ZESTAW VI. ε, są składnikami losowymi. Oba modele są nieliniowe. Model (1) Y X Y = = Y X NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE, FUNKCJA PRODUKCJI

Transkrypt

1 NIELINIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE, FUNKCJA PRODUKCJI ZESTAW VI Przykład: Weźmy pod uwagę dwa modele ednorównaniowe: () Y = a+ b + c, () Y = + g + g Z + ξ, Gdzie,Y,Z oznaczaą zmienne, a,b,c,,g paramery srukuralne modelu, naomias ξ es nieliniowy względem zmiennych, a model () es nieliniowy względem paramerów. ε, są składnikami losowymi. Oba modele są nieliniowe. Model () UWAGA: Podział na modele liniowe i nieliniowe względem paramerów es w ekonomerii waŝnieszy! MODELE LINIOWE WZGLĘDEM PARAMETRÓW: Posać ogólna: gy ) = α ( x) + α ( x) +... α ( ) ( k k x Przykłady:. model ściśle liniowy Y = α + α + α +... αkk. model wielomianowy Y = α + α + α k +... α 3. model logarymiczny k Y = α + α ln + α lnz 4. model hiperboliczny = α + α + α Z Y 5. model z inerakcami Y = α + α + α Z + α ) ( 3 Z MODELE LINEARYZOWALNE To akie, kóre maą posać po odpowiednie ransormaci. Przykłady. model poęgowy β δ ε Y = α Z e ln Y = lnα + β ln + δ lnz. model wykładniczy Y = e a+ b+ ε 3. model S-krzywe Y = e ln Y = a+ b a+ b lny = a+ b gy ) = α ( x) + α ( x) +... α ( ) ( k k x ELASTYCZNOŚĆ CZĄSTKOWA Jes miarą wraŝliwości zmienne obaśniane na zmianę warości zmienne obaśniaące, chodzi u o zmiany względne a nie bezwzględne. Elasyczność Y względem oznacza, ceeris paribus, przyros względny (procenowy) warości Y w eekcie ednoskowego (procenowego) przyrosu warości. Y Y Y / Y E Y / = = Y Y /,

2 moŝna korzysać eŝ ze wzoru: EY / lny = ln FUNKCJA PRODUKCJI Teoria produkci es edna z dziedzin ekonomii, w kóre korzysa się z narzędzi maemaycznych. Ekonomeria zamue się u przede wszyskim meodologią szacowania i weryikaci zw. unkci produkci. Funkca produkci zaleŝność między nakładami czynników produkcynych w pewnym procesie a wielkością (warością) wyworzonego produku. Tradycynie: L nakłady pracy, K nakłady kapiału, Y produkca. Dwuczynnikową unkce produkci zapisać moŝemy ako Y = ( K,, przy czym zakładamy Y, K, L>. ZałoŜenia:. produkcyność krańcowa czynnika produkci es dodania K > L, >. produkcyność krańcowa czynnika es maleąca względem nakładów ego czynnika KK < LL, < 3. krańcowa produkcyność ednego czynnika rośnie w miarę zwiększania nakładów drugiego czynnika KL > KL, > 4. unkca es ednorodna Przypomnienie: es ednorodna sopnia r, eŝeli r ( λ K, λ = λ ( K, Inerpreaca: np. dla r= mamy: przyros nakładów kaŝdego z czynników o p% oznacza przyros produkci o p%. Dla r=, mówimy o sałych przychodach (korzyściach) skali. Dla r<, mówimy o maleących przychodach (korzyściach) skali. Dla r>, mówimy o rosnących przychodach (korzyściach) skali. 5. czynniki produkci są wzaemnie zasępowalne Subsyuca czynników produkci es dopuszczalna w określonych granicach. MoŜna przyąć, Ŝe ypową subsyucą w procesie produkci es zasępowanie nakładów pracy przez kapiał. Miarą sopnia subsyuci es krańcowa sopa subsyuci (KSS). Jes o wielkość przyrosu ednego czynnika aki powinien nasąpić, aby urzymać ę samą wielkość produkci, gdy nakład drugiego czynnika malee o pewną małą ednoskę. KSS L =. K Przykład: KSS=-, oznacza () wzrosowi (spadkowi) L o ednoskę powinien owarzyszyć spadek (wzros) K o, ednoski, () wzrosowi (spadkowi) K o ednoskę powinien owarzyszyć spadek (wzros) L o /,=5 ednosek. Przykładowe unkce produkci: () unkca Cobba-Douglasa: ak b L c ε ln Y = lna+ b lnk+ c lnl+ ln () unkca CES Y = po ransormaci ε

