Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
|
|
- Henryk Zawadzki
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE
2 2
3 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ DOKŁADNA LICZBA DNI 2.2 ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY 2.3 REGUŁA BANKOWA 2.4 PRZYKŁADY 2.5 Zadaa 3 PROCENT PROSTY ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU 3.2 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 3.3 SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU 3.4 DYSKONTOWANIE PROSTE 3.5 DYSKONTO HANDLOWE 3.6 PRZYKŁADY 3.7 Zadaa 4 DYSKONTOWANIE WEKSLI WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA 4.2 RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI 4.3 KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA 4.4 PRZYKŁADY 4.5 Zadaa 5 BONY SKARBOWE PRZYKŁADY 5.2 Zadaa 5 PROCENT SKŁADANY STOPA PROCENTOWA 6.2 ODSETKI, CZAS 6.3 CZAS PODWOJENIA KAPITAŁU 6.4 OPROCENTOWANIE CIĄGŁE 6.5 PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA 6.6 DYSKONTOWANIE SKŁADANE 6.7 PRZYKŁADY 3
4 6.8 Zadaa 7 OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZEDNOŚCIOWYCH WKŁADY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.2 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT ZGODNYCH Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.3 WKŁADY NIEZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 7.4 ZDYSKONTOWANA WARTOŚĆ SUMY WPŁAT W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 7.5 PRZYKŁADY 7.6 Zadaa 8 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O STAŁEJ CZESCI KAPITAŁOWEJ WZORY OGÓLNE 8.2 RATY O Z GÓRY USTALONYCH WYSOKOŚCIACH 8.3 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 8.4 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 8.5 RATY STAŁE, O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA CAŁY OKRES SPŁAT 8.6 RATY STAŁE W OKRESACH KAPITALIZACJI, OSTAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI OBLICZANE W PODOKRESACH WG AKTUALNEGO STANU DŁUGU, UŚREDNIANE NA OKRES KAPIALIZACJI 8.7 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU OKRESU KAPITALIZACJI 8.8 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ -SPŁATY W PODOKRESACH, ODSETKI W PODOKRESACH WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DOLICZANE RAZ NA OKRES KAPITALIZACJI. 8.9 PRZYKŁADY 8.0 Zadaa 9 ROZLICZANIE POŻYCZEK -RATY O RÓWNYCH WYSOKOSCIACH RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH SPŁATY ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI 4
5 9.2 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI WEDŁUG AKTUALNEGO STANU DŁUGU 9.3 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH PŁACONE W PODOKRESACH, ODSETKI DOLICZANE W PODOKRESACH W RÓWNYCH CZĘŚCIACH WEDŁUG STANU DŁUGU NA POCZĄTKU DANEGO OKRESU KAPITALIZACJI 9.4 RATY O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH, ODSETKI KAPITALIZOWANE (DOLICZANE) W ODOKRESACH 9.5 PRZYKŁADY 9.6 Zadaa 0 KREDYTY Z DODATKOWA OPŁATA WZORY OGÓLNE 0.2 RATY O STAŁEJ CZĘŚCI KAPITAŁOWEJ ZGODNE Z OKRESEM KAPITALIZACJI, Z DODATKOWĄ OPŁATA 0.3 RATY O STAŁEJ WYSOKOŚCI Z DODATKOWĄ OPŁATĄ. 0.4 PRZYKŁADY 0.5 Zadaa KREDYTY Z OPÓZNIONYM OKRESEM SPŁAT PRZYKŁADY.2 Zadaa 2 KREDYTY W WARUNKACH WYSOKIEJ INFLACJI STOPA OPROCENTOWANIA JEST SUMĄ STOPY ZYSKU ORAZ STOPY INFLACJI 2.. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj 2..2 Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.2 KREDYT JEST WALORYZOWANY O STOPĘ INFLACJI 2.2. Raty o stałej częśc aptałowej spłaty zgode z oresem aptalzacj Raty o rówych wysooścach płate z dołu spłaty zgode z oresem aptalzacj 2.3 PRZYKŁADY 2.4 Zadaa 5
6 3 RENTY WZORY OGÓLNE 3.2 RENTA O STAŁEJ WYSOKOŚCI 3.3 RENTA TWORZĄCA CIĄG ARYTMETYCZNY 3.4 RENTA TWORZĄCA CIĄG GEOMETRYCZNY 3.5 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG ARYTMETYCZNY 3.6 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNY 3.7 RENTA TWORZĄCA UOGÓLNIONY CIĄG GEOMETRYCZNO- ARYTMETYCZNY 3.8 RENTA WYPŁACANA W PODOKRESACH OKRESU KAPITALIZACJI 3.9 PRZYKŁADY 3.0 Zadaa 4. PODSTAWY MATEMATYKI UBEZPIECZENIOWEJ.32 5 PODSTAWY WYCENY PAPIERÓW WARTOSCIOWYCH..45 6
