Aleksander Jakimowicz. Dynamika nieliniowa a rozumienie współczesnych idei ekonomicznych

Transkrypt

1 Aleksander Jakimowicz Dynamika nieliniowa a rozumienie wsółczesnych idei ekonomicznych

2 Plan rezenacji Dynamika ekonomiczna w rzesrzeni aramerów. Oczekiwania adaacyjne a oczekiwania racjonalne. Krzywa Phillisa. Dynamika ekonomiczna w rzesrzeni fazowej. Przesrzeń fazowa w modelu R.M. Goodwina. Wrażliwość sanu końcowego. Wykresy bifurkacyjne i dynamika. Ekonomeria a dynamika nieliniowa.

3 Warunek ocząkowy Trajekorie Przesrzeń aramerów Paramer konrolny a Arakory kodowane kolorem (warość wykładnika Launowa) Paramer konrolny b Zmienna a aramer. Przesrzeń aramerów Przykład dwuwymiarowej rzesrzeni aramerów: ekran komuera o rozdzielczości 55 (25 komórek) 1.Szukamy odowiedzi na yanie dokąd zmierza rajekoria o zadanej liczbie ieracji kodowanie kolorem odowiedniej komórki. 2.Im większa rozdzielczość, ym dokładniejsze badanie. 3.Isona jes akże długość każdej rajekorii im więcej ieracji, ym ewniejszy wynik.

4 Friedman: krzywa Phillisa wsara oczekiwaniami Monearyści rozarują krzywą Phillisa wsarą oczekiwaniami o osaci: x f u gdzie x o oczekiwana soa inflacji. Paramer a rerezenuje soień oddziaływania oczekiwań inflacyjnych na fakyczną soę inflacji i ma w modelu szczególne znaczenie. Klasyfikuje on różne ujęcia eoreyczne według kryerium zamienności celów oliyki gosodarczej. W unkcie równowagi, gdzie x = x (fakyczna soa inflacji równa się soie rzewidywanej), orzymujemy: x f 1 u a a x

5 Friedman: krzywa Phillisa wsara oczekiwaniami Warość a = 1 imlikuje brak długookresowej zamienności między bezrobociem i inflacją i odowiada rzyadkowi nauralnej soy bezrobocia zależność Phillisa jes wedy linią ionową. Dla a = 0 mamy zarówno sabilną wymienność krókookresową, jak i długookresową. Gdy 0 < a < 1, mamy zamienność długookresową, ale mniej korzysną niż w krókim okresie. Zgodnie z oglądami monearysów sodziewana inflacja dososowuje się do fakycznej soniowo, a roces formowania się oczekiwań ma charaker adaacyjny. Podmioy gosodarcze uczą się na odsawie doświadczenia, ich oczekiwania inflacyjne dososowane są do só inflacji wysęujących w rzeszłości, rzy czym koreka rzewidywań dokonywana jes w oarciu o ułamek osanio oełnionego błędu (c): x x 1 c x 1 x, 0 1 c

6 Friedman a Lucas Rober Lucas zakwesionował orawność odejścia monearysycznego oarego na oczekiwaniach adaacyjnych. Przyjmuje on funkcję zagregowanej odaży o osaci nasęującej: * y P P 0 gdzie y jes logarymem realnej rodukcji, a symbole P i P * oznaczają odowiednio logarymy fakycznego i rzewidywanego oziomu cen. Inflacja wywoła wzros realnej rodukcji, o ile rzecięne oczekiwania cenowe ukszałują się oniżej cen fakycznych. Włączenie do rozważań oczekiwań adaacyjnych nie wyklucza możliwości owsawania sysemaycznych odchyleń i siłą rzeczy nadal będzie isniała zarówno krókookresowa, jak i długookresowa wymienność między inflacją a realną rodukcją. Wobec ego założenie oczekiwań adaacyjnych daje wynik srzeczny z hioezą soy nauralnej. Osaecznie okazuje się, że jeśli niedoskonałe oczekiwania są jedynym źródłem szywności cen, o rzyjęcie racjonalnych oczekiwań równoważne jes isnieniu soy nauralnej. Gdy odmioy gosodarcze dysonują ymi samymi informacjami co władze, wedy racjonalne oczekiwania imlikują zanik nawe krókookresowej zamienności między inflacją a realną rodukcją.

7 Model emiryczny Przedmioem badań numerycznych jes model makroekonomiczny zawierający krzywą Phillisa wsarą oczekiwaniami adaacyjnymi oraz srzężenie zwrone od inflacji do bezrobocia działające za ośrednicwem oliyki monearnej: d f gdzie m jes soą wzrosu nominalnej x f u a x, 0, 0 a 1 odaży ieniądza, a wsółczynnik b d u rerezenuje elasyczność bezrobocia w x 1 x c x x, 0 c 1 sosunku do soy wzrosu ieniądza w ujęciu realnym. u f m x, u b 0 1 b u 1 u 2 u ,14 2 5,53 3 3,68 Lisey Zjednoczone Króleswo soa inflacji oddziałuje na decyzje sołeczeńswa doyczące konsumcji i oszczędności, sąd ma wływ na globalny oy, en zaś wyznacza wielkość rodukcji i soę bezrobocia.

