porusza się z prędkością v=5 /s. Obliczyć średnia siłę działającą na wagon, gdy: a) zatrzyuje się pod wpływe siły tarcia w ciągu 1 inuty, b) gdy zostaje zahaowany w czsie 15 s., c) gdy natrafia na przeszkodę i zatrzyuje się w ciągu 0.5 s. 7. Saochód o ciężarze N jadący z prędkością 80 k/h zostaje zatrzyany, przy czy jego droga haowania jest równa 61. Znaleźć: a) silę haującą, b) czas potrzebny do zatrzyania saochodu, c) obliczyć, jaka byłaby droga i d) czas haowania przy takiej saej sile haującej, gdyby saochód przed rozpoczęcie haowania poruszał się z prędkością 40 k/h. 8. Na saochód o asie 1000 kg, poruszający się z prędkością 72 k/h po prosty torze pozioy, w pewnej chwili zaczęła działać siła hauąca F skierowana przeciwnie do ruchu. Jaka jest wartość siły F, jeżeli saochód zatrzyał się po upływie 5 s. Jaką odległość przejedzie do chwili zatrzyania? 9. Wagon o asie = 10 4 kg odczepił się od poruszającego się pociągu i przebywając drogę 20 ruche jednostajnie opóźniony zatrzyał się po upływie 20 s. Znaleźć siłę tarcia, efektywny współczynnik tarcia oraz poczatkową prędkość pociągu. 10. Jaką siła należy działać na asę 1 kg, aby w ciągu 1 s podnieść ją na wysokość 2? 11. Porównaj siły haowania saochodu, jeżeli zatrzyuje się on w czasie 3 s na suchej powierzchni, a na oblodzonej droga haowania wynosi 60. Prędkość w obydwu przypadkach wynosi 60 k/h. 12. Krążek hokejowy ważący 1.1 N ślizga się po lodzie, przebywając do chwili zatrzyania odległość 15. a) Jaka jest siła tarcia poiędzy krążkie i lode, jeśli prędkość początkowa krążka wynosiła 6 /s? b) czeu jest równy współczynnik tarcia kinetycznego? 1

2 13. Pojazd o asie 854 kg porusza się po pozioej jezdni z prędkością 57 k/h. a) jaka usi być siła haująca, aby zatrzyać ten pojazd na drodze 10? b) Oblicz czas haowania pojazdu. 14. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką asę balastu należy wyrzucić, aby balon zaczął się wznosić z tą saą prędkością? Przyjąć, że asa balonu M i siła wyporu F w są znane. 15. Prędkość saochodu aleje jednostajnie od 45 k/h do 30 k/h na drodze 50. a) Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia? b) Jak długo jechał saochód? c) Ile czasu upłynie do zatrzyania? d) Jaką drogę przejedzie do zatrzyania? 16. Dwa odważniki, każdy o asie =400g, zrównoważone są na krążku nieruchoy na wysokości h=5 nad powierzchnią Ziei. Po jaki czasie spadnie jeden z odważników na Zieię, jeżeli położy się na niego bez pchnięcia ciało o asie 1 =100 g. Zakładay, że krążek porusza się bez tarcia i jego asę ożna zaniedbać. 17. Na końcach nici przerzuconej przez krążek wiszą na tej saej wysokości dwa ciała o różnych asach. Po upływie czasu t=2 s od oentu rozpoczęcia ruchu pod wpływe siły ciężkości, różnica pozioów poiędzy odważnikai wynosiła h= 1.0. Ile waży lżejszy odważnik, jeżeli asa cięższego wynosi M=0.3 kg. 18. Człowiek ważący 100 kg opuszcza się na zieię z wysokości 10 za poocą liny przełożonej przez doskonale gładki bloczek, do której z drugiej strony doczepiony jest worek z piaskie ważący 70 kg. a) Z jaką prędkością człowiek uderzy w zieię? b) Czy sa ógłby ziejszyć prędkość, z jaką uderzy w zieię? 