7 WSTĘP Słuchacze wyładu Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej od zawsze arzeal a mogość wzorów, pojawających sę a wyładach co gorsza taże a ćwczeach z tego przedmotu. Podręcz omawające te temat zawerają zdecydowaą węszość potrzebych studetom wzorów, lecz ch ops często jest uryty w teśce rozdzału, w tórym wzór sę pojawa. Sprawa wpłat z dołu lub z góry, zgodych z oresem aptalzacj lub e, że e wspomę o west ret, plaów spłaty długu, czy oblczeach dotyczących dysotowaa wesl, spędzała dotychczas se z oczu welu studetom studetom. I jaolwe a ryu wydawczym zajdują sę podręcz, sprawe czytele omawające zawartość wspomaego wyładu, to problem sporządzea eco bardzej somplowaych oblczeń z zaresu matematy fasowej rozbja sę ajczęścej o ezajomość wzorów lub bra sąż, przedstawającej te wzory w sposób pozwalający szybo sprawe zastosować do rozważaego problemu właścwy zestaw oblczeń. To właśe stało sę przyczyą, dla tórej powstał te podręcz. Zamysłem autora było sporządzee zestawu zwązów, pozwalających sprawe poruszać sę po gruce matematy fasowej pod waruem wcześejszego wysłuchaa wyładu z tego przedmotu lub przeczytaa jedej z lu sąże, tóre o matematyce fasowej tratują. Poeważ welu studetów wcąż jeszcze uważa, że są zacze ceawsze rzeczy a tym śwece ż chodzee a wyłady, autor pozwala sobe a przytoczee trzech tach sąże, tóre reomeduje tym studetom jao ewetualą leturę zastępującą wyład. Są to m..: Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej (autorzy: Meczysław Dobja Edward Smaga, Wydawctwo Nauowe PWN, Warszawa-Kraów 995), Matematya fasowa (autorzy: Mara Podgórsa, Joaa Klmowsa, PWN, Warszawa 203), Matematya fasowa (autorzy: Pasec Krzysztof, Roa- Chmelowec Wada, C.H. BECK, 20) Matematya fasowa (autor: Meczysław Sobczy, Agecja wydawcza Placet, Warszawa 20)., Poszczególe sąż eco różą sę od sebe ozaczeam, ale treśc w ch zawarte są w peł zgode. Jeśl węc toś uza, że 7
8 wol uczyć sę z sąż ż słuchać wyładu, zapraszam do letury jedej z wymeoych wyżej sąże lub ych, tratujących o matematyce fasowej w sposób ompatybly z treścą wyładu, a potrzeby tórego powstał te podręcz. Słada sę o z szesastu częśc, przy czym ajrótsza jest jedostrocowa (mająca oddzely umer tratowaa jao oddzela część tylo dlatego, aby studet zapamętał przyswoł sobe pojęce stopy zwrotu). Poszczególe częśc podzeloe są a mejsze awał po to, aby w spse treśc moża było szybo zaleźć te zares materału, tóry jest właśe potrzeby. Oprócz perwszej ostatej częśc wszyste pozostałe zawerają po la przyładów zastosowań prezetowaych tam wzorów oraz zadaa do samodzelego przerobea przez studetów. Ostata część to tablce, w tórych podao wartość przyszłą wpłat jedostowych, wartośc czya umorzeowego oraz tablce trwaa życa dla lat oraz Życząc Użytowom podręcza, aby stał sę o dla ch prawdzwą pomocą w opaowau tajów matematy fasowej autor jeszcze raz przypoma, że podręcz te to tylo materały pomoccze uzupełające. Podstawą do opaowaa matematy fasowej jest wyład lub odpoweda sąża. Krzysztof Grysa 8
9 . STOPA ZWROTU Ozaczea: K 0 K r z r aptał początowy (zawestoway w jaeś przedsęwzęce) aptał otrzymay po zaończeu przedsęwzęca (ońcowy) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) stopa zwrotu (tempo przyrostu aptału) podaa w sal rou Gdy rozważa sę opłacalość westycj aptału K 0 w jaeś przedsęwzęce, to do ocey opłacalośc używa sę wsaźa azywaego stopą zwrotu: K rz = K 0 K 0 stopa zwrotu Gdy jest to aptał złożoy a sążeczce PKO lub p. a roczą loatę termową, to mówmy o stope procetowej. Oprocetowae władów gotówowych w baach podaje sę w procetach, a ogół w sal rou (chyba, że wyraźe jest powedzae, że dotyczy to ego ż ro oresu czasu), przy czym przelcza sę je a ułame dzesęty, dzeląc stopę procetową przez sto (p. r = 3% = 0,3). Gdy stopa zwrotu ma być podaa w sal rou, otrzymay z podaego wyżej wzoru wy trzeba podzelć przez, gdze - czas, poday w latach lub jao część rou, tz.: r= K K 0 K 0 stopa zwrotu podaa w sal rou Kwestą często sporą, tóra sę tu euchroe pojawa, jest sprawa odpowedz a pytae: ja lczyć czas? Bo le to jest p. pół rou? 9
