Konstruowanie macierzy unitarnych dla kwantowego algorytmu decyzyjnego

Transkrypt

1 BILETYN INSTYTT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) Kostrowaie macierzy itarych dla kwatowego algorytm decyzyjego J. WINIEWSKA Istytt Systemów Iformatyczych Wydzia Cyberetyki Wojskowej Akademii Techiczej l. Kaliskiego, -98 Warszawa Praca zawiera opis algorytm decyzyjego oraz propozycj jego kwatowej implemetacji. Algorytm skada si z czterech kroków prowadz oe do wyzaczeia macierzowej postaci operatora kwatowego, który pozwala a rozwizaie postawioego zadaia decyzyjego. Dla zadaia decyzyjego o zmieych aleaoby rozwiza kad rówa, aby wyzaczy posta wspomiaego operatora. Dlatego te w pracy zostaa opisaa metoda szybkiego wyzaczaia macierzowej postaci operatora itarego, która praktyczie elimije koieczo wykoywaia jakichkolwiek oblicze matematyczych. Keywords: algorytm decyzyjy, kwatowa implemetacja, metoda szybkiego wyzaczaia macierzy itarych. Zadaie decyzyje Zadaie decyzyje [7] moa opisa za pomoc dwóch wektorów: wejciowego X, który zawiera dae potrzebe do rozwizaia zadaia oraz wyjciowego Y, z którego moa odczyta wyik oblicze. Posta wektora X, zawierajcego skadowych jest astpjca: X x, x, x,..., x ). () ( 3 Zadaie decyzyje moe posiada rozwizaie dwwartociowe lb wielowartociowe. W przypadk, gdy rozwizaie jest dwwartociowe, a takiego typ zadaiom jest powicoa ta praca, wektor wyjciowy Y powiie posiada jed skadow, zazwyczaj typ biarego, której warto, po rozwizai zadaia, powia wskaza, czy odpowied a postawioe pytaie brzmi tak bd ie : Y X ) ( y ). () ( Przykad Pracowik dzia widykacji, firmy sprzedajcej pewe towary a zasadzie kredyt, msi zdecydowa, czy aley zablokowa sprzeda (przypadek klasyfikacji dwwartociowej) klietowi podejrzewaem o ierzetelo. Omawiaa sytacja decyzyja dotyczy momet, gdy kliet spóia si z patociami swoich aleoci, a wci skada zamówieia a koleje partie towar. Do tego, aby moliwe byo podjcie decyzji o blokadzie aley rozpatrzy szereg czyików, które tworz wektor parametrów wejciowych X: X x, x, x, x, x, x, x, ) (3) ( x8 gdzie: x warto wszystkich aleoci klieta [kwota w PLN], x warto przetermiowaych aleoci klieta [kwota w PLN], x 3 czas przetermiowaia ajstarszej aleoci [liczba di], x 4 kwota wpaty zadeklarowaa przez klieta [kwota w PLN], x 5 czy w przeszoci kliet by rzetely? [warto biara], x 6 czy kliet wspópracje z rzetelymi odbiorcami? [warto biara], x 7 czy firma posiada deklaracje wekslowe od daego klieta? [warto biara], x 8 czy kliet posiada zdolo kredytow? [warto biara]. Pracowik akadajcy blokady, przed podjciem decyzji, aalizje wydrk, a którym wyszczególiei s potecjali klieci do zablokowaia sprzeday. Wydrk te sporzdzay jest wedg dwóch kryteriów: przekroczeie prog % wartoci przetermiowaych faktr wzgldem caej aleoci klieta oraz szeciodiowe przekroczeie termi zapaty (pod wag braa jest data przetermiowaia ajstarszej aleoci). Majc do dyspozycji powysze iformacje, pracowik msi podj decyzj o zatrzymai lb wydai zamówioego towar. 59

