Musimy wyznaczyć pole przepływu, ale i w nim mogą być nieliniowości.

Transkrypt

1 OBLICZENIA POLA PRZEPŁYWU Musimy wyznaczyć pol przpływu, al i w nim mogą być niliniowości Człon ciśniniowy Zaczynając dyskrtyzację równania pędu w kirunku x (rys. 6.1) jdynym nowym członm jst człon ciśniniowy -dp/dx, który nalży scałkować w objętości kontrolnj. W wyniku otrzymamy spadk ciśninia p w -p, który wyraża siłę ciśniniową ntto wywartą na objętość kontrolną na objętość kontrolną o jdnostkowym polu przkroju. Clm wyrażnia p w -p w zalżności od ciśninia w punktach węzłowych, możmy założyć liniowy profil zminności ciśninia. Jżli dodatkowo powirzchni między objętościami kontrolnymi umijscowion są w połowi odlgłości między nimi, to mamy p w pw + pp pp + pe pw + pe p = = (6.1) Rys. 6.1 Trzypunktowa siatka. Oznacza to, ż równani pędu posiada różnicę ciśninia pomiędzy punktami P i W, z wyłącznim punktu P. Oznacza to, ż siatka, na którj wyznaczan jst pol ciśninia jst dwa razy rzadsza od stosowanj siatki. Zmnijsza to dokładność rozwiązania. Inną komplikacją, jdnak moż być, to co jst widoczn na rys. 6.2, gdzi przdstawiono ciśnini przy pomocy wartości węzłowych. Charaktr

2 zygzakowaty pola ciśninia ni moż być uważany za ralny, al dla każdgo punktu P odpowiadająca różnica p W - p E wynosi zro!!!. Stąd wynika, ż równani pędu będzi brało pod uwagę stały charaktr ciśninia, któr w rzczywistości będzi miało charaktr falowy. Tgo typu nibzpiczństwo będzi jszcz bardzij zaakcntowan w przypadku dwuwymiarowym. W podobny sposób jak równani w kirunku x jst pod wpływm p W - p E, to równani w kirunku y jst pod wpływm p S p N ; i wówczas ciśnini p p ni odgrywa żadnj roli. Mając to na uwadz, możmy wnioskować, ż pol ciśninia pokazan na rys. 6.3, któr jst utworzon z cztrch dowolnych wartości ciśninia zaaranżowanych na wzór szachownicowy, ni powodowałoby siły ciśniniowj w kirunku x i y. Rys. 6.2 Zygzakowat pol ciśninia.

3 Rys. 6.3 Szachownicow pol ciśninia. Stąd tż, z punktu widznia równania pędu, silni niliniow pol ciśninia byłoby uważan za stał pol ciśninia. Tgo typu pol ciśninia powstawałoby podczas procdury itracyjnj i nic ni byłoby w stani zatrzymać tgo, a równani pędu byłoby niświadom obcności tak zminiongo pola ciśniń. Liczby, użyt na rys. 6.2 i 6.3 ni mają żadngo znacznia praktyczngo, po prostu pokazują wzór ułożony z dowolnych liczb. W przypadku trójwymiarowym, mógłby powstać nawt bardzij złożony wzór, który byłby intrprtowany jako stał pol ciśninia. Jżli jako rozwiązani pola ciśninia otrzymuj się taki rozwiązani to jst ono bzwzględni nipożądan. Jakikolwik dodani pola ciśninia typu szachownicowgo powoduj powstani nowgo pola ciśninia Dyskrtyzacja równania ciągłości Podobny problm powstaj gdy próbujmy skonstruować równani dyskrtyzacyjn równania ciągłości. Dla przypadku ustalongo 1D przy stałj gęstości, równani ciągłości ma postać du dx = 0 Całkując w granicach objętości kontrolnj z rys. 6.1 (6.2) u u = 0 (6.3) w Użyci profilu liniowgo dla u oraz cntralngo usytuowania granic objętości kontrolnj, prowadzi do lub u 2 u u + u P + E w P 2 = 0 (6.4)

4 u u = 0 (6.5) E W Wynika stąd, ż zdyskrtyzowan równani ciągłości wymaga równości prędkości w punktach węzłowych odlgłych od sibi o 2 punkty, a ni o 1. Wynikim tgo jst pol prędkości typu z rys. 6.4, któr ni są rzczywist, al spłniają zdyskrtyzowan równani ciągłości (6.5). W przypadkach 2D i 3D można stworzyć podobn charaktrystyki prędkości, czyli taki któr spłniają równani ciągłości, al ni mają racjonalngo wytłumacznia fizyczngo. Rys. 6.4 Falow pol prędkości. Tgo typu problmy muszą być rozwiązan zanim sformułowana zostani mtoda numryczna rozwiązania pola prędkości i ciśninia. W litraturz przdmiotu można znalźć kilka mtod, w których tgo typu problmy ni poświęcono zbyt wil uwagi. W takich przypadkach, niraln rozwiązania są unikan poprzz spcjaln traktowani w warunkach brzgowych, przwymiarowani warunków brzgowych, podrlaksację clm wygładznia strzału początkowgo, czy tż ostatczni szczęśliwy przypadk. Nistty, większość z tych mtod zaakcptowałaby pol prędkości i ciśninia z Rys jako dobr

5 rozwiązania, i nalży przy ich użyciu stosować spcjalnych trików aby ustrzc się tgo typu pułapk. Zanim przjdzimy do opisania sposobów ominięcia tgo typu problmów, nalży zauważyć, ż większość problmów w analizi numrycznj jst związana z pirwszymi pochodnymi. Druga pochodna zawsz stabilna i ni przdstawia trudności. Z drugij strony, wszystki komplikacj, na jaki natrafiliśmy w dzial konwkcyjnym można odniść do pirwszj pochodnj rprzntującj człon konwkcyjny; natomiast w tym przypadku, pirwsz pochodn ciśninia (w równaniu pędu) oraz prędkości (w równaniu ciągłości) powodują różngo rodzaju nonsnsy. 6.3 SPOSÓB: SIATKA PRZESTAWIONA Problmy, z którymi spotkaliśmy się dotychczas mogą zostać rozwiązan w taki sposób, ż ni musimy wyznaczać wszystkich zminnych w tych samych punktach węzłowych. Możmy, jżli wymaga tgo sytuacja, ustawić osobną siatkę obliczniową dla każdj z zminnych zalżnych. Oczywiści, ni trzba korzystać z tj formy, jżli ni idą za tym żadn korzyści. W przypadku składowych pola prędkości można skorzystać bardzo wydatni z faktu, ż można j zorganizować na różnych siatkach niż dla innych zminnych. Spowoduj to, ż pozbędzimy się kłopotów opisanych powyżj. Tgo typu przstawiona siatka ("staggrd" grid) została zastosowana w procdurz SIMPLE Patankara i Spaldinga (1972a). W siatc przstawionj składow prędkości są wyznaczan dla punktów, któr lżą na granicy objętości kontrolnych. Z tgo względu, składowa prędkości u w kirunku x jst liczona na powirzchniach, któr są prostopadł do kirunku x.

6 Rys Siatka przstawiona dla u Lokalizacj dla prędkości u są pokazan na rys. 6.5 poprzz krótki strzałki, podczas gdy punkty węzłow (odtąd będą nazywan jako główn punkty węzłow) są pokazan jako otwart kółka. Linia przrywana wskazuj na powirzchni graniczn między objętościami kontrolnymi. Można zauważyć, ż w odnisiniu do głównych punktów węzłowych, lokalizacja u jst przstawiona tylko w kirunku x. Innymi słowy, lokalizacja dla składowj u znajduj się na linii na kirunku x łączącj dwa sąsiadując główn punkty węzłow. W zalżności czy lokalizacja u znajduj się dokładni w połowi drogi między punktami węzłowymi zalży od sposobu, w jaki rozmiszczon są objętości kontroln. Lokalizacja u musi się znajdować na powirzchni granicznj objętości kontrolnj nizalżni od faktu, czy ta lży w równj odlgłości między punktami węzłowymi. Łatwo jst spostrzc w jaki sposób lokalizacj składowych prędkości ϑ i w miałyby być zdfiniowan. Na rys. 6.6, pokazano 2D siatkę, wraz z lokalizacjami dla u i ϑ na odpowidnich powirzchniach objętości kontrolnych. Można sobi równiż wyobrazić odpowidni rozmiszcznia punktów siatki dla sytuacji 3D.