10 2. RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ 2.. DOKŁADNA LICZBA DNI m - dołada lczba d od daty do daty (bez perwszego da rozważaego oresu). Każdy mesąc ma tyle d, le wya z aledarza. Każdy ro ma 365 d (jest to węc ro aledarzowy). Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru: m = 365 gdze - lczba lat. Tu w pozostałych przypadach podaje sę ją z doładoścą co ajmej do 4 mejsc po przecu. Odset, oblczoe a tej podstawe, azywa sę procetem doładym ZASADA RÓWNYCH MIESIĘCY Zasada ta e jest już (od stycza 998 r.) stosowaa w systeme baowym w Polsce. Jest oa jeda bardzo wygoda. Z tego względu podajemy tu sposób posługwaa sę tą zasadą. Wg ej ażdy ro słada sę z 2 rówych mesęcy mających po 30 d, tz. ma 360 d (jest to tzw. ro baowy). Przy tej rachube czasu od 28 lutego do ońca mesąca są 2 d, a 3 marca e steje. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat. Odset, oblczae a tej podstawe, azywae były sę procetem zwyłym. 0
11 2.3. REGUŁA BANKOWA Lczbę d m od daty do daty oblcza sę ja przy doładej lczbe d. Jao ro berze sę ro baowy, tz. ro lczący 360 d. Przelczee d a lata odbywa sę wg. wzoru m = 360 gdze m - lczba d od daty do daty (bez perwszego da), - lczba lat PRZYKŁADY Oblcz długość oresu czasu od 6 czerwca do 6 wrześa, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową Rozwązae: Ozaczmy: DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. DLD ZRM RB od 6 czerwca lpec serpeń do 6 wrześa razem d, tz. m = wzór: wg 2. wg 2.2 wg 2.3 ores (le lat) = 0, ,25 0,2555 Odpowedź: Długość oresu od 6 czerwca do 6 wrześa wyos: wg DLD - 0, rou; wg ZRM - 0,25 rou; wg RB - 0,2555 rou Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę
12 zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: K 0 =000 zł, K = 500, =8 mesęcy. Rozwązae: Przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Wtedy = 8 mesęcy = 8/2 rou = 0,6667 rou. Otrzymujemy: r z = = 05, ; r= = 075, ,6667 Odpowedź: Stopa zwrotu r z = 0,5. Stopa zwrotu w sal rou r = 0, Zadaa Oblcz długość oresu czasu, stosując zasadę doładej lczby d, zasadę rówych mesęcy oraz regułę baową, dla astępujących przedzałów czasowych:: a) 3 stycza - 0 marca b) stycza - 5 weta c) 9 czerwca - 9 wrześa d) 3 serpa - 24 gruda e) lutego - 2 wrześa f) 2 czerwca - 3 gruda Zawestowao aptał K 0 w przedsęwzęce, tóre po czase dało aptał K. Oblczyć stopę zwrotu r z oraz stopę zwrotu w sal rou r dla astępujących daych: a) K 0 =000 zł, K = 400 zł, - ores od stycza do 3 serpa; b) K 0 =2000 zł, K = 2400 zł, =3 mesące; c) K 0 =500 zł, K = 400 zł, - ores od 20 marca do 20 gruda; d) K 0 =200 zł, K = 500 zł, - ores wartału; e) K 0 =000 zł, K = 800 zł, = ro. f) K 0 =2000 zł, K = 5000 zł, = 3 lata Rozwązaa zadań Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy, RB - reguła baowa. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. Ilość d wg Czas w latach, czyl = ppt DLD ZRM wg DLD wg ZRM wg RB a) , ,86 0,
13 b) , , , c) , , , d) ,3978 0, , e) , , ,69444 f) , , , Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Stopy procetowe r z oraz r oblczamy z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. K 0 K czas czas r z r ppt zł zł wg d lata (=) uł. % uł. % a) DLD 242 0, ,4 40 0, b) ZRM 90 0, ,2 20 0,8 80 c) DLD 275 0,753424,8 80 2, ,909 d) ZRM 90 0, , , e) ,8 80 0,8 80 f) , , , PROCENT PROSTY 3.. ODSETKI, WARTOŚĆ PRZYSZŁA KAPITAŁU Ozaczea: P r I F początowa wartość aptału czas oprocetowaa w latach rocza stopa procetowa odset (jest to opłata za prawo dyspoowaa aptałem P przez ores czasu ) wartość aptału po czase lat Wzór a wysoość odsete (opłaty za prawo dyspoowaa aptałem) od aptału P, pożyczoego a ores czasu przy oprocetowau r: I = Pr 3
14 odset po czase przy stope procetowej r z aptału P Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = I r r = I P F = P + I = P + Pr = P( + r), tz. F = P( + r) = I Pr wartość przyszła aptału P po czase przy stope procetowej r Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego P, r lub : aptał początowy P stopa procetowa r czas P = F + r r F P = P = F P Pr Ozaczea: 3.2. PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA, 2,..., r,r,...,r 2 Wtedy długośc podoresów; ores czasu jest rówy = j= j wartość przyszła aptału P 4 stopy procetowe, obowązujące w podoresach, 2,..., F = P( + jr j j= )
