STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMNY SMUKŁEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 016 nr 60, ISSN X STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMNY SMUKŁEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA DODATNIEGO Janusz Szmdla 1a, Anna Jurczyńska 1b 1 Instytut Mechank Podstaw Konstrukcj Maszyn, Poltechnka Częstochowska a szmdla@mpkm.pcz.pl, b a.jurczynska@mpkm.pcz.pl Streszczene W pracy zaprezentowano wynk badań teoretycznych numerycznych odnośne do statecznośc smukłego układu nepryzmatycznego reprezentowanego przez kolumnę o zmennym wzdłuż os układu przekroju poprzecznym. Rozważany układ poddany jest obcążenu słą śledzącą skerowaną do beguna dodatnego (przypadek obcążena swostego. Na podstawe modelu fzycznego analzowanej kolumny opracowano model matematyczny. Na podstawe teor Bernoullego Eulera określono energę mechanczną rozważanej struktury. Zagadnene brzegowe sformułowano przy wykorzystanu zasady mnmum energ potencjalnej (statyczne kryterum utraty statecznośc. Na podstawe otrzymanych różnczkowych równań przemeszczeń oraz ch rozwązań, przy uwzględnenu warunków brzegowych warunków cągłośc, opracowano programy oblczenowe umożlwające analzę numeryczną. Słowa kluczowe: stateczność, układy nepryzmatyczne, obcążene swoste STABILITY OF NON-PRISMATIC SLENDER COLUMN TO THE FOLLOWER FORCE DIRECTED TOWARDS THE POSITIVE POLE Summary In ths work, results of theoretcal and numercal research on the stablty of a slender non-prsmatc system represented by the column of a cross-secton varable along the axs of the system are presented. Consdered system s subjected to the follower force drected towards the postve pole (specfc load. On the bass of the physcal model of examned system, the mathematcal model was developed. The mechancal energy of consdered structure was determned based on the Bernoull Euler s theory. The boundary problem was formulated usng the mnmum potental energy method (the statc crteron of loss of the stablty. Subsequently, on the bass of obtaned dfferental equatons of dsplacement descrbng the system and ther solutons, wth takng nto consderatons the geometrcal and natural boundary condtons, the computng programmes were prepared. Keywords: stablty, non-prsmatc systems, specfc load 1. WSTĘP Celem pracy jest określene wpływu nepryzmatycznośc smukłej kolumny poddanej dzałanu wybranego przypadku obcążena swostego (por. [5] na jej stateczność. Smukłe układy sprężyste są powszechne stosowane jako elementy składowe struktur podporowych, mędzy nnym w przemyśle górnczym lub budownctwe, natomast stale rosnące wymagana co do właścwośc konstrukcj wymuszają poszukwane nowych rozwązań konstrukcyjnych struktur obcążających jak kształtów prętów (maksymalzacja przenoszonego obcążena lub redukcja masy układu. Wobec powyższego ne dzw duża lczba publkacj naukowych nawązujących do 67

2 STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMY SMUKŁEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU( statecznośc tycznych. drgań swobodnych układów nepryzma- Głównym celem pracy [1] było zaprezentowane unwer- / belek oraz układów z elementam nepryzmatycznym bez użyca funkcj aproksymującej lub podzału układu na mnejsze elementy pryzmatyczne. Zaproponowany algorytm bazuje na metodze belk sprzężonej, wykorzy- stując własnośc numerycznych metod całkowana (np. kwadratury Gaussa. Praca [3] zawera