MRS I MES W ANALIZIE BELEK O ZMIENNYM PRZEKROJU

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MRS I MES W ANALIZIE BELEK O ZMIENNYM PRZEKROJU"

Milena Barańska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zeszyty Naukoe WInf Vol 6, Nr, 007 Paulna Obara, Waldemar zanec Katedra Mecank Budol Poltecnka Śętokrzyska MR I ME W ANALIZIE BELEK O ZMIENNYM PRZEKROJU treszczene W pracy rozażanom został poddany pręt, o stałej szerokośc, ale lnoo zmennej ysokośc prostokątnego przekroju poprzecznego. Wyproadzona została ścsła macerz sztynośc lnoej oraz ektor sł yjścoyc pocodzącyc od obcążena rónomerne rozłożonego. Przeproadzona została róneż analza przyblżona przy zastosoanu metody różnc skończonyc (MR) metody elementó skończonyc (ME). Na baze tyc metod postały programy komputeroe umożlający oblczena zakrese statyk, dynamk statecznośc belek o doolnym proflu podłużnym. Wstęp Zagadnena analzy statycznej, statecznośc drgań armoncznyc płaskc zagnanyc ustrojó prętoyc należą do klasycznyc problemó mecank konstrukcj. Znane są macerze sztynośc lnoej prętó, sztynośc geometrycznej oraz konsekentne macerze mas, na baze któryc opracoane są programy metody elementó skończonyc (ME). Jednakże ymenone yżej macerze są yproadzane przy założenu stałyc przekrojó poprzecznyc obrębe elementu. Analza konstrukcj o zmennym proflu podłużnym jest oczyśce możla, ymaga to jednakże dokładnejszej dyskretyzacj konstrukcj, co ąże sę z reguły dodatkoym nakładem pracy. Należy pamętać róneż, że otrzymujemy jedyne rozązane przyblżone. W pracy pokazano, że prostym efektynym narzędzem do analzy konstrukcj o zmennym przekroju, jest metoda różnc skończonyc, na baze, której postał program komputeroy. W celu poterdzena popranośc modelu MR, która jest metodą przyblżoną, została yproadzona ścsła, ramac przyjętyc założeń, macerz sztynośc lnoej dla podstaoego elementu prętoego (pręt obustronne uterdzony) uzględnająca lnoą zmanę ysokośc przekroju prostokątnego. Wyproadzony został róneż ektor sł yjścoyc pocodzącyc od obcążena rónomerne rozłożonego dla tego pręta. Otrzymaną macerz sztynośc ektor rónoażnkó 8

2 P. Obara, W. zanec ykorzystano do napsana programu ykonującego oblczena statyczne belek o zmennej ysokośc elementó z zastosoanem ME. Przeproadzone zostały róneż analzy testoe zgnana belek poterdzające popraność napsanyc programó. Ops pręta Przedmotem rozażań są pręty, o stałej szerokośc b, ale lnoo zmennej ysokośc prostokątnego przekroju poprzecznego H() (rys. ): bh ( ) ( ) o J, H ( ) o () l Przyjęto następujące carakterystyk prętó: J() zmenny zdłuż os moment bezładnośc przekroju, μ() masa rónomerne rozłożona na długośc pręta, l długość pręta, E moduł Younga, sła ścskająca, ω częstość drgań. a) b) M p M j o H() l, ( ), μ T l T j Rys.. Pręt obustronne uterdzony o lnoo zmennej ysokośc przekroju poprzecznego Analza ścsła Układając arunk rónoag różnczkoego elementu os pręta (rys. a) oraz ykorzystując zązk fzyczne geometryczne, torzy sę rónana różnczkoe, które po uzupełnenu odpoednm arunkam brzegoym, przedstaają sformułoany ścśle, ramac przyjętyc założeń, problem brzegoy. Rozązane tego problemu proadz do uzyskana ścsłej macerzy sztynośc. 8

3 MR ME analze.... Drgana armonczne pręta z udzałem sł osoyc a) A p~ B d l, ( ), μ b) - - () M ~ T ~ d A p~ d B ~ μ d t ~ ~ T T d ~ d ~ ~ M M d o - - Rys.. a) Różnczkoy ycnek pręta ścskanego słą osoą konfguracj aktualnej b) Podzał pręta na skończone przyrosty (MR) W przypadku poprzecznyc drgań armoncznyc pręta o zmennym momence bezładnośc z udzałem dużyc sł osoyc, różnczkoe rónane ampltud ma postać: d d d d ( ) d ( ) ( ) d ( ) ω ( ) p( ) μ. () Ścsłe rozażana tym przypadku są praktyczne nemożle, gdyż ξ : dostajemy różnczkoe rónane o zmennyc spółczynnkac ( ) II II [ ] ( ξ ) λ ( ) IV I III pl ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ξ () gdze: l μ, ( ) ω l J λ, ( ) ( ξ ) ξ. () J J porónaczy moment bezładnośc przekroju, ξ zmenna bezymaroa. 8

4 P. Obara, W. zanec. Zgnane pręta Rozpatrując przypadek zgnana statycznego (rys. b) różnczkoe rónane os odkształconej pręta ma postać: d d d ( ) d ( ) p( ). (5) Całką ogólną rónana (5) jest funkcja ( ) o ( ) s ( ), (6) gdze o ( ) 6l l o C C C C ln[ H ( ) l] Eb( ) H ( ) Eb( ) H ( ) o o (7) jest całką ogólną rónana jednorodnego, natomast s ( ) 6 p Eb H ( ) dd (8) jest całką szczególną rónana (5). Rozązując problem brzegoy yproadzona została ścsła, ramac przyjętyc założeń, macerz sztynośc lnoej dla podstaoego elementu prętoego (pręt obustronne uterdzony) uzględnająca lnoą zmanę ysokośc () przekroju prostokątnego: gdze: K ( J ( ) ) Eb l F l F F l F F F l F F l 5 F l F F l F ( o) ( o) ln o, F F 5l F F l 6, (9) ( o) ( ), F o 85