15 a przecętą stopę procetową dla oresu oblcza sę ze wzoru r prz = jr j= przecęta stopa procetowa dla oresu Dla tej stopy F = P( + rprz ) wartość przyszła aptału P j = j= j 3.3. SYNTETYCZNA OCENA WIELU TRANSAKCJI JEDNEGO PODMIOTU Ozaczea:, 2,..., długośc oresów oprocetowaa loat termowych r,r 2,...,r stopy procetowe, obowązujące w oresach,2,..., P,P 2,...,P woty a loatach termowych o długoścach oresu oprocetowaach ja wyżej Relacja pomędzy podaym wyżej weloścam a przecętą stopą procetową r prz a ores (tóry może być dowoly), dającą te same odset co wspomae wyżej loat termowych ma postać r prz P = j j = j = P j j r j Przy zadaym moża z tego wzoru wyzaczyć r prz ; przy założoej wartośc r prz moża wyzaczyć. Odpowede wzory mają postać: 5
16 r prz j j= = P j= j P j r j j j= = r P prz j= j r P j j 3.4. DYSKONTOWANIE PROSTE Oblczee wartośc atualej P aptału a podstawe zajomośc wartośc przyszłej F podao w cz. 3.; odpowed wzór ma postać: F P = + r dysotowae proste (jest to operacja odwrota do oprocetowaa prostego, gdze r - stopa procetowa, - czas). Oczywśce D = F - P, sąd otrzymujemy wzór Fr D = + r dysoto proste Zauważmy, że zależość aptału P od jego przyszłej wartośc F wyrażoa jest poprzez fucję, tóra jao fucja czasu opsuje hperbolę. Warto zauważyć, że zależość F od P była lowa względem czasu. Ozaczea: 3.5. DYSKONTO HANDLOWE d stopa dysotowa czas w latach P atuala wartość aptału (po zdysotowau o czas ) F wartość aptału w przyszłośc 6
17 D H = F P = Fd dysoto hadlowe P = F DH = F( d) wartość atuala przyszłych peędzy Wzór te moża przeształcć, wyzaczając z ego F, d lub : wartość aptału F stopa dysotowa d czas : F = P d d = F P F = F P Fd Relacje pomędzy stopam procetową r a dysotową d, dającym po czase odset dysoto tej same wysoośc: r = d d d = r + r Czas, po tórym odset dysoto od tej samej woty będą sobe rówe (przy zadaych stopach procetowej r dysotowej d): = d r 3.6. PRZYKŁADY Oblcz odset od aptału P= 2000 zł po czase = wartał przy stope procetowej r = 24%. Rozwązae: Wobec brau oretych dat przyjmujemy zasadę rówych mesęcy. Mamy wówczas astępujące dae: P=2 000 zł =wartał=0,25 rou 7
18 r=24%=0,24 Odset oblczamy wg perwszego wzoru z cz. 3.: I = Pr = ,24 0,25 = 20 zł Odpowedź: Odset od aptału 2000 zł przy oprocetowau 24% po wartale będą rówe I=20 zł Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P = 200 zł po upływe czasu = 3 wartały, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była astępująca: w perwszym wartale wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%. Rozwązae: Dae: P=200 zł wartał: I II III stopa r: 40% 36% 30% wobec brau oretych dat czas oblczamy zgode z zasadą rówych mesęcy, sąd = 0,75 rou Wartość przyszłą aptału oblczamy ze wzorem z cz.3. pamętając, że w ażdym wartale odset oblczae są a podstawe ej stopy procetowej. Stąd: F = P[ + ( r + r22 + r33 )] = = 200 [ + ( 0,40 0,25 + 0,36 0,25 + 0,30 0,25 )] = 58,00 zł Odpowedź: Wartość przyszła aptału P będze wyosła F = 58 zł Oblczyć wartość początową P aptału F= 650,00 zł, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu od stycza do weta a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r = 22 %. Rozwązae: Korzystając ze wzoru z cz.3.4 otrzymujemy: = 90 d = 0, rou F 650,00 P = = = 565,0 + r + 0,22 0, zł 8
19 Odpowedź: Wartość początowa aptału F=650,00 zł wyos P=565,0 zł Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores = 3,5 mesąca przy stope dysotowej d = 25%, zamya sę wotą P = 2000,00 zł. Rozwązae: Posługujemy sę wzoram z cz.3.5. Dae: P=2000 zł wobec brau oretych dat czas lczoy jest wg zasady rówych mesęcy: = 3,5/2=0,29667 d=25%=0,25 Fatycza welość długu: P F = d = 2000, ,, 2 Wysoość dysota hadlowego: = 257, 30 D = H Fd = 35, 257, 30 0, 25 2 = 57, 30 zł Ta sam wy otrzymuje sę, odejmując od woty F wotę P. Odpowedź: Wysoość dysota hadlowego wyos D H = 57,30 zł a fatycza welość długu F = 257,30 zł Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r = 45% dysotowej d = 42%. Rozwązae: Dae: r = 45 % = 0,45 d = 42% = 0,42 Posługując sę ostatm wzorem z cz. 3.5 otrzymujemy: = = 0, lat 0,42 0,45 9