19. a) Na nici przerzuconej przez krążek zawieszone są nierówne asy M = 200g i M + = 210g. Znaleźć przyspieszenie as, napięcie nici N i siłę F działającą na oś krążka. Krążek i nić uznać za bardzo lekkie. Poinąć tarcie. b) Na nici przerzuconej przez krążek A zawieszone są asa 1 i oś krążka B. Na nici przerzuconej przez krążek B zawieszone są nierówne asy 2 i 3 ( 2 > 3, 1 > ). Znaleźć przyspieszenie as i naciąg nici. Tarcie zaniedbać, asę krążka przyjąć równą zeru. 20. Do nieważkiej nici przerzuconej przez nieruchoy bloczek przyczepiono klocek o asie 3.5 kg. Jakie przyspieszenie nada teu klockowi fiła F = 40 N przyłożona do drugiego końca nici i skierowana pionowo w dół? 21. Klocek początkowo spoczywający zsuwa się ze szczytu gładkiej równi pochyłej o długości 16 w ciągu 4s. W chwili, gdy zaczyna się zsuwać, inny klocek zostaje pchnięty wzdłuż równi z dołu pod górę w ten sposób, że oba klocki jednocześnie osiągają podstawę. a) Znaleźć przyspieszenie każdego z klocków. b) Jaka jest prędkość początkowa drugiego klocka? c) Jaką drogę ierzoną od podstawy równi w górę przebędzie drugi klocek? d) Jaki jest kąt nachylenia równi? 22. Ciało zsuwa się bez prędkości początkowej po równi o nachyleniu Po czasie 2 sekund prędkość ciała wynosi 14 /s. Obliczyć współczynnik tarcia. 23. Ciało porusza się ze stałą prędkością po po równi o nachyleniu 30 0 pod działanie siły 10 N równoległej do podłoża. Wyznaczyć ciężar ciała. 2

3 24. Na gładkiej równi pochyłej nachylonej do poziou pod kąte 60 0 znajduje się ciało o ciężarze 500 N utrzyywane w równowadze przez siłę R działającą w kierunku równoległy do podstawy równi. Obliczyć wartość tej siły oraz wartość siły nacisku działającej na równię. 25. Chłopiec ciągnie pod górę sanki za sznurek skierowany pod kąte 20 o do stoku góry nachylonej pod kąte 30 o do poziou. Ile wynosi siła, z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.2, a asa sanek wynosi 20 kg? Przyjij, że chłopiec porusza się ruche jednostajny. 26. Ciało zsuwa się bez prędkości początkowej po równi pochyłej o kącie nachylenia α. Po czasie t prędkość ciała wynosi v. Oblicz współczynnik tarcia. 27. Jaką prędkość początkową należy nadać ciału o asie, aby wjechało na szczyt równi o długości l i kącie nachylenia α, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f? Oblicz czas t trwania ruchu. 28. Saochód wjeżdżając na wznoszący się odcinek drogi iał prędkość początkową v 0 = 10 /s. W ty oencie przestał dziłać silnik saochodu. Znaleźć drogę, jaką przebył saochód do chwili zatrzyania się oraz czas ruchu jednostajnie opóźnionego, jeżeli efektywny współczynnik tarcia wynosi 0.5, a kąt nachylenia drogi wynosi Sześcian ający ciężar W spoczywa na chropowatej równi pochyłej, tworzącej kąt θ z pozioe. a) ile wynosi najniejsza siła potrzebna do wprowadzenia ciała w ruch w dół równi? b) ile wynosi najniejsza siła potrzebna do wprowadzenia ciała w ruch w górę równi? c) ile wynosi najniejsza siła pozioa, która spowoduje, zsuwanie się sześcianu po równi? (RH) 30. Jaką siłą należy działać w kierunku toru na skrzynię o asie 100 kg, jeżeli współczynnik tarcia wynosi µ= 0.5, aby poruszała się ona ruche jednostajny i przyspieszony: a) po torze pozioy, b) po pochylni w górę, jeżeli jej kąt nachylenia wynosi 30 0 z pozioe, c) po tej saej równi w dół. 31. Sanki zaczynają się ześlizgiwać z górki o wysokości h=10 i kącie nachylenia α = 30 0 i z rozpędu jadą jeszcze po pozioy śniegu poza stokie. Po przebyciu pozioego odcinka drogi s=15 zatrzyują się. Oblicz: a) ile wynosi współczynnik tarcia f, b) jak długo trwał ruch sanek. 