wynk badań numerycznych odnośne do drgań swobodnych nepryzmatycznej belk Tmoshenk. Zagadnene sformu- łowano z wykorzystanem metody formalzmu mnożn- ków Lagrange a, a poprawność przeprowadzonych analz potwerdzonoo eksperymentalne, uzyskując wysoką zgodność wynków. Publkacja [] dotyczy optymalzacj kształtu kolumny o skokowo zmennej sztywnośc na salnej metody modelowana nepryzmatycznych kolumn zgnane, poddanej dzałanu różnych przypadków obcą- żena konserwatywnego nekonserwatywnego, w aspek- ce maksymalzacj przenoszonej przez układ sły kry- W badanach wykorzystano metodę macerzy przenese- na. W pracy [4] przedstawono wynk badań teoretycznych numerycznych odnośne do statecznośc drgań swobodnych smukłej kolumny nepryzmatycznej realzu- jącej obcążene Eulera. Zagadnene sformułowano na tycznej z uwzględnenem warunk stałej objętośc. podstawe metody energetycznej (mnmum energ potencjalnej oraz zasady Hamltona. Na podstawe przeprowadzonych symulacj określono najbardzej korzystne kształty kolumn, przy których wzrost obcąże- na krytycznego był najwększy. Podobny sposób zamo- w kolejnych teracjach zwększano wartość sły osowej obcążającej kolumnę, aż do utraty statecznośc. delowana układu przyjęto w pracy [6], w której. MODEL FIZYCZNY W pracy rozważa sę smukłą kolumnę nepryzmatyczną o przekroju prostokątnym realzującą wybrany przypa- analzowanego układu przedstawono na rys. dek obcążena swostego. Schemat modelu fzycznego 1. W celu zamodelowana nepryzmatycznośc kolumny układ podzelono na n mnejszych pryzmatycznych segmentów o stałej długośc l grubośc h oraz zmennej szerokośc b. W pracy przyjęto stałą objętość sumarycz- kolumny L l n const.. oraz stałą wartość modułu sprężystośc podłużnej E wszystkch członów układu. Dodatkowo zakłada sę, że szerokość b poszczególnych segmentów mus być wększa od lub równa grubośc h ną V obj wszystkch segmentów, stałą całkowtą długość elementów ( b h. Zarys kształtu kolumny aproksy- oraz mowano funkcją lnową b( x a ( Z x + d welomanemm drugego stopna b ( x [a ( p, q [ x p] q] +, gdze 0 x L. Rys. 1. Schemat modelu fzycznego kolumny nepryzmatycznej obcążonej słą śledzącą skerowaną do beguna dodatnego (por. [5] Obcążene słą śledzącą skerowaną do beguna dodatwywołującą przyjmującą obcążene. Struktura obcążająca zbudo- nego realzowane jest poprzezz głowce: wana jest z elementów o zaryse kołowym. Układ połą- poprzez czony jest z głowcą przyjmującą obcążene neskończene sztywny element o długośc l0, którego uwzględnene jest nezbędne ze względów konstrukcyj- do ln nych. Kerunek dzałana sły P jest styczny ugęca końca układu ( x L dodatkowo przechodz przez stały punkt O znajdujący sę na neodkształconej os kolumny w odległośc (R l 0 od swobodnego jej końca (begun dodatn. 3. MODEL MATEMATYCZNY Na podstawe modelu fzycznego kolumny nepryzmatycznej (por. rys. 1. zdefnowano całkowtą energę potencjalną układuu będącą sumą energ sprężystośc zgnana V 1 oraz energ potencjalnej wynkającej z obcążena słą śledzącą skerowaną do beguna dodatnego V : n l ( EJ V1 1 ( y ( x dx (1 0 P n l I V [ y ( 1 0 ] 1 dx I x + P( R l0 [ yn ( l ] ( V V 1 + V (3 Zagadnene statecznośc badanego układu sformułowano na podstawe zasady mnmumm energ potencjalnej (metoda energetyczna, statycznego kryterum utraty statecznośc, która polega na poszukwanu takej wartośc obcążena, przy której energa potencjalna przestaje być dodatno określona: δv 0 (4 gdze δ - operator waracj. Po przeprowadzenu operacj waracj energ potencjalnej (3 oraz uwzględnenu znanych a pror geometrycznych warunków brzegowych oraz warunków cągłośc: 68

