Temat: Operacje elementarne na wierszach macierzy

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Temat: Operacje elementarne na wierszach macierzy"

Izabela Tomczak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Temat: Operacje elementarne na erszach macerzy Anna Rajfura

2 Anna Rajfura Operacje elementarne na erszach macerzy n j m n A

3 Typy operacj elementarnych. Zamana mejscam erszy oraz j, ozn.: j. Mnożene ersza przez lczbę k, ozn.: : k. Dodane do ersza nnego ersza j pomnożonego przez lczbę k, ozn.: : + j k Anna Rajfura

4 Operacja elementarna typu j Zamana mejscam erszy oraz j A ~ A j (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura 4

5 Anna Rajfura Przykład Uaga A ~ A ~ A

6 Własnośc operacj typu j A ~ A Jeśl j, to: det A - det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A (czyt.: rząd macerzy) Anna Rajfura 6

7 Operacja elementarna typu : k Mnożene ersza przez lczbę k A ~ : k A (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura 7

8 Anna Rajfura 8 Przykład Uaga: A ~ ) ( : - (-/) : - A ~ ) ( A

9 Własnośc operacj typu k A A Jeśl ~k, to: det A k det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A Anna Rajfura 9

10 Operacja elementarna typu : + j k Dodane do ersza nnego ersza j pomnożonego przez lczbę k, A ~ A : + k j (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura

11 Anna Rajfura Przykład Uaga: A ~ : ) ( + A : - (-/) : - + (-/) : - A ~ : ) ( + A

12 Własnośc operacj typu : + j k Jeśl A ~ : + k j A, to: det A det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A Przykład na tablcy. Anna Rajfura

13 Anna Rajfura Wektory jednostkoe Macerz jednostkoa In: n I Kolumny macerzy I n nazyane są ektoram jednostkoym ymaru n.

14 Przykład Różne ektory jednostkoe ymaru : Anna Rajfura 4

15 Postać bazoa macerzy A nm Postacą bazoą macerzy A będzemy nazyać macerz rónoażną macerzy A, o maksymalnej lczbe kolumn będących różnym ektoram jednostkoym. Rzędem macerzy A będzemy nazyać maksymalną lczbę różnych ektoró jednostkoych ystępujących jako kolumny postac bazoej macerzy A; ozn.: A, rank A. Anna Rajfura

16 Przykład Oblcz rząd macerzy B. B Anna Rajfura 6

17 Przykład cd. Stosujemy kolejno operacje elementarne:, : + ( ), : + ( 7), ( 6 ), : + ( ), : +. Oblczena na tablcy. Anna Rajfura 7

18 Anna Rajfura 8 Przykład cd. otrzymujemy: B ~ B B postać bazoa macerzy B B Odp.: rz B. da różne ektory jednostkoe

19 Układy rónań lnoych Układ rónań lnoych A b, gdze: A - macerz układu ymaru m n, [,,..., n ] T (n - lczba neadomych), b [b, b,..., b m ] T (m lczba rónań), może meć: dokładne jedno rozązane (u. oznaczony), neskończene ele rozązań (u. neoznaczony), żadnego rozązana (u. sprzeczny). Anna Rajfura 9

20 Układy rónań lnoych cd. Macerz A z dopsaną na końcu kolumną praych stron b nazya sę macerzą rozszerzoną: ozn.: A b Lczbę rozązań układu rónań lnoych można określć porónując rzędy macerzy: A, A b z lczbą neadomych. Anna Rajfura

21 Lczba rozązań układu rónań lnoych Układ rónań A m n n b m rz A < rz[a b] układ sprzeczny (ne ma rozązań) rz A rz[a b] układ posada rozązana rz A rz[a b] n układ oznaczony (ma dokładne jedno rozązane) rz A rz[a b] < n układ neoznaczony (ma neskończene ele rozązań) Anna Rajfura

22 Anna Rajfura Przykład. Roząż układ rónań A b, gdze: 4 A 4 4 b b A

23 Anna Rajfura Przykład. cd b A ~ ~ : + (/) : ~ 7 4 ~ : + (-) : + (-4)

24 Anna Rajfura 4 Przykład. cd. 7 4 ~ : + (/) : + (4/) Wnosk: rza, rz [A b], lczba neadomych, zatem układ rónań jest oznaczony. Rozązanem jest ektor [-,-, -] T.

25 Anna Rajfura Przykład. Roząż układ rónań A b, gdze: A b b A

26 Anna Rajfura 6 Przykład. cd. b A ~ ~ (-) : + (-) : ~ 6 ~ (-/) : + (-) : + (-)

27 Anna Rajfura 7 Przykład. cd. Wnosk: rza, rz [A b], lczba neadomych, zatem układ rónań jest neoznaczony. Można yznaczyć jego rozązana.

28 Przykład. cd. kolumny bazoe kolumna nebazoa Anna Rajfura 8

29 Przykład. cd. zmenne bazoe zmenna nebazoa Anna Rajfura 9

30 Anna Rajfura Oznaczene dla zmennej nebazoej R s s, s b A,,

31 Anna Rajfura + s s Rozązane ogólne układu rónań: + s s s, R s Rozązana szczególne układu rónań: Np. dla s : [, -, ] T, dla s : [,, ] T.

Podobne dokumenty

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x