czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
|
|
- Anatol Chmielewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006
2 Metoda -Raphsona f(x) x Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla f (z) = 0, f, z R lub C, (1) z n+1 = z n f (z n) f (z n ). (2)
3 Kiedy metoda zawodzi? Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla f(x) x (odpowiada zerowemu mianownikowi w (2))
4 Wielocykle f(x) = x 3 /4-5x/4 Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli f(x) Metoda dla x Dwucykl pomiędzy punktami 1, 1 Istniej a także wielocykle wyższych rzędów Problem ten jest niedoceniany w podręcznikach analizy numerycznej
5 Wielocykle f(x) = x 3 /4-5x/4 Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli f(x) Metoda dla x Dwucykl pomiędzy punktami 1, 1 Istniej a także wielocykle wyższych rzędów Problem ten jest niedoceniany w podręcznikach analizy numerycznej
6 Stabilność wielocykli 3 f(x) = x 3 /4-5x/4 x 0 = x 0 = Metoda Kiedy metoda zawodzi? 1 Wielocykle Stabilność wielocykli f(x) x Metoda dla Załóżmy, że w metodzie z 1 z 2. Wówczas dla ε 1 z 1 + ε z 2 + f (z 1)f (z 1 ) [f (z 1 )] 2 ε = z 2 + g 1 ε. (3)
7 Jeżeli punkty z 1, z 2,..., z k tworza k-cykl (z 1 z 2 z k z 1 ), całkowity współczynnik wzmocnienia g = k g j = j=1 k j=1 f (z j )f (z j ) [ f (z j ) ] 2. (4) Metoda Kiedy metoda zawodzi? Wielocykle Stabilność wielocykli Metoda dla g < 1 stabilny wielocykl g > 1 niestabilny wielocykl Większość wielocykli jest niestabilna, ale zdarzaj a się wielocykle stabilne.
8 Metoda dla P n (z), z C, wielomian stopnia n. Definiuję Twierdzenie: z (0) = z, (5a) z (k) = z (k 1) P ( n z (k 1) ) ( ) z (k 1). (5b) P n Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda z (k) = z P n(z) P n(z) Ak(z) B k (z), (6) gdzie A k, B k sa wielomianami stopnia n k n.
9 Punkty wielocyklu dostajemy rozwiazuj ac równanie z (k) = z, a więc Równanie (7) ma n k n rozwiazań. A k (z) = 0 (7) Jeśli k jest liczba pierwsza, istnieje (n k n)/k różnych k-cykli. Jeśli k nie jest liczba pierwsza, trzeba odjać wielocykle niższego rzędu, gdyż składaja się one na "pozorny" k-cykl. N k = 1 n k n j N j, (8) k j D k gdzie D k to zbiór dzielników właściwych liczby k. Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda
10 A konkretnie ile? n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = k = ( ) Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda
11 25 20 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 15 Metoda ln N k k Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Entropia topologiczna: 1 S = lim k k ln N k = ln n. (9) Dodatnia entropia topologiczna s a zachowania chaotyczne.
12 25 20 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 15 Metoda ln N k k Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Entropia topologiczna: 1 S = lim k k ln N k = ln n. (9) Dodatnia entropia topologiczna s a zachowania chaotyczne.
13 Gdzie one sa?! Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji miejsc zerowych wielomianu z 4 + 1
14 Przykład stabilnego wielocyklu Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2
15 Tłumiona metoda Jeżeli wyniki wskazuja, że metoda mogła wpaść na stabilny wielocykl, zaleca się przerwać iterację kilkoma krokami tłumionej metody : z k+1 = z k h P(z k) P (z k ), 0 < h < 1. (10) Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Trzeba pamiętać, żeby użyć naprawdę kilku kroków metody tłumionej metoda (10) także prowadzi do wielocykli, które także moga być stabilne.
16 Tłumiona metoda Jeżeli wyniki wskazuja, że metoda mogła wpaść na stabilny wielocykl, zaleca się przerwać iterację kilkoma krokami tłumionej metody : z k+1 = z k h P(z k) P (z k ), 0 < h < 1. (10) Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Trzeba pamiętać, żeby użyć naprawdę kilku kroków metody tłumionej metoda (10) także prowadzi do wielocykli, które także moga być stabilne.
