TERMODYNAMIKA. Zajęcia 1 ( )

Transkrypt

1 TERMODYNAMIKA Zajęcia 1 ( ) 1.1 Wiadomo że dla gazu doskonałego, molowa energia wewnętrzna u jest jedynie funkcją temperatury u=u(t), oraz że molowe ciepło właściwe c v jest stałe (niezależne od stanu układu). Pokaż że zmiany energii wewnętrznej gazu doskonałego można w pełni opisać jako du=n c V dt, gdzie n to ilość moli gazu, c V to molowe ciepło właściwe zaś T temperatura. Wsk: u=u(t) => du=f(t) dt, c V =const => można całkować, skorzystać z 1 zasady termodynamiki w procesie izochorycznym 1. Wiedząc że ciepło właściwe c v gazu doskonałego jest stałe, oblicz wyrażenie na entropię gazu doskonałego S. Odp: S=n c V ln T + nr ln V + const. Wsk: 1 zasada termodynamiki + rownanie stanu 1.3 Dwa podukłady, izolowane od otocznie ale nie między sobą mają początkowe temperatury T 1 i T. Objętości układów się nie zmieniają, oba podukłady mają tą samą, stałą pojemność cieplną C V, zaś T >T 1. Oblicz zmianę entropii ΔS całości układu wywołaną wyrównaniem się temperatur (ponieważ układ jest izolowany, jest to produkcja entropii w nieodwracalnym procesie zrównywania się temperatur) Odp: Δ S=C V ln (T +T 1 ) =C 4T 1 T V ln( 1+(T T 1 ) 4 T 1 T ) Wsk: rozważ przepływ ciepła i zmianę entropii każdego z podukładów w jego skutek

2 Zajęcia ( ).1 Gaz doskonały wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A, V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone go gazu w tym procesie. Odp: Q IN =n R T 1 ln (V B /V A ) Wsk: dla gazu doskonałego u=u(t), więc du=0 bo T=const.. Gaz doskonały wykonuje pracę w procesie adiabatycznym A B. Znając molową pojemność cieplną tego gazu c V, oraz temperaturę początkową T A i końcową T B oblicz pracę wykonaną przez gaz W OUT. Odp: W OUT =n c V (T A -T B ) Wsk: dla gazu doskonałego du=nc V dt.3 Gaz doskonały pracuje w odwracalnym cyklu Carnota między temperaturami T 1 i T. Pokaż że w tym cyklu jest spełniona równość Clausiusa dq T =0, czyli Q 1 + Q =0, gdzie Q 1 i Q to T 1 T ciepła przyjęte przez układ podczas procesów odpowiednio w tempteraturze T 1 i T w każdym cyklu. Wsk: oblicz Q 1 i Q w procesach albo przez zmiany entropii albo przez objętości

3 Zajęcia 3 ( ) Uwaga: opcje a) i b) odnoszą się do wariantów zadań zrobionych w grupie 10:15 i 1: Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jaką pracę W OUT wykonał. Odp. W OUT =nrt 1 ln( V nb B V A nb ( 1 )+an 1 V B V A ) an Wsk. Równanie stanu gazu van der Waalsa to ( p+ V )(V nb)=nrt 3. Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A B w temperaturze T 1. Znając początkową i końcową objętość gazu (V A,V B ) oblicz jakie ciepło Q IN zostało dostarczone do gazu. Odp. Q I N =n R T 1 ln( V B nb V A nb ) Wsk. Energia wewnętrzna gazu van der Waalsa wynosi U=nc V T-an /V+U Oblicz sprawność silnika cieplnego działającego w odwracalnym cyklu Carnota, gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Cykl działa między temperaturami T 1 i T (T >T 1 ). Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p, natomiast szukaną sprawność definiujemy jako μ=w OUT /Q IN, gdzie W OUT to całkowita praca wykonywana przez cykl, zaś Q IN ciepło dostarczone do cyklu przy przemianach gdzie cykl ciepło przyjmuje. Odp. μ=1-t 1 /T Wsk. Skorzystaj z zachowania energii i równości Clausiusa 3.4 Oblicz sprawność pompy cieplnej działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność pompy cieplnej zdefiniowana jest jako μ=q OUT /W IN, gdzie Q OUT to ciepło oddane w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Pompa cieplna pracuje w cyklu: a) złożonym z dwóch izochor przy objętościach V 1 i V (V >V 1 ) i dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p (p >p 1 ), b) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p (p >p 1 ) Odp. a) μ= c V p V p 1 V 1 R ( p p 1 )(V V 1 ) + p 1, b) μ= p p 1 1 ( p 1 / p ) (γ 1)/ γ Wsk. Skorzystaj z definicji c p a) oblicz pracę i ciepła wymieniane w odpowiednich przemianach, b) z zachowania energii przekształć sprawność na zależną tylko od ciepeł i oblicz ciepła, zależności między temperaturami mogą być policzone z równania adiabat i równania stanu 3.5 (dodatkowe) Oblicz sprawność lodówki działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu c V i c p. Sprawność lodówki zdefiniowana jest jako μ=q IN /W IN, gdzie Q IN to ciepło odebrane otoczeniu w cyklu, zaś W IN to całkowita dostarczona praca. Lodówka pracuje w cyklu: a) Joule a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p 1 i p (p >p 1 ) b) Otta, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izochor przy objętościach V 1 i V (V >V 1 ) 1 Odp. a) μ= ( p / p 1 ) (γ 1)/ γ 1, b) μ= 1 (V /V 1 ) γ 1 1

