EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0

Zadanie (0 4) Obszar standardów Uycie i tworzenie strategii Opis wymaga Wykorzystanie cech podzielnoci liczb cakowitych Rozwizanie Przeksztacamy wyraenie 6 4 k k k do postaci iloczynowej: 4 k k k k k k k k ( ) ( ) Wykazujemy, e dla kadej liczby cakowitej k liczba k k( k ) jest podzielna przez 6 Aby wykaza podzielno liczby rozpatrujemy jeden z trzech sposobów: sposób I Wród trzech kolejnych liczb cakowitych jest co najmniej jedna liczba parzysta i dokadnie jedna liczba podzielna przez Kwadrat iloczynu tych liczb jest podzielny przez 6 6 4 Zatem liczba postaci k k k, gdzie k jest liczb cakowit, dzieli si przez 6 sposób II Pokazujemy podzielno przez i przez : ) podzielno przez dla k parzystego czyli k m, gdzie m jest liczb cakowit, otrzymujemy k k( k ) m m(m ) m m(m ) dla k nieparzystego czyli k m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) m(m ) m, zatem w kadym przypadku liczba k k( k ) jest podzielna przez, ) podzielno przez dla k m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) m m(m ) m m(m ) dla k m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) m(m ) m dla k m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) (m ) m m (m ) m m, zatem w kadym przypadku liczba k k( k ) jest podzielna przez Poniewa liczba jest podzielna przez i przez, a liczby i s wzgldnie pierwsze, wic liczba k k( k ) jest podzielna przez 6 Kwadrat tej liczby jest podzielny przez 6 6 4 Zatem liczba k k k, gdzie k jest liczb cakowit, dzieli si przez 6 sposób III Pokazujemy podzielno przez 6 na podstawie przypadków: dla k 6m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) 6m 6 m(6m ) 6 6m m(6m ) dla k 6m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) 6 m(6m ) 6m

dla k 6m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) (6m ) 6m 6m 6(6m ) m m dla k 6m, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) 6m 6m (6m 4) 6 m m (6m 4) dla k 6m 4, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) 6m (6m 4) 6m 5 6 m m (6m 5) dla k 6m 5, gdzie m jest liczb cakowit, mamy k k( k ) (6m 4) 6m 56m 6 6(6m 4) 6m 5 ( m ), zatem w kadym przypadku liczba k k( k ) jest podzielna przez 6 Kwadrat tej liczby jest podzielny przez 6 6 4 Zatem liczba k k k, gdzie k jest liczb cakowit, dzieli si przez 6 Schemat oceniania Rozwizanie, w którym jest postp pkt 6 4 Zapisanie liczby n k k k w jednej z nastpujcych postaci iloczynowych: k k lub k k lub k k k lub k k k lub k k Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Wykazanie podzielnoci liczby n przez albo przez Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Wykazanie podzielnoci liczby n przez i przez albo stwierdzenie, e iloczyn trzech kolejnych liczb cakowitych jest podzielny przez 6 Uwaga k Zdajcy moe zauway, e k k k 6 Przyznajemy wtedy punkty i nie wymagamy wyjanienia, e zosta tu uyty uogólniony wspóczynnik dwumianowy Rozwizanie pene 4 pkt Wycignicie wniosku o podzielnoci liczby n przez 6 Zadanie (0 4) Rozumowanie i argumentacja Przeksztacenie równowane wyraenia wymiernego I sposób rozwizania Przeksztacamy tez w sposób równowany a b Mnoymy obie strony równoci przez a cb c, otrzymujc: a c b c a b c b a c a c b c, czyli ab ac ab bc ab ac bc c c ac bc 0, czyli c c a b Std otrzymujemy 0 Ta ostatnia równo jest prawdziwa, bo z zaoenia c a b 0 Zatem teza te jest prawdziwa

4 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki pkt a b c ba c Sprowadzenie lewej strony równoci do wspólnego mianownika: a c b c Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt a b Przeksztacenie równoci do postaci a c b c a b c b a c a c b c Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Wykonanie dziaa i doprowadzenie równoci do postaci np: c ac bc 0 Rozwizanie pene4 pkt Uzasadnienie, e cc a b 0 i wnioskowanie o prawdziwoci równoci a b a c b c II sposób rozwizania Z równania a b c wyznaczamy b c a i wstawiamy do wyraenia: a b a c a a c a a c a a c a c b c a c c a c a c c a a c a c Uwaga Z równania a b c mona take wyznaczy zmienn a lub c Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki pkt a b c ba c Sprowadzenie lewej strony równoci do wspólnego mianownika: a c b c Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Wyznaczenie z zaoenia a b c, np b i doprowadzenie wyraenia do postaci a b a c a a c a a c b c a c c a c a c c a Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt a c a Wykonanie dziaa i doprowadzenie wyraenia do postaci np: a c Rozwizanie pene4 pkt a b a c Przeksztacenie wyraenia do postaci a c b c a c III sposób rozwizania Z równania a b c otrzymujemy a c c b, wic cig a, c, b jest cigiem arytmetycznym c a r b a r Wstawiamy do wyraenia a b a a r a a r a a r r a c b c a a r a r a r r r r r

