Wpływ odstępu próbkowania na dokładność estymacji charakterystyk probabilistycznych niestacjonarnych sygnałów zmodulowanych

Transkrypt

1 Igo Jawoski, Zdzisław Dzyimski, Zbigniew Zakzewski Instytut Telekomunikaji, Akademia Tehnizno-Rolniza, Bydgoszz Instytut Fizyzno-Mehanizny NAN Ukainy, Lwów Wływ odstęu óbkowania na dokładność estymaji haakteystyk obabilistyznyh niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh Pzeanalizowano właśiwośi dysketnyh estymatoów wsółzynników Fouiea watośi ozekiwanej i funkji autokoelaji niestajonanyh amlitudowo zmodulowanyh sygnałów Pzedstawiono wyniki analizy oównawzej dokładnośi iągłyh i dysketnyh estymatoów otzymanyh dla óżnyh watośi odstęu óbkowania Wowadzenie Pzy koheentnej analizie statystyznej okesowo niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh [, ] estymatoy watośi ozekiwanej i funkji autokoelaji są oblizone na odstawie uśednienia óbek za okes koelowania T Dla estymaji amlitud składowyh hamoniznyh haakteystyk, oisująyh ih zahowanie w zasie, stosowane są zekształenia Fouiea Pzy dysketnej obóbe statystyznej ałkowe zekształenia zastęowane są odowiednimi sumami ałkowymi i wtedy zasadnizym zadaniem jest wybó odowiedniego odstęu óbkowania Wybó ten może być uzasadniony tylko na odstawie analizy haakteystyk statystyznyh odowiednih estymatoów [3] Jak wynika z zeowadzonej analizy, dysketyzaja może owodować tak zwane efekty maskowania iewszego i dugiego zędu Efekty maskowania iewszego zędu są zyzyną ojawiania się egulanyh błędów estymaji, a dugiego zwiększenie błędów fluktuayjnyh Efekty maskowania są nieobene jeżeli odstę óbkowania jest wybany zgodnie z numeami najwyższyh składowyh hamoniznyh watośi ozekiwanej i funkji autokoelaji Pzy sełnieniu tyh waunków błędy óbkowania mogą być oszaowane na odstawie oównania haakteystyk dokładnośi dysketnyh i iągłyh estymatoów, wyowadzonyh dla koheentnyh tyów sygnałów zmodulowanyh Własnośi estymatoów komonentów watośi ozekiwanej Rozważmy sygnał, któego watość ozekiwana i funkja autokoelaji okeślone są wzoami m t m m os t m sin t, s s b t, u B u B u os t B u sin t Dysketne estymatoy wsółzynników Fouiea watośi ozekiwanej mają ostaie M M mˆ mˆ nh, mˆ ˆ l mnhos l n, M n M n M M s mˆ ˆ l mnhsin l n, M M n zy tym okes koelowania T jest ówny o T M h, h - odstę óbkowania, M ewna lizba, zaś długość odinka ealizaji NT, N lizba okesów uśednienia

2 gdzie Dla estymatoa zeowego komonentu ˆm otzymujemy Emˆ m m f, m f,, Ponieważ N M, to il M e m m ms, fl, il M e f, dla wszystkih M i wtedy Emˆ m Dla estymatoa amlitudy iewszej składowej hamoniznej m mamy Emˆ m f, m m f, Funkja f M, a f M, zy, zy Jeżeli ostatni waunek jest sełniony, to Emˆ m, a to znazy, że Emˆ m, Emˆ s m s Rozważmy teaz właśiwośi waianji estymatoów Waianja zeowego komonentu ma ostać Dmˆ B B f, B f, B h B h f, B h f,, s gdzie B h B h ib h Stąd wynika, że jeśli M, to Dmˆ B B h B h f, B h f,, a dla dużyh watośi Dmˆ B B h () Waianja estymatoa amlitudy kosinusowej składowej okeśla się w nastęująy sosób Dmˆ B B B f, f, B f, f4, B f, f 4, Jeżeli 4 s B hos B hos B hsin M M M i i M M B h f, e f, e B h f, B h f, os M i i M M B h f4, e B h f 4, e f, dla, 4 i wtedy M, to