32. Trzy klocki połączone ze sobą przesuwają się po gładki, pozioy stole pod wpływe siły T 3 =60 N przyłożonej do jednego z klocków. Znaleźć naprężenia T 1 i T 2, jeśli 1 =10 kg, 2 =20 kg, 3 =30 kg. 33. Trzy klocki połączone ze sobą w sposób pokazany na rys. Znaleźć naprężenia wszystkich nici i przyspieszenie układu Dwa ciała o asach i M połączone nierozciągliwą nicią (rys.) znajdują się na równi pochyłej o kątach nachylenia α i β. Wyznaczyć przyspieszenie każdego z ciał oraz siłę naciągu nici. Współczynnik tarcia poiędzy ciałai a równią wynosi f. 35. Ciało o asie 20 kg jest pchane przez pozioą siłę F w górę doskonale gładkiej 30 o równi pochyłej o długości 3. a) Jeżeli prędkość u dołu wynosi 0.6 /s, a u góry 3 /s, obliczyć jaką pracę wykonała siła F. 3

4 M M α β α b) Jaka jest wartość siły F? c) Gdyby równia nie była gładka i µ k = 0.15, to do jakiego punktu równi dojdzie ciało? 36. Dwa ciała o asach i M połączone nierozciągliwą nicią. Do Drugiego ciała przyłożono siłę F. Wyznaczyć przyspieszenie każdego z ciał. 37. Dwa klocki o asach 1 i 2 połączone sznurkie podnoszone są w górę z siłą F. Jakie jest przyspieszenie każdego klocka i napięcie sznurka łączącego oba klocki? 38. Trzy ciała (rys) połączone są nići. Do pierwszego ciała przyłożono siłę F 1, do trzeciego F 2. Obliczyć przyspieszenie każdego z ciał. F F Trzy klocki leżą na gładkiej płaszczyźnie. Do ostatniego klocka przyłożono siłe F. Znaleźć przyspieszenie układu. 40. Jaką siłę należy przyłożyć do asy M (rys.), aby poruszała się ona z przyspieszenie a? Siła tarcia działa tylko iędzy asą a M, a współczynik tarcia wynosi µ. M F 41. Wyznaczyć wskazania dynaoetrów A i B w układzie przedstawiony na rysunku, jeśli 1 =300 kg, a 2 =100 kg. Masy bloczków ożna zaniedbać. A B Na szczycie równi pochyłej o długości l i kącie nachylenia θ znajduje się ciało o asie, które zaczyna zsuwać się w dół. a) Przyjując, że współczynnik tarcia wynosi µ, obliczyć przyspieszenie ciała oraz prędkość ciała przy podstawie równi. b) Po zsunięciu się z równi ciało przesuwa się na pewną odległość d po takiej saej powierzchni, ale pozioej. Obliczyć tę odległość. 4

5 43. Na gładkiej pozioej płaszczyźnie znajdują się trzy ciała o asach 1, 2, 3, połączone ze sobą lekkii nići. Masa M zawieszona jest na lekkiej nici przerzuconej przez krążek. Drugi koniec nici zaczepiony jest do asy M. Znaleźć przyspieszenie z jaki poruszają się te ciała. Znaleźć naciąg N poszczególnych nici. 44. Nowy typ nart pozwala na skrócenie czasu zjazdu z łagodnego 200-etrowego stoku z 61 s do 41 s. a) obliczyć średnie przyspieszenie dla obu typów nart. b) Zakładając, że kąt nachylenia stoku wynosi 3 o, obliczyć dla obu przypadków współczynnik tarcia kinetycznego. 