x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Standaryzacja rozkładu normalnego. Przykłady do zadania 4. : (a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle n 4 dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: EX =, +, + 4, 4 + 5, =, 7 D X =, +, + 4, 4 + 5, (EX) =, 8 ( D X =, 9),5 =,,5 =,75 = 4 n 4 5 p n,,,4,.5 F()

2 (b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X, zadanego ciągiem {( n, p n ), n =,,...}, gdzie n = n, p n =, n =,,.... n EX = n p n = n n= n= = 4 n ( ) =. (Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: n n = n= D X = np n (EX) = (n) n= n= n = 8 n ( ) n 9 = 8 n= (Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: n n = n= ( D X, 7),5 =,5 =,,75 = 4 dla <.) ( ) + ( ) 9 =. + dla <.) ( ).5 F().5 6/7 8/9.75 /

3 (c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: EX = = 7, D X = ( ) (EX) = 69 6 ( D X 4, 78) 7, 47 n n - 5 p n,5 =,,5 - dowolna liczba z przedziału [, 5],,75 = F().5,75 5/6,5 /,5 5 przedzial,5 median,

4 Przykłady do zadania 4. : (a) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję { oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dla / [, ], ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f() = dla [, ]. EX = D X = f()d = ( D X, 79) d = 4 4 f()d (EX) = = 4, 87 4 d (EX) = 5 5 Dystrybuanta rozkładu X to F () = dla, f(t)dt = dla <, dla >. F () = q = q = q dla < q < = = 9 8 Zatem,5 =, 75, 986,,5 =, 5, 447,,75 =, 5, 4, 78 (b) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dla, ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f() = dla >. 4/ f()d = d - rozbieżna do 4/ Zatem EX nie jest skończona, a D X nie istnieje Dystrybuanta rozkładu { X to F () = dla, f(t)dt = / dla >. F () = q / = q = ( q) dla < q < Zatem,5 =, 75, 74,,5 =, 5 = 8,,75 =,

5 (c) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dla <, 6 ( 4) dla <, ciągłego rozkładu zmiennej losowej X ma rozkład o gęstości f() = dla <, 6 ( 5) dla <, dla ( ) EX = f()d = 6 ( 4)d + ( 5)d = = = 7, 67 (pierwsza całka w sumie równa jest jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale symetrycznym względem zera) ( ) D X = f()d (EX) = 6 ( 4)d + ( 5)d ( ) 7 = = ( ) 7 = 74899, 45 (wykorzystaliśmy fakt, że pierwsza całka jest z funkcji parzystej po przedziale symetrycznym względem zera) ( D X, 85) Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu.5) dla <, F () = (( )+) dla <, 44 dla <, ( ) 4 dla <, dla ,5,75,5 F(),7458,5,4,5, F () =, 5 (( )+) =, 5; < < + +, 65 = ; < <,5 jest rozwiązaniem tego równania Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie,5, 5 F () =, 5 (( )+) =, 5; < < +, 75 = ; < <,5 jest rozwiązaniem tego równania Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie,5, 5 F () =, 75 ( ) 4 =, 75; < < + 9 = ; < < = 7,,75 = 7, 9 5

6 (d) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle, 5e dla,,5 ciągłego rozkładu zmiennej losowej X o gęstości f() = dla < ln, ln e dla > ln EX = f()d =, 5 =, 5 ( )e e d +,5 +,5 ln ln =, 65 ln +, 5, 68 + ln ln d + ln ( ( + )e e d = ln =, 5 + Obliczenia pomocnicze: e d = (e ) d = e e d = ( )e + C e d = ( e ) d = e + e d = ( + )e + C ( )e = ( + )e + = e D X = e H = = H = e f()d (EX) =, 5 =, 5 ( + )e +,5 ln = e ln e d +,5 ln + ln d + ln ( ( + + )e ln,5 ln ln + + = e d = + ln + ln + (, 65 ln +, 5) =, 5 +, 75 ln +.5 ln 6, 79 Obliczenia pomocnicze: e d = (e ) d = e e d = ( + )e + C e d = ( e ) d = e + e d = ( + + )e + C =, 5 +,5 ln + ( + )e = ( + + )e = ++ e ( D X, 8) + e H = = e H = + e = Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu.6(c)), 5e dla, F () =, 5 ( + ln ) dla < ln, e dla > ln.5.5,75,5 F() F () =, 5 = Zatem,5 = F () =, 5 = ln Zatem,5 = ln, 69 F () =, 75 e =, 75 = ln 4 Zatem,75 = ln 4, 86,5 =,5 = ln,5 = ln4,

