Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich. Spostrzeżenia jednakowo dokładne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich. Spostrzeżenia jednakowo dokładne"

Konrad Janicki
7 lat temu
Przeglądów:

1 Wyrónane spostrzeżeń pośrednch Szukay : X, Y, Z, T (elkośc pradze) Merzyy L, L, L,L n (spostrzeżena erzone bezpośredno pośrednczą yznaczenu x, y, z, t ) Spostrzeżena jednakoo dokładne Wyrónane polega na: znalezenu takch x, y, z, t aby sua [] była najnejsza (MNK) Rozpatrujey teoretyczne zązk poędzy artośca pradzy spostrzeżeń ( ) neadoy (X, Y ): F ( X, Y, Z... ) = F ( X, Y, Z... ) = F ( X, Y, Z... ) =. F n ( X, Y, Z... ) = n Zastępujey je artośca najbardzej pradopodobny f ( x, y, z... ) = L + f ( x, y, z... ) = L + f ( x, y, z... ) = L +. f n ( x, y, z... ) = L n + n neadoe x, y, z zastępujey x = x + d x y = y + d y z=z + d z RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

2 x, y, z ylczay (najprostszy sposobe) jako artośc przyblżone: f ( x + d x, y + d y, z + d z... ) = L + f ( x + d x, y + d y, z + d z... ) = L + f ( x + d x, y + d y, z + d z... ) = L + f n (x + d x, y + d y, z + d z... ) = L n + n P r z e k s z t a ł c a y r ó n a n a d o p o s t a c : f (x + d x, y + d y, z + d z... ) - L = W r a z e p o t r z e b y d o k o n u j e y l n e a r y z a c j f u n k c j F ( p o p r z e z r o z n ę c e s z e r e g T a y l o r a ) F x dx F y dy F z przyjujey oznaczena F x a F y b dz F(x,y,z ) L F z c oraz (jako yraz olny) F ( x, y, z ) L to otrzyay rónane następującej postac: = a d x + b d y + c d z RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

3 Zestaene całośc daje na układ rónań popraek (URP) dla u neadoych n spostrzeżeń =a d x + b d y + c d z =a d x + b d y + c d z =a d x + b d y + c d z n =a n d x + b n d y + c n d z n sue n neznanych artośc popraek u neadoych połączonych n rónanach Uzględnay (MNK): [ ] => n u f u n k c j [ ] = * + * + * n * n Po podstaenu [] = (a dx + b dy +c dz +. + )*( a dx + b dy +c dz ) + (a dx + b dy +c dz )*( a dx + b dy +c dz ) ( a n dx + b n dy +c n dz n )*( a n dx + b n dy +c n dz n ) ynożenu uporządkoanu RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

4 [ ] =( a + a + a... + a n ) * d x + ( b + b + b... + b n ) * d y + ( c + c + c + c n ) * d z ( n ) + ( a b +a b + + a n b n ) * d x * d y + ( a c +a c + + a n c n ) * d x * d z ( a +a + + a n n ) * d x + ( b c +b c + + b n c n ) * d y * d z + + (b +b + + b n n ) * d y t d. [ ] ( p o n n a b y ć = ) [ ] ( p o n n a b y ć > ) [ ] x [ ] y = = [ ] z = t d. [ ] = = > z a s z e > RW. dr nż. Jan Ruchel 4/ Metoda pośredncząca 4

5 czyl x = * ( a + a a n ) * d x + * ( a b + a b + + a n b n ) * d y + * ( a c +a c + + a n c n ) * d z * ( a +a + + a n n ) = y z = * ( a b + a b + + a n b n ) * d x + * ( b + b b n ) * d y + * ( b c +b c + + b n c n ) * d z * ( b +b + + b n n ) = = * ( a c + a c + + a n c n ) * d x + * ( b c + b c + + b n c n ) * d y + * ( c + c + c + c n ) * d z * ( c + c + + c n n ) = t d. RW. dr nż. Jan Ruchel 5/ Metoda pośredncząca 5

6 Po proadzenu sybol su [] [aa] oznacza = a *a + a *a + a *a + a 4 *a 4 +. a n *a n [ab] = [ba] oznacza = a *b + a *b + a *b + a 4 *b 4 +. a n *b n td. o t r z y u j e y U k ł a d R ó n a ń N o r a l n y c h ( U R N ) Układ ten jest zasze układe z syetryczny rozkłade artośc spółczynnkó [ a a ] * d x + [ a b ] * d y + [ a c ] * d z [ a ]= [ a b ] * d x + [ b b ] * d y + [ b c ] * d z [ b ]= [ a c ] * d x + [ b c ] * d y + [ c c ] * d z [ c ]= [ a n ] * d x + [ b n ] * d y + [ c n ] * d z [ n ]= RW. dr nż. Jan Ruchel 6/ Metoda pośredncząca 6