3 Janusz Szmdla, Anna Jurczyńska y n l R 0 y I n l (9 otrzymano następujące zależnośc opsujące: - różnczkowe równana przemeszczeń poszczególnych segmentów układu w kerunku poprzecznym do os kolumny: IV (EJ y ( x + Py ( x 0 (10 - brakujący naturalny warunek brzegowy oraz naturalne warunk cągłośc: y 1 n ( l y ( R l0 n ( l 0 ( EJ y ( l ( EJ + 1 y + 1 ( 0 I I ( EJ y ( l ( EJ + 1 y + 1 ( 0 (11 (1 (13 Warunek (9 wynka z geometr struktury wywołującej obcążene. Rozwązana równań przemeszczeń poszczególnych członów rozważanego układu zapsać można w postac ogólnej: y x A sn k x + B cos k x + C x + (14 ( gdze: k A, B, C, D - stałe całkowana Podstawenee rozwązań (14 do geometrycznych naturalnych warunków brzegowych (5-6, 9, 11 oraz warunków cągłośc (7-8, 1-13 umożlwa wyzna- Przy tak sformułowanymm zagadnenu poszukwane najbardzej korzystnych kształtów układu sprowadza sę czene wartośc sły krytycznej analzowanej kolumny. do wylczena globalnego maksmum funkcj sły krytycznej, czyl do doboru odpowednch wartośc szeroko- tak, by przenoszone obcążene było najwększe. śc przekroju poprzecznego poszczególnych elementów 4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH Wynk oblczeń numerycznych przedstawono za pomo- cą następujących parametrów bezwymarowych: - parametr obcążena krytycznego P ( kr L kr EJ pr - procentowy wzrost parametru sły krytycznej δ k kr 1 ( 0 y I 1 ( 0 0 y ( l y +1( 0 I I y ( l y + 1 ( 0 ( ( l ( y ( P ( EJ kr ( ( kr kr pr pr ( 100% D (5-6 (7 (8 (15 (16 (17 - parametry opsujące nepryzmatyczność kolumny κ b h *, Z pr b1 b L 100 % * p * q p, q (0-1 L L - parametr promena głowcy wymuszającej obcążene R * R l 0, ( L przy czym wartośc oznaczone ndeksem dolnym pr odnoszą sę do parametrów układu pryzmatycznego o takej samej objętośc sumarycznej, który w nnejszej pracy traktowany jest jako układ porównawczy. Wynk oblczeń numerycznych odnoszących sę do aproksymacj kształtu kolumny za pomocą funkcj lnowej przedstawono na rysunkach -7. Na rys. pokazano zmanę wartośc obcążena krytycznego w funkcj zbeżnośc układu Z * przy parametrze promewartoścach parametru κ. Wartość zbeżnośc układu Z * 0 odpowa- na głowcy obcążającej R * 0 oraz różnych da kolumne pryzmatycznej. Rys.. Parametr obcążena krytycznego kr w funkcj zbeżno- śc Z * kolumn przy promenu głowcy R * 0 Przy tak zdefnowanej geometr struktury obcążającej ( R l 0 analzowany układ realzuje przypadek obcą- najwększe wartośc obcążena krytycznego odnotowano w przypadku wartośc parametru Z * blskego zeru, żena Eulera. Dla zadanych parametrów geometrycznych a uzyskany wzrost sły krytycznej jest bardzo mały. Wynk otrzymane z przeprowadzonych oblczeń zwery- wysoką fkowano z lteraturą (por. [4], otrzymując zgodność. n (

4 STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMY SMUKŁEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU( Rys. 4. Procentowy wzrost sły krytycznej δ zbeżnośc Z * kolumn przy promenu głowcy R * 0. Rys. 6. Procentowy wzrost sły krytycznej zbeżnośc Z * kolumn przy promenu głowcy R * 0.4 δ kr r w funkcj Rysunk przedstawają obcążene krytyczne w odnesenu do parametru zbeżnośc przy wartoścach parametru promena głowcy obcążającej odpowedno R * 0. R * 0.4. Na wykresach zaznaczonoo równeż wartość sły krytycznej kolumny