7 (e) Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznaczyć medianę i kwartyle dla z, rozkładu zmiennej losowej Z o dystrybuancie F (z) = ( z) dla < z, dla z >. { ( z) dla < z <, Jest to rozkład ciągły o gęstości f(z) = F (z) = poza tym. EZ = zf(z)dz = z( z)dz = z z =, D Z = ( D Z, 57) z f(z)dz (EZ) = z ( z)dz ( ) = z F (z) = q ( z) = q z = q dla < q < z4 4 ( ) = 8, 556 Zatem z,5 =, 75, 4, z,5 =, 5, 99, z,75 =, 5, 5 Przykłady do zadania 4. : (a) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4, 9; 5, ) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tej kuli wykorzystując rozkład promienia losowego R (patrz także przykład.7 (c)). Masa kuli równa jest M = a R, gdzie a = (4 7, 88π/) /, 7. {, gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R (r) = = 5, gdy r [4, 9; 5, ]. EM = a ER = a 5, 4,9 r f R (r)dr = 5a 5, D M = EM (EM) = a 6 ER 6 (EM) = a 6 = 5a 5, 4,9 4,9 r dr = 5a 5,4 4, , 6 g. r 6 dr (EM) = 5a 5,6 4,9 6 ( 5a 5,4 4, r 6 f R (r)dr (EM) = ) 4, 686 g. (b) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = arctgx wykorzystując rozkład zmiennej losowej X, (patrz też przykład.7 (d)). X ma gęstość postaci f X () = π(+ ). EY = EarctgX = arctgf X ()d = π = arctg + arctg =. π arctg + d = D Y = EY (EY ) = Earctg X = arctg f X ()d = = arctg π + d = arctg + arctg = ( ) π π π π =, 85. 7

8 Przykłady do zadania 4.4 : (a) Błąd pomiaru długości śruby ma standardowy rozkład normalny. Znaleźć prawdopodobieństwo, że błąd zawarty będzie w przedziale [;,5], [-; ], [-,; ]. Oznaczmy błąd pomiaru długości śruby przez B. Wiemy, że B to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym. P (B < ) = P (B ) = Φ(). Wartości funkcji Φ odczytujemy z tablic. P (B [;, 5]) = P ( B, 5) = Φ(, 5) Φ() =, 695, 5 =, 95 P (B [ ; ]) = P ( B ) = Φ() Φ( ) = Φ() ( Φ()) = Φ() = =, 84 =, 688 P (B [, ; ]) = P (, B ) = Φ() Φ(, ) = Φ() ( Φ(, )) = =, 977 (, 989) =, 9665 (b) Długość produkowanych detali ma rozkład N(, 9;, ). Norma przewiduje wyroby o wymiarach, 9 ±, 5. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy? Oznaczmy długość produkowanych detali przez L. Jest to zmienna losowa o rozkładzie N (m =, 9; σ =, ). Wiemy, że L m σ ma rozkład N (, ). Detal spełnia wymogi normy, gdy, 9, 5 L, 9 +, 5. P (detal nie spełnia wymogów normy)= P (, 9, 5 L, 9 +, 5) = = P ( ) ( ( ) ( )),9,5,9 L m,9+,5,9, σ, = Φ 5 Φ 5 = = ( Φ ( )) 5 ( Φ(, 67)) = (, 955) =, 95. Odp. 9,5% produkowanych detali nie spełnia wymogów normy. (c) Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół minuty przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = minuty, określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia. (Czy asystent powinien zmienić zwyczaje?) Przyjmiemy, że moment rozpoczęcia zajęć t =. Oznaczmy przez T moment przyjścia asystenta. Jest to zmienna losowa o rozkładzie normalnym N (m =, σ = ) (m =, bo asystent przychodzi na ogół minuty przed chwilą t = ). P (asystent się spóźni)= P (T > ) = P ( T m σ =, 84 =, 587. > ( ) ) = Φ() = 8