5 Uwaga Zdajcy moe zauway, e a c c b i przeksztaci wyraenie bez wprowadzania r, a b a b a b c b b c b np a c b c c b b c c b c b c b Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki pkt Zapisanie, e liczby a, c, b tworz cig arytmetyczny Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt a a r Doprowadzenie wyraenia do postaci, np a a r a r a r Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt a a r Wykonanie dziaa i doprowadzenie wyraenia do postaci r r Rozwizanie pene 4 pkt a a r r Przeksztacenie wyraenia do postaci r r Zadanie (0 6) Uycie i tworzenie strategii Rozwizanie równania kwadratowego z parametrem z zastosowaniem wzorów Viète a, przeprowadzenie dyskusji i wycignicie wniosków I sposób rozwizania Zapisujemy warunki jakie musz by spenione, aby równanie x 4mx m 6m m 0 posiadao dwa róne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, e ( x x) 8( m ) : 0 x x 8 m Rozwizujemy nierówno 0 6m 4( m 6m m ) 0 m m m 0 m m m 0 Zatem m,, Rozwizujemy nierówno x x x x 8m 8 x x x x 8m 8 x x x x 4x x 8m 8 ( x x) 8( m ), korzystajc ze wzorów Viète a x x 4x x 8m 8 Poniewa x x 4m oraz x x m m m, wic 4m 4 m 6m m 8m 8 Przeksztacamy t nierówno do postaci 4m 8m m 0 6

6 std mm m 4 0 Rozwizaniem nierównoci jest m, 0, Wyznaczamy cz wspóln otrzymanych zbiorów rozwiza nierównoci: 0 i ( x x ) 8( m ) Std m0,, Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie zadania skada si z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwizaniu nierównoci 0 m,, Za poprawne rozwizanie tego etapu zdajcy : otrzymuje punkt Uwaga Jeeli zdajcy zapisze 0, to za t cz otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwizaniu nierównoci ( x x ) 8( m ) Za t cz rozwizania zdajcy otrzymuje 4 punkty Trzeci etap polega na wyznaczeniu czci wspólnej rozwiza nierównoci z etapu pierwszego i drugiego Za poprawne rozwizanie trzeciego etapu zdajcy otrzymuje punkt Podzia punktów za drugi etap rozwizania: punkt zdajcy otrzymuje za zapisanie wyraenia x x w postaci punkty zdajcy otrzymuje za zapisanie nierównoci stopnia z jedn niewiadom m, np 4 punkty zdajcy otrzymuje za x x 4xx lub a ( x x) 8( m ) 4m 8m m 0 w postaci nierównoci trzeciego rozwizanie nierównoci trzeciego stopnia:, 0, m Rozwizanie pene (trzeci etap)6 pkt Wyznaczenie czci wspólnej zbiorów rozwiza nierównoci i podanie odpowiedzi: m 0,, Uwaga Przyznajemy punkt za wyznaczenie czci wspólnej zbiorów rozwiza nierównoci z etapu I i etapu II, gdy co najmniej jedna nierówno (albo z etapu I, albo z etapu II) jest rozwizana poprawnie II sposób rozwizania Równanie x 4mx m 6m m 0 ma dwa róne pierwiastki rzeczywiste x i x, gdy 0 6m 4( m 6m m ) 4 m m m Obliczamy Rozwizujemy nierówno 0 m m m 0 m m m 0

7 Zatem m,, Nastpnie wyznaczamy pierwiastki x, x : 4m 4 m m m x, x Wówczas 4m 4 m m m 4m m m m 4m m m m x x x x 4m m m m 4m m m m 4 m m m x x m m m i std x x m m m 4 m m m Z warunku Std ( x x) 8( m ) otrzymujemy nierówno 0, czyli mm m 0, mm m 0 m m m Zatem m, 0, Wyznaczamy cz wspóln otrzymanych rozwiza nierównoci 0 i ( x x ) 8( m ) m 0,, : Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie zadania skada si z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwizaniu nierównoci 0 Za poprawne rozwizanie tego etapu zdajcy otrzymuje punkt Uwaga Jeeli zdajcy zapisze 0, to za t cz otrzymuje 0 punktów 4 m m m 8( m ) :,, m Drugi etap polega na rozwizaniu nierównoci ( x x ) 8( m ) Za t cz rozwizania zdajcy otrzymuje 4 punkty Trzeci etap polega na wyznaczeniu czci wspólnej zbiorów rozwiza nierównoci z etapu pierwszego i drugiego Za poprawne rozwizanie trzeciego etapu zdajcy otrzymuje punkt Podzia punktów za drugi etap rozwizania: punkt zdajcy otrzymuje za 4m 4 m m m wyznaczenie x i x : x, punkty zdajcy otrzymuje za zapisanie x x m m m x 4m 4 m m m