8 c Kaskada chaosu Przesrzeń aramerów (a, c): b = 0,1 i m = 16, = Friedman = Lucas Model monearysyczny jes orawny dla małego c. Oczekiwania racjonalne nie są konieczne dla isnienia nauralnej soy bezrobocia. a

9 Wnioski: Zgodnie z odsawowym wierdzeniem monearyzmu, długookresowa wymienność między inflacją i bezrobociem jes możliwa ylko rzy założeniu, że racownicy sale ulegają iluzji ieniężnej. Wrowadzenie do rozważań oczekiwań adaacyjnych owinno znosić ę wymienność i rowadzić do koncecji nauralnej soy bezrobocia (a = 1). Oczekiwania adaacyjne uzasadniają isnienie soy nauralnej ylko wedy, gdy wsółczynnik ych oczekiwań jes sosunkowo mały. Orzymany rezula nie owierdza akże w całości hioezy Lucasa, że ylko racjonalne oczekiwania mogą wyłumaczyć isnienie soy nauralnej. W srzeczności z dokrynami obu szkół soi eż sabilność sanów równowagi dla warości a < 1, imlikujących wymienność długookresową, mniej korzysną od krókookresowej. Obniżanie się warości wsółczynnika oczekiwań inflacyjnych a owoduje dryf sysemu w kierunku krawędzi chaosu.

10 Zmienna fazowa y Przesrzeń fazowa Zmienna fazowa x Trajekorie Miejsce docelowe Arakor eriodyczny Punk w nieskończoności Arakor chaoyczny Każda oś ekranu komuera rerezenuje zmienną układu. Rozoczęcie obliczeń musi być orzedzone okryciem owierzchni ekranu siaką, kórej komórki są małymi kwadraami. Zazwyczaj im gęssza siaka, ym dokładniejsze będzie wyznaczenie zbiorów rzyciągania. Począkowo wszyskie komórki siaki są bezbarwne, nasęnie siaka jes esowana, co olega na zbadaniu, dokąd zmierza rajekoria unku środkowego każdego kwadracika. Każdy aki unk rerezenuje odrębny sosób zainicjowania orbiy. Gdy zosanie usalony san końcowy danej rajekorii, komórce nadawany jes kolor. Warunki ocząkowe Dynamika w rzesrzeni fazowej

11 Charakerysyka formalna modelu Goodwina y c k c k l y y y y c k l dochód narodowy, konsumcja, dk d inwesycje indukowane, inwesycje auonomiczne, konsumcja auonomiczna. y 2 1 * 1 y y 1 y O y A yy By G Ay a By by 1 y2 G d sin y y 2 1 c b

12 Równanie odsawowe d 2 d y 2 a y y d y by c y3 1 d d sin gdzie symbole a, b, c, d, oznaczają aramery. Równanie oisuje oscylaor z wymuszeniem jeden z najciekawszych nieliniowych sysemów dynamicznych w nauce. Paramer łumienia (a) odzwierciedla elasyczność gosodarki, sąd jego wływ na sysem może być ineresujący.

13 Przesrzeń fazowa modelu ze zbiorami rzyciągania jedenasu arakorów eriodycznych: unk w nieskończoności, dwa sabilne unky sałe, sześć sabilnych orbi o okresie 2 i dwie sabilne orbiy o okresie 4 380,0 y -380,0 y -18,0 18,0 (a = 43.95, b = c = 0.5, d = 27.4, ω = 1)

14 Wrażliwość sanu końcowego zjawisko wysęujące najczęściej w obecności frakalnych brzegów zbiorów rzyciągania, kóre olega na ym, że mała nieewność w określeniu warunku ocząkowego może sowodować dużą uraę zdolności określenia, do kórego arakora będzie zmierzał sysem. Efeky frakalnych brzegów zbiorów rzyciągania ojawiają się, gdy z sysemie isnieje nawe niewielki egzogeniczny szum.

15 Rynek z oczekiwaniami adaacyjnymi q q q d s d S D q a b s arc g c q Wzros odaży jes owolny zarówno dla niskich, jak i wysokich cen. W ierwszym rzyadku rzyczyną są koszy związane z uruchomieniem rodukcji i koszy sałe, naomias w drugim ograniczone zdolności rodukcyjne rzedsiębiorsw. 0 S w b w 1 arc g 1 a c b

16 6,0 Wnioski z wykresów bifurkacyjnych 2,0 0,45 0,18 w 0,68 (a) (b) 0,0 2,0 0,18 w c 0,68 W L 3,7 Złożona dynamika w normalnym obszarze racy rynku = douszczamy fak, że ludzie nie są doskonale racjonalni, ale unikają większych błędów. cw 0,18 0,68

17 Ekonomeria a dynamika nieliniowa Dynamika nieliniowa wskazuje, że doasowując jakikolwiek model o nieskończonej dokładności sochasyczny lub deerminisyczny do danych o skończonej z naury dokładności nie da się uniknąć niejednoznaczności. Więcej na en ema: McCauley J.L., Noninegrabiliy, chaos, and comlexiy, Physica A 1997,. 237, nr 3 4, s