20 Zgode z zasadą rówych mesęcy staow to 57 d, tz. mesąc 27 d. Zastosowae zasady doładej lczby d daje wy rówy 58 d. Odpowedź: Długość oresu wyos 0, rou. Wg ZRM jest to 57 d ( mesąc 27 d), a wg DLD jest to 58 d Zadaa W ażdym z podaych żej zadań oreśl - gdy zachodz taa potrzeba - sposób, w ja oblczasz ores czasu Oblcz odset od aptału P po czase przy stope procetowej r: a) P = 000 zł, =7 mesęcy, r=24% b) P = 200 zł, - czas od 20 stycza do 4 czerwca, r=20% c) P =300 zł, - czas od marca do 3 paźdzera, r = 30% d) P = 2000 zł, = 2 wartały, r = 24% Oblcz wartość przyszłą aptału P po czase przy stope procetowej r ja w zadau Po jam czase aptał P zwęszy sę do wartośc F przy stope procetowej r? Wy przelcz a d stosując zasadę doładej lczby d. a) P = 000 zł, F = 200 zł, r = 20% b) P = 200 zł, F = 500 zł, r = 24% c) P = 300 zł, F = 400 zł, r = 30% d) P = 2000 zł, F = 3000 zł, r = 6% e) F = 2P, r = 30% f) F =.5 P, r = 36% Oblcz wysoość oprocetowaa r, w wyu tórego odset od woty P po czase były rówe I: a) P = 000 zł, = 7 mesęcy, I = 200 zł b) P = 200 zł, - czas od 2 stycza do 5 maja, I = 245,20 zł c) P = 300 zł, - czas od 5 marca do 20 weta, I = 3,20 zł d) P = 2000 zł, = wartał, I = 500 zł Ile peędzy ależy pożyczyć a 32%, aby po dwóch mesącach otrzymać aptał F rówy: a) 000 zł b) 5000 zł c) 5000 zł 20
21 Wyzaczyć przyszłą wartość aptału P po upływe czasu, jeśl w poszczególych podoresach oresu stopa procetowa (zawsze podaa w sal rou) była daa: a) P = 000 zł, w perwszym półroczu stopa procetowa wyosła 32%, w drugm 30%; b) P = 200 zł, w perwszym wartale stopa procetowa wyosła 40%, w drugm - 36%, w trzecm - 30%; c) P = 500 zł, w styczu stopa procetowa wyosła 20%, w lutym marcu - 23%, w wetu - 26%, w maju czerwcu - 24%.; d) P = 300 zł, stopa procetowa zmeała sę co wartał wyosła 40%, 36%, 32% oraz 24% Frma uzysała trzy rótotermowe redyty: zł a 3 mesące przy stope procetowej 40% zł a 6 mesące przy stope procetowej 43 % zł a 9 mesęcy przy stope procetowej 45% Frma chcałaby zmeć waru udzelea redytów w te sposób, aby cały dług spłacć po 7 mesącach. Jae oprocetowae przecęte odpowada temu oresow czasu? Frma uzysała 3 redyty rótotermowe: zł a 4 mesące przy stope procetowej 45%, 5000 zł a 6 mesęcy przy stope 43 % oraz 4000 zł a 9 mesęcy przy stope 42%. Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby stopa procetowa dla wszystch redytów była jedaowa rówa 43%? Frma zacągęła 4 rótotermowe pożycz w 4 baach przy astępujących waruach: w bau A 000 zł a 2 mesące przy stope procetowej 8% w bau B 200 zł a 4 mesące przy stope procetowej 20% w bau C 600 zł a 3 mesące przy stope procetowej 9% w bau D 2000 zł a 5 mesęcy przy stope procetowej 2% Czy sytuacja frmy byłaby orzystejsza, gdyby oprocetowae wszystch pożycze było jedaowe rówe 20% w sal rou? Jae przecęte oprocetowae odpowadałoby oresow rówemu dla całego długu 4 mesące? Oblczyć wartość początową P aptału F, otrzymaego po złożeu aptału P a ores czasu a oprocetowae proste przy stope procetowej rówej r: 2
22 a) F = 2000 zł, = 4 mesące, r = 24%; b) F = 650 zł, = wartał, r = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, r = 25% d) F = 3000 zł, = 3,5 mesąca, r = 2%; e) F = 244,26 zł, = 56 d, r = 9% Dla daych z zadaa oblcz dysoto proste Dla poższych daych oblcz dysoto hadlowe wartość atualą przyszłego aptału F: a) F = 2000 zł, = 4 mesące, d = 20%; b) F = 650 zł, = wartał, d = 22%; c) F = 2400 zł, - ores od 20 stycza do 5 czerwca, d = 25%; d) F = 3000 zł, = 4,5 mesąca, d = 2%; e) F = 2460 zł, = 56 d, d = 8% Oblcz wysoość dysota hadlowego fatyczą welość długu F, gdy rótotermowa pożycza, udzeloa a ores przy stope dysotowej d, zamya sę wotą P: a) P = 000 zł, = 4 mesące, d = 24%; b) P = 2650 zł, = wartał, d = 22%; c) P = 400 zł, - ores od 20 stycza do 5 maja, d = 25% d) P = 2000 zł, = 3,5 mesąca, d = 2%; e) P = 2240 zł, = 56 d, d = 9% Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy procetowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau są rówe Oblcz (z doładoścą do 4 cyfr zaczących), jaa jest wysoość stopy dysotowej, przy tórych dysota proste hadlowe wot, wymeoych w zadau są rówe Oblcz długość oresu (w mesącach - przy zastosowau zasady rówych mesęcy, w dach - przy zastosowau zasady doładej lczby d), dla tórego dysoto proste dysoto hadlowe są sobe rówe przy daych stopach procetowej r dysotowej d: a) r = 50%, d = 45% b) r = 52%, d = 46% c) r = 45%, d = 42% d) r = 4%, d = 40% e) r = 20%, d = 2% f) r = 5%, d = 4%. 22
