Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE"

Transkrypt

1 Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji Dr Michał Gradzewicz atedra Ekonomii I AE

2 Plan wykładu (Nie)liniowość modeli ekonomerycznych iniowość modeli ekonometrycznych Efekty krańcowe Elastyczności Przykłady modeli linearyzowanych i nieliniowych Nieliniowa MN Funkcja produkcji Definicja Własności Substytucyjność czynników Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Inne funkcje produkcji

3 iniowość modeli ekonometrycznych Dla ekonometryka (ze względu na fakt, że estymowane są parametry, warunkowo względem danych) ważna jest liniowość względem parametrów, a nie względem zmiennych zapewnia ona możliwość estymacji zwykłą MN i uzyskania estymatora o pożądanych własnościach (tw. Gaussa-Markowa) Przykład modelu liniowego względem parametrów: y = β 0 + β 1 x 1 x β 2 ln x 3 + ϵ Przykład modelu liniowego względem zmiennych : 1 y = β 0 + x β 1 + β 1 + β 2 3 x 2 + ξ 2 Pierwszy model jest liniowy względem parametrów, drugi nieliniowy względem parametrów Model ściśle liniowy: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + η Ogólna postać modelu liniowego względem parametrów (x wektor zmiennych): g y = β 1 f 1 x + β 2 f 2 x + + β k f k x + ϵ Jeśli g y = y, to model jest bezpośrednio liniowy, w przeciwnym przypadku jest to model linearyzowany (w modelu linearyzowanym musi istnieć g 1 (y), czyli g(y) musi być różnowartościowa Przykład modelu linearyzowanego: log y = log a + b + ε (ponieważ X g y = log y, β 1 = log a, β 2 = b, f 1 x = 1, f 2 x = 1 ) jest to zlogarytmizowana X wersja modelu wykładniczo-hiperbolicznego: y = ae b Xξ

4 Popularne formy nieliniowości, czyli transformacji danych Do często stosowanych transformacji danych należą: ogarytmy zmiennych zamieniają charakter zależności z multiplikatywnej na addytywną (log ab = log a + log b ) Zmniejszają zakres wartości zmiennej Mogą ograniczać wpływ heterogeniczności Redukują wpływ obserwacji nietypowych wadraty zmiennych, często używane, aby odzwierciedlić zmienne efekty krańcowe Iloczyny zmiennych, reprezentujące interakcje pomiędzy zmiennymi oraz zmienne efekty krańcowe Transformacje danych są często podyktowane przekonaniem badacza (np. mającym swoje źródło w odpowiedniej teorii) o specyficznej formie efektów krańcowych

5 W modelu liniowym: Efekty krańcowe β i = y Δy x i Δx parametr przy danej zmiennej mierzy efekt krańcowy, czyli informuje o skali przyrostu y w reakcji na jednostkowy przyrost x, ceteris paribus; efekt ten jest stały i niezależny od poziomu x i Zarówno w klasie modeli liniowych i nieliniowych względem parametrów efekt krańcowy y może być funkcją innych zmiennych x i Czasami wiemy jaka postacią powinny charakteryzować się efekty krańcowe, co implikuje wybór określonej postaci funkcyjnej badanej zależności, np. Jeśli y x i = β i x i, to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: β i x i 2 Przykład: w = age 0.025age 2, wtedy w age = age Jeśli y x i = β i x j, to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: β i x i x j, ale wtedy jednocześnie y x j = β i x i Przykład: c = y edu gender edu gender

6 Elastyczności cząstkowe Elastyczność cząstkowa y względem x i to również miara wrażliwości y na zmiany x i, ale w ujęciu względnym (procentowym) informuje o ile zmieni się procentowo y jeśli x i wzrośnie o 1% El y x i = y y x i x i = y x i x i y Δy y Δx x = Δy x i Δx y x W modelu liniowym elastyczność El y x i = β i i, czyli jest funkcją poziomów y zmiennych i jest różna dla każdej obserwacji (często, aby otrzymać jedną wartość, x średnią w próbie, oblicza się β i i y Jaką interpretację ma β w modelu log y = β log x? β = log y log x = log y(x) x log x x = log y y x log x x x = 1 y y x = 1 x 1 y x x y = El(y x) Czyli jest to elastyczność y względem x, stała niezależna od punktu w danych, odpowiadająca modelowi potęgowemu: y = x β (ponieważ jest to tożsame z: ln y = β ln x)

