Praca podkładu kolejowego jako konstrukcji o zmiennym przekroju poprzecznym zagadnienie ekwiwalentnego przekroju

Transkrypt

1 Praca podkładu kolejowego jako konstrukcj o zmennym przekroju poprzecznym zagadnene ekwwalentnego przekroju Work of a ralway sleeper as a structure wth varable cross-secton - the ssue of an equvalent cross-secton Włodzmerz Czyczuła Prof. dr hab. nż. czyczula@pk.edu.pl Dorota Błaszkewcz Mgr nż. dorotablaszkewcz@gmal.com Małgorzata Urbanek Mgr nż. malgorzataurbanek@gmal.com Streszczene: W pracy przedstawono analzę pracy podkładu jako konstrukcj o zmennym przekroju oraz sposobu wyznaczena ekwwalentnego przekroju, stałego na długośc, którego zastosowane, dawałby zblżone kształt ln ugęca naprężeń zgnających w odnesenu do rzeczywstego, zmennego przekroju poprzecznego. Przy wykorzystanu modelu analtycznego oraz numerycznego określono przemeszczena ponowe oraz naprężena dla dwóch typów podkładu PS-94 PS-08. Porównane metod pozwala na wyznaczene ekwwalentnego momentu bezwładnośc do oblczeń analtycznych, zwłaszcza dynamcznych. Słowa kluczowe: Nawerzchna kolejowa; Moment bezwładnośc podkładu; Model analtyczny; Model numeryczny Abstract: The artcle presents an analyss of the work of a sleeper as a constructon wth varable secton, and of the method of determnng an equvalent secton, constant throughout the length, the utlsaton of whch would have smlar shapes of deflecton and bendng stress lnes n relaton to the real, varable cross secton. Usng an analytcal and a numercal model, vertcal dsplacements and stresses for two types of sleepers PS-94 and PS-08 were determned. The comparson of the methods allows for calculatng an equvalent moment of nerta for analytcal calculatons, specfcally the dynamc ones. Keywords: Ralway surface; Moment of nerta of sleeper; Analytcal model; Numercal model W analze model dynamcznych nawerzchn kolejowej zazwyczaj podkłady traktowane są jako bryły sztywne (por. [5]). Prace [2,4] stanową nelczne przykłady analzy zmennego przekroju podkładu, ogranczając sę do analzy statycznej. W pracy [1] zaproponowano, by w przypadku belek o dwóch wyraźne rozróżnających sę przekrojach poprzecznych zastosować średną harmonczną. W analtycznych modelach dynamcznych zastosowane zmennego przekroju poprzecznego podkładu znaczne utrudna analzę. Dlatego w nnejszej pracy podjęto próbę wyznaczena przekroju ekwwalentnego, tzn. takego przekroju o stałej wartośc momentu bezwładnośc, którego zastosowane dałoby zblżone wartośc odpowedz statycznej podkładu (zwłaszcza przemeszczeń) w odnesenu do rzeczywstego, zmennego przekroju poprzecznego. Analzę ogranczono do dwóch typów podkładów: jednego z najbardzej popularnych na polskej sec kolejowej podkładu PS-94 oraz cężkego podkładu PS-08, równeż eksploatowanego na sec PKP-PLK S.A. Ops model Narzędze określana zastępczego momentu bezwładnośc podkładu kolejowego 1. Model przekroju poprzecznego wykorzystywany do wyznaczena zastępczych momentów bezwładnośc dla podkładu strunobetonowego. Źródło własne. Opracowane modelu fzycznego podkładu kolejowego jest zadanem bardzo złożonym. Wynka to z faktu, ż układ jak tworzą poszczególne elementy podłoża rusztu torowego, tzn. podsypk warstwy gruntu jest nelnowy nejednorodny. W pracy przyjęto stałą podatność podłożą podkładów, opsaną jednym parametrem sprężystym. Rzeczywsty przekrój poprzeczny podkładu zastąpono dwoma elementam trapezowym. Do oblczena zastępczych momentów bezwładnośc dla różnych przekrojów podkładu strunobetonowego stworzono schemat, przedstawony na rysunku 1. Zastępczy moment bezwładnośc wylczano korzystając z twerdzena Stenera, dzeląc przekrój poprzeczny na dwa trapezy. Przy wykorzystanu tak stworzonego algorytmu wyzna- 2