8 punkty zdajcy otrzymuje za obliczenie x x 4 m m m 4m m m 8( m ) 4 punkty zdajcy otrzymuje za i zapisanie nierównoci rozwizanie nierównoci trzeciego stopnia:, 0, m Rozwizanie pene (trzeci etap)6 pkt Wyznaczenie czci wspólnej rozwiza nierównoci i podanie odpowiedzi: m 0,, Uwagi Przyznajemy punkt za wyznaczenie czci wspólnej zbiorów rozwiza nierównoci z etapu I i etapu II, gdy co najmniej jedna nierówno (albo z etapu I, albo z etapu II) jest rozwizana poprawnie Jeeli zdajcy popeni jeden bd rachunkowy i konsekwentnie do tego bdu poda rozwizanie, to otrzymuje 5 punktów Zadanie 4 (0 4) Uycie i tworzenie strategii Rozwizanie równania trygonometrycznego I sposób rozwizania Wyczamy przed nawias sin x : sin x cos x cos x i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: sin x cos x cos x 0, sin cos x 0 Zatem sin x 0 lub cos x 0 Std otrzymujemy: x sin x sin x cos x 5 7 x lub x lub x lub x lub x 0 lub x 4 4 4 4 albo albo albo x 5 lub x 5 x 45 lub x 5 x 0 lub x 60 Zatem rozwizaniami równania sin x sin x cos x cos x s: 5 7 x 0 lub x lub x lub x lub x lub x 4 4 4 4 albo x 0 lub x 45 lub x 5 lub x 5 lub x 5 lub x 60

9 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Zapisanie równania w postaci, np sin x cos x cos lub sin x cos x cos x 0, x lub x x x sin cos sin 0 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie równania w postaci alternatywy: sin x lub cos x sin x lub sin x, lub cos x cos x 0 lub cos x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Rozwizanie jednego z otrzymanych równa Rozwizanie pene 4 pkt Zapisanie wszystkich rozwiza równania sin x sin x cos x cos x w podanym przedziale: 5 7 x 0, x, x, x, x, x 4 4 4 4 albo x 0, x 45, x 5, x 5, x 5, x 60 Uwagi Jeeli zdajcy podaje ogólne rozwizania równania sin x sin x cos x cos x bez uwzgldnienia przedziau 0,, to otrzymuje punkty Jeeli zdajcy zapisze równanie w postaci sin x cos x cos x, a nastpnie podzieli obie strony równania przez cos x bez odpowiedniego zaoenia i rozwie tylko równanie sin x 0, to za cae zadanie otrzymuje punkt sin x cos x cos, a nastpnie podzieli obie strony równania przez cos x zakadajc, e cos x, rozwie tylko równanie sin x 0 i nie rozpatrzy równania cos x, to za cae zadanie otrzymuje punkty Jeeli zdajcy zapisze równanie w postaci x II sposób rozwizania Zapisujemy równanie za pomoc jednej funkcji trygonometrycznej cos x cos x cos x cos i przeksztacamy do postaci x cos x cos x cos x cos x 0 cos x cos x cos x 0 Nastpnie zapisujemy to równanie w postaci iloczynowej cos x cos x 0 Zatem cos x 0 lub cos x 0

0 Std otrzymujemy: cos x cos x cos x 5 7 x lub x lub x lub x, lub x 0 lub x 4 4 4 4 albo albo albo x 5 lub x 5 x 45 lub x 5 x 0 lub x 60 Zatem rozwizaniami równania sin x sin x cos x cos x s: 5 7 x 0 lub x lub x lub x lub x lub x 4 4 4 4 albo x 0 lub x 45 lub x 5 lub x 5 lub x 5 lub x 60 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Zapisanie równania w postaci iloczynowej, np cos cos x 0 x lub x x x cos cos cos 0 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie równania w postaci alternatywy: cos x lub cos x cos x lub cos x, lub cos x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Rozwizanie jednego z otrzymanych równa Rozwizanie pene4 pkt Zapisanie wszystkich rozwiza równania sin x sin x cos x cos x w podanym przedziale: 5 7 x 0, x, x, x, x, x 4 4 4 4 albo x 0, x 45, x 5, x 5, x 5, x 60 Uwagi Jeeli zdajcy podaje ogólne rozwizania równania sin x sin x cos x cos x bez uwzgldnienia przedziau 0,, to otrzymuje punkty Jeeli zdajcy zapisze równanie w postaci cos x cos x cos x, a nastpnie podzieli obie strony równania przez cos x bez odpowiedniego zaoenia i rozwie tylko równanie cos x 0, to za cae zadanie otrzymuje punkt cos x cos x cos x, a nastpnie podzieli obie strony równania przez cos x zakadajc, e cos x, rozwie tylko równanie cos x 0 i nie rozpatrzy równania cos x, to za cae zadanie otrzymuje punkty Jeeli zdajcy zapisze równanie w postaci