45. Klocek zsuwa się ze stałą prędkością po równi pochyłej o kącie nachylenia α. Następnie zostaje on pchnięty w górę po tej saej równi, z prędkością początkową v 0. a) Jak daleko przesunie się klocek? b) Czy zacznie się on znowu zsuwać? 46. Pozioa siła F=50 N dociska klocek ważący 2 kg do pionowej ściany. Współczynnik tarcia statycznego iędzy ścianą a klockie wynosi 0.60, a współczynnik tarcia kinetycznego Zakładay, zę w chwili początkowej klocek jest nieruchoy. a) Czy klocek zacznie się zsuwać? b) Jaką siłą ściana działa na klocek? 47. Równie pochyłe o kątach nachylenia α i β złączono jak na rysunku. Na wysokości h położono ciało, które zaczęło się zsuwać z równi bez tarcia, a następnie wznosić się na drugą równię. Korzystając jedynie z etod kineatycznych wyznacz okres ruchu ciła po tych równiach. h α β 48. Z jaki przyspieszenie powinien poruszać się wózek, aby położenie as 1 i 2 pozostawało takie sao? Współczynnik tarcia iędzy asai i wózkie wynosi k Na płaski podłożu spoczywa równia o asie M i kącie α. Położono na nią ciało o asie = M/2. Obliczyc przyspieszenie tych ciał, poinać wpływ tarcia. 50. Na klocku o asie 5 kg położono klocek o asie 4 kg. Gdyby dolny klocek był przytwierdzony do podłoża, to przyłożenie siły 12 N do górnego klocka spowodowałoby jego ślizganie. Przyjąć następnie, że dolny klocek położony jest na doskonale gładki stole. a) Znaleźć aksyalną wartość pozioej siły F, jaką ożna przyłożyć do dolnego klocka, przy której klocki będą się poruszać raze. b) Znaleźć przyspieszenie nadane klocko. 51. Klocek o asie ślizga się w nachylonej prostokątnej rynnie. Znaleźć przyspieszenie klocka jeżeli współczynnik tarcia kinetycznego poiędzy klockie a rynną wynosi µ k. 52. Ciało o asie uwiązane jest na nici o długości l i porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Oblicz siłę naciągu nici w najwyższy i najniższy punkcie okręgu. 5

6 53. Kaień o asie =5 kg jest przywiązany do sznura o długości l=50 c i porusza się w płaszczyźnie pionowej. Naprężenie sznura w dolny punkcie okręgu jest równe F n =44.1 N. Jak wysoko poleci kaień, jeżeli sznur pęknie w chwili, gdy prędkość jest skierowana pionowo do góry? 54. Szklankę napełnioną wodą zawieszay na sznurku i wprawiay w ruch w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej prędkości woda nie będzie się wylewać ze szklanki, jeżeli sznurek a długość Kula o asie =810 g zostaje wprowadzona w ruch po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Koło a proień r=1.20, częstotliwość ruchu f=96 obr/in. Jaka jest prędkość i naciąg sznurka N, gdy kula przechodzi przez: a) najwyższy punkt na górze, b) najniższy punkt na dole obwodu koła. 56. Jaka oże być najwyższa prędkość saochodu w najwyższy punkcie wypukłego ostu przy której nie oderwie się od powierzchni? Proień krzywizny ostu wynosi Ciało o asie porusza się bez tarcia po wewnętrznej stronie toru kołowego o proieniu R ustawionego w płaszczyźnie pionowej. a) Jaka powinna być najniejsza prędkość ciała w najwyższy punkcie toru, aby nie oderwało się ono od toru? b) Po jaki torze poleciałoby