17 Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2 w metodzie
18 Metoda Metoda dla A konkretnie ile? Gdzie one sa?! Przykład stabilnego wielocyklu Tłumiona metoda Baseny atrakcji dla wielomianu z 3 2z + 2 w tłumionej metodzie z h = Obszar środkowy to fragment basenu atrakcji stabilnego czterocyklu.
19 Równanie (11) jest wyjatkowe: Cała górna półpłaszczyzna jest zbieżna do z = +i, cała dolna jest zbieżna do z = i. Metoda Metoda dla Wszystkie wielocykle i punkty do nich prowadzace leża na prostej Im z = 0. Wszystkie wielocykle sa niestabilne.
20 Szukamy zatem rzeczywistych miejsc zerowych równania (12) przy pomocy metody : x n+1 = 1 ) (x n 1xn. (13) 2 }{{} η(x n) Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ 0 x n n
21 Własności odwzorowania η Nie ma punktów stałych, ale ma mnóstwo wielocykli. Dla x 1 η(x) 1 2x, dla x 0 η(x). Każdy punkt ma dwa przeciwobrazy x ± = x ± x (14) x = 0 odpowiada ucieczce do nieskończoności. Przeciwobrazami zera sa punkty ±1. Istnieje przeliczalnie wiele punktów, które po co najwyżej przeliczalnej ilości kroków uciekaja do nieskończoności. Zbiór ten jest gęsty w R. Symulacje sugeruja, że istnieje gęstość niezmiennicza, niezależna od wyboru punktu poczatkowego, poza skończonym zbiorem punktów { 1, 0, 1}. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
22 Gęstość niezmiennicza Równanie Frobeniusa-Perrona ρ(x) = Korzystajac z (14) dostajemy ( ) x ρ(x) = x + x ( ) x x ρ δ (η(x) y) ρ(y) dy. (15) ( ρ ) x + x ( ) x x (16) Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
23 Wnioski z równania (16) ρ(x) = ρ( x). ρ(0) = 2ρ(1). ρ(3 1/2 ) = 3ρ(3 1/2 ). Dla x 1, x x oraz x x (2x) 1. Zakładajac ciagłość ρ(x), dla x 1 ρ((2x) 1 ) ρ(0). Wobec tego równanie Frobeniusa-Perrona dla x 1 przybiera postać ρ(x) 2ρ(2x) = 1 ρ(0). (17) 2x 2 Przyjmujac ansatz ρ(x) = Cx α dla x 1, dostajemy Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ ρ(x) ρ(0) x 2 dla x. (18)
24 Metoda Ścisłe rozwiazanie równania Frobeniusa-Perrona (16) ρ(x) = 1 π (x 2 + 1) (19) Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
25 Rzut stereograficzny Podstawmy Wówczas η(x) = cot 2πφ = tan π x = tan πφ. (20) ( 2φ + 1 ). (21) 2 Biorac pod uwagę okresowość funkcji tangens, widzimy, że przy podstawieniu (20) odwzorowanie (13) przechodzi w Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ mod 1. (22) Odwzorowanie (22) ma dodatni wykładnik Lapunowa λ = ln 2.
26 Rzut stereograficzny Podstawmy Wówczas η(x) = cot 2πφ = tan π x = tan πφ. (20) ( 2φ + 1 ). (21) 2 Biorac pod uwagę okresowość funkcji tangens, widzimy, że przy podstawieniu (20) odwzorowanie (13) przechodzi w Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ mod 1. (22) Odwzorowanie (22) ma dodatni wykładnik Lapunowa λ = ln 2.
27 Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ mod 1. Metoda φ = 1 2 jest punktem stałym. Odpowiada "ucieczce do nieskończoności". Działanie odwzorowania ζ: Przesunięcie binarne + obcięcie + odwrócenie najstarszego bitu (23) Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ Wszystkie liczby o skończonych rozwinięciach binarnych daż a do φ = = 1 2, czyli do nieskończoności. Zbiór tych liczb jest przeliczalny i gęsty na odcinku [0, 1].