Zadanie 5 (0 4) Uycie i tworzenie strategii Zastosowanie wasnoci cigu geometrycznego, wzorów na n-ty wyraz tego cigu i na sum n wyrazów cigu arytmetycznego I sposób rozwizania Z wasnoci cigu geometrycznego zapisujemy równo: x Zatem 7 n x n Std x x dla n n n q a xn n xn xn xn an Zauwaamy, e jeli dla dowolnej liczby naturalnej n: x x n, to cig x arytmetyczny o rónicy r Z wasnoci cigu arytmetycznego zapisujemy ukad równa x x r x 9r 45 r 0 x 45r 45 Doprowadzamy ukad do postaci: i podstawiamy r do pierwszego r równania Otrzymujemy równanie z jedn niewiadom: 0x 5 45 Std x Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wykorzystanie wasnoci cigu geometrycznego i zapisanie odpowiedniego równania, np x 7 n x n Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie zalenoci midzy dwoma kolejnymi wyrazami cigu x : x x (wystarczy zapis, np x x ) Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie ukadu równa x x r x 9r 45 x 9r 0 45 0 x 45r 45 lub, lub, r r r x x x 7 45 i przeksztacenie do równania w postaci, lub równania np: 0x 5 45 Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie x : x Uwaga Jeeli zdajcy pomyli wasnoci cigu arytmetycznego i geometrycznego, to za cae rozwizanie otrzymuje 0 punktów n n n n n jest

II sposób rozwizania x 45 Z warunków zadania zapisujemy równo: x x n Zatem x x x 45 n Korzystajc z tego, e cig a jest geometryczny o ilorazie q 7 otrzymujemy 7 7 Std 0x 9 45 7 0x 45 45 0x 5 45 0x 5 45 x x x 9 45 0x 0 n x Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt x 45 Wykorzystanie warunków zadania i zapisanie równoci: x x n Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Wykorzystanie wasnoci cigu geometrycznego i zapisanie równania: 9 45 x x 7 x 7 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Przeksztacenie równania do postaci: 0x 5 45 Rozwizanie pene4 pkt Obliczenie x : x Zadanie 6 (0 4) Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizków miarowych w figurach paskich z zastosowaniem trygonometrii I sposób rozwizania C D A E 0 B Z treci zadania wynika, e BD BC i ABC 0 oraz BE 4

BE Z trójkta prostoktnego BEC otrzymujemy: cos0 BC Zatem 4 BC Std BC i 8 4 BD Obliczamy AD, stosujc twierdzenie cosinusów dla trójkta ABD AD AB BD AB BD cos ABD, 4 4 AD 8 8, 6 67 AD 64 7 4 Std AD 4 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wprowadzenie oznacze i obliczenie dugoci odcinka BC lub CE: 8 4 BC lub CE Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt 4 Obliczenie dugoci odcinka BD: BD Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkta ABD: 4 4 AD 8 8 cos0 Rozwizanie pene 4 pkt 4 Wyznaczenie dugoci rodkowej AD: AD Uwaga Jeli zdajcy bdnie wyznaczy warto cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwizanie do koca, to otrzymuje punkty

4 II sposób rozwizania x y C 0 x D A B Wprowadzamy oznaczenia: x dugo ramienia trójkta ABC, y dugo rodkowej AD tego trójkta Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla trójkta ABC, gdzie ACB 0 : 8 x x x cos0 Przeksztacamy równanie do postaci 64 x x 8 4 Std otrzymujemy: x Poniewa CD x, std CD Obliczamy AD, stosujc twierdzenie cosinusów dla trójkta ADC: 8 4 8 4 8 4 8 4 y cos0, 64 6 y Std otrzymujemy y 4 7 4 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wprowadzenie oznacze i zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkta ABC, np 8 x x x cos0 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt 8 64 Obliczenie x lub x : x, x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkta ADC: 8 4 8 4 y cos0 albo 8 4 8 4 64 6 y Rozwizanie pene4 pkt 4 Wyznaczenie dugoci rodkowej AD: y Uwaga Jeli zdajcy bdnie wyznaczy warto cos0 (np zapomina o znaku) i konsekwentnie doprowadzi rozwizanie do koca, to otrzymuje punkty