7 Rys. 6.6 Przstawion lokalizacj dla u i ϑ. = u; = ϑ; o = inn zminn. Natychmiastową konskwncją przstawionj siatki są przpływy przz powirzchni objętości kontrolnych (Γ), których składow prędkości wyznacza się bz koniczności intrpolacji. Jdnakż, tgo typu ccha, aczkolwik pozytywna w ustawianiu ogólngo równania dyskrtyzacyjngo dla φ, ni jst najważnijszą cchą siatki przstawionj. Zalty są dwi. Dla typowj objętości kontrolnj (pokazanj jako obszar zaciniony na rys. 6.6) łatwo zauważyć, ż zdyskrtyzowan równani ciągłości zawira różnic składowych prędkości dla sąsiadujących punktów, a to zabzpicza przd falowym polm prędkości (np. z rys. 6.4) w równaniu ciągłości. W przypadku siatki przstawionj, jdynym odpowidnim polm prędkości byłoby taki, któr spłnia równani ciągłości. Drugą ważną zaltą siatki przstawionj jst to, ż różnica ciśniń pomiędzy dwoma sąsiadującymi punktami staj się traz siłą napędową dla składowych prędkości zlokalizowanych pomiędzy tymi punktami węzłowymi. W konskwncji, pola ciśniń (jak z rys. 6.2 i 6.3) ni byłyby już odczuwan jako stał pola ciśniń i ni powstawałyby jako możliw rozwiązania.

8 Trudności opisan powyżj były cchą charaktrystyczną wyznaczania wszystkich zminnych na tych samych punktach węzłowych. Tgo problmu ni ma w przypadku siatki przstawionj. Ma to jdnak tż i swoją cnę. Program komputrowy oparty na siatc przstawionj musi mić zakodowan indksowani oraz informacj gomtryczn dotycząc składowych prędkości i musi wykonywać raczj żmudn intrpolacj. Jdnak, nalży stwirdzić, ż korzyści użycia siatki przstawnj dalko przwyższają nakłady. 6.4 RÓWNANIA PĘDU Nalży jszcz raz nadminić, ż jżli dan jst pol prędkości, to rozwiązani równania pędu można szukać na drodz rozwiązania równania konwkcji-dyfuzji dla zminnj ogólnj φ. W równaniu pędu, φ oznacza stosowny składnik prędkości, a Γ i S muszą mić narzucon ich odpowidni znacznia. Założni siatki przstawnj powoduj jdnak, ż zdyskrtyzowana postać równania pędu jst nico inna niż pozostał równania dyskrtyzacyjn, wyznaczon dla głównych punktów węzłowych. Ni jst to jdnak taka wilka wada. Przstawiona objętość kontrolna dla równania pędu w kirunku x jst pokazana na rys Jżli skoncntrujmy się tylko na składowj u, to ni zauważymy niczgo szczgólngo dla tj OK. Jj powirzchni lżą pomiędzy punktm oraz odpowidnimi lokalizacjami punktów sąsiadujących u. Objętość kontrolna jst, jdnak, przstawiona w odnisiniu do normalnj OK. wokół punktu P. Przsunięci występuj jdyni w kirunku x, tak, ż powirzchni prostopadł do tgo kirunku przchodzą przz główn punkty węzłow P i E. Tn rozkład pokazuj jdną z zalt siatki przstawionj. Różnica p P -p E moż być użyta do wyznacznia siły ciśniniowj działającj na OK. w przypadku prędkości u.

9 Rys. 6.7 Objętość kontrolna dla u. Obliczni współczynnika dyfuzji oraz masowgo natężnia przpływu na powirzchniach OK. pokazanj na rys wymaga stosownj intrpolacji; nimnij podobna intrpolacja do tj pokazanj w przypadku konwkcji-dyfuzji, moż zostać zastosowana. Wynikając równani dyskrtyzacyjn ma postać a u nb nb ( p P p E ) A = a u + b + (6.6) Liczba członów sąsiadujących zalży od wymiaru zagadninia. Dla sytuacji 2D pokazanj na rys. 6.7 pokazano cztrch sąsiadów u poza objętością kontrolną; w przypadku 3D, nalżałoby włączyć 6 sąsiadów u. Sąsiadując współczynniki a nb opisują połączoną konwkcję-dyfuzję na granicach objętości kontrolnj. Człon b jst zdfiniowany podobni jak człony źródłow (5.57) czy (5.62), al człon ciśniniowy ni jst włączony w wilkościach źródłowych S C i S P. Gradint ciśninia powoduj istnini ostatnigo członu w (6.6). Jako ż musimy takż wyznaczyć pol ciśninia, nistosownym byłoby włączni ciśninia do członu źródłowgo równania pędu. Człon (p P -p E )A oznacza siłę ciśniniową działającą na OK. u, A powirzchnia działania ciśninia. Dla 2D A = Δy 1, w 3D A = Δy Δz.

10 Rys. 6.8 Objętość kontrolna dla ϑ. Równania pędu dla innych kirunków są rozważan w podobny sposób. Na rys. 6.8 pokazano OK. dla kirunku y równania pędu; jst ona przsunięta w kirunku y. Równani dyskrtyzacyjn dla ϑ n ma postać n n nb nb ( p P p N ) A n a ϑ = a ϑ + b + (6.7) gdzi (p p - p N )A n jst odpowidnią siłą ciśniniową. W przypadku 3D można zapisać podobn równani dla składowj w. Równania pędu mają rozwiązani jdyni w przypadku gdy dan jst pol ciśninia lub jst oszacowan w jakiś sposób. Dopóki ni będzimy znali właściwgo pola ciśninia, to wynikow pol prędkości ni będzi spłniało równania ciągłości. Taki nidokładn pol prędkości, opart na zgadniętym polu ciśninia p oznaczmy przz u, ϑ,w. Wilkości z gwiazdkami będą wynikały z rozwiązania następujących równań dyskrtyzacyjnych: a n u n nb nb ( p P p E ) A ( p P p N ) A n = a u + b + (6.8) nb nb a ϑ = a ϑ + b + (6.9)

11 a t w t nb nb ( p P p T ) A t = a w + b + (6.10) W tych równaniach składow prędkości i ciśninia posiadają indks górny. Lokalizacja t lży na kirunku z pomiędzy punktami P i T. 6.5 KOREKTA CIŚNIENIA I PRĘDKOŚCI Clm naszym jst znalzini sposobu poprawinia odgadniętgo ciśninia p tak, ż wynikając pol prędkości oznaczon gwiazdką będzi stopniowo zbliżało się do spłninia równania ciągłości. Załóżmy, ż właściwa wartość ciśninia p składa się z p = p + p' (6.11) gdzi p' będzi oznaczało korktę ciśninia. Następni, musimy poznać w jaki sposób składow prędkości odnoszą się do tj zmiany ciśninia. W podobny sposób można wprowadzić odpowidni korkty prędkości u', ϑ', w': u = u + u' ϑ = ϑ + ϑ' w = w + w' Jżli odjmimy (6.8) od (6.6), otrzymamy a u ' nb ' nb ' ' ( p P p E ) A (6.12) = a u + (6.13) W tym mijscu, na ślpo odrzucamy człon a nbu ' z równania (6.13). nb Dyskusję tgo przprowadzimy w dalszj części. Na tę chwilę powidzmy, ż zrobiliśmy tak tylko z względu na ułatwinia numryczn. W wyniku mamy lub gdzi a u u ' ' ' ' ( p P p E ) A = (6.14) ' ' ( p P p E ) d = (6.15) A d (6.16) a

12 Równani (6.15) nazwimy korktą prędkości, którą można zapisać w postaci u ' ' ( p P p E ) d = u + (6.17) (6.17) pokazuj jak wilkość z gwiazdką u ma być korygowana, aby w konskwncji korkty ciśninia, aby dać w wyniku u. Korkty prędkości w innych kirunkach można zapisać w postaci: n n ' ' ( p P p N ) d n ' ' ( p P p T ) d t ϑ = ϑ + (6.18) w t t = w + (6.19) Stąd, poczyniliśmy wszlki przygotowania, aby uzyskać równani dyskrtyzacyjn dla p'. Przjdzimy traz do jgo zastosowania. 6.6 RÓWNANIE KORYGUJĄCE CIŚNIENIE Skupimy się traz na równaniu ciągłości, któr przkształcimy w równani korygując ciśnini. Dla clów tgo wyprowadznia, założymy, ż gęstość ρ ni jst bzpośrdnio zalżna od ciśninia. Późnij przdyskutujmy konskwncj tgo założnia. Wyprowadznia poniżj przprowadzono dla przypadku 3D; wrsj 1D i 2D można uzyskać w prosty sposób. Równani ciągłości ma postać ρ + t x ( ρu) ( ρϑ) ( ρw) + x + x = 0 (6.20) Scałkujmy j po zacinionym obszarz OK. z rys Ta sama OK. była użyta w wyprowadzniu równania dyskrtyzacyjngo dla zminnj ogólnj φ. Dla clów całkowania członu φ/ t, zakładamy, ż gęstość ρ P przważa w OK. Równiż składow prędkości jak u ulokowan na granicy OK. będą rządziły masowym natężnim przpływu dla całj powirzchni. Zgodni z praktyką z schmatu w płni nijawngo, now wartości prędkości i gęstości (tj. t dla czasu t + Δt) założymy, ż