3 Dmˆ B B s B hos B hos B hsin M M M i i M M B h f, e f, e () B h f, B h f, os M B h f4, i M 4, i M e B h f e Pzy takih samyh waunkah dla waianji estymatoa amlitudy sinusowej składowej mamy Dmˆ s B B s B hos B hos B hsin M M M i i M M B h f, e f, e (3) B h f, B h f, os M B h f4, i M 4, i M e B h f e Tak wię, waunkiem nieobenośi zjawiska maskowania we wzoah na waianję estymatoów jest sełnienie nieównośi M 4 Po zaniedbaniu składowyh zawieająyh funkje f,, ównania () i (3) zybieają ostaie Dmˆ B B os os sin, (4) Dmˆ s B B s B hos B hos B hsin M M M (5) t t os t, zy tym E t m i s B h B h B h M M M Załóżmy, że analizowany sygnał ma ostać E t t u De u Wtedy os, sin D j h s D j h B jh B jh e j B jh e j (6) M M Podstawiają ównanie zeowego komonentu koelayjnego do wyażenia (), uzyskujemy D n nh Dmˆ e os n n M Wowadźmy funkje

4 Wówzas Pzedstawmy funkję S gdzie l l l n nh Sl h, e osl n n M D Dmˆ Sh, (7) h, k w ostai n il nh ilnh Sl h, e e n, ozystają ze wzou M h h h n nh e e S h, e, h h n e e otzymujemy Sl h, S il h, S il h, Dla dużyh watośi il h e S il, il h e, i wtedy h h e os lh e Sl h, h h e os lh e (8) Stosują wyażenie (6), zekształimy wzoy na waianję estymatoów amlitud kosinusowej i sinusowej składowej watośi ozekiwanej Mamy D h 4 B hos e os M M, os sin s D h B h B h e M M Po uwzględnieniu tyh ównań wyażenia (4)(5) zyjmują ostaie D Dmˆ 3 4 S h, S h,, (9) D Dmˆ s S h, () S h okeślona jest wzoem (8) zy l Funkja, Równania (7), (9)() oisują zależnośi waianji estymatoów amlitud składowyh hamoniznyh watośi ozekiwanej amlitudowo zmodulowanego sygnału od lizby óbek, odstęu óbkowania h i dekementu zanikania owiązań koelayjnyh Ozywiste jest, iż odane wzoy można stosować do oblizeń waianji, gdy jest sełniony waunek M 4, o oznaza, że h T Pzy h waianje (7) i (8)() dążą do waianji estymatoów iągłyh 5 [,] Wybó odstęu óbkowania zy obóbe statystyznej ealizaji konketnego sygnału może być wykonany na odstawie oblizeń watośi funkji (7) i (9)(), wyhodzą z douszzalnej óżniy między watośiami waianji estymatoów iągłyh i dysketnyh Pzykłady takih oblizeń odano na ys w ostai wykesów zależnośi óżni waianji estymatoów iągłyh i dysketnyh od lizby okesów uśednienia N dla óżnyh odstęów óbkowania i dekementów Ozywiste jest, że óżnia między estymatoami iągłymi a dysketnymi zwiększa się waz ze wzostem szybkośi zanikania owiązań koelayjnyh

5 DiffDEm ( N) 9 DiffDEms ( N) mˆ mˆ s DiffDEm ( N) mˆ N Rys Zależność óżni między waianjami dysketnyh i iągłyh estymatoów komonentów watośi ozekiwanej od lizby okesów uśednienia N dla i M 5, gdzie mˆ D mˆ D mˆ mˆ D mˆ D mˆ mˆ D mˆ D mˆ,, d s s d s d 8 DiffDEm ( N) 6 DiffDEms ( N) mˆ mˆ s DiffDEm ( N) 4 mˆ N Rys Zależność óżni między waianjami dysketnyh i iągłyh estymatoów komonentów watośi ozekiwanej od lizby okesów uśednienia N dla 8 i M 5, gdzie mˆ D mˆ D mˆ mˆ D mˆ D mˆ mˆ D mˆ D mˆ,, d s s d s d 3 Estymatoy komonentów koelayjnyh Waunki nieobenośi zjawiska maskowania zy estymaji komonentów koelayjnyh sygnałów są inne, niż zy estymaji komonentów watośi ozekiwanej [3] Mogą być one okeślone zy analizie obiążeń i waianji tyh estymatoów: M M ˆ ˆ ˆ,, ˆ Bo jh b nh jh Bl jh b nh, jhos l n, M M M n n M ˆ s ˆ Bl jh bnh, jhsin l n M n M Tutaj N bˆ nh, jh n j k M h n k M h mˆ n jh mˆ nh N k Dla estymatoa zeowego komonentu mamy EBˆ jh B jh B jh f, M B jh f, M N B j M h N N N B j M h f, M B j M h f, M