5 III sposób rozwizania C x y D A 0 B Wprowadzamy oznaczenia: x dugo ramienia trójkta ABC, y dugo rodkowej AD tego trójkta Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla trójkta ABC, gdzie ABC 0 x x x 8 8 cos0 Przeksztacamy równanie do postaci: 64 8 x 8 4 Std otrzymujemy: x Poniewa BD x, std BD Obliczamy AD stosujc twierdzenie cosinusów dla trójkta ABD : 4 4 y 8 8 cos0, Std otrzymujemy 4 y 4 4 6 y 8 8 64 Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wprowadzenie oznacze i zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkta ABC, np x 8 x 8 x cos0 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt 8 64 Obliczenie x lub x : x, x Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie twierdzenia cosinusów dla trójkta ADC: 4 4 y 8 8 cos0 Rozwizanie pene 4 pkt 4 Wyznaczenie dugoci rodkowej y: y Uwaga Jeli zdajcy bdnie wyznaczy warto cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwizanie do koca, to otrzymuje punkty

6 IV sposób rozwizania C D 0 A B E F Z treci zadania wynika, e AE EB 4 Poniewa DF CE i D jest rodkiem odcinka BC, to F jest rodkiem odcinka EB Std FB DF Trójkt BDF jest poow trójkta równobocznego o wysokoci FB, wic FB FB Std DF Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta ADF obliczamy dugo rodkowej AD: 4 7 4 AD AF DF 6 6 4 Schemat oceniania IV sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Obliczenie dugoci odcinka FB: FB Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Obliczenie dugoci odcinka DF: DF Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie równoci wynikajcej twierdzenia Pitagorasa dla trójkta ADF: AD AF DF Rozwizanie pene4 pkt 7 4 Wyznaczenie dugoci rodkowej AD: AD 4 Uwaga Rozwizanie analityczne jest zastosowaniem IV sposobu rozwizania

7 V sposób rozwizania C S D A E 0 B Z treci zadania wynika, e AE EB 4 Trójkt CEB jest poow trójkta równobocznego o wysokoci FB, wic CE EB Std EB 4 CE Z twierdzenia o rodku cikoci trójkta wynika, e 4 4 i SE CE Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta ASE mamy: AS AE SE czyli Std 4 6 AD 6 9 7 4 448 AD 9 7 7 4 AD 4 4 AD 4 Schemat oceniania V sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt 4 Obliczenie dugoci odcinka CE: CE Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie, e AS AD i SE CE Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie równoci wynikajcej z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta ASE: AD AF DF Rozwizanie pene 4 pkt 7 4 Wyznaczenie dugoci rodkowej AD: AD 4 AS AD

8 Zadanie 7 (0 4) Uycie i tworzenie strategii Rozwizanie zadania dotyczcego wzajemnego pooenia prostej i okrgu I sposób rozwizania (parametryczny) 4 y S -4 - - - 4 A x - - Stwierdzamy, e prosta o równaniu x nie jest styczna do okrgu x y x y 0 (odlego rodka okrgu od tej prostej jest wiksza od promienia) Zapisujemy równanie kierunkowe prostej przechodzcej przez punkt A (,0) : y a x lub y ax a w zalenoci od parametru a (gdzie a jest wspóczynnikiem kierunkowym prostej stycznej) x y x y 0 Zapisujemy ukad równa y ax a i doprowadzamy do równania kwadratowego z niewiadom x, np x ax a x ax a 0 Prosta y ax a jest styczna do okrgu wtedy, gdy ukad ten ma dokadnie jedno rozwizanie, czyli gdy równanie kwadratowe x ax a x ax a rozwizanie Przeksztacamy równanie x a x 4a x 4a x ax 4a 0, x a x 4a a 4a 4a 0 0 ma dokadnie jedno Zapisujemy warunek na to, aby równanie miao jedno rozwizanie: 0 Zatem a a a a a 4a a 4 a 4a 4a 0 Std a 4 4 4 4 0 a 0 x a x a a a a 4 4 4 0

9 rozwizujemy równanie a a 0 : 5 a lub a Z tego, e a, a oznaczaj wspóczynniki kierunkowe prostych stycznych i a a wynika, e styczne s do siebie prostopade Std miara kta midzy stycznymi jest równa 90 albo korzystamy ze wzorów Viète a i zapisujemy a a, gdzie a i a s pierwiastkami równania a a 0 Z tego, e a, a oznaczaj wspóczynniki kierunkowe prostych stycznych i a a wynika, e styczne s do siebie prostopade Std miara kta midzy stycznymi jest równa 90 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie równania kierunkowego prostej przechodzcej przez punkt A (,0) w postaci, np: y a x lub y ax a, lub ax y a 0 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt x y x y 0 Zapisanie ukadu równa i doprowadzenie do równania y ax a kwadratowego z niewiadom x, gdzie a jest parametrem, np x a x 4a a 4a 4a 0 Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) pkt Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie wartoci parametru a, dla których równanie ma jedno rozwizanie i zapisanie, e dla tych wartoci a proste styczne s prostopade albo Wykorzystanie wzorów Viète a do zapisania a a i stwierdzenie, e proste styczne s prostopade II sposób rozwizania (odlego punktu od prostej) Przeksztacamy równanie okrgu y x y 0 x do postaci x y S, r 5 Wyznaczamy wspórzdne rodka S i promie r tego okrgu:, 5 Stwierdzamy, e prosta o równaniu x nie jest styczna do okrgu x y x y 0 Zapisujemy równanie kierunkowe prostej przechodzcej przez punkt A (,0) i stycznej do okrgu: y a x lub y ax a lub ax y a 0 w zalenoci od parametru a (gdzie a oznacza wspóczynnik kierunkowy prostej stycznej)

