ŚCISŁA I PRZYBLIŻONA ANALIZA DYNAMICZNA KONSTRUKCJI BELKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

Transkrypt

1 Zeszyty Naukoe WSInf Vo 1, Nr 1, 013 Pauna Obara 1, Jan Turant,3 1 Potechnka Śętokrzyska Katedra Mechank, Konstrukc Metaoych Metod Komputeroych u eca PP 7, 5-31 Kece Wyższa Szkoła Informatyk Umeętnośc Łodz Katedra Inżynerskch Zastosoań Informatyk 3 Potechnka Łódzka Katedra Mechank Informatyk Technczne ema: ba_obara@tu.kece.p, an_turant@snf.edu.p ŚCISŁA I PRZYBLIŻONA ANALIZA DYNAMICZNA KONSTRUKCJI BELKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Streszczene W pracy anaze dynamczne poddano konstrukce zbudoane z eementó bekoych. W rozażanach uzgędnono pły odkształcanośc postacoe. Przeproadzona została anaza ścsła przybżona poszukana yższych częstośc drgań łasnych da bek sobodne podparte. Przeproadzene take oceny pokazue ak złożony ponen być mode dyskretny, aby ynk były stosone zbżone do rozązań ścsłych. Słoa kuczoe: yższe częstośc drgań łasnych, metoda eementó skończonych 1 Wstęp Badana pośęcone zachoanu sę konstrukc bekoych są ednym ze starszych dzadzne mechank cała odkształcanego. Nastarsza teora znana est ako teora Bernouego-Euera, które zakłada sę, że płaszczyzna przekrou prostopadła do os bek stane neodkształconym pozostae płaska prostopadła do os bek odkształcone. Konsekentne, pomany est pły sł poprzecznych. Teora ta przydatna est przede szystkm anaze beek smukłych, natomast przypadku beek krępych stosoana est teora Tmoshenk uzgędnaąca odkształcena postacoe. Stosuąc teorę Tmoshenk, opse geometr konfgurac aktuane bek uzgędna sę depanacę przekrou poprzecznego, konsekenc, proadza sę uśrednony kąt odkształcena postacoego. 6

2 P. Obara, J. Turant Probem poszukana naturanych charakterystyk dynamcznych konstrukc est bardzo stotny ze zgędu na bezpeczeństo pracy konstrukc a czba postałych na ten temat artykułó, a dotycząca tyko konstrukc bekoych, est obrzyma np. [1,,3,]. Wspomnane tuta bezpeczeństo pracy konstrukc zązane est ne tyko z e proektoanem, ae róneż z e cągłym montoroanem poprzez badane e charakterystyk dynamcznych [5, 6, 7, 8], które zmenaą sę, gdy e obszarze poaaą sę uszkodzena. Na szczegóną uagę zasługuą prace, których autorzy zracaą uagę na ększą czułość yższych postac drgań łasnych na uszkodzene konstrukc [9, 10, 11, 1]. W pracy przeproadzono ścsłą przybżoną anazę dynamczną, ceem które było yznaczene yższych częstotośc drgań łasnych beek. Porónano ynk otrzymane przy zastosoanu teor Bernouego-Euera oraz teor Tmoshenk. Sformułoane probemu Przedmotem rozażań est eement bekoy o czterech stopnach sobody (rys. 1.), o stałym bsymetrycznym przekrou poprzecznym A, momence bezładnośc J oraz o mase µ, która est rónomerne rozłożona po całe długośc. Założono, że eement est ykonany z zotropoego, noo sprężystego materału o modue Younga E, modue Krchhoffa G spółczynnku Possona v. W rozażanach uzgędnono spółczynnk ścnana κ, który zaeży od kształtu przekrou oraz odkształcaność postacoą ζ, co oznacza, że przekroe poprzeczne prostopadłe do os konfgurac początkoe, konfgurac aktuane ne pozostaą prostopadłe do os odkształcone oraz uegaą depanac [1,3,13,1]. a) b) x M M x T T Rys. 1. Eement bekoy o czterech stopnach sobody: a) spółrzędne uogónone, b) uogónone sły ęzłoe Da eementu bekoego przedstaonego na rysunku 1 defnuemy ektory: spółrzędnych uogónonych eementu q e (rys. 1a.) oraz uogónonych sł ęzłoych Q e (rys. 1b.): 65