5 F F ( o), F ( o), F o o ( o)( o) ln, MR ME analze... o F5 o o oln, o 6 ( o)( o) o ln. o Wyproadzony został róneż ektor sł yjścoyc pocodzącyc od obcążena rónomerne rozłożonego dla tego pręta (rys. b): gdze M o T 0 R { T M T M } ( o)( 5o) o( o) ( o) j j ln o pl, ( o) ( o) oln o( o o ) o ( o) ln o (0) pl, T j ( o)( 5 o) ( o) ( o) ln o pl, M j ( o) ( o) o ln ( o o ) o ( o) ln o pl. 86

6 P. Obara, W. zanec 87 Metoda różnc skończonyc Koncepcja MR polega na zastąpenu pocodnyc ystępującyc rónanu różnczkoym odpoednm lorazam różncoym, tak ęc rónane () będze zastąpone rónanem różncoym ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p ω μ () zbudoanym tym ęźle pręta (rys. b). Ilorazy różncoe postają na podstae znajomośc różnc skończonyc. Przyblżene jest tym lepsze, m mnejsze przyjmemy skończone przyrosty. Określając różnce centralne funkcj ugęca () (czyl przyblżone lorazy różncoe tej funkcj otoczenu punktu należącego do jego obszaru określonośc) rónane () przyjme postać: ( ) ( ) ( ) p λ () gdze,, ;,, k J J k k μ ω λ () Z przypadku ogólnego, który opsuje rónane (), uzględnającego drgana armonczne pręta zgnanego ścskanego słą osoą, możemy przejść do przypadkó szczególnyc przyjmując odpoedno 0 przypadek drgań łasnyc ( ) ( ) ( ) 0 () 0 λ bfurkacja stanu rónoag ( ) ( ) ( ) 0 λ (5) 0 λ zgnane statyczne ( ) ( ) ( ) p (6)

7 MR ME analze... Na baze MR postał program komputeroy, umożlający oblczena zakrese statyk, dynamk statecznośc belek o doolnym proflu podłużnym. Mamy nm możlość doolnego defnoana arunkó brzegoyc (podpory stałe, podatne) oraz kształtoana prostokątnego przekroju poprzecznego. W cl obecnej umożla oblczena konstrukcj pod płyem obcążena rozłożonego, metoda umożla uzględnene nnyc rodzajó obcążena. Jest prosty obsłudze, może być ykorzystyany dydaktyce badanac naukoyc. Programy tego typu można ykorzystyać zagadnenac nżynerskc przy projektoanu belek o zmennej ysokośc (np. mostoncte). Rys.. Plansze z programu MR 88

ykonującego oblczena statyczne belek o zmennej ysokośc z zastosoanem metody elementó skończonyc, przy doolnyc arunkac

8 P. Obara, W. zanec 5 Metoda elementó skończonyc Otrzymaną macerz sztynośc (9) ektor rónoażnkó (0) ykorzystano do napsana programu ykonującego oblczena statyczne belek o zmennej ysokośc z zastosoanem metody elementó skończonyc, przy doolnyc arunkac brzegoyc obcążenu statycznym. Rys.. Plansze z programu ME 6 Wnosk Ścsłe rozażana przypadku statecznośc czy dynamk są praktyczne nemożle, gdyż obu przypadkac, odpoedno, rónane rónoag pręta ścskanego słą osoą, czy rónane 89

9 MR ME analze... ampltud rucu armoncznego są różnczkoym rónanam o zmennyc spółczynnkac. Analza tyc zagadneń jest natomast prosta przy ykorzystanu MR. Zaproadzone testy poterdzły popraność kodu numerycznego zbeżność rozązań obydu metod. Lteratura [] Rakosk G.: prężystość problemy rozązana, metody analtyczne numeryczne. Wyd. PŚk, Kelce 00. [] Krynck E., Mazurkecz Z.: Ramy z prętó o zmennyc sztynoścac. PWN, Warszaa 966. [] Zenkcz O.C.: Metoda elementó skończonyc. Arkady, Warszaa 97. [] Rakosk G. I nn: Mecanka budol z elementam ujęca komputeroego. Arkady, Warszaa 98. FDM AND FEM IN VARIABLE ECTION BEAM ANALYI ummary Te paper sos tat te fnte dfferences metod provdes a smple and effectve tool to analyse constructons t varable sectons. A computer program as rtten on te bass of ts metod. Wt ts program t possble to make calculatons of te statcs, dynamcs and stablty of beams t an arbtrary longtudnal profle. Moreover, boundary condtons (fed and fleble supports) can be defned and te rectangular cross sectons can be saped n an arbtrary. Presently, te program s used to make analyss of a constructon under dstrbuted load, but t ll also be able to account for oter load type. Programs of ts type can be used n engneerng problems le desgnng beams t varable egt. 90

Podobne dokumenty

Metoda Różnic Skończonych

Metoda Różnic Skończonych Metody Oblczenoe, P.E.Srokosz Metoda Różnc Skończonych Część Belka na srężystym odłożu x L K SIŁY NĄCE Kontynuacja Zadana Wyznaczyć sły tnące belce na srężystym odłożu arunkach odarca jak na rysunku oyżej.