PRÓBKOWANIE RÓWNOMIERNE

Transkrypt

1 CPS 6/7 PRÓKOWANIE RÓWNOMIERNE Próbkowanie równomierne, Ujes rocesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym) do osaci róbeku obieranych w równych odsęach czasu. Próbkowanie rzerowadza się orzez odanie na wejście rzewornika analogowo-cyrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na jego wyjściu orzymuje się ciąg warości liczbowych. Sygnał analogowy można róbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać yanie, na ile dobrze e warości rerezenują sygnał oryginalny. Odowiedź na o yanie daje Ueoria róbkowania. UProces konwersji analogowo-cyrowej można odzielić na rzy odsawowe eay: ilrowanie anyaliasingowe róbkowanie amięanie rzewornik A/C ilr anyaliasingowy róbkowanie amięanie wejściowy sygnał analogowy rzeilrowany sygnał analogowy sygnał dyskreny sygnał cyrowy

2 CPS 6/7 Uilrowanie anyaliasingowe Widmo rzeczywisych sygnałów jes ze względu na zniekszałcenia i szumy bardzo szerokie. ilrowanie anyalisingowe, dolnorzeusowym ilrem analogowym sosowane jes w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywisego sygnału. Zasosowanie ego yu ilracji ma na celu zaobieżenie zjawisku nakładania się widm owsających w wyniku ich owielania odczas wykonywania róbkowania sygnału. szum sygnał szum Na rys. okazano widmo ciągłe sygnału o szerokości asma zawierającego szum oraz eek nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku róbkowania rzebiegu. UTaki eek zniekszałcenia widma wysęuje w wyniku braku ilru anyaliasingowego.u

3 U PróbkowanieU: możemy CPS 3 6/7 szum charakerysyka ilru anyaliasingowego szum Rysunek rzedsawia rzyadek zasosowania ilru analogowego dolnorzeusowego o częsoliwości odcięcia równej rzy częsoliwości róbkowania. Zasosowanie ilru analogowego dolnorzeusowego ozwala unikać nakładania się widm. Pyanie: Czy znając jedynie zbiór róbek sygnału [n] : n...,-,-,,,,3,... oddalonych o rzedział róbkowania T dokładnie odworzyć sygnał analogowy? Inaczej mówiąc czy dysonujemy inormacją o zachowaniu się sygnału między danymi róbkami?

4 CPS 4 6/7 Odowiedź: W ogólnym rzeadku NIE! (jes o oczywise) UAle: Jeżeli jednak sygnał róbkowany sełniałby ewien dodakowy warunek odowiedź może brzmieć TAK! Ten dodakowy warunek doyczy szybkości zmian rzebiegu, kóry jeżeli analizujemy sygnał w dziedzinie częsoliwości jes związany z szerokością asma sygnału. Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać o znaczy, że nie zawiera składowych o dużych częsoliwościach owyżej częsoliwości, sygnał ma ograniczone asmo. W rakyce ermin sygnał o ograniczonym aśmie oznacza jedynie o, że energia zawara w sygnale oza zakresem ± jes oniżej czułości naszego sysemu. Widmo amliudowe -

5 TP PT Widmo CPS 5 6/7 UTwierdzenie o róbkowaniu (Shannona) Niech () będzie sygnałem ciągłym, kórego widmo sełnia warunek ograniczonego asma TP PT: ( ) j dla Zgodnie z kryerium Nyquisa, sygnał () można odworzyć z ełną dokładnością z jego róbek gdy częsoliwość róbkowania sełnia zależność: 4 Częsoliwość wyznacza szerokość widma sygnału i nazywa się częsoliwością Nyquisa. Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek rzedsawiono na wykresach Rozarzymy rzy różne rzyadki wyboru częsoliwości róbkowania: > < UOsani rzyadek jes niezgodny z wierdzeniem o róbkowaniuu. Z ak wybranych róbek nie można odworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jes nakładanie się owielanych widm i ich nieodwracalne zniekszałcenie. nie zawiera dysrybucji w unkach ±

6 CPS 6 6/7 Jes o rzyadek graniczny. Powielane widma sykają się ze sobą. * D D * H - H () () () ( ) d * d() T h() () () ( ) h * T T 3T -T -T -3T Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla

7 CPS 7 6/7 > Powielane widma są rozłączne. * D D * H - > H () () () ( ) d * d() T h() () () ( ) h * T T 3T -T -T -3T Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla >

8 CPS 8 6/7 < Widma nakładają się. * D D * H - < H aliasing () () () ( ) d * d() T h() () () ( ) h * T T 3T -T -T -3T Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla <

9 CPS 9 6/7 UPrzykład: Dany jes ciąg róbek, oraz wiadomo, że rerezenują one warości chwilowe ewnego rzebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych odsęach czasu. Zadanie olega na odworzeniu rzebiegu ( wyznaczeniu jego aramerów amliudy i częsoliwości ). X[] X[] X[] X[3] X[4] X[5] X[6] Jeżeli ciąg rerezenuje róbki rzebiegu sinusoidalnego o nie można jednoznacznie określić ego rzebiegu jedynie z róbek. ().866 6Hz T () Hz > T T () 7Hz < T T

10 TP PT W CPS 6/7 Wymagana jes dodakowa inormacja. Jeżeli założymy, że róbkowanie wykonano zgodnie z kryerium Nyquisa, o oryginalnym rzebiegiem jes sinusoida o częsoliwości Hz. UZadanie : Ile minimalnie róbek należy obierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z wierdzeniem o róbkowaniu? Oznaczmy częsoliwość sinusoidy. Zgodnie z kryerium Nyquisa częsoliwość róbkowania musi być ak wybrana aby sełniony był warunektp PT: > Zaem T > n > n min 3 T UOd: UMinimalna liczba róbek, obierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wedy można w sosób jednoznaczny odworzyć sinusoidę z róbek. UZadanie : Sygnał ma ograniczone asmo do Hz. Jaką minimalną liczbę róbek należy obierać w rzedziale czasu T.s, aby można było z ych róbek jednoznacznie odworzyć rzebieg? Zgodnie z wierdzeniem o róbkowaniu n. n 4 Od: Minimalna liczba róbek wynosi 4. T n T T T ym rzyadku onieważ na granicy asma ojawia się dysrybucja, wymagana jes osra nierówność.

11 CPS 6/7 UPróbkowanieU sygnałów asmowych W rakyce częso róbkowane są analogowe sygnały asmowe czyli akie, kórych ograniczone asmo jes skuione wokół ewnej częsoliwości różnej od zera. Do ego yu sygnałów można z owodzeniem sosować róbkowanie dolnoasmowe, jednak zasosowanie secjalnej echniki zwanej róbkowaniem asmowym ozwala znacznie zmniejszyć koszy realizacji srzęowej, olegającej na zmniejszeniu szybkości rzewornika A/C oraz zmniejszeniu amięci wymaganej do amięania warości róbek. Jako rzykład róbkujmy rzebieg asmowy o szerokości asma 5kHz, skuiony wokół częsoliwości ckhz. Zgodnie z kryerium Nyquisa, onieważ najwyższa składowa częsoliwościowa w sygnale ma warość,5khz należy róbkować sygnał z częsoliwością nie mniejszą niż 45kHz. 5kHz - c * c khz c - c c 7,5 khz Na rysunku okazano skuki róbkowania ego sygnału z częsoliwością znacznie mniejszą, równą 7,5 khz. Można zauważyć, że mimo mniejszej częsoliwości róbkowania owielenia widma nie zniekszałcają widma oryginalnego skuionego wokół częsoliwości c. Unikamy aliasingu. UOkazuje się żeu Uróbkowanie z częsoliwością 45kHz nie jes konieczneu.

12 CPS 6/7 Wyrowadzenie ogólnych zależności doyczące róbkowania asmowego. Dany jes ciągły sygnał asmowy o szerokości asma, o częsoliwości nośnej c. Próbkujemy en sygnał z dowolną częsoliwością. UMaksymalna częsoliwość róbkowania Przy arbiralnej liczbie owieleń widma m w rzedziale c- sygnał można róbkować z maksymalną częsoliwością aką że: m c c - c c Widmo sygnału dyskrenego, w rzedziale c- sygnał można róbkować z maksymalną częsoliwością, c m

13 CPS 3 6/7 UMinimalna częsoliwość róbkowania Jeżeli szybkość róbkowania zmniejsza się o owielenia rzesuwają się i osiągamy dolną granicę częsoliwości róbkowania. Przy arbiralnej liczbie owieleń widma m w rzedziale c+ sygnał można róbkować z minimalną częsoliwością aką że: ( ) m+ c + c + - c c Widmo sygnału dyskrenego, w rzedziale c+ sygnał można róbkować z minimalną częsoliwością, c + m + W en sosób orzymujemy zależność deiniującą zakres częsoliwości róbkowania asmowego zależną od szerokości asma sygnału, częsoliwości nośnej i liczby owieleń c + c m+ m rzy czym m jes dowolną liczbą nauralną zaewniającą sełnianie kryerium Nyquisa w odniesieniu do szerokości asma sygnału.