4 Wsk. Z zachowania energii przekształć pracę w ciepła, policz ciepła przyjęte i oddane z def c x, wyraź temperatury przez ciśnienia/objętości na podstawie adiabat

5 Zajęcia 4 ( ) 4.1 Korzystając z tzw. podstawowego równania termodynamiki U=TS-pV+μn i transformacji Legendre a zapisz podstawowe równanie termodynamiki w formie zawierającej inny potencjał termodynamiczny oraz wyprowadź wzór na zmianę tego potencjału: a) entalpia H(S,p,n), b) energia swobodna F(T,V,n), c) energia swobodna Gibbsa G(T,p,n) Odp. a) H=TS+μn, dh=tds+vdp+μdn, b) F=pV+μn, df=-sdt-pdv+μdn, c) G=μn, dg=-sdt+vdp+μdn 4. Wyprowadź poniższe relacje Maxwella: a) ( dt dp ) = S, n ( dv ds ), b) p,n ( ds dv ) = T,n ( dp dt ), c) V, n ( dv dn ) = T, p ( dμ dp ) T, n Wsk. Skorzystaj z równości pochodnych mieszanych odpowiednich potencjałów termodynamicznych, odpowiedni potencjał ma te same naturalne parametry które występują w relacji 4.3 Układ termodynamiczny o stałej pojemności cieplnej C i temperaturze T 1 znajduje się w otoczeniu o temperaturze T 0 (otoczenie ma nieskończoną pojemność cieplną). a) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mógłby wykonać silnik używający tego układu jako źródła ciepła a otoczenia jako chłodnicy zakładając T 1 >T 0? b) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mogłby wykonać silnik używający tego układu jako chłodnicy, zaś otoczenia jako źródła ciepła zakładając T 0 >T 1? Odp. W MAX =C(T 1 -T 0 )-C T 0 ln (T 1 /T 0 ) (w obu przypadkach) Wsk. Silnik cieplny pracujący w odwracalnym cyklu Carnota o sprawności μ=1-t O /T I ma najwyższą możliwą sprawność (T I to temperatura grzejnicy a T O temperatura chłodnicy), licząc maksymalną możliwą pracę można rozpatrywać nieskończenie mały cykl 4.5 Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami a) V,n, b) S,n wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U przy ustalonym S,V,n. Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych.