23 3.8. Rozwązaa zadań Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. Odset oblczamy z doładoścą do grosza. Stosujemy wzory z częśc. 3., a odset: I = Pr oraz a wartość przyszłą aptału: F = P( + r). DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas r I (zł) F (zł) ppt zł wg d lata (=) % zad 3.7. zad a) 000 ZRM 20 0, ,00 40,00 b) 200 ZRM 34 0, ,33 289,33 b) 200 DLD 35 0, ,77 288,77 c) 300 ZRM 239 0, ,75 359,75 c) 300 DLD 244 0, ,6 360,6 d) 2000 ZRM 80 0, , , Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, lczbę d - z doładoścą do da. Stosujemy wzory z cz : a czas w latach = F P Pr oraz a lczbę d: m = 365. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P F r czas ppt zł zł % lata (=) d a) b) , d) , c) , 406 e) P 2P 30 3, f) P,5P 36, Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu, stopę procetową r - z doładoścą do 5 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Wzór z cz. 3..: r = I P Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas czas I r ppt zł wg d lata (=) zł ułame % a) 000 ZRM 20 0, ,00 0, ,286 23
24 b) 200 ZRM 23 0, ,20 0, ,805 b) 200 DLD 23 0, ,20 0, ,636 c) 300 ZRM 35 0, ,20 0,097 0,97 c) 300 DLD 36 0, ,20 0,085 0,85 d 2000 ZRM 90 0, Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.: P Odpowedz: a) P = 949,37 zł b) P = 4 746,84 zł c) P = 4 240,5 zł. = F. + r Wobec brau dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór z cz.3.2: F = P( + j= jr j ) a) F = 000 ( + 0,32 + 0,30 ) = 30 zł 2 2 b) F = 200 ( + 0,40 + 0,36 + 0,30 ) = 58 zł c) 2 2 F = 500 ( + 0,20 + 0,23 + 0,26 + 0,24 ) = 675 zł d) F = 300 (+ 0,40 + 0,36 + 0,32 + 0,24 ) = 399 zł Wobec brau oretych dat czas lczymy wg ZRM, stosujemy P j j r j j wzór z cz.3.3: rprz = = 3, gdze P j = zł, = 7/8. j= P j j = Po podstaweu daych z zadaa do wzoru otrzymujemy: r prz = , 0, , =0, czyl r prz = 58,227% Spłacee całego długu po 7 mesącach bez straty odsete przez ba ozaczałoby, że oprocetowae łączego długu musałoby być rówe 58,227%. Byłoby węc oo bardzo wysoe w stosuu do stóp procetowych podaych w zadau. 24
25 Czas lczymy wg ZRM, stosujemy wzór a odset z cz.3. przy uwzględeu zma stopy procetowej. Dla daych stóp procetowych suma odsete (łączy oszt redytu) ształtuje sę astępująco: I = = 2 045, , ,, zł Dla wspólej dla wszystch redytów stopy procetowej, rówej 43%, oszt redytu wyos: I = ( ) 0, 43 = 3798, 33 zł Ja z tego wya, wspóla dla tych redytów stopa procetowa, wyosząca 43%, byłaby orzystejsza dla dłuża ż oprocetowaa podae w zadau Rozumując podobe, ja w zad , oblczamy oszt redytów przy podaych stopach procetowych przy stope procetowej wspólej, wyoszącej 20%. W perwszym przypadu otrzymujemy: I = 000 0, , , ,2 = 36,00 zł zaś dla wspólego oprocetowaa mamy: I = ( ), =, zł 2 2 Różca jest węc mmala, ale orzystejszy dla frmy jest warat drug. Natomast gdybyśmy rozważal sytuację taą, w tórej wszyste pożycz byłyby spłacae po 4 mesącach przy odsetach, ja w warace perwszym, tz. wyoszących 36 zł, to posługując sę wzorem cytowaym w zad otrzymuje sę astępujące przecęte oprocetowae dla wszystch tych pożycze: 36, 00 r prz = = 0,8672 czyl r 4 prz = 8,672% Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy F Stosujemy wzory z cz. 3.4.: P =, D = F P. Odpowedz + r zazaczoo tłustym druem. F czas czas r P (zł) D (zł) ppt zł wg d lata % z z a) 2000,00 ZRM 20 0, ,85 48,5 b) 650,00 ZRM 90 0, ,98 86,02 c) 2400,00 ZRM 5 0, ,5 77,49 25
26 c) 2400,00 DLD 5 0, ,76 75,24 d) 3000,00 ZRM 05 0, ,85 73,5 e) 244,26 ZRM 56 0, ,54 35,72 e) 244,26 DLD 56 0, ,02 35, Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.: P = F ( d ) oraz DH = F P = Fd. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. F ores czas d D P ppt zł czasu d lata % zł zł a) 2000,0 4 mes. 20 0, ,33 866,67 0 b) 650,0 wartał 90 0, ,75 559,25 0 c) 2400, , ,33 256,67 0 d) 3000,0 3,5 mes. 35 0, , ,75 0 e) 2460, d 56 0, ,88 239, Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po P przecu. Stosujemy wzory z cz. 3.5.:. F = oraz d DH = F P. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. P czas d D F ppt zł d lata % zł zł a) , ,96 086,96 b) , , ,23 c) , ,5 52,5 d) , ,49 230,49 e) , , , Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po d przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: r =. d Odpowedz: a) r = 2,429 % b) r = 23,28 % c) r = 27,7 % d) r = 22,37 % e) r = 8,59 % 26