14 UPrzykład: CPS 4 6/7 Przebieg asmowy o szerokości asma 5kHz i częsoliwości nośnej ckhz. m Maksymalna Minimalna c m c + m + Oymalne 35, khz,5 khz,5 khz 7,5 khz 5, khz 7,5 khz 3,66 khz,5 khz,5 khz 4 8,75 khz 9, khz - 5 7, khz 7,5 khz - Jak wynika z abeli częsoliwość róbkowania nie może być mniejsza niż,5khz. Za oymalną częsoliwość róbkowania rzyjmuje się aką rzy kórej owielenia widma sykają się ze sobą w unkcie Hz. Przy ak rzyjęej częsoliwości róbkowania błędy związane dalszym rzewarzaniem cyrowym (n. ilrowaniem) sygnału są minimalne. Zdeiniujemy nowy aramer R jako sosunek częsoliwości najwyższej w aśmie sygnału do szerokości asma R c + Wykreślimy zależność minimalnej częsoliwości róbkowania od arameru R dla różnych warości m

15 CPS 5 6/7 ( ) m+ + c c + ( m+ ) ( m+ ) R ozn: min min ( m+ ) R 4 3,5 min m m m m3 m4 m5 R 3 4 4, Minimalna częsoliwość róbkowania w zależności od R dla różnych warości m Z wykresu wynika, że Uniezależnie od R minimalna częsoliwość róbkowania nie rzekracza 4 i zmniejsza się dążąc do rzy zwiększaniu częsoliwości nośneju (wzros R).

16 CPS 6 6/7 Wrowadzając na wykresie warunek ograniczający częsoliwość z góry (maksymalną) orzymamy obszary częsoliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odowiednią warością arameru m. m c m R + m ax max ( R ) m 6 róbkowanie dolnoasmowe m m 4 m3 m4 srea zakazana R Minimalna i maksymalna częsoliwość róbkowania w zależności od R dla różnych warości m Wrawdzie z rysunku wynika, że możemy sosować częsoliwości róbkowania, kóre leżą na granicy srey zakazanej i dozwolonej, jednak w rakycznych zasosowaniach należy wybierać częsoliwości nieco oddalone od ych granic. Takie osęowanie ozwala uniknąć n. roblemów związanych z niedokładnością ilrów asmowych, niesabilnością zegara układu róbkującego i.

17 UPrzykład: CPS 7 6/7 Wracając do rzebiegu rzykładowego o szerokości asma 5kHz i częsoliwości nośnej ckhz. 5 + R Z wykresu można odczyać dla ej warości R, minimalną akceowalną częsoliwość róbkowania. Wynosi ona rzy m3 ( owielenia widma ).5, czyli.5khz co jes zgodne z warością wyznaczoną w abeli. UZadanie: Przebieg o szerokości asma Hz i częsoliwości nośnej chz. Jaką minimalną częsoliwość róbkowania można sosować? Czy można sosować częsoliwość róbkowania 4Hz, Hz? Jak uwzględnić błąd częsoliwości róbkowania związany z niedokładnością zegara? Obliczamy aramer R + R 5.5 Jak wynika z wykresu dla R5.5 sygnał można róbkować z minimalną częsoliwością rzy liczbie owieleń widma m4.

18 CPS 8 6/7 m Hz 6 m 4 m3 m4 45Hz 44Hz srea zakazana R Częsoliwość minimalna dla m4 wynosi: min c + m + min Hz 4+ Częsoliwość maksymalna dla m4 wynosi: max c m max Nie jes możliwe róbkowanie z częsoliwością 4Hz, naomias możliwe Hz.

19 CPS 9 6/7 m Δ 6 m 4 m3 m4 srea zakazana R Δ Uwzględnienie niedokładności róbkowania Δ oraz marginesu zmian widma sygnału Δ