2 2. Wykres zastępczych momentów bezwładnośc podkładu PS Wykres zastępczych momentów bezwładnośc podkładu PS Model 3D podkładu PS-94 w Autodesk Smulaton Multphyscs 5. Model 3D podkładu PS-94 z przeskalowanym obrazem ugęca czone kolejne wartośc zastępczych momentów bezwładnośc. Analze poddane zostały dwa podkłady tj. PS- 94 oraz PS-08. Wynkem oblczeń są otrzymane ponższe wykresy zastępczych momentów bezwładnośc. Poszczególne wartośc momentów bezwładnośc dla podkładu PS-94 przedstawone na rysunku 2. Analzując powyższy wykres, można zaobserwować duże zróżncowane wartośc momentu bezwładnośc na całej długośc podkładu. Wartość maksymalna wynos cm 4, a mnmalna 8884 cm4. Wartość maksymalna ne jest usytuowana w mejscu przyłożena obcążającej sły (pomędzy kotwam podkładu). Wartość mnmalna jest natomast w mejscu najbardzej podatnym na pęknęca, czyl w os podkładu. Na rysunku 3 przedstawono wynk oblczeń zastępczych momentów bezwładnośc dla podkładu PS-08. Podkład PS-08 charakteryzuje sę newelkm zmanam momentu bezwładnośc na długośc, wartość maksymalna wynos cm 4, a mnmalna cm 4. Model analtyczny Do opsu modelu analtycznego przyjęto jednowarstwowy model nawerzchn w postac belk Bernoullego-Eulera. Oblczena dla tego modelu wykonywano przy użycu programu Mathcad: model oblczenowy został opracowany w Katedrze Infrastruktury Transportu Szynowego Lotnczego Poltechnk Krakowskej. W modelu ugęca podkładu opsano poprzez równane różnczkowe: (1) w którym, parametry E, S, I p oraz U są stałe na długośc podkładu oznaczają: E moduł Younga materału podkładu [N/m 2 ] I p moment bezwładnośc podkładu [m 4 ] S sła sprężająca w podkładze (- oznacza słę rozcągającą) [N] U współczynnk sztywnośc podparca podkładu [N/m 2 ] y przemeszczene ponowe podkładu [m] q(x) jednostkowe obcążene ponowe podkładu [N] Podkład został obcążony układem sł rozłożonych na długośc podkładek podszynowych w postac rozkładu prostokątnego. Do wyznaczena stałych, występujących w rozwązanu równana jednorodnego, przyjęto zerowane sę drugej trzecej pochodnej na końcach podkładu, czyl zerowana momentu zgnającego M sły poprzecznej Q na końcach podkładu. Rozwązane równana nejednorodnego przyjęto stosując metodologę, opsaną w pracach [3,5], tzn. rozwjając lnę ugęca obcążene w szereg Fourera w przedzale [0,λ], gdze λ oznacza długość podkładu: a q x + 0 ( ) ( a cos x + b sn x); 2 1 (2) 2π x [0, λ]; λ y y x + 0 ( ) ( A cos x + B sn x); 2 1 (3) 2π x [0, λ]; λ Stałe a o, a oraz b wyznaczono na podstawe rozwnęć znanego obcążena w szereg Fourera na podstawe wzorów analtycznych, natomast stałe y o, A oraz B wyznaczono, po zróznczkowanu wyrażeń (3) podstawenu do równana (1) wyrażeń (2) (3). 6 / 2018 p r z e g l ą d k o m u n k a c y j n y 3

3 6. Lna ugęca podkładu PS-94 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 75 MN/m Lna ugęca podkładu PS-94 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 115MN/m 3 8. Lna ugęca podkładu PS-94 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 155MN/m 3 Model numeryczny W celu wykonana modelu numerycznego opartego na Metodze Elementów Skończonych służącego do analzy stanu naprężeń przemeszczeń stworzono trójwymarowe bryły podkładów. Posłużył do tego program Autodesk Inventor, gdze stworzono modele podkładów PS-94 oraz PS-08. Następne w programe Autodesk Smulaton Multphyscs, przeprowadzono analzę statyczną model. Opracowanej wcześnej bryle nadano właścwośc materałowe odpowadające elementom występującym w torze. Podsypkę podtorze zastąpono elementam typu strng o stosownej sztywnośc. Obcążene od sł przenoszonych przez szyny zostały rozłożone na powerzchn odpowadającej polu podkładk podszynowej. Analza statyczna modelu została przeprowadzona dla trzech różnych wartośc wskaźnków podłoża podkładu. Analza parametryczna Przeprowadzono analzę parametryczną dla dwóch podkładów strunobetonowych PS-94 oraz PS-08. Z wykorzystanem modelu analtycznego a także numerycznego, porównano wartośc ugęca dla trzech wskaźnków podłoża podkładu : 75 MN/ m 3, 115 MN/m 3 oraz 155 MN/m 3. W 9. Porównane ln ugęca podkładu PS-94 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m 3 modelu analtycznym wykorzystano do oblczeń trzy różne wartośc momentu bezwładnośc podkładu (max, mn średną). Na rysunkach 6, 7 8 przedstawono lnę ugęca podkładu PS-94 dla Tab. 1. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-94 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 75MN/m 3 Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-94 [Wskaźnk podłoża podkładu 75MN/m3] różnca [%] cm 4 różnca [%] Analtyczna cm 4 różnca [%] mn 0,9208 7,05% 0,9907 5,30% 0,9738 1,85% 0,9378 max 1,0746 2,71% 1,0463 1,86% 1,0560 0,28% 1,0776 Tab. 2. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-94 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m 3 Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-94 [Wskaźnk podłoża podkładu 115MN/m 3 ] różnca [%] Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-94 [Wskaźnk podłoża podkładu 155MN/m 3 ] różnca [%] cm 4 różnca [%] cm 4 różnca [%] Analtyczna Tab. 3. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-94 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 155MN/m 3 Analtyczna cm 4 różnca [%] cm 4 różnca [%] mn 0,5774 5,85% 0,6359 4,36% 0,6210 1,28% 0,5902 max 0,7117 2,35% 0,6882 1,47% 0,6970 0,52% 0,7170 mn 0,4332 3,17% 0,4649 1,82% 0,4515 0,91% 0,4241 max 0,5258 1,11% 0,5146 0,29% 0,5229 1,61% 0,5419 4

4 10. Porównane wartośc naprężeń w podkładze PS-94 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc Ip8884 cm4. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m Lna ugęca podkładu PS-08 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 75 MN/m Lna ugęca podkładu PS-08 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 115 MN/m 3 maksymalnej, średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc przy wykorzystanu modelu analtycznego oraz różnych wartośc wskaźnka podłoża podkładu. W wynku przeprowadzonej analzy porównawczej zauważano, że na lnę ugęca podkładu strunobetonowego typu PS-94 duży wpływ ma przyjęty moment bezwładnośc. Porównując wynk otrzymane w analze analtycznej z tym otrzymanym z analzy numerycznej okazuję sę, że uzyskane wynk z obu metod mają najbardzej zblżone wartośc w przypadku przyjęca mnmalnego momentu bezwładnośc podkładu w analze analtycznej. Na rysunku 9 przedstawono porównane ln ugęca podkładu PS-94 uzyskaną w metodze numerycznej z wynkam analzy analtycznej dla najmnejszego momentu bezwładnośc I p 8884 cm 4. Przedstawono wynk dla jednej wartośc współczynnka podłoża podkładu 115MN/m 3, pozostałe wynk kształtują sę analogczne. W tabelach (Tab. 1, 2 3) zestawono wartośc mnmalne maksymalne przemeszczeń podkładu dla wszystkch współczynnków podłoża. Dla współczynnka 115MN/m 3 można zauważyć, że różnca wartośc przemeszczeń oblczonych w obu 13. Lna ugęca podkładu PS-08 dla maksymalnej średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc wskaźnka podłoża podkładu 155 MN/m 3 metodach, zwększa sę wraz ze wzrostem wartośc momentu bezwładnośc. Dla mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc porównano równeż wartośc naprężeń uzyskanych z metody numerycznej oraz metody analtycznej. Na rysunku 10 przedstawono wynk tej analzy. Analogczne oblczene przeprowadzono równeż dla podkładu strunobetonowego typu PS-08. Na rysunkach 11, przedstawono lnę ugęca podkładu PS-08 dla maksymalnej, średnej mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc oraz różnych wartośc wskaźnka podłoża podkładu. 14. Porównane ln ugęca podkładu PS-08 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p cm 4. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m Porównane wartośc naprężeń w podkładze PS-08 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p cm 4. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m 3 6 / 2018 p r z e g l ą d k o m u n k a c y j n y 5