27 Czas oblczamy wg reguły baowej z doładoścą 6 mejsc po przecu. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: d = r + r. Odpowedz: a) d= 22,222% b) d= 20,853% c) d= 23,5% d) d= 9,788% e) d= 8,455 % Czas oblczamy z doładoścą do 6 mejsc po przecu. DLD - dołada lczba d, ZRM - zasada rówych mesęcy. Stosujemy wzór z cz. 3.5.: =. Odpowedz zazaczoo tłustym druem. d r r d ZRM DLD ppt % % lata d d a) , b) , c) , d) , e) , f) DYSKONTOWANIE WEKSLI Ozaczea: 4.. WARTOŚĆ NOMINALNA I WARTOŚĆ AKTUALNA m d W om dołada lczba d do termu spłaty wesla stopa dysotowa wartość omala wesla Dysoto hadlowe (czas jest tu lczoy zgode z regułą baową) oblcza sę wg wzoru: 27
28 d D H = m W om 360 dysoto hadlowe Przeształcając te wzór moża oblczyć doładą lczbę d do termu spłaty wesla, stopę dysotową lub wartość omala wesla, zając pozostałe welośc. Otrzymujemy: dołada lczba d stopa dysotowa wartość omala wesla 360 D m = H 360 D H 360 D H d = W om = m dm dw om W om Ozaczamy: W at - wartość atuala wesla. Wartość atualą wesla defuje sę astępująco: W at = W om DH Podstawając za dysoto hadlowe prawą stroę wzoru podaego wyżej przeształcając otrzymuje sę: W at wartość atuala wesla md = Wom ( ) 360 wartość omala wesla W om = W at m d 360 Gdy zaa jest wartość omala wesla W om oraz jego wartość atuala W at lczba d do termu wyupu wesla m, to stopę dysotową d moża oblczyć ze wzoru d W = W W om om at stopa dysotowa 360 m 28
29 zaś przy zaych W om, W at stope dysotowej d moża oblczyć lczbę d do termu wyupu wesla: Wom W m = W at 360 d om lczba d do termu wyupu wesla 4.2. RÓWNOWAŻNOŚĆ WEKSLI W przypadu wesla o wartośc omalej W om, zgłoszoego do odowea a m d przed termem wyupu, wartość omala wesla ' odowoego W om, z termem wyupu za m d od da zgłoszea, przy stope dysotowej d, obowązującej w tym du, jest daa wzorem: md W om ( ) ' W 360 om = m' d 360 wartość omala wesla odowoego Z tego wzoru moża łatwo oblczyć welośc W om, m, m oraz d przy zaych pozostałych weloścach: W d om W = m' d ( ) 360 md 360 ' om 360 ( W = m' W ' om ' om W mw om om ) W m = W m' = m' d ( ) 360 W om ' om 360 md ( ) 360 ' W om d om 360 d Ozaczmy: 29
30 2 W, W,..., W wartośc omale wesl o umerach om om om m,m,...,m 2 W om m d, 2,..., termy wyupu tych wesl, lczoe od da rówoważośc wesl wartość omala wesla rówoważego tym weslom czas w dach do termu wyupu wesla rówoważego stopa dysotowa w du rówoważośc wesl Wtedy mamy astępujące wzory a rówoważość wesl: W om m d W j j om( ) j= 360 = md 360 m j 360 d m= j W om( ) d Wom j= 360 wartość omala wesla lczba d do wyupu rówoważego wesla Ozaczea: R p K rz D H 4.3. KOSZT ZŁOŻENIA WEKSLA DO DYSKONTOWANIA opłata ryczałtowa poberaa przez ba przy dysotowau wesla stopa procetowa zwązaa z opłatą proporcjoalą do wartośc omalej dysotowaego wesla oszt złożea wesla do dysotowaa dysoto hadlowe Oczywśce K rz = DH + R + W om p m 360 oszt złożea wesla do dysotowaa 30
31 W at = W K om rz Rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (będąca stopą zwrotu dla tego, to zawestował w wesel peądze): W Wat r = om 360 W m rzeczywsta stopa osztu zdysotowaa wesla (por. wzór a stopę zwrotu, cz..) at 4.4. PRZYKŁADY Dłuż, tóry ma do spłacea 3 wesle (wszyste temu samemu werzycelow) o wartoścach omalych W om = 000 zł, 2 3 W om = 2000 zł, W om =3000 zł termach wyupu odpowedo.07,.08.09, zamea w du wszyste te wesle a jede, rówoważy m, płaty w du Oblcz wartość omalą tego wesla, przyjmując stopę dysotową w du rówą 32%. Rozwązae: Dae: W om = 000 zł 2 W om = zł 3 W om = zł termy wyupu: A =.07 m = 37 d do D B =.08 m 2 = 68 d do D C =.09 m 3 = 99 d do D data rówoważośc D = data płatośc E = 5.08 m = 82 d od daty E do daty D d = 32% Szuae: W om =? Korzystamy z przedostatego wzoru z cz Otrzymujemy: 3
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r.