6 Watość zeowego komonentu jest owiązana z watośiami dugih komonentów Składowe zależąe od dugih komonentów, są ówne zeu, jeżeli f, M Ostatni waunek jest sełniony dla wszystkih M Oznaza to, że odstę óbkowania musi być wybieany zgodnie z nieównośią h T Obiążenie estymatoa wtedy jest ówne 3 N ˆ B jh B j M h N N N Bioą od uwagę wyażenie dla zeowego komonentu koelayjnego, znajdujemy ˆ D B jh ST, N, jhos j, () N M gdzie N n jhnt S T, N, jh e nn N Watość ozekiwana dugiego komonentu koelayjnego ma ostać EBˆ jh B jh f, M B jh B jh f, M 4 N n B j M h f, M N n N N B j M h B j M h f 4, M Watośi komonentu B Można tego uniknąć, wybieają takie M, któe geneuje ównania f, M, f M jh, jak widać, owiązane są z watośiami innyh komonentów 4, Równania te zawsze są sełnione, jeżeli M 4 W tym zyadku N ˆ n EB jh B jh B j M h N nn N jak też N ˆ n B jh B j M h N nn N N ˆ s n s B jh B j M h N nn N Podstawmy do wyowadzonyh ównań wyażenia na komonenty koelayjne i zsumujmy : ˆ D B jh ST, N, jhos j, N M () ˆ s D B jh ST, N, jhsin j N M (3) Obiążenia ()(3) są osylayjnie zanikająymi funkjami agumentu j Szybkość zanikania tyh osylaji jest mniejsza niż szybkość zanikania owiązań koelayjnyh Oznaza to, że istnieją takie watośi j j, dla któyh estymaja komonentów koelayjnyh o ewnej dokładnośi max względnej jest niemożliwa Watośi waianji estymatoów komonentów koelayjnyh w ogóle mogą być także istotnie zwiększone z owodu zjawiska maskowania Dla waianji estymatoa zeowego komonentu otzymujemy

7 D Bˆ jh B, jh B, jh f, B, jh f, B jh f B jh f,,,, B h, jh B h, jh f, B h, jh f,,,,, B4 h jh f4 B 4 h jh f 4 gdzie B h, jh - wsółzynniki Fouiea funkji autokoelaji nh, jh n jh nh Dla gaussowskih sygnałów,,,, b nh, m n jhb nh, m n jh W naszym zyadku b nh m n h jh b nh m n h b n j h m n h,, 4 i n M b nh, m n h, jh oesu b nh, h, jh B h, jh e (4) Jednostkowe watośi funkji f, i f 4, nieównośią M 4 W tym zyadku zy zeowe Wtedy funkje f, można usunąć wybieają M zgodnie z watośi funkji, f zawsze są nie osiadają właśiwośi ezonansowyh, a są funkjami osylayjnie malejąymi ze wzostem Jeżeli składniki, zawieająe funkje f, zaniedbamy, to waianję estymatoa komonentu zeowego można wtedy zeisać w ostai ˆ D B jh B, jh B h, jh Uwzględniają zedstawienie (4), dla waianji estymatoa dugiego kosinusowego komonentu koelayjnego otzymujemy ˆ D B jh B, jh B4, jh B 4, jh B, jh f4, f 4, B, jh f, f, f6, B, jh f, f, f 6,,,,,,, B jh f f B jh f f B h, jhos B h, jh M i i M M f, os f6, e f, e M B 4 f, os f, e f, e M 4 4 i i M M 6 h, jh