ciało, gdyby w najwyższy punkcie toru usunięto drugą połowę toru? 58. Tor zbudowany z płaskiej i gładkiej taśy a kształt okręgu o proieniu R i ustawiony jest pionowo. Ciało o asie porusza się ze stałą wartością prędkości v po wewnętrznej stronie taśy. Jaka siła działa na tor, gdy ciało znajduje się na wysokościach h oraz 2R h od podłoża? (h < R) 59. Prędkość pojazdów jadących po kołowy zakręcie autostrady a wynosić 60 k/h. a) Jeśli proień krzywizny tego zakrętu wynosi 120, jaki jest najwłaściwszy kąt pochylenia autostrady? b) Jeśli autostrada nie jest pochylona, jaki powinien być inialny współczynnik tarcia iędzy oponai i drogą, aby saochody nie ślizgały się przy tej prędkości? 60. Trawaj jadący z prędkością v wjechał na zakręt o prpieniu R. Przy jakiej wartości współczynnika tarcia µ paczka leżąca na podłodze wagonu pozostanie nieruchoa? 61. Na wirującej tarczy w odległości x od jej środka położono onetę o asie. Jaka oże być największa prędkość kątowa ω tarczy, przy której oneta nie zieni swojego położenia ( współczynnik tarcia wynosi µ)? 62. Bardzo ały sześcian o asie znajduje się wewnątrz lejka obracającego się wokół pionowej osi, ze stałą szybkością ν obr/s. Ściana lejka tworzy z pozioe kąt α. Współczynnik tarcia statycznego poiędzy sześciane a lejkie wynosi f, a odległość środka sześcianu od osi obrotu wynosi r. Jaka jest największa i najniejsza wartość ν, przy której sześcian nie będzie się poruszał względe lejka? 63. Oblicz siłę działania fotela na lotnika o asie 75 kg w górny i dolny punkcie pętli, którą zatacza on w płaszczyźnie pionowej lecąc saolote? Rozważ przypadki, gdy: proień pętli wynosi 400 i 200, a prędkość saolotu 360 k/h. 64. Lotnik o asie 78 kg znajdując się w dolny punkcie,artwej pętli naciska na siedzenie siłą 6275 N. Wyznaczyć prędkość saolotu, jeżeli proień pętli wynosił

7 65. Kulka o asie wisi na nici o długości l i obraca się wokół pionowej osi poruszając się po pozioy okręgu o proieniu r. a) Jaka jest prędkość kątowa kulki? b) Jakie jest naprężenie nici? 66. Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością v=10 /s po torze kołowy. Kąt nachylenia płaszczyzny roweru do poziou wynosi Oblicz proień toru. 67. Pod jaki kąte do pionu powinien pochylić się rowerzysta, aby jadąc po pozioej płaskiej powierzchni z prędkością v ógł zatoczyć koło o proieniu R? Jaki usi być współczynnik tarcia, aby rowerzysta ógł bezpiecznie zakręcić? 68. Pod jaki kąte α powinien być nachylony tor do poziou na zakręcie o proieniu R, aby kolarze jadący z prędkością v pozostawali w pozycji prostopadłej do niego? 69. Z jaką największą prędkością oże saochód pokonać zakręt o proieniu krzywizny 20, jeżeil współczynnik tarcia wynosi 0.5? 70. Jaki usiałby być okres obrotu Ziei, aby na równiku zostało zniesione przyspieszenie zieskie? 71. Po równi pochyłej o kącie nachylenia α zsuwa się naczynie z wodą. Współczynnik tarcia f < tg α. Wyznaczyć nachylenie powierzchni cieczy w naczyniu. 