3 e e q = { ϕ ϕ }, = { T M T M } Ścsła przybżona anaza... Q (1) a zązek pomędzy ekoścam (1) zapszemy za pomocą zaeżnośc: e e e K q = Q () gdze K e macerz sztynośc dynamczne eementu, którą otrzymue sę drogą anatycznego rozązana odpoednego zagadnena brzegoego. 3 Macerz sztynośc dynamczne eementu Układaąc arunk rónoag neskończene małego ycnka os bek konfgurac aktuane (rys. b.) oraz ykorzystuąc zązk fzyczne geometryczne, torzy sę rónana różnczkoe, które po uzupełnenu odpoednm arunkam brzegoym, przedstaaą sformułoany ścśe ramach przyętych założeń probem brzegoy. W przypadku poprzecznych drgań harmoncznych bek, przy uzgędnenu odkształcanośc postacoe, różnczkoe rónane amptud oraz kąt obrotu przekrou pręta maą postać: gdze: ϕ IV II ( ξ ) + λ ζ ( ξ ) λ ( ξ ) 1 III I ( ξ ) = [ ζ ( ξ ) + ( 1+ λ ζ ) ( ξ )] = 0 (3) x µω ξ =, λ =, EJ κej ζ = () GA Parametr () 3 uzgędna pły odkształcanośc postacoe eże przyrónamy go do zera, z zaeżnośc (3) otrzymamy rónana, które opsuą mode bek Bernouego-Euera. Rozązanem rónana różnczkoego ednorodnego (3) 1 est funkca: 66 kξ ( ξ ) = C e, = 1 które spółczynnk k są perastkam rónana charakterystycznego: ( + λ ζ k λ ) = 0 (5) k (6)

4 P. Obara, J. Turant ynoszą: przy czym: k 1, = ± p, k3, = ± m (7) p = λ λ ζ + λ ζ λ λ ζ + + λ ζ, m = (8) a) x dx x b) x dx x A B,,EJ,GA M T A dx t T+ T x dx B M + x dx + x x M dx x Rys.. a) Beka konfgurac aktuane, b) neskończene mały ycnek bek Całka ogóna (5), która est funkcą ugęca anazoanego eementu bekoego, po ykorzystanu zoró Euera: e e ± a ± a = cosh a ± snh a = cosa ± sn a gdze a R (9) będze mała ostateczne postać: ( ξ ) C pξ + C snh pξ + C cos mξ C sn mξ = 1 cosh 3 + (10) Podstaaąc odpoedne pochodne funkc ugęca (10) do (3) otrzymuemy funkcę całkotego uśrednonego kąta obrotu przekrou pręta: ϕ przy czym: 1 = (11) ( ξ ) [ C Asnh pξ + C Acosh pξ C B sn mξ C B cos mξ ] 3 ( 1+ λ ζ ) p, B = ζ m + ( 1 λ ζ )m 3 A = ζ p + + (1) 67