7 rzywa Engla: Przykłady modeli z logarytmami y = α + β log x Wtedy β = y log x = y x log x x = y x 1 x x x = x y y x, zatem: El y x = = β x x y y Czyli elastyczność y względem x maleje wraz z poziomem y. Engel użył tych krzywych do badania elastyczności spożycia danej kategorii (y) dóbr względem dochodu (x) i zgodnie z tą specyfikacją elastyczność dochodowa spożycia jest dodatnia, ale maleje wraz ze wzrostem poziomu spożycia Stopy wzrostu Wykładniczy model trendu: y = αe βt+ε Można przedstawić jako: log y = log α + βt + ε Czyli wzrost t o jednostkę (upływ jednego okresu czasu) powoduje wzrost log y dokładnie o β A wzrost log y, czyli Δ log y to w przybliżeniu stopa wzrostu y (dla małych przyrostów) Czyli β y t y y 1 1. Dlaczego? β = Δ log y t = log y t log y t 1 = log( y t y t 1 ), zatem y t y t 1 = e β Z rozwinięcia Taylora e β 1 + β, zatem podsumowując β y t y t 1 1 Ogólnie: Δ log x Δx x

8 Przykłady modeli linearyzowanych i charakter składnika losowego Model potęgowy: y = αx 1 β x2 γ e ε po zlogarytmowaniu jest jednoznaczny z modelem: log y = log α + β log x 1 + γ log x 2 + ε Model wykładniczy (opisujący wykładniczy wzrost y względem x): Jest tożsamy z: y = e α+βx+ε log y = α + βx + ε Przy przekształceniach modelu należy pamiętać, ze podlega nim również składnik losowy i jego charakter (addytywny lub multiplikatywny) ma znacznie: Przykładowo model y = e βx + ε jest modelem ściśle nieliniowym Z kolei model y = e βx ε jest modelem linearyzowanym (log y = βx + log ε), ale jeśli log ε ma mieć rozkład normalny, to ε powinna mieć rozkład log-normalny Czasami, ze względu na wiedzę a priori odnośnie składnika losowego, model nie może zostać zlinearyzowany i powinien być estymowany metodami nieliniowymi

9 Przykład modelu ściśle nieliniowego funkcja logistyczna Funkcja logistyczna jest postaci: α y t = 1 + βe γt + ε t gdzie α > 0, β > 1, γ > 0 i ma bardzo ciekawe własności: lim t y t = α i jest to tzw. poziom nasycenia zmiennej y Dla t = 0, y 0 = α 1+β Jest ona rozwiązaniem równania różniczkowego: dy = γ y(α y), w którym na zmiany α y działają dwie siły: początkowo napędzająca y (wyższy y powoduje coraz wyższy wzrost y - dy zależy od y), ale wraz ze wzrostem y rośnie znaczeni siły hamującej α y Stosuje się ja w analizach rynkowych (cykl życia produktu), demograficznych W nieco innej formie: ea+bt y = 1 + e a+bt która ma zakres zmienności < 0; 1 > funkcja ta nazywa się logitem i jest ona podstawą modelu logitowego (o którym szerzej na kolejnych zajęciach)

10 Nieliniowa MN Czasami nie jest możliwe doprowadzenie modelu do postaci liniowej względem parametrów Model nieliniowy: y i = f x i, β + ε i Można go estymować np. nieliniową metodą najmniejszych kwadratów, w której wyznaczamy β minimalizując sumę kwadratów reszt: S β = y i f x i, β 2 i Czyli rozwiązując układ równań nieliniowych (o liczbie równań i niewiadomych równych liczbie estymowanych parametrów): S β β = 2 y i f x i, β i f x i, β β Postać ogólna rozwiązania nie jest znana (zależy od charakteru nieliniowości) i niemożliwa do przedstawienia w postaci analitycznej. Zazwyczaj rozwiązuje się tego typu układy równań metodami iteracyjnymi, np. metodą Newtona, Gaussa-Newtona Nie ma ogólnych twierdzeń o własnościach estymatora (typu Gaussa-Markowa w przypadku MN) dla estymatorów uzyskanych metodami nieliniowymi, dlatego ekonometrycy raczej starają się uprościć specyfikacje do postaci liniowej (względem parametrów) Modele nieliniowa można estymować również MNW (metoda największej wiarygodności) = 0