13 przważają on podczas kroku czasowgo; star wartości gęstości ρ P 0 (tj., dla czasu t) pojawią się tylko w członi φ/ t. Rys. 6.9 OK. dla równania ciągłości. Z tymi założniami, postać scałkowana (6.20) przdstawia się ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 0 = Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ Δ Δ y x w w x z z y u u t z y x b t s n w P P ρ ρ ρϑ ρϑ ρ ρ ρ ρ (6.21) Jżli traz podstawimy wszystki wyrażnia na składow prędkości podan przz wyrażnia korkty prędkości [w postaci (6.17)-(6.19)], to otrzymamy, po przkształcniach, następując równani dyskrtyzacyjn dla p': b (6.22) p a p a p a p a p a p a p a B B T T S S N N W W E E P P = ' ' ' ' ' ' ' gdzi z y d a E Δ Δ = ρ (6.23a)

14 b + P E a a W a a a N S T B = ρ d ΔyΔz (6.23b) w w = ρ d ΔzΔx (6.23c) n n = ρ d ΔzΔx (6.23d) s s = ρ d ΔxΔy (6.23) t t = ρ d ΔxΔy (6.23f) W b N b a = a + a + a + a + a + a (6.23g) 0 ( ρ P ρ P ) ΔxΔyΔz = + [( ρu ) w ( ρu ) ] ΔyΔz Δt [( ρϑ ) ( ρϑ ) ] ΔzΔx + [( ρw ) ( ρw ) ] ΔxΔy s n S b T B t (6.23h) Odkąd wartości gęstości ρ będą wyznaczon tylko w głównych punktach węzłowych, wartości między OK. taki jak ρ mogą być wyznaczon przy pomocy byl jakij intrpolacji. Jakakolwik mtoda intrpolacji, to wartość ρ musi być zgodni użyta dla dwóch OK., do których powirzchnia nalży (zasada I). Można zauważyć z równania (6.23h), ż człon b w równaniu korygującym ciśnini jst praktyczni (pomnożoną przz (-1)) lwą częścią zdyskrtyzowango równania ciągłości (6.21) wyznaczongo w zalżności od prędkości z gwiazdką. Jżli b=0, to oznacza to, ż prędkości z gwiazdką, w połączniu z osiągalną wartością (ρ P 0 - ρ P ), spłniają równani ciągłości i ni wymagana jst korkta ciśninia. Stąd wynika, ż człon b rprzntuj człon masowy, który musi być wchłonięty przz korktę ciśninia (poprzz związan z nią korkty prędkości). Mamy traz sformułowan wszystki równania wymagan do uzyskania składowych prędkości i ciśninia. Spójrzmy traz globalni na cały algorytm rozwiązania. 6.7 ALGORYTM SIMPLE

15 Jdna z prostszych procdur umożliwiających oblicznia pola przpływu posiada nazwę SIMPLE (Smi Implicit Mthod for Prssur-Linkd Equations). Procdura jst autorstwa Patankar i Spalding (1972), Cartto, Gosman, Patankar, i Spalding (1972), oraz Patankar (1975) Skwncja opracji Ważnymi opracjami, w koljności ich wykonywania są: 1. Zgadnij pol ciśninia p 2. Rozwiąż równania pędu (6.8)-(6.10), clm otrzymania u, ϑ, w 3. Rozwiąż równani p'. 4. Wyznacz ciśnini p z (6.11) przz dodani p' do p 5. Wyznacz u, ϑ, w z ich wartości z gwiazdką używając zalżności korkt prędkości (6.17)-(6.19). 6. Rozwiąż równani dyskrtyzacyjn dla innych wilkości φ (tmpratura, stopiń zapłninia, wilkości turbulntn) jżli wpływają on na pol prędkości poprzz własności płynu, człony źródłow oraz inn. (Jżli dan φ ni ma wpływu na pol przpływu, to lpij wyznaczyć tę wilkość po otrzymaniu zbiżngo rozwiązania pola prędkości). 7. Potraktować skorygowan ciśnini jako nową wartość ciśninia odgadniętą p, wrócić do punktu 2, i powtórzyć całą procdurę dopóki ni otrzyma się zbiżngo rozwiązania Dyskusja równania opisującgo korktę ciśninia Jak pamiętamy odrzuciliśmy człon a nbu ' podczas wyprowadzania nb równania korkty prędkości, zal. (6.17). Nalży traz wytłumaczyć motywację tgo postępowania oraz wyjaśnić, ż ni miało to wpływu na wyprowadzni.

16 ' 1. Jżli pozostawilibyśmy wyrażnia typu a nb u nb to musiały by on być wyrażon w zalżności od korkt ciśninia i korkt prędkości w punktach sąsiadujących unb. T punkty, z koli, pociągnęły by za sobą koljn punkty sąsidni, itd. Końcowo, zalżność korkty prędkości zawirałaby korktę ciśninia dla wszystkich punktów węzłowych w przstrzni obliczniowj, a wynikow równani korkty ciśninia byłoby bardzo obszrn i ni praktyczn do dalszgo zastosowania. W końcu brnęlibyśmy w kirunku rozwiązywania bzpośrdnigo całgo układu równań pędu i ciągłości, czgoś czgo chciliśmy uniknąć. Odrzucni członu a ' nb u pozwala nam na ustawini równania opisującgo p' nb w postaci ogólngo równania dyskrtyzacyjngo oraz przyjąć skwncyjną procdurę, po jdnym równaniu. 2. Słowa smi-implicit w nazwi SIMPLE są właśni po to aby zaznaczyć opuszczni członu a nbu '. Człon tn rprzntuj ni nb bzpośrdni lub nijawny wpływ korkty ciśninia na prędkość, korkty ciśninia w sąsiadujących lokalizacjach wpływają na sąsiadując prędkości i to powoduj korktę prędkości, na czym nam zalży. Ni rozpatrujmy tgo wpływu i dlatgo mamy do czyninia z schmatm tylko częściowo nijawnym. 3. Opuszczni jakigokolwik członu byłoby niakcptowaln, jśli znaczyłoby to ż stracilibyśmy szansę na poprawn rozwiązani równania pędu i ciągłości. Jdnak rozwiązani przy pomocy procdury SIMPLE ni zawira żadngo błędu wynikającgo z ominięcia a ' nb u. W zbiżnym rozwiązaniu otrzymujmy pol nb prędkości taki, ż wilkości prędkości z gwiazdką spłniają równani ciągłości. Szczgóły wyprowadznia równania ciśninia p są niważn w świtl faktu uzyskania zbiżngo rozwiązania. 4. Warto skoncntrować się na krokach w ostatnij itracji, po którj to dklarujmy płną zbiżność. Mamy, w wyniku poprzdnich itracji, pwn pol ciśninia. Używając go jako p rozwiązujmy równania pędu clm otrzymania u, ϑ, w. Z takigo pola prędkości wyznaczamy człon masowy b do równania korkty

17 ciśninia. Jako ż to ma być nasza ostatnia itracja, wartość b powinna wynosić praktyczni zro dla wszystkich objętości kontrolnych, Wówczas, p =0 dla wszystkich punktów węzłowych byłoby akcptowalnym rozwiązanim (6.22) i wszystki prędkości i ciśninia z gwiazdką byłyby właśni właściwymi wartościami końcowymi. Stąd wynika, ż jżli człon masowy b jst wszędzi równy zro, to jst to wystarczającym stwirdznim, ż mamy do czyninia z właściwym polm ciśninia i,ż ostatni rozwiązani ciśninia p ni jst potrzbn w ostatnij itracji. Oczywiści, zbiżn rozwiązani jst wówczas bz wpływu żadnych aproksymacji poczynionych w wyprowadzaniu równania ciśninia p, równania, którgo nawt ni wykorzystujmy w ostatnij itracji. 5. Z tgo tż faktu, człon masowy b służy nam jako wskaźnik zbiżności rozwiązania przpływowgo. Itracj muszą być kontynuowan aż do momntu gdy wartość b w wszystkich punktach będzi wystarczająco mała. 6. Z takim rozuminim, równani korkty ciśninia moż być postrzgan jako algorytm pośrdni, prowadzący nas do właściwj korkty pola ciśninia, al ni mający wpływu na końcow rozwiązani. Jak tylko otrzymamy zbiżn rozwiązani, wszystki zalżności opisując równani p' dadzą taki samo rozwiązani. 7. Szybkość zbiżności będzi jdnak zalżała od danj spcyfikacji równania opisującgo p'. Jżli ominimy zbyt wil członów, wówczas moż pojawić się rozbiżność. 8. Podana procdura rozwiązania jst narażona na rozbiżność, chyba ż zastosujmy podrlaksację. Z rguły podrlaksujmy u, ϑ, w (w odnisiniu do wartości z poprzdnij itracji u, ϑ, w) w rozwiązywaniu równania pędu (wraz z współczynnikim rlaksacji α, wprowadzonym w (4.55), równym około 0.5]; następni dodajmy tylko część p' do p. Innymi słowy, zamiast używać (6.11), stosujmy p = p +α p p' (6.24)

