III. Opis falowy. /~bezet

Transkrypt

1 Światłowody III. Opis falowy BERNARD ZIĘTEK /~bezet

2 Równanie falowe w próżni Teoria falowa Równanie Helmholtza Równanie bezdyspersyjne fali płaskiej, rozchodzącej się w kierunku z Ogólnie Rozwiązanie dla fali w kierunku z Inaczej gdzie stała propagacji 2

3 Fala w dielektryku (ośrodek liniowy) Rozwiązanie Równanie Hemholtza gdzie - Laplasjan tangencjalny (poprzeczny) -stała propagacji 3

4 1. Światłowód planarny Niech symetryczny nieograniczony w kierunku y, tzn. Mody TE x z 4

5 Równania Hemholtza Czy oscylacje, czy zanik drgań zależy od znaku Chcemy, by: - w obszarze rdzenia oscylacje, -w obszarze płaszcza zanik fali. oscylacje zanik 5

6 Fala jest prowadzona, jeśli Równania falowe W rdzeniu gdzie W płaszczu Z praw ciągłości są ciągłe na powierzchni rozdziału płaszcz - rdzeń Ponieważ jest proporcjonalne do, to jest ciągłe na powierzchni 6

7 Rozwiązanie oscylujące w rdzeniu Rozwiązanie w obszarze płaszcza a) Dla modów symetrycznych Z warunków ciągłości na powierzchni rozdziału 7

8 Dzieląc przez siebie Ale to i gdzie 8

9 Czyli - dla modów symetrycznych b) Dla modów antysymetrycznych podobnie 9

10 lub gdzie Niech 1. Jeśli: jeden mod TE 2. jeden Te i jeden TM 3. (wielomodowy) 4. Dla modu podstawowego 5. Znormalizowana stała propagacji dla modów prowadzonych 10

11 Częstość odcięcia dla modów TE Dla wszystkich modów 11

12 Zależność V 0 od B Dla symetrycznych Dla antysymetrycznych 12

13 Mody TM 13

14 2. Światłowody paskowe 14

15 Metody obliczeń i trudności 1. Mody prawie TM i prawie TE 2. Metoda efektywnego współczynnika załamania 15

16 We współrzędnych cylindrycznych 3. Światłowód cylindryczny gdzie, Równanie Helmholtza a Wyrażenia w nawiasach są tożsamościowo równe zeru. Znajdziemy zatem E z, a resztę składowych z równań Maxwella 16

17 Niech, to Niech a rozwiązania szukamy w postaci Wtedy Obie strony muszą być tożsamościowo równe stałej, np.: p 2 17

18 To znaczy, że 1. Rozwiązanie Funkcja musi być symetryczna obrotowo czyli 1. Rozkład pola dla p > 0 i p < 0 jest taki sam. 2. Mogą występować dwie polaryzacje, dlatego dla p = 0 mody są zdegenerowane podwójnie. 3. Dla p 1 mody są zdegenerowanie czterokrotnie. 18

19 2. Rozwiązanie równania 2 2 gdzie - zmodyfikowane funkcje Bessela 19

20 Funkcje Bessela Niech Znormalizowane stałe propagacji Czyli Jako niefizyczne odrzucamy rozwiązania w postaci funkcji Y i I. 20

21 Znajdziemy też Z równań Maxwella można wyznaczyć pozostałe składowe pól. I tak: Równanie charakterystyczne 21

22 Znormalizowana stała propagacji Równanie charakterystyczne rozwiązuje się łącznie z relacją Jeśli to równania dla modów -TE -TM Ogólnie występują mody: TE, TM i hybrydowe HE i EH 22

23 Przybliżenie słabego prowadzenia Równanie charakterystyczne w tym przybliżeniu Jeśli: p = 0 - mody TE i TM p 1 - mody EH i HE 23

24 Wprowadźmy Równanie charakterystyczne w przybliżeniu słabego prowadzenia Mody można zebrać w grupy modów liniowo spolaryzowanych LP 24

25 Mody LP Trzy najniższe mody światłowodu cylindrycznego Światłowód jest jednomodowy, jeśli czyli przy promieniu 25

26 4. Światłowód gradientowy a) b) c) 26

27 Oznaczmy Dla małych wartości Δ Apertura numeryczna Zastosowania: - światłowody wielomodowe bez dyspersji międzymodowej, -soczewki światłowodowe GRIN, SELFOC, -układy dopasowujące aperturę. 27

28 Samoogniskowanie, optyczny efekt Kerra Równanie promienia w światłowodzie gradientowym Jeżeli to Promień oscyluje wokół osi z 28

29 Niech, gdzie Równanie Helmholtza Szukamy rozwiązania i gdzie, - funkcje Hermita Liczba modów: 29

30 -Dwójłomność wewnętrzna 5. Światłowody dwójłomne Dwójłomność modowa Długość zdudnień Droga, po przejściu której faza ortogonalnych modów różni się o π/2 30

31 -Dwójłomność indukowana Dwójłomność pętli włókna gdzie R wewnętrzny promień krzywizny, b zewnętrzny promień krzywizny z pokryciem, C stała dla SiO 2 : C = (dla λ = 638.2nm) Ćwierćfalówki i półfalówki światłowodowe Światłowody z dwójłomnością kołową Dwójłomność nieliniowa optyczny efekt Kerra 31

32 6. Światłowody na kryształach fotonicznych Periodyczność struktury w jednym w dwóch w trzech wymiarach PCF - jednowymiarowe (zwierciadła Bragga) -dwuwymiarowe -trójwymiarowe Kapilary a) b) Rdzeń c) 32

33 Właściwości PCF - wielokrotne przerwy fotoniczne, - zmienna dyspersja prędkości grupowej (n może wynosić nawet 100), -możliwość kontroli prędkości propagacji, -położenie dyspersji zerowej zależy od geometrii PCF, -duży przekrój modów, - tendencja do prowadzenia modów niższych rzędów, - niski próg efektów nieliniowych, - światłowody utrzymujące polaryzację - elementy optyczne: pryzmaty, polaryzatory, przełączniki itd. 33