8 4 4 i i M M 4, 4, B h jh e B h jh e 4 4 i M B4 h, jh f4, os f8, e M 4 4 i M B 4 h, jh f 4, os f 8, e M 4 4 i i M M B h, jh f4, e f 4, e, f,, własnośi któyh mogą owodować zjawisko nakładania, Funkje f i osiadają wskaźniki, 4, 6, 8 Oznaza to, że waunkiem nieobenośi tego zjawiska jest sełnienie nieównośi M 8, o owoduje h T Dla dużyh watośi wtedy 9 ˆ D B jh B, jh B4, jh (5) 4 4 s 4 B h, jhos B4 h, jhos B4 h, jhsin M M M Pzy sełnieniu tyh samyh waunków dla waianji estymatoa dugiego sinusowego komonentu koelayjnego znajdujemy ˆ s D B jh B, jh B4, jh (6) 4 4 s 4 B h, jhos B4 h, jhos B4 h, jhsin M M M Dla sygnału, zmodulowanego amlitudowo, mamy [] B h 4 4, jh os os, 8 R h R j h R j h M M j (7) 4 B4 h, jh R h R jh R jh os j, 8 (8) M s 4 B4 h, jh R h R jh R jh sin j 8 (9) M Po wowadzeniu funkji j j h Sl h,, jh e osl M otzymujemy ˆ D jh 4 D B jh e os j 8 M () 4 S h, S h,, jh os j S h, S h,, jh M Pzy j ównanie () okeśla waianję estymatoa zeowego komonentu waiaji sygnału Funkje S h, i S h,, l Dla dużyh watośi j l są ówne, zatem ˆ D D B 3 4S h, S h, 4 S h,, jh i S h,, jh, o owoduje

9 ˆ D 4 4 D B jh os j S h, os j S h, 8 M M () Funkja () zawiea niezależne od j składniki, zmieniająe się okesowo względem j Jest to owodowane odowiednio haakteystykami stajonanego zybliżenia sygnału i haakteystykami, oisująymi jego właśiwośi niestajonane Stajonana i niestajonana zęść zeowego komonentu mają ostaie s ˆ D jh 4 D B jh e os j 8 M 4 S h, S h, S h, jh, S h, jh, os j, M n ˆ D jh 4 4 D B jh e os j S h, jh, S h, os j 8 M M n Stosunek wielkośi D Bˆ jh i s D Bˆ jh okeśla wływ niestajonanośi na właśiwośi s estymatoa zeowego komonentu koelayjnego Składowa D Bˆ jh zawiea funkje, zależąe od zesunięia, jak też funkje, któe ze wzostem zesunięia maleją Składowa n D Bˆ jh jest okeślona funkjami zesunięia i malejąymi waz z jego wzostem Dla zeowyh watośi j mamy s ˆ D D B S h, S h,, () n ˆ D D B S h, 4 (3) n D Bˆ Stosunek funkji (3) i (), jak widać, sełnia nieówność 5 s Pzy dużyh j D Bˆ amlituda okesowyh dgań osiada większą watość od ołowy watośi składnika stałego: s ˆ D D B jh S h, S h,, 4 n ˆ D 4 D B jh S h, os j 8 M Waianje estymatoów kosinusowego i sinusowego komonentu koelayjnego okeślone s, B jh h, któe z kolei są funkjami zeowego i dugih są komonentami, B jh h i 4, komonentów koelayjnyh sygnału Po odstawieniu do wzoów (5)(6) ównań (7)(9) uzyskujemy ˆ D j h 4 j h 4 D B jh e os j e os j 8 M M h h j j 8 4 e e os os j (4) M M 4 4 os os j, M M

10 ˆ s 4 D B jh e 4 os j 8 M 4 S h, Sh,, jh os j M 4 4 S h, Sh,, jh os j M D jh S4 h, S4 h,, jh Dla zeowyh watośi zesunięć waianje (4)(5) zybieają ostaie ˆ D D B 7 4S h, 8S h, S4 h, 4, ˆ s D D B 5 8S h, S h, 4 Dla dużyh watośi j o zaniedbaniu składników zanikająyh mamy ˆ D 4 D B jh 4 3os j S h, 8 M 4 4S h, os j S4 h,, M (6) ˆ s D 4 4 D B jh 4 os j S h, os j 8 M M 4 4S h, os j S4 h, M (7) Funkje (6)(7) zawieają składniki stałe i okesowe Ih watośi zmniejszają się dwukotnie w oównaniu z watośiami w unkie j Wyażenia(), (4)(5) oisują zależnośi waianji dysketnyh estymatoów komonentów koelayjnyh od odstęu óbkowania h, lizby óbek, jak też waianji sygnału D i dekementu zanikania owiązań koelayjnyh Oblizają waianje dla konketnyh watośi tyh aametów, możemy znaleźć takie watośi odstęu h, zmniejszenie któyh mało zwiększa same waianje, i te ostatnie osiadają watośi mało odóżniająe się od watośi waianji estymatoów iągłyh (ys 34) (5) 5 Bˆ DiffDEB( N) 9 DiffDEBs( N) Bˆ s DiffDEB ( N) 6 Bˆ N Rys 3 Zależność óżni między waianjami dysketnyh i iągłyh estymatoów komonentów koelayjnyh od lizby okesów uśednienia N dla i M 9, gdzie B ˆ ˆ ˆ D B D d B, B ˆ ˆ ˆ s D B s D d B s, B ˆ ˆ ˆ D B D d B