72. Klocek (asa ) zsuwa się po gładkiej równi pochyłej, nachylonej pod kąte θ do podłogi windy. Znaleźć przyspieszenie klocka w następujących przypadkach: a) winda zjeżdża w dół ze stałą prędkością v, b) winda jedzie do góry ze stałą prędkością v, c) winda zjeżdża w dół z przyspieszeni a, d) winda zjeżdża w dół z opóźnienie a, e) liny, na których wisi winda urywają się. f) Jaka siła w przypadku c) jest wywierana na klocek przez równię? (RH) 73. W wagonie, który porusza się z przyspieszenie a po prosty torze pozioy znajduje się równia nachylona pod kąte α do poziou. Na równi leży ciało o asie. a) Jakie powinno być przyspieszenie a 0 wagonu, aby ciało nie zsuwało się z równi, jeżeli nie a siły tarcia? b) Jaką siłą nacisku ciało działa na równią? c) Jak porusza się ciało względe równi, jeżeli wagon jedzie z przypieszenie a > a 0, a < a 0? 74. W nieruchoej windzie rzucono do góry ciało z prędkością v 0. W chwili, gdy ciało znajdowało się na aksyalnej wysokości winda zaczęła się poruszać z przyspieszenie a skierowany do góry. Po jaki czasie od chwili wyrzucenia ciało powróci do połorzenia początkowego? 75. Winda wznosi się do góry z przyspieszenie a. W chwili, gdy jej prędkość wynosi v, z sufitu windy spada obluzowana śruba. Winda a wysokość h. Obliczyć: a) po jaki czasie śruba spadnie na podłgę windy, b) jaką odległość przebędzie on w stosunku do ścian dou. 76. Z jaką największą stałą prędkością oże wjeżdżać saochód o asie 900 kg pod wzniesienie o nachylenie 30 0, jeżeli aksyalna oc silnika wynosi 50 kw? Współczynnik tarcia wynosi f= Z jaką największą prędkością oże jechać wagon na zakręcie o proieniu R, aby nie wyskoczyć z pionowo ułożonych szyn? środek ciężkości wagonu znajduje się na wysokości h nad tore, w który szyny ustawione są na odległość 2s. 78. Na lince przyczepionej do sufitu windy wisi pionowo lapa. Winda zjeżdża na dół haując z opóźnienie 2.4 /s 2. a) Jaka jest asa lapy, jeżeli naprężenie linki jest równe 100 N? b) Jakie byłoby naprężenie linki, gdyby winda jechała do góry z przyspieszenie 2.4 /s 2 7

8 79. Wahadło o asie wisi na podstawce uocowanej na wózku. Znaleźć kierunek nici wahadła, tj. kąt α nici z pione oraz jej naprężenie T w następujących przypadkach: a) wózek porusza się ruche jednostajny po płaszczyźnie pozioej, b) wózek porusza się po płaszczyźnie pozioej z przyspieszenie a, c) wózek stacza się swobodnie z równi pochyłej, która tworzy kąt β z pozioe. 80. Ile razy zwiększy się czas spadania ciała w windzie, jeżeli ruszyła ona w dół z przyspieszenie 0.5 g? 81. Przez krążek przerzucona jest lina, na której końcach zawieszone są ciężary o asach 1 =20 kg i 2 =30 kg. Znajdź przyspieszenie każdego ciężaru, gdy cały układ uieściy w windzie poruszającej się do góry z przyspieszenie a = 2/s Na płycie uocowano statyw, na który zawieszono na nici kulkę, a następnie pozwolono płycie zsuwać się z równi. Znaleźć naciąg nici i kąt jaki tworzy z pione na równi, gdy: a) ruch odbywa się bez tarcia, b) współczynnik tarcia wynosi µ. 83. Obliczyć stosunek siły bezwładności F B do ciły ciężkości dla ciała uieszczonego w wirówce o proieniu R= 100 c, wykonującej n= obr/in. 84. Na platforie znajduje się skrzynia. Jaki conajniej usi być współczynnik tarcia, aby skrzynia nie zieniła położenia, gdy porusza się ona z przyspieszenie a= 5 /s 2? 8