Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład

Transkrypt

1 Kinetyczna teoria gazów Termodynamika dr Mikołaj Szopa Wykład

2 Kinetyczna teoria gazów Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

3 Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe takie jak: ciśnienie, objętość, temperatura. Ciśnienie wywierane przez gaz jest skutkiem zderzeń cząsteczek ze ściankami zbiornika. Zdolność gazu do wypełnienia całej objętości zbiornika jest konsekwencją swobody ruchu cząsteczek. Temperatura i energia wewnętrzna zależą od energii kinetycznej tych cząsteczek Kinetyczna teoria gazów analizuje problem z cząsteczkowego punktu widzenia.

4 Energia wewnętrzna: ciepło Energia wewnętrzna: suma wszystkich rodzajów energii wszystkich cząsteczek ciała U N E E k p Ciepło: jest energią przekazywaną między układem a jego otoczeniem na skutek istniejącej między nimi różnicy temperatur

5 Energia wewnętrzna: ciepło Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

6 ZASADY TERMODYNAMIKI Zerowa zasada termodynamiki: Jeżeli ciała 1 i są w równowadze termicznej i ciała i 3 są w równowadze termicznej to ciała 1 i 3 są w tej samej równowadze termicznej.

7 ZASADY TERMODYNAMIKI I zasada termodynamiki: Ciepło pobrane przez układ jest równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewnętrznym. Q U W U Q W du dq dw Widzimy, że zmiana energii wewnętrznej związana jest z ciepłem pobieranym (dq > 0) lub oddawanym (dq < 0) przez układ oraz z pracą wykonaną przez układ (dw > 0) lub nad układem (dw < 0)

8 MECHANIZMY PRZEKAZYWANIA CIEPŁA Przewodnictwo cieplne Q t ks T G L T Z

9 Konwekcja zachodzi w płynach ciecze i gazy Promieniowanie za pośrednictwem fal elektromagnetycznych. Moc promieniowania emitowanego przez ciało w postaci fali elektromagnetycznej: 4 5, W m K P ε zdolność emisyjna powierzchni ciała 4 S T stała Stefana-Boltzmana

10 TEMPERATURA Skalarna wielkość fizyczna, która jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek Skale temperatur

11 TEMPERATURA Skalarna wielkość fizyczna, która jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek Daniel Gabriel Fahrenheit ur r. w Gdańsku

12 Ciepło właściwe i ciepło molowe Ilość ciepła ΔQ pobrana przez ciało w procesie ogrzewania c ciepło właściwe m = nm M masa molowa Mc = C ciepło molowe Q mct Q nmct Q nct

13 WŁASNOŚCI GAZU DOSKONAŁEGO Gaz doskonały zwany gazem idealnym jest to gaz spełniający następujące warunki: - cząsteczki gazu traktujemy jak punkty materialne o pomijalnie małej objętości w stosunku do objętości gazu - zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste - cząsteczki oddziałują tylko w momencie zderzeń - między zderzeniami cząsteczki poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym

14 RÓWNANIE STANU GAZU Doświadczenie pokazuje, że wszystkie gazy rzeczywiste przy dostatecznie małej gęstości można opisać jednym równaniem: p nrt p ciśnienie n liczba moli gazu w próbce T temperatura bezwzględna gazu R stała gazowa; R = 8,31 J/(mol.K) p NkT k stała Boltzmanna; k = 1, J/K N liczba cząsteczek

15 RÓWNANIE STANU GAZU Parametry stanu gazu: p ciśnienie [Pa] 3 - objętość [ m ] T temperatura [K] p p n R T const T p N k T

16 Praca wykonana przez gaz doskonały w stałej temperaturze ROZPRĘŻANIE IZOTERMICZNE W k p pd p nrt 1 1 p nrt const

17 Praca wykonana przez gaz doskonały w procesie rozprężania izotermicznego: W k pd p p nrt W k p nrt d nrt k p d nrt ln k p ln a ln b ln a b Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