6 Zajęcia 5 ( ) 5.0 (zostało z poprzednich zajęć, zmodyfikowane) Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami S,M wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U dla magnetyka przy ustalonym S,M,n (M to magnetyzacja, związana z intensywnym polem zewnętrznym H podobną zależnością jak objętość z ciśnieniem dw=hdm). Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych wielkościach fizycznych. Wsk. zapisz drugie pochodne U poprzez pierwsze pochodne innych wartości po obliczeniu wyznacznika, zinterpretuj pamiętając o zależności dq=tds oraz że dx/dy=1/(dy/dx) 5.1 Oblicz molowe ciepło spalania mola propenu C 3 H 6, zakładając swobodny dostęp tlenu oraz znając ciepła uwodorniania propenu C 3 H 6 +H +q A C 3 H 8, spalania propanu C 3 H 8 +5O +q B 3CO +4H O i spalania wodoru H +O H O+q C. Wsk. Dodaj stronami równania reakcji, dobierając współczynniki tak by dostać spalanie propenu C 3 H 6 +9/ O +q D 3CO + 3H O Odp. q D =q A +q B -q C / 5. Entalpia molowa wody w temperaturze T A i ciśnieniu atmosferycznym p A wynosi h A. Oblicz entalpię wody po tym jak została przepuszczona przez reaktor atomowy (jako chłodziwo) który przeprowadził ją w płyn superkrytyczny o temperaturze T B przy ciśnieniu p B, oraz przez turbinę i chłodnicę które opuściła w postaci ciekłej w temperaturze T C i w ciśnieniu atmosferycznym p A. Załóż że znasz wszelkie własności wody, tzn. molowe ciepła właściwe w dowolnej fazie i w dowolnych warunkach (zakładając że wewnątrz każdej fazy ciepła właściwe są stałe), ciepła przemian fazowych, gęstość, masę molową itp. Wsk. Entalpia to funkcja stanu, skorzystaj z prawa Kirchoffa, nie zawsze wszystkie dane są potrzebne Odp. h C =h A +c p (T C -T A ) 5.3 Sztaba żelaza o masie m i temperaturze T 1 znajduje się pod ciśnieniem p 0. Sztaba jest podgrzewana przy ustalonym ciśnieniu. W temperaturze T sztaba stopiła się. Proces podgrzewania zakończono w temperaturze T 3. Oblicz ciepło dostarczone do żelaza podczas całego procesu oraz zmianę jego entropii, znając wszelkie molowe własności żelaza (ciepła właściwe każdej z faz, molowe ciepła topnienia i wrzenia przy ciśnieniu p 0, masę molową). Wsk. Podziel proces na podgrzewanie i przemianę fazową (odbywającą się w ustalonym T,p 0 ) Odp. Q 13 = m [ (s c ) M p (T T 1 )+q sc +c (c) p (T 3 T 1 )], Δ S 13 = m M [ c (s) p ln T + q sc +c (c) T 1 T p ln T 3 T 1 ] 5.4 Znając kształt granicy faz woda-para wodna p CG (T) oblicz ciepło przemiany ciecz-gaz w zależności od temperatury, zakładając że para wodna jest gazem doskonałym o objętości o wiele większej niż ta sama ilość cieczy. Wsk. Skorzystaj z równania Clausiusa-Clapeyrona i równania stanu gazu doskonałego, zaniedbaj objętość cieczy Odp. q CG = dp CG dt RT p CG