3 ELASTYCZNOŚĆ PRODUKCJI I ELASTYCZNOŚĆ SUBSTYTUCJI Elasyczność produkci względem danego czynnika deiniuemy ako elasyczność unkci względem ego czynnika (parz wyŝe). Warość współczynnika elasyczności obliczonego dla dane kombinaci nakładów oznacza, ceeris paribus, względny (procenowy) przyros warości Y wywołany ednoskowym (ednoprocenowym) przyrosem danego czynnika produkci. Elasyczność subsyuci mierz szybkość zmian współczynnika KSS. Jes deiniowana ako ( K / KSS σ = KSS ( K / Iloraz K/L nazywamy echnicznym uzbroeniem pracy. FUNKCJA PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA W WERSJI DYNAMICZNEJ Gdy model unkci es szacowany na podsawie szeregów czasowych, wówczas do czynników produkci moŝna włączyć zmienną czasową. Czynnik czasowy es rakowany ako reprezenan zw. posepu echnicznego, o znaczy akich zmian auonomicznych procesu produkci, kóre przynoszą wzros produkci bez zwiększania nakładów czynników podsawowych. Posać dynamiczna unkci Comba-Douglasa moŝe być nasepuąca: b c d Y = akle ε, Dla raconalnych procesów produkcynych paramer d es dodani. Przyros względny warości produkci z okresu na okres wynosi (przy załoŝeniu niezmienności K i : Y Y Y = e d Zadanie Posulue się, Ŝe krańcowa skłonność do konsumpci dla poedynczego konsumena es liniową unkcą ego maąku. UŜywaąc rzech zmiennych A konsumpca, B dochód, C maąek, Zaproponu model ednorównaniowy, za pomocą kórego moŝna zweryikować ę hipoezę. Zadanie Oblicz E Y/ dla a) Y = a+ b b) Y = a+ b ln c) ln Y = a+ b ln Zadanie 3 Funkca opisuąca zaleŝność popyu na pomidory Y od ceny P ma posać: Yˆ = 4+ 7 P a) Oblicz i zinerpreu cenową elasyczność popyu na pomidory przy cenie wynoszące 35 p, b) Na akim poziomie naleŝy usalić cenę, by ze względu na zgromadzony zapas, kóry moŝe ulec zepsuciu, doprowadzić do wzrosu popyu o %? Przyąć, Ŝe obecna cena wynosi 35p. 3

4 Zadanie 4 Oszacowano nasępuącą unkce popyu na odbiorniki radiowe urysyczne: ORT = 7, ,77 +,3( LM), PR Gdzie ORT i PR oznaczaą odpowiednio, poziom sprzedaŝy i produkci odbiorników (w ys.) naomias LM es liczbą zawieranych małŝeńsw (w ys.). Obliczyć i skomenować kierunek zmian elasyczności popyu zmienne ORT względem poziomu produkci oraz liczby małŝeńsw, wiedząc, Ŝe dla = i = warości zmiennych były nasępuące: ORT =4; PR =35; LM =4; ORT =445; PR =33; LM =56. Zadanie 5 Oszacowano model rendu, w kórym Y oznacza warość nakładów inwesycynych w mld złoych rocznie:,45 Y = e, gdzie oznacza zmienną czasową(numer roku). a) kóry z nasępuących wniosków es prawidłowy i dlaczego? ) Nakłady inwesycyne wzrasały rocznie średnio o 4,5%, ) Nakłady inwesycyne wzrasały rocznie średnio o,45 mld zł. 3) Oba zdania błędne. Powinno być: b) Podać posać modeli rendu, dla kórych słuszne są wnioski z punków,. Zadanie 6 Dany es model:,6 Y = 5,5e, gdzie oznacza zmienną czasową(numer roku). Uzupełnić brakuące inormace: a) wzros o edną ednoskę ( rok) wiąŝe się ze wzrosem Y o % b) Jeśli zaem w pewnym roku Y=, o po roku będzie Y= c) Jeśli w pewnym roku Y=5, o po dwóch laach, w przybliŝeniu będzie Y= Zadanie 7 W poszczególnych laach liczba abonenów eleonicznych w dniu 3. w Polsce była nasępuąca (w ys.): 48, 65, 774, 953, 3, 39, 3565, 3938, 446, 56. Oszacowano nasępuące modele rendu, wyraŝaące relacę między liczbą abonenów w danym roku (Y ) oraz numerem roku (=,,,): (I) ln Y = 7,7 +,747, R =,97 (II) Y = 579, 33,6 + 6,8, R =,993 (III) ln Y = 7,845 +,3 +,47, R =,97 a) Zinerpreu ocenę parameru przy zmienne w modelu (I). b) Dla =5 oblicz i zinerpreu warość pochodne Y względem w kaŝdym z modeli. Dlaczego warości e są róŝne? c) Kóre współczynniki deerminaci moŝna bezpośrednio porównywać, a kórych nie moŝna i dlaczego? Zaproponu sposób porównywania sopnia dopasowania modelu dla e drugie syuaci. d) Kóry z modeli wybrałbyś ako nalepszy do prognozowania, nie znaąc warości Y? Zadanie 8 Oszacowano nasępuący nieliniowy model unkci konsumpci dla gospodarki USA korzysaąc z kwaralnych danych z okresu 946:-974: ˆ, 9539 Y C =,357+,49, Gdzie C oznacza realną globalna konsumpcę, naomias Y realny globalny dochód do dyspozyci. 4