5 Ścsła przybżona anaza... Występuące e zorach (10) (11) stałe całkoana C są yznaczane z arunkó brzegoych (rys. 1a): ( ξ = 0) = ; ϕ( ξ = 0) = ϕ ; ( ξ = 1) = ; ϕ( ξ = 1) = ϕ (13) Znaąc stałe całkoana możemy, na podstae rysunku 1b, okreść amptudy sł przyęzłoych: ( ξ = 0 ), M = M ( ξ = 0), T = T ( ξ = 1 ), M = M ( = 1) T = T ξ (1) przy czym: ( ξ ) ( ξ ) EJ dϕ GA d M ( ξ ) =, T( ξ ) = ϕ( ξ ) (15) dξ κ dξ Wzory (1) przekształcaą spółrzędne uogónone eementu q e (1) 1 na uogónone sły ęzłoe Q e (1) noszą nazę zoró transformacynych, które możemy zapsać postac macerzoe (), przy czym macerz sztynośc dynamczne anazoanego eementu bekoego K e przedstaa sę następuąco: gdze: D = λ F = ( p F = ( p F 1 3 F = λ ( p F = λ ( p 5 F = λ ( p 6 = λ F5 F6 F3 F e EJ F3 F1 F F K ( λ) = (16) D F6 F5 F F 3 F F F F 3 1 ( 1 cosh p cosm) + ( A B ) + m + m snh psn m )( Acosh psn m Bsnh p cosm) )( Bsnh m Asn m) ( cosh p cos m 1) + ( Am + Bp) snh p + m )( cosh p cosm) + m )( Asnh p cosm + B cosh psn m) + m )( Asnh p + Bsn m) ( λ ζ sn m) (17) 68

6 P. Obara, J. Turant Macerz (16) uzgędna charakterystyk dynamczne eementu, take ak częstość drgań ω masę µ oraz uzgędna pły odkształcanośc postacoe. Ścsła anaza drgań łasnych konstrukc W anaze drgań harmoncznych układó cągłych stosuemy dyskretyzacę matematyczną, która poega na aproksymacynym opse stanu przemeszczena ogranczone baze parametró, przy zachoanu rzeczystego rozkładu poa masoego µ. Modeem matematycznym procesu drgań harmoncznych sobodnych, zanych drganam łasnym est rónane: K( λ ) q = 0 (18) gdze K(λ) gobana macerz sztynośc dynamczne anazoanego układu, postała przez zsumoane macerzy eementó konstrukc K e, q ektor spółrzędnych uogónonych układu. Drgana take mogą sę reazoać przy częstoścach będących uogónonym artoścam łasnym gobane macerzy sztynośc dynamczne układu, a ch amptudy mogą być yznaczone edyne z dokładnoścą do stałe. Tryane rozązane q=0 ne odpoada arunkom zadana, poneaż odpoada rónoadze stane spoczynku. Warunkem stnena nezeroych rozązań est spełnene rónana: ( λ) = 0 K (19) z którego można yznaczyć artośc λ, okreśaące częstośc drgań łasnych ustrou: EJ µ ω = λ (0) a następne częstotośc drgań łasnych: ω f = (1) π Warunek (10) sproadza sę do rozązyana nenoego rónana przeproadzone być mus numeryczne. W praktyce 69

7 Ścsła przybżona anaza... nżynerske stosue sę rozązana przybżone, ykorzystuąc metodę eementó skończonych. 5 Anaza przybżona Dokonuąc roznęca ścsłe, ramach przyętych założeń, macerzy sztynośc dynamczne (16) szereg potęgoy, zgędem parametru steruącego λ, otrzymamy odpoedno: macerz sztynośc noe macerz bezładnośc transacyne (pomnożoną przez częstość drgań łasnych) stosoane anaze konstrukc smukłych: ~ 6 6 e EJ K = 1 1 () ~ e µ M = (3) T oraz macerze K e T M e uzgędnaące pły odkształcanośc postacoe, które maą odpoedno postać: T e 36ζ EJ K = () 1+ 1ζ 70