7 FIZYKA STATYSTYCZNA Zajęcia 6 ( ) 6.1. Rozważ układ N cząstek i, z których każda może mieć skwantowaną energię a) E i =0,1,,3,, b) E i =1,,3,. Oblicz liczbę stanów takiego układu jeżeli całkowita energia E jest ustalona. Wsk. Można rozpatrywać że mamy E kwantów, każdy może być przypisany do jednej z N cząstek kombinacja z powtórzeniami daje od razu wynik Odp. a) Δ Γ= ( N 1+E E ) = ( N 1+E, b) Δ Γ= N 1 ) ( E 1 E N ) = ( E 1 N 1) 6.. Rozważ klasyczną cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E, narysuj przestrzeń fazową i zaznacz dozwolone stany dla takiej cząstki. Wyznacz gęstość stanów g(e). Naturalną jednostką objętości jednowymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka h. Wsk. Przestrzeń fazowa 1-wymiarowej cząstki ma wymiary: położenie (0,L) i pęd (dodani i ujemny, bo cząstka może poruszać się w obie strony). Energia cząstki to energia kinetyczna. Odp. Γ= L d Γ(E) me, g(e)= h de = L m h E 6.3. Rozważ kwantową cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz liczbę stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E. Wyznacz gęstość stanów g(e). Wsk. Dozwolone stany cząstki wynikają z rozwiązania równania Schrödingera dla 1-wymiarowej studni potencjału i warunków brzegowych (Ψ(0)=Ψ(L)=0): Ψ n (x)= A sin( me n x ħ ) gdzie h E n = 8 ml n dla n N. Odp. Γ= L me, h d Γ(E) g(e)= de = L m h E 6.4. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/)ħω,gdziω,gdzie n=0,1,,. Rozważ układ N oscylatorów, których całkowita energia jest ustalona i wynosi E. Oblicz entropię i temperaturę tego układu. Wsk. Efektywnie rozkładamy E/ħω,gdziω-N/ kwantów energii (wzbudzenia oscylatorów) na N cząstek. Przy E=const. entropia wynika z ilości dostępnych stanów (objętości przestrzeni fazowej). E S =T Odp. S=k[(N+M) ln(n+m) N ln N M ln M], T = ħ ω N +M 1/ln k M stała Boltzmanna, gdzie M=E/ħωgdziω-N/, a k to 6.5. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Naturalną jednostką objętości przestrzeni fazowej jest tu h 3N (dla całego układu). Zakładając że układ ma ustaloną energię E oblicz entropię, temperaturę i ciśnienie w układzie (wyraź przez temperaturę). Wsk. N-wymiarowa kula o promieniu r dla parzystego N ma objętość π N/ r N /(N/)!, ΔΓ=dΓ/dE ΔE. ΔE. Różniczkując entropię po energii i objętości można uzyskać 1/T i p/t (1 zasada termodynamiki). Odp. S Nk [ ln V N + 3 ln E N +3 ( ln 4 π m 3h + 5 3)], T = 3 E kn, p=nkt/v

8 Zajęcia 7 ( ) 7.1. Rozważ układ składający się z dwóch niezależnych rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię 0 lub ε. Układ jest w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U, swobodną F i entropię S. Wsk. Wszystko bezpośrednio z definicji, zauważyć że Z =Z 1 Odp. U=ε 1/(e -βε +1), F=-k B T ln (1+e -βε ), S=k B ln (1+e -βε )+ε/(t(e βε +1)) 7.. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi E i =-μs i H, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, s i =±1/ to wartość spinu (dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz średnią energię U i magnetyzację M= i μs i dla układu N niezależnych spinów znajdujących się w polu zewnętrznym H i kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1N, pojedynczy spin ma tylko mikrostany (s i =±1/), porównaj U wychodzące z definicji i z sumy statystycznej Odp. U=-NμH tgh βμh, M=N tgh βμh 7.3. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako ε i =(n i +1/)ħωgdziω,gdzie n=0,1,,. Rozważ układ N niezależnych oscylatorów znajdujących się w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz średnią energię U i entropię S układu. N Wsk. Niezależne cząstki Z N =Z 1, U= β ln Z Odp. U=N ħ ω ( 1 + 1, S=Nk e 1) βħ ω B ( β ħ ω e βħ ω 1 ln(1 eβ ħ )) ω 7.4. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Zakładając że układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T oblicz entropię S, energię wewnętrzną U i ciśnienie p w układzie. Wsk. Całka Gaussa exp( x )dx= π objętości można uzyskać S i p (1 zasada termodynamiki). Odp. U= 3 Nk B T Różniczkując energię swobodną F po temperaturze i, S=Nk b ( 5 +ln V N + 3 ln(mk B T ) ), p=nkt/v