18 gdzi α p = około 0.8. Clm równania (6.24) jst wyznaczni p, któr będzi użyt jako p w następnj itracji, I tutaj mamy pwną wolność w przyjęciu p (Proponowan wartości współczynnika rlaksacji tj. α=0.5 i α p = 0.8, spłniały wymagania w większości zagadniń przpływowych, al ni nalży ich uważać za wartości optymaln, gdyż tgo typu uwarunkowania mogą się zminiać w zalżności od problmu. 9. Nalży zauważyć, ż podczas każdj itracji prędkości ni są pozostawian jako wilkości z gwiazdką, al są korygowan przy użyciu korkty prędkości. Wynikając pol prędkości spłnia zdyskrtyzowan równani ciągłości, bz względu na fakt, ż podstawian wartości korkty ciśninia są tylko wartościami przybliżonymi. Wynika stąd, ż oblicznia zbigają się poprzz szrg pól prędkości spłniających równani ciągłości. Ma to szrg zalt. Pol prędkości, któr spłnia spłniając równani ciągłości jst zawsz lpszym rozwiązanim niż wilkości prędkości z gwiazdką. Użyci podrlaksacji w odnisiniu do tych prędkości pomaga równiż utrzymać wilkości z gwiazdką jako snsown oraz człon masowy na odpowidnio niskim poziomi. Co więcj, rozwiązani innych równań będzi się odbywało na podstawi pola przpływu spłniającgo równani masy. Nalży jdnak podkrślić inną rzcz, ni nalży podrlaksować korkty prędkości. 10. W wyprowadzaniu równania p' traktujmy gęstość ρ jako znaną, czyli wpływ zmian gęstości na pol ciśniń jst niuwzględniony. Moż to być uważan za dodatkową aproksymację w równaniu p'. Jst to podstawa każdj mtody itracyjnj, która traktuj wil wpływów na dan równani w sposób przybliżony, a następni prznosi komplt informacji do następnj itracji. Gęstość ρ jst z rguły wyznaczana z stosowngo równania stanu. Zawira wpływ tmpratury, koncntracji, czy ciśninia. Tak długo jak możmy uzyskać rozwiązani tak długo wystarcza do rozwiązań przybliżona wartość p'.

19 11. W przypadku przpływów ściśliwych (przpływy naddźwiękow), zalżność gęstości od ciśninia moż być tak duża, ż moż prowadzić do rozbiżności schmatu. W takich przypadkach nalży wyprowadzić wrsję równania korkty ciśninia dla warunków ściśliwych. 12. Można zauważyć, ż równani opisując p' jst bardzo podobn do równania dyskrtyzacyjngo opisującgo przwodnictwo cipln. W zalżności opisującj korktę prędkości (6.15), można traktować korktę prędkości u ' jako strumiń cipła wymuszony różnicą tmpratur p P ' p E ' 13. Struktura równania p typu równani przwodnictwa powoduj, ż ni wykazuj ono charaktru jdnokirunkowgo. Wiadomo, ż wpływ ciśninia jst dwukirunkowy czyli innymi słowy liptyczny. Jdnokirunkowy charaktr w przpływi w warstwi przyścinnj jst osiągany poprzz dodatkow założni o polu ciśninia, np. ż pomijamy zmiany ciśninia w kirunku prostopadłym do przpływu. Przpływy naddźwiękow wykazują charaktr jdnokirunkowy. Warto jst zauważyć ścisłą zalżność pomiędzy zachowanim tortycznym oraz skutkami obliczniowymi Warunki brzgow dla równania korygującgo ciśnini Równani pędu jst szczgólnym przypadkim równania ogólngo na φ, i dlatgo ogóln podjści w traktowaniu warunku brzgowgo stosuj się i tutaj. Aczkolwik równani p' ni jst naszym równanim podstawowym, to nalży poświęcić kilka słów komntarza nt. warunków brzgowych w tym równaniu.

20 Rys Brzgowa OK dla równania ciągłości. Zwykl mamy do czyninia z dwoma rodzajami warunków brzgowych. Mamy albo dan ciśnini (i niwiadomą prędkość) lub mamy daną składową prędkości prostopadłą do granicy. Dan ciśnini na granicy. Jżli odgadnięt pol ciśninia p jst zaaranżowan w taki sposób, ż na granicy mamy p =p dan, wówczas wartość p' na granicy wynosi zro. Jst to podobn do przypadku danj wartości tmpratury w równaniu przwodznia cipła. Dana składowa normalna prędkości na granicy. Jżli siatka jst zorganizowana w taki sposób, ż brzg pokrywa się z powirzchnią boczną OK. to będzimy mili do czyninia z sytuacją podobną jak na rys Dana jst prędkość u. W wyprowadzaniu równania na p' dla pokazanj OK, przpływ przz powirzchnię OK ni powinin być wyrażony w zalżności od u oraz odpowidnij korkty, lcz tylko w zalżności od u. Wówczas,, ni pojawi się p E ', lub a E przyjmi wartość zro w równaniu p'. Z tgo tż względu ni będzi wymagana informacja o p E '.

21 6.7-4 Względna natura ciśninia Następujący opis WB na p' prowadzi do subtlnj al nimnij ważnj kwstii. Wyobraźmy sobi przpływ w płni rozwinięty o stałj gęstości, w którym dan są wartości prędkości normalnych w każdym punkci granicznym. Jako ż ni jst dan ciśnini brzgow i wszystki współczynniki brzgow taki jak a E =0, wówczas równani p' będzi bz możliwości ustalnia wartości bzwzględnj p'. Współczynniki równania p' mają postać a P = a nb, [(6.23g)]; i to oznacza, ż p' oraz p' + C(C dowolna stała) spłniałyby równani p'. Tgo typu sytuacja ni przdstawia kłopotów. W takim przypadku (gdzi gęstość ni jst uzalżniona od ciśninia) absolutna wartość ciśninia a stąd i korkty ciśninia ni ma znacznia; ważn są jdyni różnic ciśninia, a t ni ulgają zmiani nawt po dodaniu dowolnj stałj do pola opisującgo p'. Ciśnini jst wówczas wartością względną a ni bzwzględną. Jżli wartość bzwzględna p ni jst sprcyzowana, to czy oblicznia zbigły by się? Szczęśliwym trafm mtoda itracyjna rozwiązywania równań algbraicznych zbiga się do rozwiązania, którgo wartość bzwzględna jst zalżna od strzału początkowgo. Mtoda bzpośrdnia napotkałaby macirz osobliwą i ni dałaby w wyniku rozwiązania. Pomocn wówczas jst przypisani wartości p' w jdnj OK i rozwiązani równań p' dla pozostałych OK. Taka sama tchnika moż być użyta w mtodzi itracyjnj, al pozostawini p' aby znalazło właściwą wartość daj szybsz rozwiązani niż naciskani aby miało ono szczgólną wartość w punkci. Innym sposobm spojrznia na niokrślon pol p' jst zauważni, ż równani ciągłości dla wszystkich OK. ni jst liniowo nizalżnym zstawm. Odkąd, w odpowidnio ustalonym zagadniniu, dan WB musi spłniać równani masy, to równani ciągłości dla ostatnij OK. ni prznosi żadnj informacji, która ni byłaby już zawarta w

22 równaniu ciągłości dla wszystkich innych OK. Stąd, jżli tylko jdno z równań OK. jst wykluczon (a wartości p' są tam przypisan), to wynikow pol prędkości będzi spłniało warunki ciągłości dla wszystkich objętości kontrolnych. W wilu przypadkach wartość bzwzględngo ciśninia jst dużo większa od lokalnj różnicy ciśniń któr są napotykan. Jżli używałoby się wartości bzwzględnych ciśniń za p, to powstałyby błędy zaokrąglnia w obliczniach różnic typu p P -p E. Stąd, najlpij jst ustawić p=0 jako wartość odnisinia dla stosowngo punktu węzłowgo i wyznaczać pozostał wartości ciśninia w zalżności od wartości odnisinia. Podobni, zanim rozwiążmy równani p' podczas każdj z itracji, warto wystartować z strzału p' = 0 dla wszystkich punktów, tak żby rozwiązani na p' ni wymagało dużych wartości bzwzględnych. Gdy ciśnini jst znan dla niktórych punktów brzgowych, lub gdy gęstość zalży od ciśninia ni powstaj wówczas nioznaczoność w obliczniach ciśninia. 6.8 ZMODYFIKOWANY ALGORYTM: SIMPLER Nowy algorytm SIMPLER powstał clm poprawinia zbiżności schmatu numryczngo (SIMPLE Rvisd (Patankar, 1979a)) Motywacja Aproksymacja wprowadzona podczas wyprowadzania równania na p' ' (opuszczni członu a nb u nb ) prowadzi do stosunkowo znacznych korkcji ciśninia, stąd podrlaksacja jst tutaj koniczni wymagana. Odkąd wpływ punktów sąsiadujących na korktę prędkości jst usunięty z zalżności korygującj prędkość, cał zadani korkty prędkości spada na barki korkty ciśninia i to właśni prowadzi do skomplikowanych obliczń ciśninia. W większości przypadków można stwirdzić, ż