0 Wyznaczamy odlego rodka S okrgu od prostej o równaniu ax y a 0 : a a d a Poniewa promie okrgu jest równy odlegoci rodka okrgu S od stycznej, wic otrzymujemy równanie a a 5 a Przeksztacamy to równanie 5a 5 a 5a 5 9a 6a 4a 6a 4 0 std a a 0 Dalej postpujemy jak w sposobie I Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie równania prostej przechodzcej przez punkt A (,0) i stycznej do okrgu w postaci, np: y a x lub y ax a, lub ax y a 0 (gdzie a oznacza wspóczynnik kierunkowy prostej stycznej) Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt a a Zapisanie równania 5, gdzie S, jest rodkiem okrgu o promieniu a r 5 Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) pkt Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie wartoci parametru a, dla których równanie ma jedno rozwizanie i zapisanie, e dla tych wartoci a, proste styczne s prostopade

III sposób rozwizania (punkty stycznoci) Przeksztacamy równanie okrgu y x y 0 x do postaci x y S, r 5 Wyznaczamy wspórzdne rodka S i promie r tego okrgu:, Wykonujemy rysunek, na którym zaznaczamy okrg o rodku, oraz punkt A (,0) y 5 S i promieniu r 5 B S A x C Niech punkty B i C bd punktami stycznoci prostych poprowadzonych z punktu A (,0) do okrgu o równaniu x y 5 Wówczas SBA SCA 90 i SA jest przeciwprostoktn w trójktach ACS i ABS Obliczamy lub odczytujemy dugo odcinka SA : 0 9 0 SA Poniewa Std SB AB SA i SB AB AC SC SC CA SA, to AB 5 i AC 5 Zapisujemy równanie okrgu o rodku w punkcie A (,0) i promieniu AB 5 : y 5 x Punkty przecicia okrgów o równaniach x y 5 i x y 5 jednoczenie punktami stycznoci prostych stycznych do okrgu x y, które s 5, poprowadzonych przez punkt A (,0), to punkty B i C Wyznaczamy ich wspórzdne rozwizujc ukad równa x y 5 x y 5 lub odczytujemy z wykresu: B, i 0, C

Przeksztacamy ukad równa do równania i wyznaczamy y w zalenoci od x: x y x y x 4x 4 x y 0 6x y 0 y 6x y x x y y x 4x 4 y Podstawiamy x Przeksztacamy to równanie x x 5 y do równania x y 0x 0x 0 0x x 0 Std x 0 lub x 0 Zatem x 0 lub x Zatem y lub y 5 Punkty stycznoci maj wspórzdne B, i C 0, Zapisujemy równania stycznych AB i AC do okrgu x y 5: y x 4 i y x lub tylko ich wspóczynniki kierunkowe: a, a Poniewa, to proste AB i AC s prostopade Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zauwaenie, e trójkty ACS i ABS s prostoktne i obliczenie dugoci przeciwprostoktnej, np SA 0 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt x y 5 x x 0 Zapisanie i rozwizanie ukadu równa : lub x y 5 y y albo Odczytanie z wykresu wspórzdnych punktów stycznoci: B,, C 0, Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) pkt Rozwizanie pene 4 pkt Wyznaczenie równa stycznych do okrgu lub tylko ich wspóczynników kierunkowych i zapisanie, e proste styczne s prostopade

IV sposób rozwizania S, r 5 Wyznaczamy wspórzdne rodka S i promie r tego okrgu:, Wykonujemy rysunek, na którym zaznaczamy okrg o rodku, oraz punkt A (,0) S i promieniu r 5 4 y B S -4 - - - 4 A x - C SB 5 SA 0 0 sin SAB 5 0 Std SAB 45 czyli BAC 90 Schemat oceniania IV sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Obliczenie promienia okrgu: SB 5 i obliczenie dugoci odcinka SA: SA 0 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Obliczenie sin SAB lub obliczenie AB 5 (lub AC 5 ) lub zapisanie SA SB Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie miary kta BAC: BAC 90 lub zapisanie, e kt BAC jest prosty