9 Zajęcia 8 ( ) 8.1. Oblicz wielką sumę statystyczną dla gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Masa każdej cząstki to m. Wsk. Suma po wszystkich stanach w układzie otwartym to suma po N i suma po wszystkich stanach o określonym N (jak w zespole kanonicznym), x n n=0 n! =e x, dla pojedynczej cząstki klasycznej Z 1 =V (mk B T ) 3 / Odp. Ż =exp( eβμ V ( m β ) 3 /) 8.. Rozważ gaz doskonały cząstek o masie m w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Oblicz średnia liczbę moli gazu n znajdujących się w objętości układzie, średnią energię wewnętrzną U oraz ciśnienie gazu p. 3/) (8.1), z Wsk. Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego wynosi Ż =exp( eβμ V ( m β ) własności zespołu wielkiego kanonicznego N = 1 β μ ln Ż Odp. n= 1 N A e βμ V ( m β ) 3 /, U= 3 N k B T, p= N k B T V, E = β ln Ż+μ N 8.3. Pokaż że rozkład prawdopodobieństwa ilości cząstek gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ jest rozkładem Poissona tzn. P(N )= e N N N N! Wsk. Prawdopodobieństwo N to suma prawdopodobieństw stanów o N cząstkach P(N )= P (Ω)d Ω. Wielka suma statystyczna Ż Δ Γ N =exp( eβμ V ( m β ) /) 3 (8.1), suma statystyczna 1 cząstki Z 1 =V (mk B T ) 3 /, z własności zespołu N = 1 β μ ln Ż wynikają zależności między N a Ż i Z 1., z czego 8.4. Rozważ powierzchnię na której adsorbować się mogą cząstki, gdzie energia każdej zaadsorbowanej cząstki to -ε. Powierzchnia jest w równowadze z gazem doskonałym o temperaturze T i potencjale chemicznym μ=k B T ln( β p h 3 (potencjał chemiczny (π m k B T ) ) 3/ gazu doskonałego). Oblicz współczynnik pokrycia powierzchni θ=n/a gdzie N to ilość zaadsorbowanych cząstek a A ilość miejsc gdzie cząsteczki mogą się zaadsorbować. Wyraź wspołczynnik pokrycia przez ciśnienie p gazu doskonałego nad tą powierzchnią. Pamiętaj że cząstki gazu doskonałego są nierozróżnialne. Wsk. Rozważ zaadsorbowane cząstki jako układ w zespole wielkim kanonicznym, ilość stanów dla N cząstek to po prostu ilość możliwych rozłożeń N cząstek na A miejsc (bez powtórzeń), n (x+ y) n = i=0 ( n i ) xn 1 y i p Odp. θ= p+ p 0 (T ), gdzie p 0 (T )=e β ϵ ( π m) 3/ h 3 β 5/ to wielkość zależna od warunków

10 8.5* (dodatkowe). Rozważ gaz N nieoddziaływujących ultrarelatywistycznych (nie-kwantowych) cząstek punktowych, znajdujących się w zamkniętym układzie o objętości V i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Energia ultrarelatywistycznej cząstki i wyraża się wzorem E i =p i c, gdzie p i to pęd cząstki zaś c to prędkość światła w próżni. Oblicz energię wewnętrzną gazu U oraz jego ciśnienie p. Załóż że cząstki są nierozróżnialne, aby zapobiec paradoksowi Gibbsa. Wsk. Całkowanie po dowolnych współrzędnych kartezjańskich x,y,z można zmienić na całkowanie po współrzędnych biegunowych r,γ,θ : dx dy dz=r dr sinθ dθd ϕ 0 x n 1 e x dx =Γ(n) = n N (n 1)! Odp. U=3Nk B T, p=nk B T/V, całka Eulera