23 równani korkcyjn ciśninia poprawia w sposób poprawny prędkości, lcz raczj źl się zachowuj podczas korkty ciśninia. Clm docninia tgo argumntu, rozpatrzmy prost zagadnini, tj. taki gdzi mamy do czyninia z 1D przpływm o stałj gęstości, gdzi prędkość jst zadana na wloci. Łatwo jst zauważyć, ż prędkość w tym zagadniniu jst zalżna tylko od równania ciągłości, i stąd ciągłość spłniająca pol prędkości, uzyskana na końcu pirwszj itracji, będzi wynikim końcowym. Wyznaczon ciśnini, będzi jdnakż dalki od rozwiązania końcowgo, z powodu przybliżonj natury równania opisującgo p'. Zabrałoby to wil itracji zanim ustabilizowałoby się zbiżn pol ciśninia, pomimo faktu, ż pol prędkości ustabilizowało się bardzo wczśni. Jżli zatrudnimy równani korygując ciśnini jdyni w clu korkcji prędkości oraz zabzpiczymy inn możliwości otrzymania poprawiongo pola ciśniń, to skonstruujmy bardzij wydajny algorytm. Jst to podstawą SIMPLERa Równani ciśninia Równani do wyznaczania pola ciśninia można wyprowadzić w następujący sposób. Równani pędu (6.6) najpirw zapisujmy w postaci u a nb a u nb + b + d ( pp pe = ) (6.25) gdzi d zdfiniowano w równaniu (6.16). Zdfiniujmy traz psudoprędkość u w postaci

24 anbunb + b uˆ = (6.26) a Można zauważyć, ż u składa się z sąsiadujących prędkości u nb i ni zawira ciśninia. Równani (6.25) przybira postać Podobni możmy zapisać u ( p p ) = uˆ + d (6.27) n P E ( pp pn ) ( p p ) ϑ = ϑ + d (6.28) w = wˆ + d (6.29) t Łatwo jst zauważyć, podobiństwo tych równań oraz równań (6.l7)- (6.19). Tutaj, û, ϑˆ, ŵ pojawiają się w mijsc u, ϑ, w a ciśnini p zastępuj p'. Następni wynika stąd, ż jżli wyprowadznia w SIMPLE byłyby dokonywan w oparciu o now wyrażnia korygując prędkości zawirając û, ϑˆ, ŵ to otrzymanoby równani opisując ciśnini. Można to zapisać jako ap pp = ae pe + aw pw + an pn + as ps + at pt + ab pb + P T b(6.30) gdzi a E, a W, a N, a S, a T, a B, oraz a P są dan równaniami (6.23a)-6.23g), a b jst w postaci b = + 0 ( ρ P ρ P ) Δx Δy Δz + [( ρ uˆ ) ( ρ uˆ ) ] Δy Δz + [( ρ ˆ ϑ) ( ρϑˆ ) ] Δt [( ρ wˆ ) ( ρ wˆ ) ] Δx Δy b t w (6.31) s n Δz Δx Nalży zauważyć, ż wyrażni na b jst jdyną różnicą pomiędzy równanim opisującym ciśnini (6.30) a równanim korygującym ciśnini (6.22). Wyrażni (6.31) na b wykorzystuj psudoprędkości û, ϑˆ, ŵ, podczas gdy b, w przypadku równania na p, wyło wyznaczan w zalżności od wilkości z gwiazdką. Jako ż równania opisując ciśnini oraz równani korygując ciśnini są praktyczni idntyczn, to jdnak istnij jdna główna różnica. W

25 przypadku równania opisującgo pol ciśniń ni czyniono żadnych przybliżń. Z tgo powodu, jżli wprowadzono by właściw pol prędkości do obliczń psudoprędkości, wówczas równani ciśninia dałoby w wyniku właściwą wartość ciśninia ALGORYTM SIMPLER Zmodyfikowany algorytm składa się z rozwiązania równania ciśniń clm otrzymania pola ciśninia oraz rozwiązania równania korygującgo ciśnini clm korkcji prędkości. Skwncja opracji jst następująca. 1. Startuj z odgadniętymi wartościami ciśninia. 2. Wyznacz współczynniki dla równania pędu a stąd wyznacz û, ϑˆ, ŵ z równań (6.26) przz podstawini wartości sąsiadujących prędkości unb. 3. Wyznacz współczynniki dla równania ciśninia (6.30) oraz rozwiąż to clm otrzymania pola ciśniń. 4. Traktując pol ciśniń jako p rozwiąż równania pędu clm otrzymania u, ϑ, w 5. Wyznacz człon masowy b [(6.23h)] a następni rozwiąż równani opisując p'. 6. Skoryguj pol prędkości używając równań (6.17)-(6.19), al ni koryguj ciśninia. 7. Rozwiąż równania dyskrtyzacyjn dla innych φ, jśli wymagan. 8. Wróć do punktu 2 i powtarzaj do osiągnięcia zbiżności Dyskusja 1. Łatwo zauważyć, ż w przypadku 1D zadani rozpatrywan powyżj w 6.8-1, algorytm SIMPLER od razu dałby zbiżn rozwiązani. Ogólni, jako ż równani korygując ciśnini dałoby stosown pol prędkości oraz równani ciśninia dałoby bzpośrdnio (bz przybliżń) właściw pol ciśninia, zbiżność byłaby szybsza.

26 2. W algorytmi SIMPLE odgadnięt pol ciśninia odgrywa istotną rolę. Z drugij strony, SIMPLER ni używa zgadywanych ciśniń, al wydobywa pol ciśninia z dango pola prędkości. 3. Jżli dan pol prędkości okazuj się być tym właściwym polm prędkości, wówczas równani ciśninia w algorytmi SIMPLER da w zamian właściwą wartość pola ciśninia i ni będą wymagan itracj. Jżli, z drugij strony, to samo właściw pol prędkości oraz odgadnięt pol ciśniń byłyby użyt w algorytmi SIMPLE, wówczas na samym początku milibyśmy pogorszni obliczń. Użyci odgadniętych ciśniń prowadziłoby to wilkości z gwiazdkami, któr byłyby różn od właściwych wilkości prędkości. Wówczas przybliżnia w równaniu opisującym p spowodowałyby obliczni niwłaściwgo pola prędkości i ciśninia po pirwszj itracji. Zbiżność uzyskana byłaby po szrgu itracjach, pomimo faktu, ż miliśmy właściw pol prędkości na początku obliczń. 4. Z powodu podobiństwa równania ciśninia oraz równania korygującgo ciśnini, dyskusja w skcji o WB dla równania p, jst ona równiż obowiązująca dla równania ciśninia. Co więcj, względna natura ciśninia omawiango w skcji mogłaby być opisana przz odnisini do równania ciśninia. 5. Pomimo ż SIMPLER charaktryzuj się większą zbiżnością niż SIMPLE, to nalży pamiętać, ż jdna itracja wymaga więcj czasu. W odnisiniu do SIMPLE najpirw musi być rozwiązan dodatkowo równani ciśniń, a po drugi wyznaczni û, ϑˆ, ŵ ni ma swgo odbicia w SIMPLE. Jdnakż z powodu, ż SIMPLE wymaga mnij itracji aby osiągnąć rozwiązani, dodatkowy trud ma swoj uzasadnini w oszczędności globalnj w czasi obliczń. 7. WYKOŃCZENIA PROCEDURY OBLICZENIOWEJ Przdstawiona procdura obliczniowa ma na clu rozwiązani sprzężonych równań przy użyciu schmatu itracyjngo. W tym mijscu spójrzmy globalni na schmat itracyjny.

27 1. Tchnika itracji odgrywa podwójną rolę: a. Nasz równania, są ogólni niliniow i sprzężon. Sprowadzamy j do nominalni liniowj postaci oraz wyznaczamy współczynniki z poprzdnich itracji. b. Nominalni liniow równania algbraiczn dla jdnj zminnj zalżnj są rozwiązywan przy pomocy mtody itracyjnj (np. mtoda linia po linii) raczj niż przy pomocy mtody bzpośrdnij.. 2. Rozwiązani itracyjn równań algbraicznych ni musi osiągać płnj zbiżności, gdyż w każdj chwili wykonujmy opracj jdyni na współczynnikach przybliżonych. Po itrowaniu równań dyskrtyzacyjnych do pwngo stopnia, musimy powtórzyć oblicznia współczynników. Nalży pamiętać o stosownj liczbi itracji w tym momnci, czyli znalziniu złotgo środka pomiędzy liczbą itracji oraz ponownym wyznaczniu współczynników. 3. Podobn uwagi dotyczyły zagadniń przdstawionych podczas analizy sprzężnia pomiędzy polm ciśninia i prędkości. Były on rozwiązywan w sposób skwncyjny zamiast bzpośrdni (np. MES). Rozwiązani bzpośrdni wymaga ogromnj ilości pamięci opracyjnj oraz pamięci. Jako ż równania pędu są niliniow ogromn wysiłki komputrow są przznaczan na rozwiązywani równań podczas każdj itracji. Równani pędu jst z rguły sprzężon z równanim nrgii (poprzz własności fizyczn oraz siły wyporu), z równaniami opisującymi turbulncję (lpkość turbulntna) i innymi. W takim przypadku przznaczni całgo wysiłku na bzpośrdni rozwiązani wszystkich równań zamiast podjścia skwncyjngo wydaj się być niwłaściw. 4. W omawianj mtodzi komputrowj ni ma bzpośrdnij różnicy pomiędzy rozwiązanim zawirającym zagadnini w płni ustalon a zagadninim, w którym wykonuj się jdn krok czasowy. W przypadku niustalonym problm jst następujący: Mając dan wartości φ dla czasu t oraz wartości odgadnięt φ dla t+δt, znajdź wartości φ dla t+δt. Tak samo jak w przypadku zagadninia ustalongo musimy wykonać pwną liczbę itracji dla