8 M P. Obara, J. Turant T e µ ζ = 70 1 ( + 1ζ ) 1 ( 3 + 3ζ ) 1 ( ) ( 3 + 3ζ ) ζ ( ζ ) ( ζ ) ( 1+ 6ζ ) ( ζ ) ( 1+ 6ζ ) 1 ( 3 + 3ζ ) 1 ( ) ( 3 + 3ζ ) ζ ( ζ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ 1+ 6ζ ζ 1+ 6ζ (5) Pozostałe yrazy roznęca przedstaaą samo zrónoażone układy reakc ęzłoych o sne maeących artoścach mogą być pomnęte bez obay o nedokładność obczeń, tak ęc macerz sztynośc dynamczne (16) można przybżenu przedstać postac sumy: e ~ e T e ~ e T K λ K K ω M M e (6) ( ) ( ) W anaze drgań harmoncznych konstrukc za pomocą metody eementó skończonych, probem yznaczana częstośc drgań łasnych sproadza sę do rozązana rónana: T K, M ~ ~ T ~ T ( M M ) = 0 K K ω (7) gdze K ~, sztynośc bezładnośc transacyne anazoanego układu. Jeże rónanu (7) pomnemy macerze uzgędnaące pły odkształcanośc postacoe otrzymamy arunek na yznaczane częstośc drgań łasnych konstrukc smukłych. T M są odpoedno gobanym macerzam 6 Częstośc drgań łasnych bek sobodne podparte W przypadku pryzmatyczne bek sobodne podparte, może est uzyskane ścsłego zoru okreśaącego częstośc drgań łasnych. Warunkem na to, aby funkca ugęca (10), opsyała rónane ygęte os bek sobodne podparte est spełnene następuących arunkó brzegoych: ( ξ = 0 ) = 0; M ( ξ = 0) = 0; ( ξ = 1) = 0; M ( ξ = 1) = 0 (8) które proadzą do układu ednorodnych rónań na stałe całkoana: 71

9 Ścsła przybżona anaza... 1 Ap cosh p Ap cosh p 0 0 snh p Apsnh p 1 Bm cos m Bmcosm 0 C 0 C sn m C Bmsn m C = 0 0 (9) Zeroane sę yznacznka podstaoego układu (9) est arunkem stnena nezeroych rozązań est spełnone da: m = kπ ; k =1,, 3... (30) Rónane (30), po ykorzystanu (8), proadz do okreśena częstośc drgań łasnych: k π EJ ω = (31) k 1+ k π ζ µ Przyrónuąc e zorze (31) parametr ζ do zera dostanemy znany z teratury zór na częstośc drgań łasnych da bek Bernouego- Euera. 7 Weryfkaca numeryczna proponoanego podeśca W rozdzae tym przeproadzono ścsłą przybżoną anazę częstośc drgań łasnych dóch beek podpartych sobodne. Dane materałoe obu rozpatryanych przepadkach były dentyczne róne: E=,1E11 [Pa], ν =0,3, ρ=7800 [kg/m 3 ]. Na etape anazy pracy konstrukc metodą eementó skończonych ykorzystano ęzyk FORTRAN z numeryczną bboteką IMSL da rozązana rozszerzonego probemu artośc łasnych. W ceu znaezena ścsłych rozązań ynkaących z rónana (19) ykorzystano środosko Mathematca. 7 Przykład 1 Rozpatrzmy pryzmatyczną, smukłą bekę o długośc =1 [m] o kadratoym przekrou o ymarze boku kadratu 0,01 [m]. Wynk obczeń otrzymanych metodą eementó skończonych porónano ze ścsłym rozązanam ynkaącym ze zoru (31) przy założenu teor Bernouego-Euera Tmoshenk ( pracy przedstaono częstotośc drgań łasnych zór (1)). Proces zbeżnośc 10-te, 0-te, 30-te, 0-

10 P. Obara, J. Turant te częstotośc drgań łasnych ze zgędu na czbę eementó skończonych pokazano na rysunkach 3,, 5 6. Przeryanym nam pozomym zaznaczono odpoedne artośc ścsłe. Rys. 3. Zbeżność rozązań MES do rozązań teoretycznych da 10-te częstotośc drgań łasnych Rys.. Zbeżność rozązań MES do rozązań teoretycznych da 0-te częstotośc drgań łasnych Na przedstaonych rysunkach yraźne doczna est zbeżność rozązań metody eementó skończonych do rozązań teoretycznych łaścych da przyętego modeu. Zbeżność da modeu Bernouego- Euera est yraźne epsza nż przypadku modeu Tmoshenk. Zakłócena procesu zbeżnośc, doczne na początkach ykresó, są konsekencą błędó numerycznych poaaących sę da zbyt małe, stosunku do numeru częstotośc, dyskretyzac bek. W ceu 73