5 a) Czy orzymane wyniki świadczą o prawdziwości hipoezy o maleące (w miarę wzrosu dochodu) krańcowe skłonności do konsumpci (KSK)? [wskazówka: KSK pochodna konsumpci względem dochodu.] b) Oblicz i zinerpreu KSK dla średnie warości Y równe 47 mld USD (w warunkach roku 958) i porówna ą z KSK orzymaną dla modelu liniowego oszacowanego dla ych samych danych: C ˆ = 7,985+,895 Y. c) Zarówno model liniowy, ak i nieliniowy dobrze pasuą do danych i maą paramery isonie róŝne od zera. Na akie podsawie moŝna dokonać wyboru ednego z ych modeli? Zadanie 9 Dana es unkca produkci: K P( K, = +,5L a) PokaŜ, Ŝe P(K, opisue maleące korzyści skali. [wskazówka: udowodni, Ŝe dla λ > es P( λ K, λ < λp( K, ] b) Jaka es elasyczność unkci P(K, względem K? Poda inerpreacę orzymanego wyniku. Zadanie Dane są dwa oszacowane modele unkci produkci: () PROD = azat + bmaj () PROD = ZAT c MAJ d, c +d =, Gdzie PROD, ZAT, MAJ oznaczaą odpowiednio: warość produkci, wielkość zarudnienia produkcynego, maąek rwały. PokaŜ, Ŝe oba modele opisuą procesy produkci z przychodami proporconalnymi do nakładów. Zadanie Na podsawie danych kwaralnych oszacowany zosał model:,7,9 PROD =,5MAJ ZAT Gdzie PROD, MAJ, ZAT ak w poprzednim zadaniu. a) Ocen zasadność wyników esymaci wykorzysuąc poecia: - krańcowe produkcyności czynników, - elasyczności produkci względem kaŝdego z czynników, - eeków skali produkci. b) Oblicz i zinerpreu krańcową sopę subsyuci dla MAJ=5 oraz ZAT=6. Zadanie Produkca P określona es modelem P ˆ =az b M c, gdzie Z oznacza zarudnienie, a M maąek rwały. Wybierz prawidłową odpowiedź: a) eśli warość maąku rwałego wzrasa o %, a zarudnienie nie zmienia się, koprodukca wzrasa o około: M % c c% ( b) % b % c b) Jeśli zarudnienie zwiększa się o ednoskę, o produkca nie ulegnie zmianie, gdy maąek: zmalee o około bm ednosek, 5

6 wzrośnie o około zmalee o około wzrośnie o około bm ednosek, bm ednosek, ednosek bm Zadanie 3 Produkcę globalną pewnego układu gospodarczego opisue dwuczynnikowa unkca produkci Comba-Douglasa, przy czym: Y warość produkci w mln p, liczba zarudnionych osób w mln, kapiał rwały w mld p. Elasyczność produkci względem zarudnienia i maaku wynosi odpowiednio, i,5. Tempo wzrosu produkci z okresu na okres przy niezmienionych nakładach czynników wywórczych wynosi e,. Krzywa sałego produku dla roku = odpowiadaąca produkci 6 mln p przechodzi przez punk o współrzędnych =3, mln osób oraz =9mld p. a) poda posać e unkci produkci, b) oblicz i zinerpreu krańcową produkcyność kapiału w roku = (. dla =3, oraz =9). c) Na począku roku τ na zarudnionego przypada kapiał rwały o warości,5 ys. p. W ciągu roku τ przewidue się spadek zarudnienia o ok. ys. osób. Jaka zmiana maąku es porzebna, aby zapobiec spadkowi produkci w ciągu ego roku? Zadanie 4 Oszacowano unkcę produkci ˆ M Z Y = ( ) ( ), gdzie M oznacza maąek 3 rwały, Z oznacza zarudnienie. Wiadomo, Ŝe M >, Z > 3. a) Naszkicu izokwanę e unkci dla Y =, b) Zbada monooniczność krańcowe produkcyności maąku i dokona inerpreaci uzyskanego rezulau. Oblicz i zinerpreu krańcową produkcyność maąku dla M = 5, Y =. c) Oblicz krańcową sopę subsyuci dla M = 5, Y =. 6