11 6 Bˆ 48 DiffDEB ( N) 36 DiffDEBs( N) Bˆ s DiffDEB( N) 4 Bˆ N Rys 4 Zależność óżni między waianjami dysketnyh i iągłyh estymatoów komonentów koelayjnyh od lizby okesów uśednienia N dla 8 i M 9, gdzie B ˆ ˆ ˆ D B D d B, B ˆ ˆ ˆ s D B s D d B s, B ˆ ˆ ˆ D B D d B 4 Podsumowanie Wyowadzone wzoy dla haakteystyk statystyznyh dysketnyh estymatoów wsółzynników Fouiea watośi ozekiwanej i funkji autokoelaji niestajonanyh amlitudowo zmodulowanyh sygnałów są teoetyzną odstawą dla uzasadnienia wybou watośi odstęu óbkowania zy obóbe statystyznej Stwozone oogamowanie umożliwia oblizenie haakteystyk dokładnośi estymaji w zależnośi od odstęu óbkowania i lizby óbek dla óżnyh aametów sygnałów zmodulowanyh, jak też oównania ih z haakteystykami dokładnośi estymatoów iągłyh Na tyh zasadah oaowano wskazania do wybou odstęu óbkowania w elu osiągnięia ożądanej óżniy między dokładnośią dysketnyh i iągłyh estymatoów Liteatua I Jawoski, Z Dzyimski, O Panasiuk, Z Zakzewski, Własnośi koheentnyh estymatoów haakteystyk niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh, ajowe Symozjum Telekomunikaji ST 98, Bydgoszz, B-33, st 6-7, 998 I Jawoski, Z Zakzewski, oheentna analiza koelayjna niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh, watalnik Elektoniki i Telekomunikaji, W-wa,, 46, z 3, ss I Jawoski, Z Dzyimski, Z Zakzewski, Dysketne estymatoy haakteystyk niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh, ajowe Symozjum Telekomunikaji ST 99, Bydgoszz, B-3, st 8-35, 999

12 Igo Jawoski, Zdzisław Dzyimski, Zbigniew Zakzewski Instytut Telekomunikaji, Akademia Tehnizno-Rolniza, Bydgoszz Instytut Fizyzno-Mehanizny NAN Ukainy, Lwów Wływ odstęu óbkowania na dokładność estymaji haakteystyk obabilistyznyh niestajonanyh sygnałów zmodulowanyh Pzeanalizowano właśiwośi dysketnyh estymatoów wsółzynników Fouiea watośi ozekiwanej i funkji autokoelaji niestajonanyh amlitudowo zmodulowanyh sygnałów Pzedstawiono wyniki analizy oównawzej dokładnośi iągłyh i dysketnyh estymatoów otzymanyh dla óżnyh watośi odstęu óbkowania Igo Jawoski, Zdzisław Dzyimski, Zbigniew Zakzewski Institute of Teleommuniations, Univesity of Tehnology and Agiultue, Bydgoszz Physio-Mehanial Institute of NAS of Ukaine, Lviv The Influene of Disetization Inteval on Estimation Auay of Nonstationay Modulated Signals Pobabilisti Chaateistis The oeties of Fouie oeffiients disete estimates of nonstationay modulated signals mean and oelation funtion ae analyzed The esults of auay omaed analysis of ontinuous and disete estimates obtained fo diffeent disetization inteval ae given