4 Zadanie 8 (0 4) Modelowanie matematyczne Znalezienie zwizków miarowych w graniastosupie, wyznaczenie najwikszej wartoci funkcji Rozwizanie h a Wprowadzamy oznaczenia: a dugo krawdzi podstawy graniastosupa, h dugo krawdzi bocznej graniastosupa Z tego, e suma dugoci wszystkich krawdzi graniastosupa prawidowego szecioktnego jest równa 4, mamy a 6h 4 h Wyznaczamy jedn ze zmiennych: h 4 a lub a Pole P powierzchni bocznej jest równe P 6ah dla a 0, oraz 0, 4 h Aby wyznaczy dugo krawdzi podstawy graniastosupa, którego pole powierzchni bocznej jest najwiksze, zapisujemy funkcj P w zalenoci od zmiennej a P a 6a 4 a, P a a 4a albo Schemat oceniania Pole P ma najwiksz warto, gdy a zapisujemy funkcj P w zalenoci od zmiennej h h P h 6h P h h h, Pole P ma najwiksz warto, gdy h Zatem a Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Wprowadzenie oznacze i zapisanie, e a 6h 4 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie pola P powierzchni bocznej graniastosupa oraz wyznaczenie a lub h w zalenoci od jednej zmiennej, np: h P 6ah oraz a lub h 4 a

5 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie pola powierzchni bocznej w zalenoci od jednej zmiennej: h P a 6a 4 a lub P h 6h Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie dugo krawdzi podstawy graniastosupa, którego pole powierzchni bocznej jest najwiksze: a Uwaga Jeeli zdajcy wyznaczy tylko warto h, dla której pole powierzchni bocznej jest najwiksze, to otrzymuje punkty Zadanie 9 (0 4) Uycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczb permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych Rozwizanie 8 Wybieramy miejsce dla dwójek Jest 8 takich miejsc 6 Wybieramy miejsce dla trójek Jest 0 takich miejsc Na pozostaych trzech miejscach mog wystpi cyfry:, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Jest trójelementowych ze zbioru siedmioelementowego 4 Zatem jest 8 07 4 57 9080 liczb speniajcych warunki zadania 7 cigów Schemat oceniania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Obliczenie liczby miejsc, na których mog znajdowa si dwójki albo obliczenie liczby miejsc, na których mog znajdowa si trójki, albo obliczenie na ile sposobów mona zapeni trzy pozostae miejsca Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Obliczenie obu wielkoci: liczby miejsc, na których mog znajdowa si dwójki i liczby miejsc, na których mog znajdowa si trójki Rozwizanie pene 4 pkt Obliczenie liczby cigów na pozostaych miejscach, skorzystanie z reguy mnoenia i obliczenie, e jest 9080 szukanych liczb

6 Uwagi Zdajcy moe oblicza liczby miejsc dla dwójek i trójek w sposób nastpujcy: 85 8 5 albo, albo najpierw miejsca dla cyfr rónych od i od i potem miejsca 5 5 8 5 dla dwójek (lub trójek): ( 8 5 ) Jeeli zdajcy rozwie zadanie przy zaoeniu, e pozostae trzy liczby s róne, 86 otrzymujc 765, to otrzymuje punkty Za rozwizanie 87654 7 zdajcy otrzymuje 0 punktów 4 Jeeli zdajcy poprawnie rozwie zadanie: ile jest liczb omiocyfrowych w zapisie których nie wystpuje zero, natomiast wystpuj co najmniej dwie dwójki i wystpuj co najmniej trzy trójki, to otrzymuje 4 punkty (poprawny wynik: 4740) 86 5 Odpowied 9 otrzymuje 0 punktów jest bdna (bd merytoryczny) W takim przypadku zdajcy Zadanie 0 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Znalezienie zwizków miarowych w figurach paskich Rozwizanie Poniewa punkty N i P s rodkami boków DC i AC trójkta ADC, wic NP AD Punkty M i Q s rodkami boków AB i DB trójkta ABD, wic MQ AD Zatem NP MQ Schemat oceniania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania pkt Zapisanie, e: NP AD lub MQ AD Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie i uzasadnienie, e NP AD oraz MQ AD Rozwizanie pene pkt Zapisanie wniosku, e NP MQ

7 Zadanie (0 6) Uycie i tworzenie strategii Znalezienie zwizków miarowych w ostrosupie I sposób rozwizania S Wprowadzamy oznaczenia: std AH x A D H HMS, AC 6x, AS 5x Poniewa Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta CHS otrzymujemy: SH CS HC 5x x 5x 9x 4x AC 6x Poniewa BC, std BC 6x x Zatem CM BC Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta MCS otrzymujemy Std 9 50 9 4 SM x x x x 5, SH 4x 4 4 8 Zatem sin SM 4 4 4 x SM B M C SM CS CM 4 x AH AC