18 W nrt ln k p W przypadku procesu rozprężania: k > p zatem: k / p > 1 co daje ln( k / p ) > 0 W nrt ln k 0 p

19 Praca wykonana przez gaz doskonały w stałej objętości Jeżeli objętość gazu jest stała to: PRZEMIANA IZOCHORYCZNA W k p pd W = 0 Praca wykonana przez gaz doskonały przy stałym ciśnieniu PRZEMIANA IZOBARYCZNA Jeżeli ciśnienie gazu jest stałe to: W = p( k - p ) = p

20 PODSTAWOWY WZÓR KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW E k p N E k średnia energia kinetyczna cząsteczki gazu 3 Ekwipartycja energii: średnia energia kinetyczna na każdy stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek. E k i k T i ilość stopni swobody

21 Modele cząsteczek występujących w teorii kinetycznej Hel - przykład cząsteczki jednoatomowej Tlen - przykład cząsteczki dwuatomowej Metan przykład cząsteczki wieloatomowej.

22 PRZEMIANY GAZU DOSKONAŁEGO 1. Przemiana izotermiczna T = const. Przemiana izobaryczna p = const 3. Przemiana izochoryczna = const 4. Przemiana adiabatyczna Q = 0

23 PRACA W PRZEMIANACH GAZOWYCH Praca wykonana w przemianach gazowych liczbowo odpowiada polu zawartemu pod wykresem przemiany w układzie współrzędnych p()

24 Silnik cieplny η Qpobrane 1 W T T z g Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

25 ENTROPIA Entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan nieporządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie. Z definicji entropia S układu jest równa S = k ln gdzie k - stała Boltzmana, - prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów). S 0

26 ENTROPIA Entropia S jest termodynamiczną funkcją zależną tylko od początkowego i końcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami S Q T lub d S dq dt S dq T Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

27 II zasada termodynamiki Równoważne sformułowania tej zasady: Nie można zbudować perpetuum mobile drugiego rodzaju. Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wówczas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego. Nie można zbudować silnika cieplnego, który w całości zamieniałby dostarczone ciepło na pracę W układzie zamkniętym entropia nie może maleć.

28 III zasada termodynamiki Nie można za pomocą skończonej liczby kroków uzyskać temperatury zera bezwzględnego, jeżeli za punkt wyjścia obierzemy niezerową temperaturę bezwzględną. η Qpobrane 1 W T T z g T g Tz T z

29 Ciśnienie, temperatura i prędkość średnia kwadratowa - n moli gazu doskonałego w zbiorniku o objętości =L 3 - Ściany zbiornika maja stałą temperaturę T L L L

30 W jaki sposób ciśnienie p wywierane przez gaz na ścianki zbiornika zależy od prędkości jego cząsteczek? Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

31 1) Pomijamy zderzenia cząsteczek między sobą. ) Zderzenia cząsteczek ze ścianami naczynia są SPRĘŻYSTE po zderzeniu z zacienioną ścianką naczynia zmienia się tylko składowa prędkości w kierunku osi x, co sprawia, że zmienia się tylko składowa pędu cząsteczki w kierunku osi x: x mv mv mv x x x p co z kolei sprawia, że pęd jakiego doznaje ściana wynosi +mv x

32 x mv mv mv x x x p

33 Cząsteczka regularnie zderza się z zacieniowaną ścianką. Czas jaki mija pomiędzy kolejnymi zderzeniami t równy jest czasowi potrzebnemu na przebycie przez cząsteczkę drogi od jednej ściany do drugiej (L) i z powrotem (L) z prędkością v x : v x p t L t x mv L v x x t Średnia szybkość z jaką cząstka przekazuje pęd ściance naczynia: mv L L v x x

34 Z drugiej zasady dynamiki Newtona: a F F ma m p t x m mv L v x x dv dt mv L x mdv dt m kg s m dp dt kg m s zmiana pędu w czasie to po prostu siła działająca na ściankę. Sumując po wszystkich cząsteczkach otrzymamy wartość siły wypadkowej F x, a dzieląc ją przez powierzchnię ścianki L otrzymamy ciśnienie p wywierane na tą ściankę: p F x L

35 3 1 1 N N x x x x x x x v v v L m L L mv L mv L mv L F p s m kg m s m kg L mv v L mv t p x x x x gdzie N oznacza liczbę cząsteczek. Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