7 Spostrzeżena nejednakoo dokładne Merzyy L, L, L,L n z aga p, p, p. nalzujey funkcję { MNK } [p] = nu Po podstaenu rónań popraek przekształcenu, otrzyujey układ rónań noralnych zrónoażonych ( URN ) { gdze [paa] oznacza = p *a *a + p *a *a + p *a *a + p 4 *a 4 *a p n *a n *a n td. } [ p a a ] * d x + [ p a b ] * d y + [ p a c ] * d z [ p a ]= [ p a b ] * d x + [ p b b ] * d y + [ p b c ] * d z [ p b ]= [ p a c ] * d x + [ p b c ] * d y + [ p c c ] * d z [ p c ]=. [ p a n ] * d x + [ p b n ] * d y + [ p c n ] * d z [ p n ]= RW. dr nż. Jan Ruchel 7/ Metoda pośredncząca 7

8 Rozązane układu rónań noralnych przeproadzay doolny sposób, np. etodą acerzoą. Rozązane układu daje na neadoe (przyrosty do neadoych) a z rónań dx, dy, dz x = x + d x y = y + d y z=z + d z t d. ylczay łaśce neadoe, co było naszy cele. L L cześnej yznaczając z układu rónań popraek artośc Następny etape yrónana jest analza dokładnośc. RW. dr nż. Jan Ruchel 8/ Metoda pośredncząca 8

9 Analza dokładnośc Spostrzeżena jednakoo dokładne n u błąd średn jednostkoy (estyator arancj resztoej) naczej błąd średn typoego spostrzeżena ( p=) x * B błędy średne neadoych f * B f błędy średne funkcj neadoych Spostrzeżena nejednakoo dokładne p n u błąd średn jednostkoy (estyator arancj resztoej) x * B błędy średne neadoych * f B f błędy średne funkcj neadoych RW. dr nż. Jan Ruchel 9/ Metoda pośredncząca 9

10 RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca Zaps acerzoy (etody pośrednczącej) Układ rónań popraek (URP) W zapse algebraczny (dla u neadoych n spostrzeżeń) =a d x + b d y + c d z =a d x + b d y + c d z =a d x + b d y + c d z n =a n d x + b n d y + c n d z n Defnujey sobe następujące acerze c b a c b a c b a c b a c b a c b a A W dz dy dx x Spostrzeżena jednakoo dokładne

11 V = A * x + W {URP} ( A T * A ) * x + A T * W = {URN} - x = ( A T * A ) - * A T * W rozązane Spostrzeżena nejednakoo dokładne p p p p p n acerz ag V = A * x + W {URP} ( A T * p * A ) * x + ( A T * p* W ) = {URN} - x = ( A T * p *A ) - * ( A T * p * W ) rozązane RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

12 Spostrzeżena jednakoo dokładne Analza dokładnośc n u błąd średn jednostkoy (estyator arancj resztoej) naczej błąd średn typoego spostrzeżena ( p=) Spostrzeżena nejednakoo dokładne p n u błąd średn jednostkoy (estyator arancj resztoej) Dalsze oblczena są jednakoe dla jednakoo nejednakoo dokładnych spostrzeżeń Macerz koarancj neadoych CoV (x) = *( A T * A ) - dla spostrzeżeń jednakoo dokładnych lub CoV (x) = *( A T * P * A ) - dla spostrzeżeń nejednakoo dokładnych na przekątnej zaera odpoedno x x Co(x) x x x u RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

13 Natoast acerz koarancj funkcj neadoych (spostrzeżeń yrónanych) CoV (L) = A * Co (x) * A T na przekątnej zaera odpoedno f f Co( L) f f f n RW. dr nż. Jan Ruchel / Metoda pośredncząca

Podobne dokumenty

Sieć kątowa metoda spostrzeżeń pośredniczących. Układ równań obserwacyjnych

Sieć kątowa metoda spostrzeżeń pośredniczących. Układ równań obserwacyjnych Seć kątowa etoda spostrzeżeń pośrednząyh Układ równań obserwayjnyh rzyrosty współrzędnyh X = X X X X = X X Y = Y Y X Y = Y Y Długość odnka X ' ' ' ' x y Współzynnk kerunkowe x y * B * x y x y gdze - odpowedn