11 Ścsła przybżona anaza... dokładneszego zustroana procesu zbeżnośc rozązań MES na rysunkach 7, 8, 9 10 przedstaono zgędną zmanę (da omaanych, przykładoych częstotośc) zązaną ze zększenem dyskretyzac o eden eement skończony. Rys. 5. Zbeżność rozązań MES do rozązań teoretycznych da 30-te częstotośc drgań łasnych Rys. 6. Zbeżność rozązań MES do rozązań teoretycznych da 0-te częstotośc drgań łasnych 7

12 P. Obara, J. Turant Rys. 7. Wzgędna zmana artośc 10-te częstotośc Rys. 8. Wzgędna zmana artośc 0-te częstotośc Rys. 9. Wzgędna zmana artośc 30-te częstotośc 75

13 Ścsła przybżona anaza... Rys. 10. Wzgędna zmana artośc 0-te częstotośc Jeś za umoną grancę stabzac procesu przyębyśmy 1 to da różnych przyętych teor zgnana rożnych częstotośc drgań łasnych otrzymamy różną potrzebną dyskretyzacę bek, którą przedstaono tabe 1. Tabea. 1. Umona stabzaca rozązana metody MES Nr częstotośc Mode Bernouego-Euera Tmoshenk Rys. 11. Błąd zgędny okreśena częstośc drgań łasnych Naeży zrócć uagę na duże rozbeżnośc artośc częstotośc drgań łasnych da przyętych teoretycznych mode beek. Rozbeżność ta pogłęba sę raz z numerem częstotośc łasne. Na rysunku 11 pokazano błąd zgędny perszych sześćdzesęcu częstotość łasnych metody eementó skończonych da obu teor, merzony 76

14 P. Obara, J. Turant zgędem rozązań ścsłych da teor Tmoshenk a otrzymany da dyskretyzac na 10 eementó skończonych. Jak pokazano na rysunku 11 błąd obczena częstotośc drgań łasnych, przypadku zastosoana teor Bernouego-Euera, da perszych 0 częstotośc est mneszy od 5%. Da koenych częstotośc błąd ten rośne osągaąc da sześćdzesąte częstotośc 39%. Da obczeń MES edług teor Tmoshenk błąd ten est zasze mneszy od 5%. Konsekentne, ceu naczena yższych częstotośc drgań łasnych, konecznoścą est stosoane teor Tmoshenk naet da beek smukłych. Przykład Rozpatrzmy smukłą bekę o przekrou kadratoym skokoych zmanach przekroó tak ak pokazano to na rysunku 1. Wymary na rysunku są podane mmetrach x10 0 x0 10 x10 Rys. 1. Beka o zmennym przekrou poprzecznym Rys. 13. Perszych sześćdzesąt częstotośc drgań łasnych Ścsłe rozązana, ramach przyętych założeń, da perszych sześćdzesęcu częstośc drgań łasnych otrzymano rozązuąc numeryczne rónane (19), postałe przez złożene trzech macerzy (16) da trzech, docznych na rysunku 1, częśc bek. Proces rozązana rónana został zautomatyzoany programe 77