36 Ponieważ: N nn v v v nn v x x x A x śr 1 N A v x śr Gdzie jest średnim kwadratem składowych prędkości w kierunku x. p nmn L 3 A v x śr Ponieważ mn A =M, (gdzie M jest masą molową gazu), oraz L 3 =, mamy: p nm v x śr

37 W 3D: dla dowolnej cząstki mamy: v v v v x y z Ponieważ liczba cząsteczek w zbiorniku jest olbrzymia, a wszystkie poruszają się w przypadkowych kierunkach, średnie wartości kwadratów składowych prędkości są sobie równe, a więc: 1 v v x śr śr 3 p nm 3 v śr

38 Pierwiastek kwadratowy z wyrażenia v jest pewną średnią prędkością śr nazywaną prędkością średnią kwadratową cząsteczek i oznaczoną symbolem v śr.kw.. Aby policzyć v śr.kw. podnosimy wszystkie prędkości do kwadratu, obliczamy ich średnią, a na koniec bierzemy pierwiastek kwadratowy obliczonej wartości. p nm 3 v vśr. kw. v śr nmv śr 3 śr. kw. p nm 3 v śr

39 p nmv 3 śr. kw. Równanie to mówi nam, że ciśnienie gazu (wielkość makroskopowa) zależy od prędkości cząsteczek (wielkości mikroskopowej).

40 Sytuacja odwrotna: ze znajomości ciśnienia p obliczmy v śr.kw.. Korzystając z równania stanu gazu doskonałego: p=nrt, otrzymamy: p nmv 3 śr. kw. nrt nmv 3 śr. kw. v śr. kw. 3RT M

41

42 Z v śr.kw. ściśle związana jest prędkość dźwięku w gazie. W fali dźwiękowej zaburzenie przekazywane jest od cząsteczki do cząsteczki dzięki ich zderzeniom. Fala nie może więc rozchodzić się szybciej niż przeciętna prędkość cząsteczek. Jest za to mniejsza, gdyż nie wszystkie cząsteczki poruszają się w tym samym kierunku co fala. v śr.kw. [m/s] prędkość dźwięku [m/s] Wodór Azot

43 Energia kinetyczna ruchu postępowego W dowolnej chwili energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki jest równa: Ek 1 mv Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki w pewnym przedziale czasu wynosi: E k śr. 1 mv śr 1 1 mv m v śr śr. kw. 3 v śr. kw. RT M 1 3RT k. m M E śr

44 1 3RT k. m M E śr M m k N A R N A E k śr. E k śr. 3RT N 3 A kt

45 E k śr. 3 kt W danej temperaturze T wszystkie cząsteczki gazu doskonałego niezależnie od swojej masy mają taką samą energię kinetyczna ruchu postępowego, równą 3/ kt. Mierząc temperaturę gazu, wyznaczamy jednocześnie średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek.

46 Średnia droga swobodna Parametrem charakteryzującym przypadkowy ruch cząsteczek jest średnia droga swobodna l. Określa ona jaką drogę pokonuje średnio cząsteczka między swoimi kolejnymi zderzeniami. Większa gęstość => mniejsze l Większe cząsteczki => mniejsze l 1 d N Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

47 Rozkład prędkości cząsteczek Rozkład Maxwella-Boltzmanna (185 r.) Mv RT P 4 v e v M RT 3 P(v) funkcja rozkładu prawdopodobieństwa: dla dowolnej prędkości v iloczyn P(v)dv (wielkość bezwymiarowa) wskazuje, jaki ułamek cząsteczek ma prędkość z przedziału o szerokości dv i środku w punkcie v. Całkowite pole pod krzywą określa całkowitą liczbę cząsteczek.

48 Rozkład Maxwella dla tlenu dla trzech temperatur ( 100 C, temperatura pokojowa i 600 C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s. Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

49 Rozkład Maxwella dla tlenu, butanu, amoniaku i dwutlenku węgla w temperaturze pokojowej (0 C). Wartość funkcji odpowiada liczbie cząsteczek spośród 1 miliona cząsteczek, jaka będzie poruszać się z prędkością v±0,5 m/s. Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

50 Rozkład Maxwella dla prędkości cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300 K. Na wykresie zaznaczono trzy prędkości charakterystyczne Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

51 Całkowite prawdopodobieństwo (pole pod krzywą): 0 P vdv 1 Ułamek cząsteczek o prędkości od v 1 do v : Prędkość średnia: v śr n v v 1 0 v v 1 Pvdv vp v dv 8RT M

52 Średni kwadrat prędkości: Prędkość średnia kwadratowa: 3RT v śr dv M v Pv 0 v vśr. kw. śr 3 v śr. kw. RT M Prędkość najbardziej prawdopodobna dp/dv=0: RT v p M

53 RT v p M v śr 8RT M 3 v śr. kw. RT M

54 Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego Jak przypadkowy ruch atomów lub cząstek tworzących gaz przekłada się na energię gazu? ENERGIA WEWNĘTRZNA Jednoatomowy gaz doskonały: hel, neon lub argon. Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego pojedynczego atomu zależy tylko od temperatury gazu: 3 E k śr kt

55 Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest równa sumie energii kinetycznych związanych z ruchem postępowym tworzących go atomów. Próbka n moli zawiera nn A atomów. Energia wewnętrzna E w próbki jest więc równa: E w nn E nn kt A k śr A 3 k R N A 3 E w nrt Energia wewnętrzna E w gazu doskonałego zależy TYLKO od temperatury gazu; nie zależy ona od żadnej innej wielkości opisującej jego stan.

56 MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI C Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

57 dostarczone ciepło => temperatura T nc Q C molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości T n E C W T nc E W Q E w w w W=0 ponieważ =0 Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

58 Pamiętając, że energia wewnętrzna E w gazu jednoatomowego jest równa: a zmiana energii wewnętrznej: 3 E w nrt E w 3 nrt Ew 3 C R 1. 5 nt J mol K

59 Ostatecznie zmiana energii wewnętrznej gazu zwiazana ze zmianą jego temperatury wynosi: E w nc T Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w zbiorniku zależy TYLKO od zmiany temperatury gazu, nie zależy natomiast od typu procesu, w wyniku którego nastąpiła zmiana temperatury. Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

60 MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO PRZY STAŁYM CIŚNIENIU C P Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

61 dostarczone ciepło => temperatura T nc Q p C P molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości (C P >C ) R C C R C C T nr p W W Q E p p w T nc E w Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

62 STOPNIE SWOBODY A MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

63 Możliwe ruchy: -Ruch postępowy -Ruch obrotowy -Ruch drgający (cząsteczka wieloatomowa)

64 ZASADA EKWIPARTYCZJI ENERGII (równego podziału energii) Każdy rodzaj cząsteczek charakteryzuje pewna liczba STOPNI SWOBODY f, które dają cząsteczce niezależne sposoby przechowywania energii. Na każdy stopień swobody przypada - średnio energia równa 1/kT na cząsteczkę (lub 1/RT w przeliczeniu na mol) f E w nrt

65

66 Rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego Proces przeprowadzany bardzo szybko (jak w przypadku fali dźwiękowej) lub w dobrze izolowanym zbiorniku.

67 Równanie przemiany adiabatycznej (zmienne p oraz ): gdzie p const C C p Adiabata opisana jest równaniem: p const

68 Równanie przemiany adiabatycznej (zmienne T oraz ): nrt const Ponieważ n oraz R są stałymi: T 1 const Dla gazu podlegającego przemianie od stanu początkowego P do stanu końcowego K można napisać: T p 1 T 1 p k k

69 Ponieważ ciśnienie w butelce jest większe od ciśnienia atmosferycznego, po jego otwarciu gaz rozpręża się, co oznacza, że wykonuje on pracę przeciwko ciśnieniu atmosferycznemu. Ponieważ dzieje się to bardzo szybko, przemianę można uznać za adiabatyczną, a więc praca wykonywana jest kosztem energii wewnętrznej. Ponieważ maleje energia wewnętrzna, obniża się również temperatura gazu, co sprawia, że para wodna w gazie ulega kondensacji, tworząc maleńkie kropelki, widoczne w postaci mgiełki. T 1 T 1 p p k k k p T k T p Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika

70 KONIEC Dziękuję za uwagę