28 każdgo kroku czasowgo w przypadku niustalonym. W związku z powyższym będzi wykonywanych szrg tgo typu kroków czasowych aby wypłnić nałożony przdział czasowy. 5. Stąd rozwiązani zagadninia niustalongo wymaga wysiłku, który jst porównywalny z rozwiązanim skwncji ustalonj w czasi. Jst to częściowa prawda, al jst tż i jdna inna ccha. Dla stosownych wartości Δt, znan wartości φ dla czasu t mogą być użyt jako wartości strzału dla niwiadomj φ w kroku t+δt. Jako ż jst to stosunkowo dobry strzał (w porównaniu z strzałm, jaki nalży wykonać w przypadku ustalonym) i dlatgo z rguły wymagana jst jdyni kilka itracji aby osiągnąć zbiżn rozwiązani dla dango kroku czasowgo. Czasami moż to być nawt jdna itracja. Tgo typu mtody zawirają z rguły mał kroki czasow, podczas gdy większa liczba itracji jst wymagana dla większych wartości Δt. 6. Tgo typu mtoda jdnj itracji na krok czasowy (on-itrationpr-tim-stp mthod) jst czasami używana do otrzymania rozwiązania ustalongo po wykonaniu wilu kroków czasowych. Wówczas, tgo typu kroki czasow są tak naprawdę itracjami, gdzi człon nistacjonarny daj w pwnym snsi podrlaksację. 7. Program komputrowy, który posiada itrację w ramach kroku czasowgo powinin posiadać możliwość przchowania wartości φ w chwili t oraz φ w chwili t+δt. Program dla warunków ustalonych, z drugij strony, wymaga pamięci jdyni dla jdngo zstawu wartości φ, któr są sukcsywni zminian aż do momntu osiągnięcia zbiżności. 8. Tchnika itracyjna znaczni upraszcza konstrukcję mtody numrycznj oraz pokazuj drogę, na którj, przynajmnij z założnia, można rozpatrywać wszystki niliniowości oraz sprzężnia. Warto w tym mijscu przyjrzć się zasadom zbiżności. a. Cztry zasady podstawow pozwoliły nam otrzymać taki równania dyskrtyzacyjn, któr mogłyby, dla stałych wartości

29 współczynników, zagwarantować zbiżność mtody punkt po punkci lub linia po linii. b. Jżli współczynniki ni pozostają stał, al ich zmiana jst raczj powolna, to raczj zawsz otrzymamy zbiżn rozwiązani. Właściwa linaryzacja członu źródłowgo oraz właściwa podrlaksacja zminnych zalżnych zwolniłaby, w ogólności, zmiany w zminnych oraz w współczynnikach. c. Inn zminn równiż mogą być podrlaksowan, co przyczyni się do ich szybszgo wyznacznia. Dla przykładu, gęstość ρ jst często głównym ogniwm między równaniami przpływu oraz równanim tmpratury, koncntracji, itp. Podrlaksacja ρ via nw ( α ) ρ old ρ = α ρ + 1 (7.1) spowodowałaby, ż pol prędkości przjmowałoby raczj powoli zmiany w polu tmpratury czy koncntracji. Współczynnik dyfuzji Γ moż być podrlaksowany clm ogranicznia wpływu pola turbulncji na pol prędkości. Wartość Γ jst liczona z warunku nw ( α ) Γ old Γ = α Γ + 1 (7.2) Podobni jak w (7.1), α oznacza współczynnik rlaksacji. Podrlaksacja wymaga aby α było dodatni, al mnijsz od jdności. Sprzężni pomiędzy różnymi zminnymi często objawia się poprzz człon źródłowy (np. siłą wyporu w równaniu pędu zalży od tmpratury). Można podrlaksować człon źródłowy via S C C nw ( α ) SC old = αs + 1 (7.3) Można podrlaksować takż WB. Np. gorąca ścianka albo wirująca tarcza ni wymaga założnia swj tmpratury końcowj czy prędkości obrotowj od razu od pirwszj itracji; WB moż być powoli dopasowywany w trakci itracji, aż do momntu uzyskania wymaganj wartości. Wówczas

30 φ B B nw ( α ) φb old = αφ + 1 (7.4) Oczywiści, wartości pojawiając się w (7.l)-(7.4) ni muszą być taki sam, a takż ni trzba używać wciąż tj samj wartości dla każdgo punktu węzłowgo. d. Nalży pamiętać, ż ni ma ogólnj gwarancji, ż dla wszystkich niliniowości oraz sprzężń otrzymamy zawsz zbiżn rozwiązani. Poznan procdury podrlaksacji mogą być pomocn w wilu przypadkach, al w niktórych przypadkach będą wymagan spcjaln procdury podrlaksacji. 9. Jak już zauważyliśmy procs itracyjny jst zbiżny, gdy koljn itracj ni spowodują znaczących zmian w wartościach zminnych zalżnych. W praktyc procs itracyjny jst kończony gdy pwn krytrium zbiżności jst spłnion. Właściw krytrium zbiżności zalży od natury zagadninia. Zwykl rozpatruj się najbardzij znacząc wilkości otrzymywan w rozwiązaniu ( prędkość maksymalna, całkowit naprężnia styczn, spadk ciśninia, strumiń ciplny) oraz wymaga się aby w dwu koljnych itracjach względna zmiana tych wilkości była mnijsza od pwnj małj liczby. Często wymaga się aby względn zmiany w punktach węzłowych dla wszystkich zminnych zalżnych formułowały krytrium zbiżności. Tgo typu krytrium moż czasami być myląc. Gdy używana jst znacząca podrlaksacja, wówczas zmiany zminnych zalżnych w dwóch koljnych itracjach są intncyjni spowalnian, co moż kojarzyć się z zbiżnością, al w rzczywistości szukan rozwiązani jst jszcz bardzo odlgł. Bardzij znaczącą mtodą monitorowania zbiżności jst monitorowani zgodności równania dyskrtyzacyjngo z biżącymi wartościami zminnych zalżnych. Dla każdgo punktu węzłowgo, rszta R moż być wyznaczona z zalżności

31 R = a φ + b a φ (7.5) nb nb Oczywiści gdy równani dyskrtyzacyjn jst spłnion wówczas R-=0. Właściwym krytrium zbiżności byłoby aby największa wartość R była mnijsza od pwnj założonj liczby. Przypadkowo, wartość członu b z (6.22), która jst rsztą z równania ciągłości, moż być wykorzystana jako jdn z współczynników zbiżności. P P 7.2 LINEARYZACJA CZŁONU ŹRÓDŁOWEGO Jdną z zasad podstawowych (zasada 3) wymagała aby w przypadku linaryzacji członu źródłowgo zachodził rozkład członu źródłowgo na dwi części S = S C + S P φ P (7.6) gdzi wilkość S P ni powinna być dodatnia. Traz powrócimy do zagadninia linaryzacji członu źródłowgo clm potwirdzsnia, ż często człony źródłow przyczyniają się do rozbiżności zagadninia i ich właściwa linaryzacja jst często kluczm do otrzymania zbiżngo rozwiązania Dyskusja 1. Ważnym jst monitorowani nizamirzonych wartości ujmnych członu S P. Na przykład w przypadku współrzędnych walcowych, rθz, równani pędu dla ϑ θ zawira człon źródłowy ρϑ r ϑ θ /r. Kuszącym jst wyrażni tgo członu w postaci S C =0 oraz S P =- ρϑ r /r. Jżli jdnak ϑ r przyjmi wartości ujmn, wówczas daj to wartości dodatni S P. Właściwą formulacją byłoby ρϑr SC =, 0 ϑ θ (7.7a) r