28 Własności odwzorowania ζ ζ(φ) = 2φ mod 1. Metoda φ = 1 2 jest punktem stałym. Odpowiada "ucieczce do nieskończoności". Działanie odwzorowania ζ: Przesunięcie binarne + obcięcie + odwrócenie najstarszego bitu (23) Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ Wszystkie liczby o skończonych rozwinięciach binarnych daż a do φ = = 1 2, czyli do nieskończoności. Zbiór tych liczb jest przeliczalny i gęsty na odcinku [0, 1].
29 Własności odwzorowania ζ (c.d.) Wszystkie liczby o okresowych rozwinięciach binarnych leża na wielocyklach. Ilość k-cykli znajdziemy liczac nietrywialnie różne ciagi binarne o długości k. Punkty o rozwinięciach binarnych okresowych od pewnego miejsca daż a do wielocykli. Liczby o skończonych lub (od pewnego miejsca) okresowych rozwinięciach binarnych sa wymierne, ale wobec tego liczby x = tan πφ sa niewymierne dla wymiernych φ (poza φ = { 3 4, 1 2, 1 4, 0} x = { 1,, 1, 0}). Liczby φ o nieokresowych, nieskończonych rozwinięciach binarnych oraz odpowiadajace im liczby x leża na trajektoriach chaotycznych. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
30 Własności odwzorowania ζ (c.d.) Wszystkie liczby o okresowych rozwinięciach binarnych leża na wielocyklach. Ilość k-cykli znajdziemy liczac nietrywialnie różne ciagi binarne o długości k. Punkty o rozwinięciach binarnych okresowych od pewnego miejsca daż a do wielocykli. Liczby o skończonych lub (od pewnego miejsca) okresowych rozwinięciach binarnych sa wymierne, ale wobec tego liczby x = tan πφ sa niewymierne dla wymiernych φ (poza φ = { 3 4, 1 2, 1 4, 0} x = { 1,, 1, 0}). Liczby φ o nieokresowych, nieskończonych rozwinięciach binarnych oraz odpowiadajace im liczby x leża na trajektoriach chaotycznych. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
31 Własności odwzorowania ζ (c.d.) Wszystkie liczby o okresowych rozwinięciach binarnych leża na wielocyklach. Ilość k-cykli znajdziemy liczac nietrywialnie różne ciagi binarne o długości k. Punkty o rozwinięciach binarnych okresowych od pewnego miejsca daż a do wielocykli. Liczby o skończonych lub (od pewnego miejsca) okresowych rozwinięciach binarnych sa wymierne, ale wobec tego liczby x = tan πφ sa niewymierne dla wymiernych φ (poza φ = { 3 4, 1 2, 1 4, 0} x = { 1,, 1, 0}). Liczby φ o nieokresowych, nieskończonych rozwinięciach binarnych oraz odpowiadajace im liczby x leża na trajektoriach chaotycznych. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
32 Własności odwzorowania ζ (c.d.) Wszystkie liczby o okresowych rozwinięciach binarnych leża na wielocyklach. Ilość k-cykli znajdziemy liczac nietrywialnie różne ciagi binarne o długości k. Punkty o rozwinięciach binarnych okresowych od pewnego miejsca daż a do wielocykli. Liczby o skończonych lub (od pewnego miejsca) okresowych rozwinięciach binarnych sa wymierne, ale wobec tego liczby x = tan πφ sa niewymierne dla wymiernych φ (poza φ = { 3 4, 1 2, 1 4, 0} x = { 1,, 1, 0}). Liczby φ o nieokresowych, nieskończonych rozwinięciach binarnych oraz odpowiadajace im liczby x leża na trajektoriach chaotycznych. Metoda Metoda dla Własności odwzorowania η Gęstość niezmiennicza Rzut stereograficzny Własności odwzorowania ζ
33 Metoda dla równania, n 2, x R, (24) prowadzi do odwzorowania η(x) = ( ) 1 1 2n x 1. (25) 2nx 2n 1 Odwzorowanie to w dziedzinie rzeczywistej ma własności podobne do odwzorowania (13): Brak punktów stałych. Dla x R dziedzina dzieli się na dwie części, w każdej części wzrost monotoniczny w przedziale (, + ). Każdy punkt rzeczywisty ma dokładnie dwa przeciwobrazy rzeczywiste. Powinno być tyle samo wielocykli. Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Podstawienie x = tan πφ nie prowadzi do odwzorowania odcinkami liniowego.