15 Ścsła przybżona anaza... Mathematca tak, aby okreść założoną czbę częstotośc drgań łasnych. Anazę MES przeproadzono dzeąc bekę na 10 róne długośc eementó skończonych. Na rysunku 13 przedstaono perszych sześćdzesąt obczonych częstotośc drgań łasnych, a na rysunku 1 błąd zgędny, okreśena tych częstotośc metodą eementó skończonych, zgędem ścsłych rozązań teor Tmoshenk. Rys. 1. Błąd zgędny okreśena częstotośc drgań łasnych Podobne ak poprzednm przykładze okreśene yższych częstotośc drgań łasnych zgodne z teorą Bernouego-Euera est obarczone dużym błędem sęgaącym nemaże 67%. W przypadku teor Tmoshenk błąd ten ne przekroczył 6%. 8 Podsumoane W pracy ykazano stosoaność ścsłych rozązań do poszukana yższych częstotośc drgań łasnych układó bekoych. Procedura ta może być zastosoana do bardze złożonych konstrukc prętoych takch ak ramy. Numeryczna anaza pracy konstrukc z ykorzystanem metody eementó skończonych ykazała słabą przydatność teor Bernouego-Euera do yznaczana yższych częstotośc drgań łasnych naet da beek uażanych za smukłe. 9 Lteratura [1] Arececz, J., Krysko, A.V., Sodatov, V., Krysko, V.A., Anayss of the Nonnear Dynamcs of the Tmoshenko Fexbe Beams 78

16 P. Obara, J. Turant Usng Waveets, ASME Journa of Computatona and Nonnear Dynamcs, 7(1), , 01 [] Jang, T.S., Baek, H.S., Pak, J.K., A ne method for the non-near defecton anayss of an nfnte beam restng on a non-near eastc foundaton. Internatona Journa of Non-Lnear Mechancs, 6, 011, pp [3] Zohoor, H., Kakavand, F., Vbraton of Euer Bernou and Tmoshenko beams n arge overa moton on fyng support usng fnte eement method, Scenta Iranca B, 19(), 01, pp [] Sedgh H.M., Reza A., Hgh precse anayss of atera vbraton of quntc nonnear beam, Latn Amercan Journa of Sods and Structures 10, 013, pp 1 5 [5] Zhao J., Zhang L., Damage Identfcaton of a Beam-Lke Structure Usng Eement Moda Stran Energes and Natura Frequences, Apped Mechancs and Materas, Vo. 9-96, 011, pp [6] Gch G., Prasach Z., Moda dentfcaton and damage detecton n beam-ke structures usng the poer spectrum and tme frequency anayss, Sgna Processng, 96, Part A, March 01, pp 9 [7] Dems K., Mróz Z., Identfcaton of damage n beam and pate structures usng parameter dependent frequency changes, Eng. Comp., (18), 1-, 001, pp [8] Dems K., Turant J., Structura damage dentfcaton usng frequency and moda changes, Buetn of the Posh Academy of Scences: Technca Scences, 59(1), 011, pp 7-3 [9] Rucka M., Damage detecton n beams usng aveet transform on hgher vbraton modes, Journa Of Theoretca And Apped Mechancs, 9,, 011, pp [10] Abdo M., Damage detecton n pate-ke structures usng Hgh- Order mode shape dervatves, Internatona Journa of Cv And Structura Engneerng,, 3, 01, pp [11] Whaen T. M., The behavour of hgher order mode shape dervatves n damaged, beam-ke structures, Journa of Sound and Vbraton, 309(3-5), 008, pp 6-6 [1] Pandey A.K., Bsas M., Samman M.M., Damage detecton from changes n curvature mode shapes, Journa of Sound and Vbraton, 15(), 1991, pp [13] Obara P., Macerz sztynośc dynamczne ścskanego pręta Tmoshenk sprzężene parametró σ λ, Zeszyty Naukoe Potechnk Gdańske, s.69-76, Gdańsk Krynca

17 Ścsła przybżona anaza... [1] Gesk W., Gomuńsk A., Physca shape functons: a ne concept n fnte eements, Fnte Eements Nes 3, s. 0-3, 1990 STRICT AND APPROXIMATE ANALYSIS OF DYNAMIC BEHAVIOUR OF BEAM STRUCTURES USING FINITE ELEMENT METHOD Summary: In ths paper the dynamc anayss of beam structures as consdered. The nfuence of shear deformaton, accordng to Tmoshenko theory, as taken nto account. The anayss of hgher order natura frequences as carred out n strct and approxmate manner for smpy supported beam. Such an evouton shos ho compex a dscrete mode shoud be to obtan smar resuts n comparson to the exact ones. Keyords: hgher natura frequency, fnte eement method 80