32 ρϑr S P =, 0 r gdzi [[ ]] oznacza większą z wartości w nawiasach. (7.7b) 2. Zawsz możliwym jst założni S P =0, oraz przyporządkowani S C = S. Ni jst to jdnak często pożądan. Efkt dużgo ujmngo S P jst taki sam jak zbyt dużj podrlaksacji i opóźnia zbiżność. Jak opisano to wczśnij, najlpszym rozwiązanim jst linaryzacja, która powoduj linię prostą S = S C + S P φ P styczną do rzczywistj krzywj S ~ φ. Użyci mnijszj wartości S P powoduj pogorszni właściwgo przwidznia spadku S z wzrostm φ. Użyci zbyt dużych wartości S P daj większy zapas bzpiczństwa (czasami pożądan), al raczj spowalnia zbiżność. 3. Poniważ człon źródłowy jst z rguły duży, zawsz warto rozpatrywać wartości kstrmaln, gdzi człon źródłowy dominuj równani dyskrtyzacyjn. W takim przypadku możmy zapisać równani dyskrtyzacyjn w postaci. któr prowadzi do rozwiązania S = ~ φ P SC + S P φ P 0 (7.8) ~ C φ P (7.9) S P W tym przypadku, oznacza wartość graniczną φp w sytuacji dominującgo członu źródłowgo. Na rys. 7.1 przdstawiono tn przypadk graficzni. Jżli wartość S odnosi się do biżącj wartości φ PP to rozwiązanim równania dyskrtyzacyjngo będzi wartość ~ φ P, która odpowiada punktowi, gdzi S = S C + S P φ P przcina oś odciętych. Jżli S ma większą wartość, ~ P φ będzi bliżj φ P. PP Mała wartość S P powoduj większą zmianę w φ P od φ PP do ~ φ P. Efkt podrlaksacji S P jst wówczas oczywisty. 4. Czasami, rozwiązani gdzi dominuj człon źródłowy moż służyć w zaproponowani takij linaryzacji gdzi φ P pozostaj w rozsądnym

33 zakrsi. Załóżmy, ż biżąca wartość φ PP oraz wymagamy aby w następnj itracji wartość φ P była bliższa wartości ~ φ P. Można to zabzpiczyć poprzz linaryzację S S C P S ˆ φ = (7.10a) ˆ φ φ P P P S = (7.10b) ˆ φ φ P P Rys. 7.1 Rozwiązani dla przypadku dominującgo członu źródłowgo. Wymagana wartość powinna być wyznaczona z rozważań fizycznych. Na przykład nich φ oznacza udział masowy ml substancji chmicznj. Z dfinicji, m l musi znajdować się pomiędzy 0 i 1. Dla biżącj wartości m l, jżli S jst dodatni, m l będzi się zwiększać i możmy przyjąć m ~ l = 1. Dla ujmnych wartości S, można przyrównać do zra. Możmy być nawt m ~ l ~ φ P

34 bardzij konsrwatywni i wymagać, aby w jdnj itracji m l przsuwało się tylko w pół drogi w kirunku limitu fizyczngo. Wówczas m ~ l przyjęło by wartość (ml +1)/2 dla dodatnich S oraz m l /2 dla ujmnych S. Z powodu, ż powyższ rozważania dotyczą zagadninia z dominujących członm źródłowym, to następna wartość itrowana ni będzi dokładni równa ~ φ P, gdyż pozostał człony równania będą miały na nią wpływ. Ponadto, ni kontrolujmy bzwzględngo rozwiązania dla φ P, al postęp w koljnych itracjach. Uważamy, aby ni dokonywać gwałtownych zmian wilkości liczonych oraz fizyczni niralnych wartości powstających podczas procsu itracyjngo. 4. Zwykl można założyć znaną wartość φ tylko dla WB. Jakkolwik, każda wymagana wartość φ moż być zaaranżowana jako rozwiązani w danym punkci wwnętrznym przz nałożni S C oraz S P w tym punkci w postaci 30 S C = 10 φ P, dsird 30 (7.11a) S = 10 (7.11b) P gdzi oznacza wystarczająco wilką liczbę aby pozostał człony dyskrtyzacji ni liczyły się. W konskwncji mamy SC + S P φ P 0 (7.12) S = (7.13) C φ P = φp, dsird S P Tgo typu procdura moż być użyta do rprzntacji wwnętrznych przszkód oraz wysp w przstrzni obliczniowj poprzz włączni wwnętrznych WB Linaryzacja członu dla zawsz dodatnich wartości zminnych Niktór wilkości zawsz muszą pozostać dodatni, np. udział masowy, nrgia kintyczna turbulncji, skala turbulncji, strumini radiacyjn.

35 Jako ż tgo typu wilkości posiadają zarówno człony źródłow dodatni oraz ujmn (tj. gnracja oraz dstrukcja) to człon źródłowy ntto często moż być ujmny. Jżli taki zjawisko jst traktowan w sposób niwłaściwy, wówczas zawsz dodatnia wilkość moż przypadkowo przyjąć zdcydowani ujmną wartość. Zasada podstawowa o dodatnich współczynnikach (Zasada 2) jst zasadniczym krytrium zabzpiczającym fizyczni raln wyniki. Dodatkowym wymaganim dla zawsz dodatnich zminnych jst aby S C było zawsz dodatni (a S P zawsz ujmn). Zagwarantowani tych warunków spowoduj, ż ni będzimy mili do czyninia z ujmnymi wartościami φ. Jst kilka sposobów gwarantujących dodatność S C. Załóżmy ż S = S1 S2 S1 > 0, S2 > 0 (7.14) gdzi S 1 jst dodatnią częścią członu źródłowgo oraz S 2 jst jgo częścią ujmną. Mając nakładamy oraz gdzi φ PP jst biżącą wartością φ. P S2 S = S1 (7.15) φ P S C = S 1 (7.16a) S P S φ = (7.16b) 2 P

36 7.3 GEOMETRIE NIEREGULARNE Zaproponowaliśmy naszą mtodę numryczną w układzi kartzjańskim. Nistty większość zagadniń ni zawsz można opisać w takim układzi współrzędnych i nalży przanalizować, w jaki sposób można zastosować naszą mtodę do gomtrii nirgularnych Współrzędn krzywoliniow ortogonaln Ni wymagan jst wyprowadzni mtody numrycznj dla przypadku walcowgo czy sfryczngo, czy nawt ogólngo w współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych. Co więcj można zastosować siatkę ortogonalną krzywoliniową jak na rys Dla takij siatki, wyznaczni poszczgólnych długości, powirzchni i objętości ni jst już tak bzpośrdni jak w przypadku siatki kartzjańskij, al sposób jst bardzo podobny. Rys. 7.2 OK. w siatc ortogonalnj krzywoliniowj.

37 Warunk ortogonalności siatki jst jdnak bardzo ważny w stosowaniu mtody, gdyż wyznaczamy strumiń dyfuzji przz powirzchnię objętości kontrolnj w zalżności od wartości φ dla dwóch punktów węzłowych i krytycznym jst aby powirzchnia między OK. była prostopadła do linii łączącj dwa punkty węzłow. Dla dowolngo kształtu przstrzni obliczniowj konstrukcja ortogonalngo układu krzywoliniowgo jst bardzo poważnym problmm. Jżli jstśmy w stani stworzyć taką siatkę, wówczas użyci współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych jst bardzo przydatn w wyznaczaniu nirgularnych gomtrii Siatka rgularna z obszarami wyłączonymi Czasami program komputrowy napisany dla siatki rgularnj (no. Kartzjańskij) moż być przkształcony do obliczń kształty nirgularn. Można tak zrobić poprzz wyłączni części OK., blocking-off", w taki sposób ż pozostał OK tworzą przstrzń nirgularną. Niktór przykłady pokazano na rys. Fig. 7.3, gdzi obszary zaciniowan to obszary wyłączon. Oczywiści, nirgularn brzgi są przybliżan przy pomocy srii kroków prostokątnych, al często otrzymuj się w tn sposób dobr wyniki. Opracja blokowania polga na nałożniu znanych wartości rozwiązania φ w niaktywnych OK. Jżli obszar niaktywny rprzntuj niruchomy brzg ciała stałgo, to wówczas składow prędkości w tym obszarz muszą przyjąć wartości zro. Jżli rgion ma być izotrmiczny, wówczas nalży położyć znan wartości tmpratury w niaktywnych OK.

38 Rys. 7.3 Obszary wyłączon na siatc rgularnj. Są dwa sposoby, wdług których można nakładać wartości funkcji w niaktywnych OK. Jdna mtoda to nałożni dużych wartości członu źródłowgo. Altrnatywni można użyć harmonicznj śrdnij Γ dla powirzchni bocznj OK (rozdział 4.2-3). Jako ż można w właściwy sposób oprować nawt dużymi niciągłościami Γ, to w przypadku obszaru niaktywngo można przypisać tę wartość dla nominalngo WB I ta wartość przważałaby w całj objętości kontrolnj. Z drugij strony, rozwiązani po stroni aktywnj pozostani bz wpływu dużych wartości Γ. W szczgólności, prędkości w obszarz niaktywnym mogą być ustawion jako zra poprzz użyci dużych wartości lpkości w obszarz oraz wartości zro na nominalnym brzgu. Nalży pamiętać, ż w tn sposób można traktować jdyni raczj prost warunki brzgow. Bardzij skomplikowan WB będą wymagały