pryzmatycznej. Procen- przypadkach zlustrowano na rysunkach towy wzrost obcążena odnotowany w omawanych Na rysunkach tych przerywanym lnam zaznaczono parametry układu, dla których otrzymano najwększy przyrost obcążena δ. W przypadku R * 0. maksy- malne wartośc przyrostu (4.1% zaobserwowano przy parametrze zbeżnośc układu Z * 1.45%, natomast najwększy przyrost obcążena gdy parametr głowcy R * 0.4 odnotowano w przypadku zbeżnośc Z * 0.9%. Rys. 7. Przyrost obcążena krytycznego δ w zależnośc od promena głowcy obcążającej R * oraz zbeżnośc kolumny Z * Rys. 3. Parametr obcążena krytycznego kr w funkcj zbeżno- śc Z * kolumn przy promenu głowcy R * 0. w funkcj Rys. 5. Parametr obcążena krytycznego kr w funkcj zbeż- nośc Z * kolumn przy promenu głowcy R * 0.4 Rys. 7. przedstawaa przyrost sły krytycznej w funkcj promena głowcy obcążającej oraz zbeżnośc układu. Najwększe wartośc δ otrzymano przy maksymalnych wartoścach zbeżnośc oraz promenu głowcy R * 1.4. W przypadku ujemnych wartośc parametru Z * ne 70

5 Janusz Szmdla, Anna Jurczyńska odnotowano wzrostu obcążena w całym analzowanym zakrese promena głowcy. Rezultaty analzy numerycznej odnoszące sę do statecz- welomanu drugego stopna przedstawono na rysunkach 8-16, w których do opsu zarysu kolumny użyto parametrów p * oraz q *. Parametr p * defnuje położene werzchołka parabol wzdłuż os układu, natomast parametr q * odnos sę do odległośc tego werzchołka od nośc układuu przy aproksymacj kształtu za pomocą os w kerunku poprzecznym, przy czym q * <0.5 oznacza kolumnę wklęsłą, q * >0.5 - kolumnę wypukłą. W przypadku gdy q * 0.5 kolumna jest pryzmatyczna. We wszystkch analzowanych przypadkach geometr kolumny oraz struktury obcążającej wyznaczono maksy- oraz malne uzyskane przyrostyy obcążena krytycznego odpowadające m parametry geometryczne układu. Krzywe na rysunkach 8-9 odnoszą sę do zachowana układu nepryzmatycznego w przypadku parametru promena głowcy wywołującej obcążene R * 0.. Najwększe przyrosty obcążena krytycznego otrzymano przy parametrach p * 0.4, δ kr q * Rys. 9. Procentowy wzrost obcążena krytycznego δ w zależnośc od parametru p * przy promenu głowcy R * 0. Zmanę wartośc obcążena krytycznego analzowanego układuu nepryzmatycznego w funkcj położena werzchoł- obcąża- ka parabol p *, gdy parametr geometr struktury jącej wynos R * 0.8, zlustrowanoo na rysunkach Podobne jak w poprzednm przypadku, wzrost obcążena krytycznego odnotowano tylko w pewnym zakrese parametru p * w przypadku kolumn wypukłych (q * >0.5. Jak można zauważyć, wykresy otrzymane przy opsanych wartoścach parametru R * są nemal odbcem lustrzanym oraz wykazują duże podobeństwoo co do wartośc przyro- rozkładu stu sły krytycznej. Wynka to z symetrycznośc obcążena krytycznego kolumny poddanej obcążenu słą śledzącą skerowaną do beguna dodatnego w funkcj promena głowcy (por. [5]. Rys. 8. Parametr obcążena krytycznego kr w funkcj parametru położena werzchołka parabol p * przy promenu głow- cy R * 0. Rys. 10. Parametr obcążena krytycznego parametru położena werzchołka parabol p * głowcy R * 0.8 kr w funkcj przy promenu 71