. Sprawdź, tóre z ponższych zależnośc są prawdzwe: () = n n a s v d v d d v v d () n n m ) ( n m ) ( v a d s ) m ( = + & & () + = = + = )! ( ) ( δ Odpowedź: A. tylo () B. tylo () C. tylo () oraz () D.
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoAnaliza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowo1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Bardziej szczegółowoSPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI
SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w
Bardziej szczegółowoPROCENT SKŁADANY, OPROCENTOWANIE LOKAT I KREDYTÓW. HARALD KAJZER ZST NR2 im. Mariana Batko
, OPROCENTOWANIE LOAT I REDYTÓW HARALD AJZER ZST NR im. Mariana Batko Prześledźmy losy pewnego kapitału 1000 zł zdeponowanego w banku na lokacie terminowej oprocentowanej 5% w skali roku. o 1000 1 1000+0,05
Bardziej szczegółowoBajki kombinatoryczne
Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoProcent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową
cet psty Gdy zay aptał pczątwy stpę pcetwą F = + I aptał ńcwy, pczątwy, dset I = I = stpa pcetwa (w stsuu czy) F = ( + ) aledaze dsetwe 360/360, 365/365, 360/365, 365/360 es wyaży w latach (dla óżych esów
Bardziej szczegółowoFINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.
ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowo[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013
Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowoPAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS PRZEDMIOTU. Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W NOWYM SĄCZU SYLABUS Obowiązuje od roku akademickiego: 2010/2011 Instytut Ekonomiczny Kierunek studiów: Ekonomia Kod kierunku: 04.9 Specjalność: Finanse i rachunkowość
Bardziej szczegółowoWybór projektu inwestycyjnego ze zbioru wielu propozycji wymaga analizy następujących czynników:
Wybór projeu wesycyjego ze zboru welu propozycj wymaga aalzy asępujących czyów:. Korzyśc z przyjęca do realzacj daego projeu. 2. Ryzya z m zwązaego. 3. Czasu, óry powoduje zmaę warośc peądza. Czy czasu
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY
2. PROCENT SŁADANY Zasada procetu składaego polega a tym, iż liczymy odsetki za day okres i doliczamy do kapitału podstawowego. Odsetki za astępy okres liczymy od powiększoej w te sposób podstawy. Czyli
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoSprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.
W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych
Bardziej szczegółowo4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie)
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoPOLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4
POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoZ-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics. Ekonomia I stopień Ogólnoakademicki
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-EKO-045 Matematyka finansowa Financial Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowoWartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości
Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoSOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA
Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Bardziej szczegółowoMatematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lecja 4 Nearametrycze testy stotośc ZADANIE DOMOWE www.etraez.l Stroa 1 Część 1: TEST Zazacz orawą odowedź (tylo jeda jest rawdzwa). Pytae 1 W testach earametryczych a) Oblczamy statystyę
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XXXVI Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Część I Matematyka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Niech dur() ozacza duratio
Bardziej szczegółowoElementy arytmetyki komputerowej
Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoTyp może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }
Idea: Wyzaczamy ameszy elemet w cągu tablcy zameamy go mescam z elemetem perwszym, astępe z pozostałego cągu wyberamy elemet ameszy ustawamy go a druge mesce tablcy zmeamy, td. Realzaca w C++ vod seleca
Bardziej szczegółowoPOLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4
POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Zmienna losowa skokowa i jej rozkład
STATYSTYKA Wnosowane statystyczne to proces myślowy polegający na formułowanu sądów o całośc przy dysponowanu o nej ogranczoną lczbą nformacj Zmenna losowa soowa jej rozład Zmenną losową jest welość, tóra
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Przedstawienie
Bardziej szczegółowo