39 modyfikacji członów źródłowych w obszarz aktywnym przylgłym do granicy rzczywistj. Równiż mtoda wyłączania marnuj czas komputrowy oraz jgo pamięć, gdyż nalży wykonywać bzclow oblicznia w zakrsi niaktywnym i t oblicznia muszą być przchowywan. Jdnakż korzyści wynikając z zalt użycia siatki rgularnj do zagadniń o bardzij skomplikowanj gomtrii przwyższają wady. Koljną zaltą śrdnij harmonicznj Γ jst możliwość modlowania sprzężongo zagadninia wymiany cipła Sprzężona wymiana cipła Rozpatrzmy sytuację z rys Płyn płyni kanałm, gdzi znajduj się wwnętrzn żbrko. Ścianka kanału oraz żbro posiadają skończoną grubość oraz umiarkowaną przwodność. Znan są cipln WB na zwnętrznj powirzchni ścianki, np. tmpratura. Jst to sprzężon zagadninia wymiany cipła gdyż nalży rozpatrywać zarówno przwodzni w cil stałym oraz konwkcję w płyni oraz nalży sczpić oba t rozwiązania na granicy płyn ciało stał. Oblicznia odrębnych rozwiązań dla ciała stałgo oraz płynu zawirają procdurę itracyjną wymaganą do sczpinia. Mtoda śrdnij harmonicznj Γ ofruj łatwijszą altrnatywę. W tj procdurz zagadnini jst rozwiązywan poprzz użyci przstrzni obliczniowj, która zawira zarówno obszar płynu jak i ciała stałgo, gdzi zwnętrzna powirzchnia ścianki pokrywa się z brzgim przstrzni obliczniowj. Z tgo względu WB dla pola prędkości i tmpratury mogą być w prosty sposób przpisan dla zwnętrznj powirzchni ścianki. Procdura obliczniowa spoczywa na możności pokonania dużj wartości zmiany skokowj wartości Γ. Gdy rozwiązywan są równania prędkości, Γ dla punktów węzłowych w rgioni ciczy przybira wartość lpkości płynu, podczas gdy dla punktów węzłowych w zakrsi ścianki Γ ma po prostu dużą wartość. Ma to na clu zabzpiczni, ż na zwnętrznj powirzchni ścianki

40 będzi przważała prędkość zro (i w całym zakrsi ścianki) i dlatgo obszar płynu dostałby właściwy WB. Rys. 7.4 Sprzężona wymiana cipła. Dla clów rozwiązania pola tmpratury nakładamy ż Γ rprzntuj rzczywist wartości współczynników prznikania w cil stałym i w płyni. Zagadnini jst rozwiązywan jako zagadnini konwkcyjnoprzwodzniow w całj przstrzni obliczniowj, al odkąd prędkości równają się zro w cil stałym to i wartość liczby Pclta wynosiłaby zro oraz w wyniku w zakrsi ciała stałgo oblicznia są czysto przwodnościow. Z tgo względu wynikając rozwiązani dałoby nam rozkład tmpratury w cil stałym oraz w płyni, któ są automatyczni zgodn na granicy cicz-ciało stał. W przypadku naszych obliczń ta powirzchni jst po prostu punktm wwnętrznym, która jst traktowana jak każda inna OK.

41 7.4 SUGESTIE PRZYGOTOWANIA I TESTOWANIA PROGRAMU Aby wykonać oblicznia praktyczn, mtoda numryczna musi być zaimplmntowana w programi komputrowym. Wymaga to zorganizowanych działań oraz wysiłku aby stworzyć wydajny program i dodatkowo bz błędów. Po napisaniu o wryfikacji programu komputrowgo staj się on ważnym narzędzim dalszj pracy. Otwira on cał spktrum możliwości rozwiązywania złożonych problmów. Poniższ sugsti mają na clu stworzni takigo programu. 1. Pirwszym krokim w projkci program mu komputrowgo jst zdfiniowani zakrsu programu I jgo ograniczń. Czy będzi 2D czy 3D, w układzi kartzjańskim czy cylindrycznym, siatka stała czy zminna, gęstość stała czy zminna, dla warunków ustalonych czy niustalonych? Zbyt duża ogólność powoduj, ż program będzi bardzo obszrny i niwygodny w analizi prostych zagadniń. Zbyt mała ogólność zawęża wykorzystani programu do pwnj wąskij spcjalności. Początkowo lpij jst rozwijać programu od wrsji ograniczonj, al w lastycznych ramach, tak ż można by łatwo program rozwijać. 2. Warto rozróżnić pomiędzy opracjami ogólnymi (wyznaczani współczynników oraz rozwiązani równań) oraz opracjami zalżnymi od dango zagadninia (wyznaczani Γ, S C, S P oraz WB dla danj wilkości). Ogóln opracj powinny być najpirw zaprogramowan, a następni tstowan dla wszystkich możliwych opcji programu. 3. Gdy program komputrowy jst już napisany to musi być on szczgółowo prztstowany. Każdy program zawira błędy, któr trzba wykryć i poprawić. 4. Pomocnym jst tstowani poszczgólnych części programu osobno, zanim połączon zostaną poszczgóln części w całość. Np. procdura wyznaczająca równania dyskrtyzacyjn moż być osobno tstowana poprzz podstawini dowolnych współczynników.

42 5. Większość początkowgo tstowania odbywa się na siatkach rzadkich. Oszczędza to czas komputrowy i odkąd wynikow pola φ zawirają jdyni niwilką liczbę liczb, to łatwo jst j przanalizować i zintrprtować. Czasami powinno się nawt wykonać srię obliczniową ręczni. Równiż siatki rozrzdzon dają wyniki zgodn z fizyką. 6. Rozwiązani zagadninia mtodą objętości kontrolnych zabzpicza, ż wszystki równania spłniają zasady zachowania w przstrzni obliczniowj. Tgo typu zgodność można sprawdzić i jst to jdn z lpszych tstów. W sprawdzaniu poszczgólnych bilansów nalży używać tych samych założń co w programi, np. co do profili w równaniach dyskrtyzacyjnych. Następni, dla dobrz zbiżngo rozwiązania, nalży sprawdzić to samo dla różnj ilości węzłów. Czasami bilans całkowity moż być ustawiony jako krytrium zbiżności. 7. Clm zwryfikowania wwnętrznj zgodności programu komputrowgo nalży przprowadzić kilka tstów. Jdnym z nich jst to, ż zbiżn rozwiązani jst nizalżn od wartości strzału oraz współczynników rlaksacji. 8. Orintacja układu współrzędnych dla dango zagadninia jst oczywiści dowolna. Poprawność programu komputrowgo moż być sprawdzona poprzz rozwiązani tgo samgo zagadninia zaminiając współrzędn x i y. 9. Jżli WB powodują, ż rozwiązani będzi symtryczn wokół linii czy płaszczyzny to wskazan jst aby oblicznia wykonywać dla jdnj części powtarzającj się czy symtrycznj. Np. przpływ między dwima równolgłymi płytami można rozpatrywać jako przpływ między jdną ścianką oraz płaszczyzną symtrii. Podczas tstowania programu można jdnak wykorzystać całą przstrzń obliczniową by sprawdzić czy symtria jst zachowana w rozwiązaniu. 10. Załóżmy, ż rozwiązani dla dango zagadninia jst wyznaczon poprzz wartości pwnych paramtrów bzwymiarowych. Np. liczba Rynoldsa R = ρud/μ moż być

43 paramtrm rządzącym. Rozwiązani dla pwnj wartości R moż być otrzyman wdług następujących danych, ρ=1 d=1 μ=1 u=r lub ρ=r d=1 μ=1 u=1 lub ρ=10 d=r/50 μ=1 u=5 czy jakąkolwik inną kombinację. Bzwymiarowy wynik musi być taki sam dla każdgo zstawu liczb. Szczgólni ważn jst np. przjści laminarno-turbulntn. 11. Zasada suprpozycji, która jst stosowana w przypadku liniowgo przwodznia cipła, moż być użyta do tstowania zgodności programu komputrowgo. Wówczas nałożni rozwiązań dwóch prostszych zagadniń prowadzi do bardzij skomplikowango rozwiązania. Komputr można wykorzystać do otrzymania wszystkich trzch rozwiązań oraz stosowngo porównania. 12. Zachowani programu dla wartości granicznych moż równiż być dobrym tstm rozwiązania. 3D program komputrowy moż być zastosowany do rozwiązania zagadninia 2D clm potwirdznia, ż zagadnini jst rzczywiści 2D. Oblicznia przpływu w kanal powinny pokazać, ż przpływ jst w płni rozwinięty w pwnj odlgłości od wlotu. Program dla przpływu lpkigo powinin być w stani wykonać oblicznia dla przpływu nilpkigo, przy założniu ż lpkość wynosi zro. 13. Tsty opisan dotychczas miały na clu sprawdzni jakościow obliczń. Oblicznia ilościow są równiż bardzo ważn, gdyż mówią nam o dokładności obliczń. Porównani z osiągalnymi rozwiązaniami dokładnymi jst pożytczną drogą sprawdznia dokładności programu komputrowgo. Wraz z zwiększnim liczby węzłów rozbiżność powinna malć. Czasami mogą być kłopoty z wpisanim równania analityczngo (koniczność wyznacznia szrgów, itp.) 14. Opublikowana procdura numryczna moż służyć jako tst zgodności nowgo programu komputrowgo (porównać z nią).

44 8.4 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Figur 8.1 Exampls of domain discrtization by triangular lmnts Mtoda lmntów skończonych oparta na mtodzi lmntów skończonych Figur 8.2 Control volum for th triangular grid.