6 STATECZNOŚĆ NIEPRYZMATYCZNEJ KOLUMY SMUKŁEJ PODDANEJ OBCIĄŻENIU( żena krytycznego uzyskano w określonym zakrese parametru p * przy kolumnach wklęsłych (q * <0.5. Najwększy procentowy wzrost przenoszonego obcążena ( δ 13.17% odnotowano przy następujących parametrach układu: p * 0.53, q * Rys. 11. Procentowy wzrost obcążena krytycznego δ w zależnośc od parametru p * przy promenu głowcy R * 0.8 Rys. 14. Przyrost parametru obcążena krytycznego δ w funkcj promena głowcy obcążającej R * oraz współrzędnej werzchołka głowcy q * (p * 0.3 Rys. 1. Parametr obcążena krytycznego parametru położena werzchołka parabol głowcy R * 3 p * w funkcj przy promenu Rys. 15. Przyrost parametru obcążena krytycznego δ w funkcj promena głowcy obcążającej R * oraz współrzędnej werzchołka głowcy q * (p * 0.45 Rys. 16. Przyrost parametru obcążena krytycznego δ w funkcj promena głowcy obcążającej R * oraz współrzędnej werzchołka głowcy q * (p * 0.6 Rys. 13. Procentowy wzrost obcążena krytycznego δ w zależnośc od parametru p * przy promenu głowcy R * 3 W przypadku struktury realzującej obcążene o węk- szym promenu głowcy (rysunk 1-13, wzrost obcą- Parametr przyrostu obcążena krytycznego rozważanej kolumny nepryzmatycznej jako funkcję parametru promena głowcy wymuszającej obcążene R * oraz parametru q *, przy wybranych wartoścach parameos układu tru usytuowana werzchołka parabol wzdłuż p * zlustrowano na rysunkach Przedstawone wykresy pozwalają na określene najkorzystnejszych ze względu na przenoszone obcążene krytyczne zakre- 7

7 Janusz Szmdla, Anna Jurczyńska sów analzowanych zmennych. W przypadku mnejszych wartośc parametru promena głowcy wzrost obcążena krytycznego odnotowano w pewnych obszarach tylko przy parametrze q * >0.5, podczas gdy promeń głowcy R * >1.5, m mnejsza wartość parametru q *, tym wększy przyrost przenoszonego obcążena. 5. WNIOSKI Przedstawona praca dotyczyła problemu statecznośc smukłej kolumny o zmennym przekroju poddanej dzałanu wybranego przypadku obcążena swostego. Analza przeprowadzonych oblczeń numerycznych pozwala na sformułowane następujących wnosków: - wartość obcążena krytycznego układu zależy od parametrów opsujących jego kształt oraz parametrów geometrycznych struktury obcążającej; - w przypadku aproksymacj kształtu welomanem perwszego stopna uzyskano maksymalny przyrost obcążena krytycznego na pozome δ % (Z * %, R * 1.4, κ.5. Przy aproksymacj kształtu funkcją kwadratową maksymalny odnotowany przyrost obcążena to δ 13.17% (q * 0.3, p * 0.53, R * 3; - aproksymacja kształtu kolumny jest ogranczona warunkem, według którego wartość szerokośc b segmentów kolumny mus być wększa bądź równa wartośc grubośc h tego segmentu. Praca wykonana w ramach pracy BS/MM /15/P Poltechnk Cz stochowskej. Lteratura 1. Arstzabal J. D.: Statcs, stablty and vbraton of non-prsmatc beams and columns. Sounds and Vbraton, 1993, 16(3, p Bogacz R., Imełowsk S., Tomsk L.: Optmalzaton and stablty of columns on example of conservatve and nonconservatve systems. Machne Dynamcs Problems, 1998, 0, p Cekus D.: Free vbraton of a cantlever tapered Tmoshenko beam systems. Scentfc Research of the Insttute of Mathematcs and Computer Scence 01, 11 (4, p Szmdla J., Kluba M.: Stateczność drgana swobodne nepryzmatycznego układu smukłego poddanego obcążenu eulerowskemu. Modelowane Inżynerske, 011, 41, s Tomsk L., Szmdla J.: Drgana swobodne stateczność układów poddanych dzałanu obcążena swostego. Pr. zbor. pod ker. nauk. red. Lecha Tomskego. Warszawa: WNT, 007, s Wesgerber F. E., Salahuddn K.: Elastc stablty of non-prsmatc column. In: Proceedngs of Structures Congress. San Francsco, 1989, p Artykuł dostępny na podstawe lcencj Creatve Commons Uznane autorstwa 3.0 Polska. 73