11 Zajęcia 9 ( ) 9.1. Rozważ układ złożony z 3 fermionów z których każdy może przebywać w jednym z 4 stanów kwantowych o energiach ε 1,ε,ε 3,ε 4. Układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość fermionów <N 1 > w stanie o energii ε 1. Wsk. Z zakazu Pauliego wynika że może być max. 1 fermion w każdym stanie łatwo wypisać wzsystkie stany, dowolna średnia <x>=σ Ω P(Ω)x(Ω) Odp. Z =e β(ϵ +ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ 3 +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ϵ +ϵ 4 ) +e β(ϵ 1+ ϵ + ϵ 3 ) =e β(ϵ 1+ϵ +ϵ 3 +ϵ 4 ) (e β ϵ 1 +e βϵ +e βϵ 3+e β ϵ 4 ), N 1 =1 e β(ϵ + ϵ 3 + ϵ 4 ) Z 9.. Rozważ układ złożony z 3 bozonów, z których każdy może przebywać w jednym z 3 stanów kwantowych o energiach 0, ε, ε. Układ jest w równowadze terminczej z otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość bozonów <N 0 > w stanie o energii 0. Wsk. Bozonów może być w danym stanie dowolnie dużo, rozkładamy 3 nierozróżnialne cząstki na 3 stany (z powtórzeniami) Odp. Z =1+e β ϵ +e βϵ +e 3 βϵ +e 4β ϵ +e 5 βϵ 6 βϵ +e, N 0 = 3+e βϵ +3 e 3 βϵ +e 3 βϵ 4 βϵ +e Z 9.3. Rozważ pojedynczy stan kwantowy o energii ε. Zakładając równowagę termiczną z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ wyprowadź wzór opisujący średnią liczbę cząstek <n>(ε) znajdujących się w tym stanie. Rozważ przypadek a) fermionów, b) bozonów. Wsk. a n = 1 dla a<1 n=0 1 a 1 Odp. a) n (ε)= e β(ε μ) +1, b) n (ε)= 1 e β(ε μ) Rozważ gaz N elektronów swobodnych w objętości V i temperaturze T=0K. Wyznacz potencjał chemiczny μ 0, energię wewnętrzną U 0 i ciśnienie p 0 tego gazu. Funkcja gęstości stanów jest znana i wynosi g(e)= V π ( m ħ )3/ E. Wsk. Warunek stałości ilości cząstek rozkładem jednorodnym do progu ε=μ Odp. μ 0 =(3 π ) /3 ħ m ( N V ) / 3, U 0 = 3 5 N μ 0, p 0 = 3 N= n (ε)g(ε)d ε, dla β rozkład F-D jest Wyznacz temperaturę T c w której w gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=(s+1) V π ( m / E dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. ħ )3 Wsk. Warunek stałości ilości cząstek punkcie gdzie μ=0, x n dx 0 e x 1 funkcja zeta Riemanna Odp. T c = 1 N k B ( V A 1 ) U 0 V N= n (ε)g (ε)d ε 0, kondensacja zaczyna zachodzić w =Γ(n+1)ζ (n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to gdzie A 1=Γ(3/)ζ (3/) 1 π ( m 3/ ħ )

12 Zajęcia 10 ( ) Wyznacz temperaturę T c w której w -wymiarowym gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g(e)=( s+1) V m dochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina. π ħ Wsk. Warunek stałości ilości cząstek N= n (ε)g(ε)d ε, kondensacja zaczyna zachodzić w 0 punkcie gdzie μ=0 Odp. Kondensacja w ogóle nie zachodzi (nie istnieje temperatura w której potencjał chemiczny jest zerowy) 10.. Rozważ układ składający się z wnętrza zamkniętego pudełka o temperaturze T i objętości V. Oblicz średnią ilość fotonów N(ν) o częstotliwości ν wewnętrz pudełka, oraz średnią gęstość energii u(ν), wiedząc że funkcja gęstości stanów to g(e)= 8π V c 3 h 3 E, zaś potencjał chemiczny fotonów jest zawsze równy 0. Wsk. E=hν, N(E)dE=<n>(E)g(E)dE, N(ν)dν=N(E)dE, u(ν)=u(ν)/v Odp. N (ν)= 8 π V c 3 ν e βhν 1, u(ν)= 8 π h c 3 ν 3 e βh ν Rozważ -wymiarowy gaz N fermionów zamkniętych w objętości V, o gęstości stanów g(e)= 4 mv = A (const.). Wyznacz potencjał chemiczny (energię fermiego) μ(t) oraz π ħ przybliżone zachowanie energii wewnętrznej U(T) oraz ciepła właściwego c V (T) dla T~0. Wsk. Rozważ warunek stałości ilości cząstek by wyznaczyć μ(n,t), warto wyznaczyć μ 0, E p T 0 e β( E μ) +1 0 μ p+1 p+1 + π 6 pμ p 1 (k B T ) Odp. μ(t )=k B T ln (e N /(A k T) B 1), U (T )=U 0( 1+ π 3 ( k T B μ 0 )), c V (T )= 3 U 0 n π μ k B T Oblicz średnią ilość fotonów <N> w określonej objętości V, znajdującej się w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Wsk. wyznaczyć N(ν) (zad. 10.), po czym scałkować po częstościach, x n dx =Γ(n+1)ζ (n+1) gdzie Γ(n) to funkcja gamma Eulera, zaś ζ(n) to funkcja zeta 0 e x 1 Riemanna Odp. N = 4 π V c 3 h ζ(3)(k T 3 B )3