2 Joaa Wiiewska, Kostrowaie macierzy itarych dla kwatowego algorytm decyzyjego Moliwy jest przypadek ie wpyicia rodków a czas, a koto firmy, cho kliet dokoa j zapaty. Naley wic zawsze kotaktowa si z klietem przed aoeiem blokady. Jeeli kliet ie deklarje reglowaia caej aleoci, ale przyajmiej tak jej cz, która zmiejszy kwot aleoci przetermiowaych poiej prog %, to jest to okoliczo przemawiajca a korzy klieta i w takiej sytacji zazwyczaj ie stosje si blokady. Na decyzj, dotyczc wydaia towar, pozytywie wpywaj take takie czyiki jak: wypracoway rzetely wizerek klieta, rzetelo jego odbiorców, posiadaie przez firm deklaracji wekslowych od tego klieta oraz jego zdolo kredytowa (czsto firmy zacigaj kredyty, aby spaci swoje dgi). Rozwizaiem tego problem jest warto wektora Y. Bdzie to zmiea typ biarego: gdy przyjmie warto zero, aley zastosowa blokad; w przeciwym wypadk moa wyda towar.. Kwatowy algorytm decyzyjy Skostroway algorytm decyzyjy, dla którego moa przedstawi propozycj implemetacji za pomoc macierzy itarych, czyli taki algorytm, który powiie by wykoywaly za pomoc komptera kwatowego (wedg zaoe z [3] i [8]), ma posta czterech kroków: ) przedstawieie zadaia decyzyjego w postaci moliwej do zapisaia w rejestrze [, 4, 5, 8] komptera kwatowego, ) podaie tabeli prawdy (zero-jedykowy kad kombiacji wartoci argmetów pewej fkcji logiczej i zaleych od ich wartoci teje fkcji) dla rozwizywaego zadaia, 3) staleie wartoci wejciowych i odpowiadajcych im wartoci wyjciowych, pojawiajcych si w rejestrze obliczeiowym kombiacjom wejciowym, dla których wyik powiie brzmie, przypisywae s ajisze wartoci wyjciowe (wg wartoci liczby biarej zapisaej w rejestrze kwatowym), 4) wyzaczeie postaci macierzowej operatora itarego, realizjcego obliczeia, a pod-stawie par wartoci wejciewyjcie (dla zmieych decyzyjych). Pokazay, w przykadzie, sposób zapis zadaia decyzyjego ie moe by bezporedio zastosoway w obliczeiach kwatowych. Wyika to z iemooci, przyajmiej w chwili obecej, przekazaia wartoci wspóczyików 6 iych i biare (jest to zwizae z koieczoci zagwaratowaia sta kwatowego rejestr). Zatem zmiee wejciowe zadaia trzeba przedstawi w takiej postaci, aby byy typ biarego. Dodatkowo przestrzegae msi by astpjce zaoeie: jeeli zero ma by odpowiedzi a zadawae w zadai pytaie, brzmic ie, a jedyka tak, to wartoci przyjmowae przez zmiee wejciowe msz rówie odzwierciedla t itecj: przypisywaie zmieym wartoci zero ozacza, e ich zaczeie jest egatywe i przyblia rozwizaie caego zadaia Y do wartoci zero; atomiast przyjmowaie przez zmiee wartoci jede przyblia rozwizaie zadaia Y do wartoci jede (zaoeie to bdzie miao zaczeie w dalszej aalizie fkcji decyzyjej). Przykad Zmiee decyzyje, z przykad, moa zapisa w astpjcej formie: x czy ie astpio przekroczeie prog % wartoci przetermiowaych faktr wzgldem caej kwoty aleoci klieta? x czy ajstarsza iezapacoa faktra ma poiej 6 di opóieia w patoci? x 3 czy kliet deklarje wpaceie kwoty, która zmiejszy zadeie do prog poiej %? x 4 czy kliet w przeszoci by rzetely? x 5 czy kliet wspópracje z rzetelymi odbiorcami? x 6 czy firma posiada deklaracje wekslowe od daego klieta? x 7 czy kliet posiada zdolo kredytow? Nastpie, dla rozwizywaego zadaia, decydet powiie poda tabel prawdy, a podstawie której bdzie moa skostrowa macierzow posta kwatowego operatora rozwizjcego zadaie decyzyje (dla tabeli prawdy moa rówie wyzaczy posta fkcji decyzyjej f(x), jaka w daym zadai powia by realizowaa). Dae wejciowe oraz rozwizaie zadaia s zapisywae w -bitowym rejestrze kwatowym k>. Naley zwróci wag, e posta wektora X (rówaie ()) zostaie bezporedio odwzorowaa w staie pocztkowym rejestr kwatowego k>: k x x, x,..., x. (4), 3 Wektor Y, pocztkowo posiadajcy tylko jed skadow y (rówaie ()), rówie msi zosta zapisay w -bitowym rejestrze kwatowym (jako jego sta kocowy k >, czyli rozwizaie zadaia). Zapropooway algorytm decyzyjy

3 BILETYN INSTYTT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) rozwizje te problem tak, e wyik zadaia jest zapisyway w rejestrze kwatowym w postaci liczby biarej (tak samo jak dae wejciowe): k x, x, x,...,. (5) Na podstawie tabeli prawdy wiadomo, ile razy fkcja decyzyja f(x) przyjmje warto zero, a ile warto jede. W zwizk z tym iterpretacja wyik jest taka, e liczby biare, zyskae w staie kocowym rejestr k >, od wartoci zero do liczba przypadków dla f(x)= pomiejszoa o jede ozaczaj egatywy wyik zadaia, a pozostae liczby odpowiadaj pozytywym wyikom zadaia. Przykad 3 Niech zadaie z przykad, dla lepszej czyteloci wyików, zostaie ograiczoe do zadaia opartego a czterech zmieych: x, x, x 3 i x 4 (iterpretacja zmieych jest taka sama jak w przykadzie ). Tabela prawdy dla tego zadaia moe mie posta jak w Tab.. 3 x x x x 3 x 4 f(x) Tab.. Tabela prawdy dla zadaia decyzyjego Na podstawie tabeli prawdy moa wyzaczy wartoci, jakie powiy pojawia si w czterobitowym rejestrze kwatowym w jego staie pocztkowym i kocowym aby rozwiza postawioe zadaie. Zostao to zilstrowae w tabeli Tab.. Sta pocztkowy k> Sta * kocowy k > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > * ajmiejsze wartoci staów kocowych rejestr kwatowego, ozaczajce egatyw odpowied kad, zostay zapisae pogrbio czciok Tab.. Stay pocztkowe i kocowe rejestr kwatowego dla przykadowego zadaia Ostati krok algorytm decyzyjego to wyzaczeie postaci macierzowej operatora kwatowego rozwizjcego zadaie a podstawie zaych staów pocztkowych i odpowiadajcych im staów kocowych rejestr obliczeiowego. Sta pocztkowy i odpowiadajcy m, w daym zadai, sta kocowy bd rówie azywae parami wejcie-wyjcie. Sta k> kadego -bitowego rejestr kwatowego moa wic zapisa za pomoc sperpozycji skadowych [, 4, 5]: k przy zachowaym wark ormalizacyjym: i (6). (7) i Sta rejestr kwatowego moe rówie by wyraoy jako kolmowy wektor K amplitd: K. (8) 6

4 Joaa Wiiewska, Kostrowaie macierzy itarych dla kwatowego algorytm decyzyjego Niech K reprezetje pocztkowy sta rejestr obliczeiowego k>, a K jego sta kocowy k >: K. (9) Macierz itara reprezetjca operator odpowiedzialy za przeksztaceie: ma posta poda w ().,,,,,, K K (),,, () Liczba elemetów, które aley wyzaczy, aby otrzyma macierz, wyosi wic dla -bitowego rejestr kwatowego, który bdzie przeksztacay przez. Z tego wyika, e aley oy i rozwiza kad rówa []. Operacja dziaaia operatora kwatowego a sta rejestr moe by przedstawioa jako zwyke moeie macierzy: reprezetjcej przeksztaceie przez macierz opisjc sta pocztkowy rejestr k>. zyskaie odpowiediej liczby rówa, do wyzaczeia postaci macierzy, jest moliwe tylko wtedy, gdy zapisae zosta w ich wszystkie kombiacje wartoci, które mog si pojawi a wejciach (wszystkie stay pocztkowe rejestr obliczeiowego z bazy stadardowej) oraz odpowiadajce im wartoci a wyjciach kad (stay kocowe). Jeeli ozacza macierz reprezetjc dziaaie kad kwatowego, a K i K kolmowe wektory reprezetjce odpowiedio sta pocztkowy k> i sta kocowy k > rejestr obliczeiowego, to operacj wykoywa przez kad obliczeiowy moa zapisa: K K () i rozwi, korzystajc z (8), (9) i ():,,,,,,,,, (3) Wektory K i K tworz w kadym zadai ie powtarzajce si pary wejcie-wyjcie poiewa kady sta pocztkowy rejestr posiada skoreloway z im sta kocowy (posta sta kocowego zaley od postaci przeksztaceia ). Dla -bitowego rejestr kwatowego takich par macierzy wejcie-wyjcie jest, co jest zwielokrotioe liczb rówa wyoszc, która powstaje przy kadym moei macierzy przez wektor K. kad rówa, który aley rozwiza, aby poza posta macierzy, zosta przedstawioy rówaiem (4), gdzie wartoci zapisae w awiasach przy amplitdach ozaczaj mery kolejych par macierzy K-K. 3. Metoda szybkiego wyzaczaia macierzy reprezetjcej operator itary kad rówa (4) moa rozwiza dowol metod. Jeeli jedak, tak jak w omawiaym przypadk, rejestr obliczeiowy moe pocztkowo by tylko w jedym ze staów bazowych (z bazy stadardowej), co powodje, i amplitda tylko jedej skadowej daego sta wyosi jede, a pozostae amplitdy maj warto zero, to moa zapropoowa metod szybkiego wyzaczaia operatora itarego, zgodie ze spostrzeeiem. Spostrzeeie Daa jest astpjca operacja: K = K, gdzie jest macierz itar o m wierszach i m kolmach, a K i K s wektorami kolmowymi posiadajcymi m wierszy. Postacie K i K s zae, atomiast posta jest iezaa. Wektor K reprezetje dowoly sta rejestr kwatowego pochodzcy z bazy stadardowej. Par K i K s dwa wektory kolmowe takie, e wyik moeia przez K daje macierz K. Przy powyszych zaoeiach posta macierzy jest taka, e jej kolmy s tworzoe z wartoci przyjmowaych przez wektor K. Kolejo mieszczaia kolm macierzy K w macierzy jest okreloa przez warto biar rejestr kwatowego, zapisaego za pomoc wektora K, który to wektor jest par aktalie wstawiaego wektora K. 6

5 BILETYN INSTYTT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) ()... ( ) ()... ( ) ( () () ( (... ( ) ( () ) ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) () () () () () () () ( ) ) ) ( ( ( ) () () () ( ( ) ( ( ) ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ) () () () () ( )( ) () () () () ( )( ) ( ) ( ) ) () () ( ( ) ) () () (4) Spostrzeeie moa zapisa za pomoc algorytm. Niech pary K-K bd zapisae w kolmach dwwymiarowej tablicy tab_k[m][m] w taki sposób, e K zajdj si w kolmach o ideksach parzystych (liczc od zera), a odpowiadajce im K w ssiedich kolmach o ideksach ieparzystych; fkcja dec przeksztaca liczby zapisae w postaci biarej, pobierae z kolm tablicy tab_k, do ich postaci dziesitej; wyliczaie elemetów i,j macierzy, które zosta zapisae w tablicy tab_[m][m] moa przedstawi za pomoc psedokod: for (k=; k<m-; k=k+) { j=dec(tab_k[..m-][k]); for (i=; i<m; i++) tab_[i][j]=tab_k[i][k+]; } Dowód Zgodie z zaoeiami, wektor K reprezetje jede ze staów kwatowych z bazy stadardowej, czyli ma posta macierzy jedokolmowej zawierajcej jed jedyk, a