11 Funkcja produkcji Funkcja produkcji jest to relacja pomiędzy nakładami czynników produkcji a wielkością (strumieniem) wytworzonego produktu w danej jednostce czasu Stosuje się ten koncept zarówno w mikro- jak i makroekonomii Główne nakłady praca () i kapitał (), ale również ziemia, materiały czy kapitał ludzki Y = f(, ) Izokwanty produkcji - warstwice funkcji produkcji, czyli linie w przestrzeni (, ), którym odpowiada ta sama wartość produkcji: Y 0 = f(, ) Zakładamy, że f jest funkcją ciągłą i dwukrotnie różniczkowalną

12 Własności funkcji produkcji: f = f, Własności funkcji produkcji > 0, f = f, > 0, czyli produkty krańcowe (produktywności) czynników produkcji są dodatnie (zwiększenie zasobu danego czynnika prowadzi do wzrostu produkcji) f = 2 F, 2 = f < 0, f = 2 F, 2 < 0, czyli krańcowa produkcyjność czynnika jest malejąca względem nakładów tego czynnika (produktywność czynnika rośnie coraz wolniej) f = f > 0, f = f wzrostem innego czynnika Funkcja f jest funkcją jednorodną (homogeniczną) > 0, czyli produktywność jednego czynnika rośnie wraz ze Ogólnie: funkcja jednorodna stopnia r spełnia warunek: f λ, λ = λ r f(, ) Czyli wzrost wszystkich nakładów o λ powoduje wzrost produkcji o λ r Dla r = 1 mówimy o stałych korzyściach skali (np. podwojenie wszystkich nakładów powoduje podwojenie produkcji) CRS (constant returns to scale), czyli jednorodność Dla r > 1 mówimy o rosnących korzyściach skali (IRS) Dla r < 1 mówimy o malejących korzyściach skali (DRS) Substytucyjność (zastępowalność czynników) na kolejnym slajdzie Elastyczność produkcji względem czynnika: El Y = Y Y = f Y oraz El Y = f Y

13 Substytucyjność czynników Jak zmieniają się nakłady czynników na izokwancie? dy = df(, ) = 0 = F F d + d = f d + f d Zatem: d d = f = SS dy=0 f SS krańcowa stopa substytucji (MRS Marginal Rate of Substitution) o ile powinien zmniejszyć się (wzrosnąć) nakład w reakcji na wzrost (spadek) nakładu, aby utrzymać ten sam poziom produkcji (Y = const) Relację nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy Elastyczność substytucji mierzy wypukłość izokwanty w miarę wzrostu, dodatkowy przyrost o jednostkę zastępuje coraz mniejszą ilość a elastyczność substytucji mierzy ten efekt jest to względny przyrost wywołany przyrostem SS o 1% σ = ( ) SS SS Płaska izokwanta wysoka elastyczność substytucji (SS musi się silnie zmienić, aby zmieniło się ), przykładowo dla funkcji liniowej σ = +, z kolei dla funkcji typu wąskie gardło, czyli F, = min {, }, σ = 0

14 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1) Ma ona postać funkcji potęgowej Y = α β Gdzie α, β (0; 1). Po zlogarytmowaniu: log Y = α log + β log Własności: f = Y = αα 1 β = α α β 1 = α Y > 0 f = β Y > 0 El Y = f = α Y Y Y = α (lub log Y log f = f = α α 1 α 2 β = α 1 α = α) oraz El Y = β Y 2 < 0 f = f = β β 1 α β 2 = β 1 β Y 2 < 0 f = f = αβ α 1 β 1 = αβ Y > 0 Jednorodność: f λ, λ = λ α λ β = λ α λ β α β = λ α+β F(, ) Dla α + β = 1 mamy stałe korzyści skali, wtedy Y = α 1 α Dla α + β > 1 mamy rosnące korzyści skali Dla α + β < 1 mamy malejące korzyści skali

15 Substytucja Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (2) SS = f = β Y = β f α Y α σ = ( ) SS SS = SS Postęp technologiczny 1 SS = β α β α = 1 Są różne sposoby jego uwzględnienia, często stosowanym rodzajem jest TFP (Total Factor Productivity, czyli łączna produktywność czynników produkcji, czyli postęp, który nie jest związany bezpośrednio z żadnym z czynników produkcji) Jeśli założymy, że technologia rośnie w tempie wykładniczym (w stałym tempie z okresu na okres), to: Y t = e A+γt t α t β e ε t ub po zlogarytmowaniu: log Y t = A + γt + α log t + β log t + ε t Gdzie γ jest stałym tempem wzrostu TFP, α jest elastycznością produkcji względem nakładu kapitału, a β elastycznością produkcji względem nakładu pracy

16 Inne funkcje produkcji Funkcja CES (Constant elasticty of substitution) Y = γ δ ρ + 1 δ ρ θρ ε Gdzie δ < 0,1 > parametr podziału między czynniki produkcji, θ > 0 jest stopniem homogeniczności (parametr korzyści skali), ρ > 1 jest parametrem substytucji (elastyczność substytucji wynosi Funkcja translog, cechująca się zmiennymi elastycznościami produkcji oraz substytucji: log 2 log 2 log Y = α 1 + α 2 log + α 3 log + α 4 + α α 2 6 log log + ε Funkcja liniowa (ma nieskończoną elastyczność substytucji): Y = α + β Funkcja typu wąskie gardło (cechująca się zerową elastycznością substytucji): Y = min (α, β) Izokwanty funkcji liniowej 1 1+ρ ) Izokwanty funkcji typu min

Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji

Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele

Bardziej szczegółowo

Przychody skali. Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi:

Przychody skali. Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS (constant returns to scale) Rosnące

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia B.2. Mikołaj Czajkowski

Mikroekonomia B.2. Mikołaj Czajkowski Mikroekonomia B.2 Mikołaj Czajkowski Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS

Bardziej szczegółowo

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1

Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1 Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,

Bardziej szczegółowo

Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego

Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego jest jednym z najtrudniejszych etapów badań. Jest on szczególnie uciążliwy, gdy rozpatrujemy modele

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu

Bardziej szczegółowo

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady.

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady. Przedmiot: EKONOMIA MATEMATYCZNA Katedra: Ekonomii Opracowanie: dr hab. Jerzy Telep Temat: Matematyczna teoria produkcji Zagadnienia: Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie,

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH 39 8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH 8.1. Funkcje popytu i elastyczności popytu 8.1.1. Czynniki determinujące popyt i ich wpływ Załóżmy, że hipoteza ekonomiczna dotycząca kształtowania się

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11 Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

gdzie. Dla funkcja ma własności:

gdzie. Dla funkcja ma własności: Ekonometria, 21 listopada 2011 r. Modele ściśle nieliniowe Funkcja logistyczna należy do modeli ściśle nieliniowych względem parametrów. Jest to funkcja jednej zmiennej, zwykle czasu (t). Dla t>0 wartośd

Bardziej szczegółowo

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2

II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 6 - Kointegracja, rozkłady opóźnień Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Plan wykładu Ekonometria wielu szeregów czasowych i analiza zależności pomiędzy nimi Przykłady ważnych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±

Bardziej szczegółowo

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka

Bardziej szczegółowo

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych Modele liniowe względem parametrów przykłady, zastosowania Modele hiperboliczne i wykładnicze Związek kształtu modelu z celem analizy ekonometrycznej NajwaŜniejsze

Bardziej szczegółowo

Podstawy ekonomii TEORIA PRODUKCJI

Podstawy ekonomii TEORIA PRODUKCJI Podstawy ekonomii TEORIA PRODUKCJI Opracowanie: dr Tomasz Taraszkiewicz Proces i funkcja produkcji Proces produkcji proces transformacji czynników wytwórczych na produkty gotowe, przy czym uzyskane efekty

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Zajęcia

Ekonometria. Zajęcia Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)

Bardziej szczegółowo

Nieliniowe. Liniowe. Nieliniowe. Liniowe. względem parametrów. Linearyzowane. sensu stricto

Nieliniowe. Liniowe. Nieliniowe. Liniowe. względem parametrów. Linearyzowane. sensu stricto Ekonometria jak dorać funkcję? Przykłady użyte w materiałach opracowano w większości na azie danych ze skryptu B.Guzik, W.Jurek Podstawowe metody ekonometrii (wyd. AE Poznań 3) W doorze postaci funkcji

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele dynamiczne. Paweł Cibis 27 kwietnia 2006

Ekonometria. Modele dynamiczne. Paweł Cibis 27 kwietnia 2006 Modele dynamiczne Paweł Cibis pcibis@o2.pl 27 kwietnia 2006 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej 2 Etap I Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona

Bardziej szczegółowo

Stosowane modele równowagi. Wykład 1

Stosowane modele równowagi. Wykład 1 Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE) Wykład 1 Literatura Horridge M., MINIMAL. A Simplified General Equilibrium Model, 2001, http://www.copsmodels.com/minimal.htm dowolny podręcznik do mikroekonomii

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Minimalizacja Kosztów

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Minimalizacja Kosztów 010 W. W. Norton & Company, Inc. Minimalizacja Kosztów Minimalizacja Kosztów Przedsiębiorstwo minimalizuje koszty, jeśli produkuje daną wielkość produkcji y 0 według najmniejszych możliwych kosztów. c(y)

Bardziej szczegółowo

Modele długości trwania

Modele długości trwania Modele długości trwania Pierwotne zastosowania: przemysłowe (trwałość produktów) aktuarialne (długość trwania życia) Zastosowania ekonomiczne: długości bezrobocia długości czasu między zakupami dóbr trwałego

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:

Bardziej szczegółowo

Uogolnione modele liniowe

Uogolnione modele liniowe Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Model klasyczny podstawowe założenia W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki

Bardziej szczegółowo

Metody Ekonometryczne

Metody Ekonometryczne Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

3. O czym mówi nam marginalna (krańcowa) produktywność:

3. O czym mówi nam marginalna (krańcowa) produktywność: Ʊ1. 诲眤诲眤眪 眪 Zbiór produkcyjny: a) to zbiór wszystkich nakładów czynników produkcji, b) wykazuje możliwe techniki wytwarzania, c) pokazuje techniczne możliwości, d) poprawne są odpowiedzi a, c, e) poprawne

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarogodności

Metoda największej wiarogodności Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, sezonowość. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, sezonowość. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, sezonowość Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Plan wykładu Prognozowanie Założenia i własności predykcji ekonometrycznej Stabilność modelu ekonometrycznego

Bardziej szczegółowo

Zawansowane modele wyborów dyskretnych

Zawansowane modele wyborów dyskretnych Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania wybranych technik regresyjnych do modelowania współzależności zjawisk Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 14. Inwestycje dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Inwestycje a oczekiwania. Neoklasyczna teoria inwestycji i co z niej wynika Teoria q Tobina

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Modele zapisane w przestrzeni stanów

Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego NATURALNA STOPA BEZROBOCIA Naturalna stopa bezrobocia Ponieważ

Bardziej szczegółowo

Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α.

Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że E (a n ) < oznaczamy jako a n = o p (1) prawdopodobieństwa szybciej niż n α. Stopy zbieżności Stopę zbieżności ciagu zmiennych losowych a n, takiego, że a n oznaczamy jako a n = o p (1 p 0 a Jeśli n p n α 0, to a n = o p (n α i mówimy a n zbiega według prawdopodobieństwa szybciej

Bardziej szczegółowo

TEORIA PRODUKCJI Przemysław Kusztelak

TEORIA PRODUKCJI Przemysław Kusztelak TEORIA PRODUKCJI Przemysław Kusztelak Wydział Nauk Ekonomicznych Uniwersytetu Warszawskiego Informacja wstępna Mikroekonomiczna teoria producenta zajmuje się analizą zachowań przedsiębiorstw na rynku.

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno

WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:

Bardziej szczegółowo

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )

Bardziej szczegółowo

Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji

Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji Jakub Growiec 1,2 1 Narodowy Bank Polski 2 Szkoła Główna Handlowa Seminarium

Bardziej szczegółowo

Statystyka, Ekonometria

Statystyka, Ekonometria Statystyka, Ekonometria Wykład dla Geodezji i Kartografii 11 kwietnia 2011 () Statystyka, Ekonometria 11 kwietnia 2011 1 / 31 LITERATURA J. Hozer, S.Kokot, W. Kuźmiński metody analizy statystycznej w wycenie

Bardziej szczegółowo

ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)

ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II

Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,

Bardziej szczegółowo

SEKTOROWA ANALIZA FUNKCJI PRODUKCJI NA PRZYKŁADZIE PRZEMYSŁU HUTNICZEGO

SEKTOROWA ANALIZA FUNKCJI PRODUKCJI NA PRZYKŁADZIE PRZEMYSŁU HUTNICZEGO SEKTOROWA ANALIZA FUNKCJI PRODUKCJI NA PRZYKŁADZIE PRZEMYSŁU HUTNICZEGO Bożena GAJDZIK Streszczenie: W artykule przedstawiono zastosowanie funkcji produkcji typu Cobba- Douglasa do analizy procesu produkcyjnego

Bardziej szczegółowo

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora. imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10 Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Wykład 10 1 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 1. Wstęp a) Binarne zmienne zależne b) Interpretacja ekonomiczna c) Interpretacja współczynników 2. Liniowy model prawdopodobieństwa a) Interpretacja współczynników

Bardziej szczegółowo

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

1 Modele ADL - interpretacja współczynników 1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 14. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 14. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 14 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Symulacje Analogicznie jak w przypadku ciągłej zmiennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analizy różnego rodzaju problemów w modelach

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zależność. przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna),

Zależność. przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna Korelacja brak korelacji korelacja krzywoliniowa korelacja dodatnia korelacja ujemna Szereg korelacyjny numer

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Heteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów

Heteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria konsumenta

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria konsumenta Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria konsumenta Zad Dla podanych niżej funcji użyteczności: (a u (x x = x + x (b u (x x = x x (c u (x x = x x (d u (x x = x x 4 (e u (x x = x + x = x + x

Bardziej szczegółowo

SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization

SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne

Bardziej szczegółowo

Wzrost gospodarczy definicje

Wzrost gospodarczy definicje Wzrost gospodarczy Wzrost gospodarczy definicje Przez wzrost gospodarczy rozumiemy proces powiększania podstawowych wielkości makroekonomicznych w gospodarce, a w szczególności proces powiększania produkcji

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Popyt

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Popyt 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Popyt Własności Funkcji Popytu Statyka porównawcza funkcji popytu pokazuje jak zmienia się funkcja popytu x 1 *(p 1,p 2,y) i x 2 *(p 1,p 2,y) gdy zmianie ulegają ceny

Bardziej szczegółowo

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu Część 2 Test Durbina-Watsona Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε t, ε t 1 ) 0 Test Durbina-Watsona Weryfikowana hipoteza H 0 : cov(ε t, ε t 1 ) = 0 H 1 : cov(ε

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Ćwiczenia 5. Krzysztof Pytka. 22 listopada 2010. Zakład Wspomagania i Analizy Decyzji (SGH)

Ekonometria. Ćwiczenia 5. Krzysztof Pytka. 22 listopada 2010. Zakład Wspomagania i Analizy Decyzji (SGH) Ekonometria Ćwiczenia 5 Krzysztof Pytka Zakład Wspomagania i Analizy Decyzji (SGH) 22 listopada 2010 Mapa drogowa na dziś Mapa drogowa na dziś 1 Wstęp Mapa drogowa na dziś 2 Modele liniowe względem parametrów

Bardziej szczegółowo