Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki. Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji

Transkrypt

1 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Metoda propagacji wiązki BPM Modelowanie propagacji

2 Równanie BPM Równanie Helmholtza: n k 0 =0 Rozwiązanie zapisujemy jako: r =A r exp i k z Fala nośna k =n k 0 Amplituda zespolona A ℂ / z k n k 0 i k / z ] A=0 [ Przybliżenie paraboliczne (wolnozmiennej obwiedni) A/ z k / z, k A Podstawowe równanie metody propagacji wiązki (BPM- beam propagation method): A 1 = k n k 0 ] A [ z i k

3 Modelowanie propagacji w jednym kierunku u we A A1 An A3 u wy Dyskretyzacja pola w kierunku propagacji (lub czasie) u N r u0 r un 1 r Szukamy równań o postaci: u z z/ u z z/ du =lim z 0 dz z un r du = L u x, y dz un 1 u n z L n 1/ un 1/ x, y

4 Klasyfikacja obszaru rozwiązań Obszar rozwiązań:

5 Dokładność aproksymacji pochodnej M. Sadiku, Numerical Techniques in Electrodynamics CRC Press LLC 001

6 Równania paraboliczne: metoda Eulera Metoda Eulera: k = t x Zapis równania w postaci różnicowej: i, j 1 i, j i 1, j i, j i 1, j k = t x Krok iteracyjny: i, j 1 =r [ i 1, j i 1, j ] 1 r i, j t r= k x

7 Równania paraboliczne: metoda Eulera Warunek stabilności (von Neumanna) n 1 n m, n 1 =r [ m 1, n m 1, n ] 1 r m, n m, n = A n e imk x An +1= An [1 r+r cos(kx )] k A n 1 An 1 0 r 0.5 r= t k x

8 Równania paraboliczne: metoda Cranka-Nicholsona k = t x k [ i, j 1 i, j 1 i 1, j i, j i 1, j i 1, j 1 i, j 1 i 1, j 1 = t x x ] Schemat uwikłany: r i 1, j 1 1 r i, j 1 r i 1, j 1 =r i 1, j 1 r i, j r i 1, j (3 niewiadome) Schemat Cranka-Nicholsona jest zawsze stabilny

9 Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k A i, j 1 A i, j z ] k n k 0 A = x y k 0 = / k =k 0 n A i, j 1 A i, j k 0 n i, j 1/ 1 A i 1, j A i, j A i 1, j A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x x Schemat Cranka-Nicholsona prowadzi do zależności typu (przyp. -wym): r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi

10 Metoda propagacji wiązki (beam propagation method -BPM) Równanie przyosiowe na zespoloną amplitudę pola A: A z = 1 [ i k t k =k 0 n k 0 = / ] k n k 0 A Równanie różnicowe (schemat Cranka-Nicholsona): A i, j 1 A i, j z = 1 i k [ = A i 1, j A i, j A i 1, j x A i 1, j 1 A i, j 1 A i 1, j 1 x k k 0 n i, j 1 / A i, j A i, j 1 ] Po uproszczeniu dostajemy układ równań: r A i 1, j 1 a i A i, j 1 r A i 1, j 1 =bi z r= i k x [ a i= r r x k k0 n i, j 1/ [ ] b i =r A i 1, j r A i 1, j A i, j r r x k k 0 n i, j 1/ Rozwiązanie powyższego trójdiagonalnego układu równań pozwala wyznaczyć pole w warstwie (j+1) na podstawie pola w warstwie (j) i warunków brzegowych. ]

11 Metoda Thomasa Rozwiązanie układu trójdiagonalnego można otrzymać przy koszcie liniowym N^1, a nie jak to jest ogólnie, N^3!

12 Metoda Thomasa

13 Przykłady Propagacja wiązek gaussowskich o różnych szerokościach

14 Przykłady Interferencja wiązek gaussowskich

15 Przykłady Interferencja wiązekpadających pod kątem

16 Przykłady Siatka dyfrakcyjna

17 Przykłady Efekt Talbota

18 Przykłady Falowód wielomodowy

19 Przykłady Falowód jednomodowy

20 Przykłady L/ Falowód dwurdzeniowy / = n n1

21 Bicie (dudnienia) pomiędzy modami L/ / = n n 1 Energia przelewa się pomiędzy rdzeniami (ale każdy z modów ma stałą amplitudę)

22 Bicie (dudnienia) pomiędzy modami r = e x, y e =e i k 0 nz i k 0 n e z i k 0 z Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to o x, y e e x, y e n = i k0 n o z i k 0 z o x, y e n e n 0 = = n e n 0 e x, y o x, y i k 0 nz = e x, y e cos z/ okres: = / e x, y o x, y Jeśli dla pewnego (x,y) zachodzi: to i k 0 n z =i e x, y e sin k 0 z okres: = /