pozostae wartoci s zerami. To powodje, e w kadzie rówa (4) lewa stroa kadego rówaia redkje si do pojedyczego iloczy i,j r (s), gdzie i jest merem wiersza, a j merem kolmy wyzaczaej macierzy ; r to mer wiersza wektora K; s atomiast ozacza mer aalizowaej pary wektorów K-K. Iloczy i,j r (s), który si ie zredkje, korespodje z jedy iezerow amplitd r (s) z wektora K i jest rówy r (s) z wektora K. Przez to wektor K, powstay z iloczy przez K, jest rówy jedej z kolm macierzy. Nmer tej j kolmy jest rówy merowi wiersza r, w którym w wektorze K zajdje si warto jede. Przykad 4 Kotyjc zadaie z przykad 3 moa wyzaczy posta macierzow operatora kwatowego za pomoc metody opisaej spostrzeeiem dla par wejcie-wyjcie jtych w tabeli Tab.. Pary K-K dla tego zadaia zostay przedstawioe symboliczie w (5), a fiala posta macierzowa operatora, realizjcego przeksztaceie opisae w (), ma posta jak w (6). 63

6 Joaa Wiiewska, Kostrowaie macierzy itarych dla kwatowego algorytm decyzyjego 64 (5) (6)

7 BILETYN INSTYTT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (8) 4. Podsmowaie Zapropooway w drgim paragrafie pracy algorytm decyzyjy opiera si a koieczoci wyzaczeia operatora kwatowego, który rozwizje postawioe zadaie. Operator te ma posta macierzy itarej, a obliczeia odbywaj si w te sposób, i -bitowy rejestr kwatowy ( to liczba zmieych decyzyjych) jest poddaway przeksztacei przez wspomiay operator. Taka strategia daje szas a real implemetacj algorytm, gdy w ytk pojawi si komptery kwatowe, poiewa rejestr obliczeiowy jest w staie kwatowy zarówo w staie pocztkowym jak i kocowym zgodie z rówaiem (6) i warkiem opisaym rówaiem (7). Algorytm zosta zpeioy metod szybkiego wyzaczaia macierzy reprezetjcej operator itary [9]. Zaobserwowae waciwoci macierzy itarych powodj, e wyzaczeie postaci operatora kwatowego jest szybsze (praktyczie odbywa si bez adych oblicze matematyczych) i rozwizywaie kad rówa (4). Naley jedyie pamita, e zastosowaie tej metody jest moliwe tylko wtedy, gdy w rozwizywaym zadai dla -bitowego rejestr obliczeiowego zaych jest par wejciewyjcie, w przypadk których wszystkie stay pocztkowe rejestr kwatowego ale do bazy stadardowej. [8] S. Wgrzy, J. Klamka, S. Bgajski, M. Gibas, R. Wiiarczyk, L. Zamirowski, J. Miszczak, S. Nowak Nao i Kwatowe Systemy Iformatyki, Wydawictwo Politechiki lskiej, Gliwice, 4 [9] J. Wiiewska Metoda szybkiego wyzaczaia macierzy reprezetjcej operator itary, Wspóczese aspekty sieci kompterowych, Tom str. 3-, Wydawictwa Komikacji i czoci, Warszawa, 8 5. Bibliografia [] G. Birkhoff, S. Mac Lae Przegld algebry wspóczesej, Pastwowe Wydawictwo Nakowe, Warszawa, 96 [] M. Chdy Elemety teoretyczych podstaw iformatyki, Akademicka Oficya Wydawicza EXIT, Warszawa, 6 [3] D. DiVicezo, D. Loss Qatm iformatio is physical, arxiv: codmat/9759, 998 [4] K. Giaro, M. Kamiski Wprowadzeie do algorytmów kwatowych, Akademicka Oficya Wydawicza EXIT, Warszawa, 3 [5] M. Hirvesalo Algorytmy kwatowe, Wydawictwa Szkole i Pedagogicze, Warszawa, 4 [6] T. Kaczorek Wektory i macierze w atomatyce i elektroice, Wydawictwa Nakowo-Techicze, Warszawa, 998 [7] T. Masters Sieci eroowe w praktyce, Wydawictwa Nakowo-Techicze, Warszawa,