8 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wyznaczenie AH x i SH 4x przy przyjtych oznaczeniach, np: HMS, AC 6x, AS CS 5x Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt AC 6x Wyznaczenie dugoci BC: BC lub BC x i wyznaczenie dugoci CM: x x CM lub CM Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania 4 pkt 4 8 Wyznaczenie dugoci SM: SM x lub SM x Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) 5 pkt Rozwizanie pene 6 pkt 4 8 Wyznaczenie sinusa kta nachylenia ciany bocznej do paszczyzny podstawy: sin 4 Uwagi Jeli zdajcy wyznaczy jedn z wielkoci BC lub BM i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy, to za rozwizanie otrzymuje punkty Jeeli zdajcy obliczy tg lub cos, a nie obliczy sin lub obliczy go z bdem, to otrzymuje 5 punktów II sposób rozwizania S A D H B M C Wprowadzamy oznaczenia: i AH a HMS, a AB BC CD AD, std AC a

9 Zapisujemy równo wynikajc z treci zadania: AC 6 AS 5 czyli 6 aas 5, std 5a AS 6 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta prostoktnego ASH otrzymujemy: 5 5 6 4 a a a a a a SH AS AH, std SH 6 6 8 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta prostoktnego SHM otrzymujemy: SM SH HM (gdzie HM a Std SM 4a a 6a a a 9a 4a 4 a 8 4 6 6 6 4a SH 4 6 4 8 Zatem sin a SM 4a 4a 4 6 Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wprowadzenie oznacze: HMS, AC a, gdzie a AB BC CD AD AC 6 AS 5 oraz wyznaczenie 5a AS 6 Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt Zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta prostoktnego CSH : 5a a 4a a SH 6 i wyznaczenie: SH lub SH Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania 4 pkt Zapisanie z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta prostoktnego SHM: 4a a a a 4a SM lub SM i wyznaczenie SM : SM 6 Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) 5 pkt Rozwizanie pene 6 pkt 4 8 Wyznaczenie sinusa kta nachylenia ciany bocznej do paszczyzny podstawy: sin 4 Uwagi Jeli zdajcy wyznaczy jedn z wielkoci BC lub BM i na tym poprzestanie lub dalej popeni bdy, to za rozwizanie otrzymuje punkty Jeeli zdajcy obliczy tg lub cos, a nie obliczy sin lub obliczy go z bdem, to otrzymuje 5 punktów

0 III sposób rozwizania S Wprowadzamy oznaczenia: AH AC std AH x 6x Wtedy BC 6x, std BC x x Zatem BM, HM A Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkta BMS otrzymujemy Std Zatem 9 4 4 5 cos HM x SM 4 x 4 SM x x x x D H B HMS, AC 6x, HC x, SC 5x Poniewa 9 4 4 4 8 Std sin cos 4 4 4 4 M C SM BS BM

Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt Wprowadzenie oznacze: HMS, AC 6x, HC x, SC 5x, AH x Rozwizanie, w którym jest istotny postp pkt AC 6x Wyznaczenie dugoci BC: BC lub BC x i wyznaczenie dugoci x BM HM Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania 4 pkt 4 8 Wyznaczenie dugoci SM: SM x lub SM x Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np bdy rachunkowe) 5 pkt Rozwizanie pene 6 pkt 4 8 Obliczenie cos, a nastpnie sin : cos, sin 4 4 Uwaga Jeeli zdajcy obliczy jedynie cos, to otrzymuje 5 punktów Zadanie (0 ) Uycia i tworzenia strategii Wykorzystanie wasnoci prawdopodobiestwa do obliczania prawdopodobiestwa zdarze I sposób rozwizania A B A B ' B Wiemy, e i A B ' B oraz P A B Mamy wic: P A B P A B ' PB, std P A B ' 0, Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt A B A B ' B Zdajcy nie musi tego wyranie napisa, o ile wynika Zapisanie, e to z dalszych rozwaa Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie, e A B ' B oraz, e P A B Zdajcy nie musi tego wyranie napisa, o ile wynika to z dalszych rozwaa Rozwizanie pene pkt P A B ' 0, Zapisanie wniosku:

II sposób rozwizania P A B P A P B P A B Wiemy, e Std P A B 0,6 Mamy wic: P A B ' P A P A B 0,9 0, 6 0, Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt P A B ' P A P A B Zdajcy nie musi tego wyranie napisa, Zapisanie, e o ile wynika to z dalszych rozwaa Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt P A B P A B P A P B P A B, Uzasadnienie, e 0,6, np zapisze std P A B 0,6 Rozwizanie pene pkt P A B ' 0, Wykazanie, e: III sposób rozwizania Z faktu, e A B ' B ' wynika, e P A B ' P B ' Poniewa P B 0,7, wic P B ' 0, Std wynika, e P A B P B ' ' 0, Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania zadania pkt ' P B ' 0, Obliczenie PB : Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania pkt Zapisanie lub wykorzystanie faktu, e A B ' B ' Rozwizanie pene pkt P A B ' 0, Zapisanie wniosku: