S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Gaz Fermiego elektronów swobodnych. Gaz Fermiego elektronów swobodnych

Transkrypt

1 Gaz Fermiego elektronów swobodnych

2 charakter idea Teoria metali Paula Drudego Teoria metali Arnolda (1900 r.) Sommerfelda (1927 r.) klasyczna kwantowa elektrony przewodnictwa elektrony przewodnictwa w metalu zachowują się jak w metalu zachowują się jak gaz klasyczny gaz Fermiego (zakaz Pauliego) przewodnictwo elektryczne przewodnictwo cieplne prawo Wiedemanna-Franza wkład eletronów przewodnictwa do ciepła właściwego - + dodatnia wartość stałej Halla dla niektórych metali - -

3 Gaz Fermiego elektronów swobodnych (Teoria metali Arnolda Sommerfelda) Założenia 1. Elektrony walencyjne atomów tworzą gaz Fermiego swobodnych elektronów. tj. gaz swobodnych (czyli nieoddziaływających elektronów) podlegających zakazowi Pauliego. 2. Elektrony zapełniają orbitale* od najmniejszej dostępnej energii, przy czym pojedynczy orbital może zawierać co najwyżej dwa elektrony różniące się rzutem spinu (zakaz Pauliego). *orbital rozwiązanie równania Schrödingera dla pojedynczego elektronu. Jest to rozwiązanie ścisłe tylko wtedy, gdy nie ma oddziaływania między elektronami. Uzasadnienie W próbkach pozbawionych zanieczyszczeń, w niskich temperaturach droga swobodna elektronu może wynosić 108 odległości międzyatmowych co wynika z dwóch powodów: a) elektrony przewodnictwa nie są rozpraszane przez periodycznie rozmieszczone rdzenie jonów ponieważ elektrony te mają charakter fal płaskich o amplitudzie zmieniającej się zgodnie z periodycznością sieci (funkcje Blocha). Do procesu rozproszenia elektronu może dojść wówczas, gdy periodyczność sieci zostanie zaburzona np. za względu na istnienie defektu sieci (atom domieszki, wakancja, dyslokacja, itp.) czy drgania termiczne (fonony). b) elektrony przewodnictwa rzadko rozpraszają się na sobie co wynika z zasady Pauliego. Definicja energia Fermiego F energia najwyższego obsadzonego poziomu elektronowego w temperaturze zera bezwzględnego

4 Gaz Fermiego elektronów swobodnych Elektrony jako fermiony (cząstki o spinie połówkowym) podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Prawdopodobieństwo obsadzenia orbitalu o energii dla idealnego gazu elektronowego znajdującego się w stanie równowagi termicznej wynosi: f (ε )= 1 exp[(ε μ )/ k B T ]+1 potencjał chemiczny N = 0 D( ε ) f ( ε )d ε D( ) gęstość stanów: liczba orbitali na jednostkę energii lim T 0 μ =ε F źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 3, str. 168

5 Gaz Fermiego elektronów swobodnych źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, tab. 1, str. 172

6 Gaz Fermiego elektronów swobodnych źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 5, str. 173

7 Gaz Fermiego elektronów swobodnych źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 8, str D ' (εf ) π μ = ε ( k T ) rozwinięcie Sommerfelda: F 6 B D( ε F ) dla dim = 2 D( ) = const rozwinięcie Sommerfelda traci sens vide: N. Ashcroft, N. Mermion, Fizyka..., rozdz. 2, zad. 1, str. 81

8 Ciepło właściwe metalu w niskich temperaturach źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 9, str. 178

9 Wartości stałej Sommerfelda i termicznej masy efektywnej źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, tab. 2, str. 179

10 Termiczna masa efektywna mt = m ( exp/ theor) Przyczyny odchylenia termicznej masy efektywnej od masy swobodnego elektronu: 1. Oddziaływanie e- przewodnictwa z periodycznym potencjałem sztywnej sieci. 2. Oddziaływanie e- przewodnictwa z fononami. e- polaryzuje (odkształca) sieć przyciągając pobliskie jony. To oddziaływanie zwiększa masę efektywną. 3. Oddziaływanie e- przewodnictwa między sobą (poruszający się e- napotyka bezwładność otaczających go e-). To oddziaływanie zwiększa masę efektywną. Ciężkie fermiony ciężkie fermiony związki metaliczne charakteryzujące się wartościami elektronowego ciepła właściwego o 2-3 rzędy wielkości większymi niż wynikające z modelu swobodnych elektronów. Ciężkie fermiony zostały odkryte w latach 70 XX w. Należą do nich między innymi liczne związki ceru, iterbu i uranu, jak np.: CeCu6, CeAl3, CeCu2Si2, YbAl3, UBe13 and UPt3. Własności ciężkofermionowe wynikają z faktu, że stany energetyczne e- 4f ulegają hybrydyzacji z eprzewodnictwa i częściowej delokalizacji. Powstałe w ten sposób zhybrydyzowane pasma są wąskie i charakteryzują się wypłaszczoną relacją dyspersji. Jak zostanie to wykazane w dalszej części wykładu mała krzywizna relacji dyspersji prowadzi do dużej wartości masy efektywnej.

11 Przesunięcie kuli Fermiego pod wpływem pola elektrycznego źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 10, str. 181

12 Wartości przewodności elektrycznej i oporu właściwego źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, tab. 3, str. 182

13 Opór fononowy i resztkowy = L + i źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 11, str. 184

14 Opór fononowy i resztkowy = L + i źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 12, str. 184 źródło: P. Wilkes, Fizyka Ciała Stałego dla Metaloznawców, PWN, Warszawa, 1979, rys. 28, rozdz. 4.6, str. 96

15 Efekt Halla źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, rys. 14, str. 188

16 Efekt Halla źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, tab. 4, str. 189 Uwaga! błąd w opisie tabeli jednostki SI dla stałej Halla to m3/c, a nie m3c Poza tym jest błędny opis jednostek w tabeli. Powinno być RH lub RH w jednostkach 10-24

17 Przewodność cieplna Temperatura pokojowa 1. Metale są znacznie lepszymi przewodnikami ciepła niż dielektryki (wkład elektronowy do ciepła właściwego dominuje nad fononowym). 2. W metalach domieszkowanych lub stopach składowe: elektronowa i fononowa mogą być porównywalne ze względu na ograniczenie drogi swobodnej elektronu spowodowane zderzeniami z atomami domieszek. Niskie temperatury (kilka/kilkadziesiąt K) Przewodnictwo wybranych kryształów dielektryków może przewyższać przewodnictwo cieplne metali. Przykładem dobrego przewodnika ciepła w niskich temperaturach jest syntetyczny szafir (Al2O3).

18 Prawo Wiedemanna-Franza źródło: Ch. Kittel Wstęp do fizyki..., rozdz. 6, tab. 5, str. 191