23

24 Sprzęgacze i dzielniki światłowodowe

25 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m c m m x, y exp i m z mod stała propagacji m =k 0 n m

26 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Niezmienniczość translacyjna: x, y, z = x, y, z =0, k z 0 Tw. Blocha r = m cm m x, y exp i m z m =k 0 n m r = A r exp i k z k =n k 0 A r = m c m m x, y exp i n m n k0 z

27 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) z=i z ' R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000) A x, y, i z ' = m cm m x, y exp n m n k0 z ' 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku iz', zaczynając od rozkładu losowego. Amplituda modu podstawowego wzrasta wykładniczo najszybciej i w krótkim czasie pozostałe mody stają się zaniedbywalne z' A x, y, i z ' [c1 exp n1 n k 0 z ' ] 1 x, y [ n1 n ln c1 z ' A x, y, i z ' z ' A x, y, i z ' / k0 z ' Dokładność można podwyższyć przez kilkukrotnie powtarzanie procedury, za każdym razem przyjmując, że: n 1 n ]

28 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda imaginary distance (urojonej długości) Wyższe mody znajdujemy tak samo, zaczynając od rozkładu losowego, ale ortogonalnego do modów już znalezionych (ze względu na kumulację błędów w trakcie propagacji wskazane jest powtarzanie ortogonalizacji co jakiś czas) Ortogonalizacja (w pętli po wyznaczonych modach):

29 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

30 Znajdowanie modów światłowodów i falowodów metodami propagacyjnymi Metoda korelacyjna r = m c m m x, y exp i m z 1. Propagujemy pole wzdłuż kierunku z, zaczynając od rozkładu losowego. W trakcie propagacji obliczamy korelacje: P z = we x, y x, y, z dx dy FFT Piki korelacyjne wyznaczają wartości stałych propagacji 3. Odfiltrowujemy pola modów L m x, y = 0 x, y, z exp i m z dz R. Scarmozzino, A. Gopinath, R. Pregla Numerical Techniques for Modeling Guided-Wave Photonic Devices, IEEE JQE 60, 150 (000)

31 Mod podstawowy falowodu Rdzeń Płaszcz Natężenie A x Amplituda Mod podstawowy zawsze istnieje A x

32 Pierwszy mod wyższego rzędu Pierwszy mod nieparzysty Mody wyższego rzędu istnieją powyżej kolejnych częstości odcięcia

33 Pierwszy mod wyższego rzędu

34 Pierwszy mod wyższego rzędu

35 Mody płaszczowe

36 Metoda efektywnego współczynnika załamania Idea: fragment falowodu, w którym występuje mikrostruktura, zastępujemy w obliczeniach materiałem jednorodnym o pewnej efektywnej wartości współczynnika załamania, który trzeba najpierw wyznaczyć. W rezultacie dochodzimy do prostszego niż pierwotny problemu obliczeniowego, czasem o znanych rozwiązaniach, lub o niższej wymiarowości. Wynik jest jednak przybliżony. Przykłady: 1. Falowody planarne z wieloma cienkimi warstwami można zredukować liczbę warstw w obliczeniach i np. sprowadzić obliczenia do falowodu trójwarstwowego o znanym związku dyspersyjnym. Falowody paskowe (np. grzebieniowe) można sprowadzić do falowodu planarnego '. Układy planarne o naprawdę skończonej wysokości można analizować jako układy dwuwymiarowe 3. Światłowody fotoniczne (ale nie wykorzystujące przerwy wzbronionej do prowadzenia) można sprowadzić do światłowodu skokowego

37 Ćwiczenia Ćwiczenia 5: Metoda propagacji wiązki BPM (Beam propagation method) Zadanie 1. Napisać program realizujący metodę BPM w dwóch wymiarach (schemat Cranka-Nicholsona, warunki brzegowe Dirichleta). Zadanie. Wykonać wybrane spośród poniższych symulacje propagacji: - wiązki Gaussa o różnej szerokości w ośrodku jednorodnym - wiązki Gaussa przechodzacej przez soczewkę skupiającą Wiązki Gaussa o odpowiednio dobranej szerokości: - w falowodzie skokowym jednomodowym i wielomodowym. - w falowodzie dwurdzeniowym (dwa falowody jednomodowe) - w falowodzie gradientowym -pola o rozkładzie periodycznym w ośrodku jednorodnym (efekt Talbotta) - modu w dzielniku falowodowym