5 Po analze uzyskanych wynków stwerdzono, że przyjęty moment bezwładnośc ma dużo mnejszy wpływ na lnę ugęca podkładu strunobetonowego typu PS-08 nż mało to mejsce w przypadku podkładu PS-94. Zależność ta wynka z faktu ż, przekrój podkładu PS-08 jest znaczne mnej zróżncowany a poszczególne momenty bezwładnośc (mnmalny, średn maksymalny) różną sę względem sebe w newelkm stopnu. Na rysunku 14 przedstawono porównane ln ugęca podkładu PS-80 uzyskaną w metodze numerycznej z wynkam analzy analtycznej dla najmnejszego momentu bezwładnośc I p. Przedstawono wynk dla jednej wartośc współczynnka podłoża podkładu 115MN/m 3, pozostałe wynk kształtują sę analogczne. Zestawene wartośc mnmalnych maksymalnych przemeszczeń podkładu PS-08 dla wszystkch współczynnków podłoża zawarto w tabelach (Tab. 4. do Tab. 6) Powyższe zastawene wskazuje na bardzo dobrą zgodność uzyskanych wynków ( różnce na maksymalnym pozome 1,20 %. Dla współczynnka 115MN/m 3 można zauważyć, że wartośc przemeszczeń oblczonych w obu metodach, różną sę neznaczne dla najmnejszej wartośc momentu bezwładnośc średno o 0,49%. Dla mnmalnej wartośc momentu bezwładnośc porównano równeż wartośc naprężeń uzyskanych z metody numerycznej oraz metody analtycznej. Na rysunku 15 przedstawono wynk tej analzy. Wnosk Przyjęty, mnmalny moment bezwładnośc ma dużo mnejszy wpływ na lnę ugęca podkładu strunobetonowego typu PS-08 nż ma to mejsce w przypadku podkładu PS-94. Zależność ta wynka z faktu ż, przekrój podkładu PS-08 jest znaczne mnej zróżncowany na całej długośc jest zblżony do prostokątnego. Tym nemnej różnce uzyskane w przypadku podkładu PS-94 ne są znaczące przy Tab. 4. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-08 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 75MN/m 3 Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-08 [Wskaźnk podłoża podkładu 75MN/m 3 ] różnca [%] cm 4 różnca [%] średnej wartośc wskaźnka podłoża podkładów 115 MN/m 3 wynos około 3%. Porównując wynk otrzymane w analze analtycznej z tym otrzymanym z analzy numerycznej okazuję sę, że uzyskane wynk ugęć z obu metod mają najbardzej zblżone wartośc w przypadku przyjęca mnmalnego momentu bezwładnośc podkładu w analze analtycznej. W przypadku naprężeń występują wększe różnce zgodne z pokazaną metodą można tak dobrać wartość mementu bezwładnośc aby zmnmalzować różnce zarówno w sense naprężeń, jak przemeszczeń. Należy zatem zauważyć, że przyjęta metodologa pozwala na wyznaczene ekwwaletnego, stałego na długośc podkładu momentu bezwładnośc, co może meć zastosowane do analz modelowych nawerzchn kolejowej, zwłaszcza model dynamcznych. Analtyczna cm 4 różnca [%] Materały źródłowe mn 0,9910 0,46% 0,9956 0,29% 0,9939 0,17% 0,9927 max 1,0539 1,00% 1,0435 0,94% 1,0445 0,83% 1,0452 Tab. 5. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-08 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 115MN/m 3 Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-08 [Wskaźnk podłoża podkładu 115MN/m 3 ] różnca [%] cm 4 różnca [%] Analtyczna cm 4 różnca [%] mn 0,6457 0,54% 0,6404 0,70% 0,6388 0,81% 0,6377 max 0,6889 0,32% 0,6857 0,23% 0,6866 0,17% 0,6872 Tab. 6. Porównane wartośc przemeszczeń podkładu PS-08 dla metody numerycznej analtycznej z uwzględnenem momentu bezwładnośc I p. Wartość współczynnka podłoża 155MN/m 3 Wartośc przemeszczeń dla podkładu PS-08 [Wskaźnk podłoża podkładu 155MN/m 3 ] różnca [%] cm 4 różnca [%] Analtyczna cm 4 różnca [%] mn 0,4631 0,60% 0,4690 0,45% 0,4676 0,35% 0,4666 max 0,5242 1,20% 0,5122 1,12% 0,5131 1,06% 0,5137 [1] Buczkowsk W.: Rozwązywane belek o zmennej sztywnośc metodą różnc skończonych. Archtektura, 8 (3-4), 2009, s [2] Bednarek W.: Wpływ ponowych odkształceń nawerzchn podtorza na pracę toru bezstykowego. Rozprawy Poltechnk Poznańskej, nr 506, Wydawnctwo Poltechnk Poznańskej, Poznań 2013 [3] Czyczuła W., Kozoł P., Błaszkewcz D. - On the Equvalence between Statc and Dynamc Ralway Track Response and on the Euler-Bernoull and Tmoshenko Beams Analogy, Shock and Vbraton, Volume 2017 (2017), Artcle ID [4] Kroczak S., Mazur S., Dudek Z.: Teoretyczna analza wpływu zmennej sztywnośc I sposobu podparca podkładu kolejowego na jego pracę. Materały VII Konferencj Drog Kolejowe, 1993, s [5] Odrowąż M.: Obroty podkładów jako efekt nerównomernego obcążena toków szynowych. Praca dyplomowa napsana pod kerunkem W. Czyczuły, Poltechnka Krakowska, Kraków