34 Metoda dla równania, n 2, x R, (24) prowadzi do odwzorowania η(x) = ( ) 1 1 2n x 1. (25) 2nx 2n 1 Odwzorowanie to w dziedzinie rzeczywistej ma własności podobne do odwzorowania (13): Brak punktów stałych. Dla x R dziedzina dzieli się na dwie części, w każdej części wzrost monotoniczny w przedziale (, + ). Każdy punkt rzeczywisty ma dokładnie dwa przeciwobrazy rzeczywiste. Powinno być tyle samo wielocykli. Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Podstawienie x = tan πφ nie prowadzi do odwzorowania odcinkami liniowego.
35 10 5 x = Metoda x n x n Metoda dla x n x n Zachowanie asymptotyczne φ n φ n φ n φ n
36 Zachowanie asymptotyczne Nie znamy ścisłego rozwiazania równania Frobeniusa-Perrona dla odwzorowania (25). Wiemy, że każdy punkt rzeczywisty ma dwa przeciwobrazy rzeczywiste. Dla x 1 możemy podać przybliżone wyrażenia na przeciwobrazy: η 1 (x) x + = 2n 2n 1 x, η 1 (x) x 1 = (2nx) 1/(2n 1). (26a) (26b) Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Ponadto ρ(x ) ρ(0). (26c)
37 Równanie Frobeniusa-Perrona dla odwzorowania (25) w obszarze asymptotycznym ma przybliżona postać [ x 2n 2n 1 ρ(x) 2n ( )] 2nx 2n 1 ρ ρ(0) = 2n 1 (27) Prawa strona (27) jest stała. Lewa może być także stała tylko gdy (2n 1)(2n) 1/(2n 1). x const x 2n/(2n 1), x. (28) Metoda Metoda dla Zachowanie asymptotyczne
38 Numerycznie znaleziona gęstość niezmiennicza dla równania x = Metoda ρ(x) x Ogony x 4/3. Rozkład dwumodalny (?!). Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Na płaszczyźnie zespolonej dla dowolnego n 2 Takie samo zachowanie na każdej prostej e iπl/n, l = 0, 1,..., n 1. Większość wielocykli poza takimi prostymi.
39 Numerycznie znaleziona gęstość niezmiennicza dla równania x = Metoda ρ(x) x Ogony x 4/3. Rozkład dwumodalny (?!). Metoda dla Zachowanie asymptotyczne Na płaszczyźnie zespolonej dla dowolnego n 2 Takie samo zachowanie na każdej prostej e iπl/n, l = 0, 1,..., n 1. Większość wielocykli poza takimi prostymi.
40 Nieoczekiwany zwiazek pomiędzy równaniem a odwzorowaniem φ n+1 = 2φ n mod 1. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów metoda może być bardzo chaotyczne. Metoda Metoda dla Zwłaszcza jeśli miejsca te nie istniej a.
41 Nieoczekiwany zwiazek pomiędzy równaniem a odwzorowaniem φ n+1 = 2φ n mod 1. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów metoda może być bardzo chaotyczne. Metoda Metoda dla Zwłaszcza jeśli miejsca te nie istniej a.
42 Nieoczekiwany zwiazek pomiędzy równaniem a odwzorowaniem φ n+1 = 2φ n mod 1. Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów metoda może być bardzo chaotyczne. Metoda Metoda dla Zwłaszcza jeśli miejsca te nie istniej a.
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Metoda diagramowa Ręczne wyprowadzanie równan wiaż acych współczynniki
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoRównania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych P n (z) = a n z n + a n
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].
Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo