ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 19 AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI 006 ANDRZEJ BANACHOWICZ Akdemi Morsk w Gdyni Ktedr Nwigcji ELIPTYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W rtykule rzedstwiono uogólnienie funkcji trygonometrycznych z jednostkowego koł trygonometrycznego n dowolną elisę. Otrzymno w ten sosób elityczne funkcje trygonometryczne, w których rgumentem jest ole wycink elisy odowidjące określonemu kątowi. Zstosowno rzy tym formlizm odobny jk rzy definiowniu funkcji hierbolicznych. W tym ujęciu klsyczne funkcje trygonometryczne są jednym z rzydków elitycznych funkcji trygonometrycznych. Elityczne funkcje trygonometryczne możn również interretowć jko hrmoniki. WSTĘP Pojęcie funkcji trygonometrycznych jest szeroko znne, ich zstosowni owszechne. Uogólnienie funkcji trygonometrycznych w ostci funkcji hierbolicznych też znlzło szereg zstosowń. Okzuje się, że rzenosząc uogólnienie jednostkowego koł trygonometrycznego n dowolną elisę, możn otrzymć elityczne funkcje trygonometryczne, w których rgumentem jest ole wycink elisy odowidjące określonemu kątowi. Stosuje się rzy tym formlizm odobny jk rzy definiowniu funkcji hierbolicznych. Z tego unktu widzeni klsyczne funkcje trygonometryczne są jednym z rzydków elitycznych funkcji trygonometrycznych. Elityczne funkcje trygonometryczne mogą być interretowne jko hrmoniki i wykorzystne w nlizie drgń hrmoniczych. 1. KOŁO TRYGONOMETRYCZNE Klsycznie funkcje trygonometryczne definiuje się jko stosunki odowiednich boków trójkąt rostokątnego. W celu rozszerzeni dziedziny funkcji trygonometrycznych oz zkres rzedziłu 0; π, nleży osłużyć się kołem 5

2 trygonometrycznym (rys. 1). Zgodnie z oznczenimi n tym rysunku oszczególne funkcje trygonometryczne zdefiniowne są nstęująco (r = OC = OE = OA): BC BC sin α = =, (1) OC r OB OB cos α = =, () OC r AD AD tg α = =, (3) OA r EF EF ctg α = =, (4) OE r OD OD sec α = =, (5) OC r OF OF cosec α = =. (6) OC r Rys. 1. Koło trygonometryczne Poniewż zzwyczj rzyjmuje się koło trygonometryczne jko koło jednostkowe, tj. r = 1, więc owyższe wzory otrzymją rostszą ostć: sinα = BC, (1 ) cosα = OB, ( ) tg α = AD, (3 ) ctg α = EF, (4 ) 6

3 sec α = OD, (5 ) cosec α = OF. (6 ) Terz funkcje trygonometryczne są formlnie określone jko długości odowiednich odcinków w kole trygonometrycznym. W interretcji geometrycznej funkcji trygonometrycznych i rzy definiowniu funkcji hierbolicznych z zmienną niezleżną rzyjmujemy wielkość równą olu (obszr zkreskowny n rysunku ) wycink COK, o kącie środkowym równym α. W tym wydku będziemy mieli (rys. ): 1 = r α = α, (7) dl r = 1 (α w rdinch). Rys.. Pole jko rgument funkcji trygonometrycznych Stąd oszczególne funkcje trygonometryczne możn zisć w nstęującej ostci, gdzie zmienną niezleżną jest ole wycink kołowego : sin = BC, (8) cos = OB, (9) tg = AD, (10) ctg = EF, (11) sec = OD, (1) cosec = OF. (13) Jk widzimy wzory te są równowżne wzorom (1 ) (6 ). 7

4 . UOGÓLNIENIE POJĘCIA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Anlogicznie jk rzy określniu funkcji hierbolicznych rzyjmijmy z zmienną niezleżną ole wycink dowolnej elisy (w miejsce wycink kołowego jk w owyższym rzykłdzie). Otrzymmy wówczs uogólnienie funkcji trygonometrycznych. Nzwijmy je elitycznymi funkcjmi trygonometrycznymi. Do ich oznczeni wykorzystmy skróty odowiednich funkcji trygonometrycznych i odobnie jk w funkcjch hierbolicznych dołączymy literę e elityczne. Rozwżmy w tym celu dowolną elisę E (rys. 3): ( x y E x, y) : + = 1, (14) b gdzie: duż ółoś, b mł ółoś elisy. Dlej zstosujemy tok ostęowni jk rzy wyrowdzeniu funkcji trygonometrycznych z wykorzystniem rysunku. Będziemy więc osługiwli się tym smym formlizmem rzy definiowniu elitycznych funkcji trygonometrycznych, jki się wykorzystuje, definiując funkcje hierboliczne (w którym rzyjmuje się, że = b = 1). Nie dowodzi się już tutj, że ole odowiedniej owierzchni jest równe dnemu kątowi. Wystrczy, że to ole odowid dnemu kątowi (jest funkcją dnego kąt). Rys. 3. Elis trygonometryczn Pole wycink elisy KOCA ( = OA, b = OE) jest równe: 8 OB = rc cos. (15)

5 Pole to odowid kątowi α, nlogicznie jk n rysunku, le jk wiemy, nie jest mu równe. Możemy zdefiniowć elityczne funkcje trygonometryczne jko długości odowiednich odcinków: sine = BC, (16) cose = OB, (17) tge = AD, (18) ctge = EF, (19) sece = OD, (0) cosece = OF. (1) Nleży terz długości oszczególnych, interesujących ns odcinków (rwe strony równń 16 1) wyrzić w funkcji ol. Po rzeksztłcenich, ze wzoru (15) otrzymmy wrtość kosinus elitycznego (oznczenie: cose). Mmy więc kolejno: OB rc cos =, OB = cos, OB = cos () i osttecznie kosinus elityczny: cose = cos. (3) Przed wyrowdzeniem kolejnych zleżności zuwżmy, że zchodzą równości (zgodnie z rysunkiem 3): orz które możemy wyrzić zleżnością gdzie e to ierwszy mimośród elisy o wzorze: OA =, (4) OE = b (5) OC = r, (6) r = b + e OB, (7) e b = (8). 9

6 Wyznczmy BC z trójkąt BOC (rys. 3). Mmy: więc OC = OB + BC, BC = OC OB = r OB = b = b + e OB OB = b ( 1 e ) OB = b 1 OB = 1 + b = b Uwzględnijąc zleżność (), możemy nisć: b OB = b OB = b OB 1. czyli BC 1 = b 1 cos b 1 cos = b sin =, BC = b sin. Stąd sinus elityczny (oznczenie: sine) wyrż się wzorem: sine = BC = b sin. (9) Przejdźmy terz do wyznczeni tngens elitycznego (oznczenie: tge). Wyznczymy go z nstęującej roorcji (rys. 3): stąd AD OA =, BC OB OA AD = BC. OB Ale, jk miętmy, BC = sine, OA =, OB = cose, więc AD = sine, cose czyli tngens elityczny będzie równy: sine tge =. (30) cose 10

7 Po uwzględnieniu zleżności (3) i (9) tngens elityczny wyrżony z omocą funkcji trygonometrycznych otrzym nstęującą ostć: i osttecznie b sin sin tge = = b cos cos tge b tg =. (31) Kotngens elityczny (oznczenie: ctge) wyznczymy z nstęującej roorcji (rys. 3): EF b =, OB BC czyli OB EF = b. BC Ponownie wykorzystmy zleżności (3) i (9), otrzymując kotngens elityczny: cose ctge = EF = b. (3) sine Określmy związek kotngens elitycznego z funkcjmi trygonometrycznymi. Mmy cose cos cos ctge = b = b = = ctg, sine b sin sin czyli kotngens elityczny jest w nstęującej relcji z kotngensem trygonometrycznym: ctge = ctg. (33) W celu wyznczeni sekns elitycznego (oznczenie: sece) rozwżmy roorcję (rys. 3): czyli OD = AD, OC BC AD OD = OC. BC (34) 11

8 Jk miętmy, zchodzi równość: OC = b + e cose. Dlej, o rzeksztłcenich, otrzymmy: b b OC = b + cose = b + cose cose = = b + = 1 b b cose cose 1 cose + cose = = 1 + = b 1 cos cose b 1 cos + cose = = b sin + cose = sine + cose, czyli osttecznie: OC = r = sine + cose. (35) Wstwmy terz (35) orz (30) i (9) do równni (34): OD = tge sine sine + cose = sine + cose = sine sine cose = sine + cose. cose Wynik z tego, że sekns elityczny jest równy: i sece sine + cose cose = (36) sece = + b tg. (36 ) Obliczmy terz kosekns elityczny (oznczenie: cosece). Zuwżmy, że stąd: OF b =, OC BC b OF = OC. BC 1

9 Wykorzystując zleżności (35) i (9), otrzymmy: b OF = sine + cose, sine czyli kosekns elityczny jest równy b cosece = sine + cose, (37) sine cosece = b + ctg. (37 ) Resumując, oszczególne elityczne funkcje trygonometryczne są określone oniższymi wzormi: sine = b sin, cose = cos, sine tge = b tg =, cose cose ctge = ctg = b, sine sece = sine + cose = + b tg, cose b cosece = sine + cose = b + ctg. sine 3. PODSUMOWANIE Jk wykzno wyżej, klsyczne funkcje trygonometryczne są rzydkiem szczególnym elitycznych funkcji trygonometrycznych (gdy = b = r = 1). I odwrotnie, elityczne funkcje trygonometryczne są nturlnym rozszerzeniem ojęci funkcji trygonometrycznych. Ich wzjemn zleżność może być wykorzystn w wielu zgdnienich nlizy hrmonicznej orz obliczenich związnych z geometrią elisoidy geodezj, krtogrfi, nwigcj, mechnik cił sztywnych i innych. W tym wydku ruch unktu mterilnego jest interretowny geometrycznie jko ruch okresowy ze zmiennym ołożeniem środk obrotu omiędzy ogniskmi elisy trygonometrycznej. 13

10 Możn rzerowdzić nlizę szczególnych rzydków elitycznych funkcji trygonometrycznych w funkcji stosunku wzjemnego młej i dużej ółosi elisy trygonometrycznej. Otrzymmy w ten sosób rodzinę tych funkcji dl różnych rmetrów elisy trygonometrycznej. LITERATURA 1. Bronsztej I.N., Siemiendijew K.A., Musiol G., Mühling H., Nowoczesne komendium mtemtyki, PWN, Wrszw Hrris J.H., Stocker H., Hndbook of Mthemtics nd Comuttionl Science, Sringer, New York ELLIPTIC TRIGONOMETRIC FUNCTIONS (Summry) This rticle resents generliztion of trigonometric functions of single trigonometric circle for ny ellise. In this wy ellitic trigonometric functions hve been obtined where n re of elliticl sector corresonding to given ngle is the indeendent vrile. The formlism lied ws similr to tht used in defining hyerbolic functions. In this roch clssicl trigonometric functions re exmles of ellitic trigonometric functions which further cn be interreted s hrmonic functions fulfilling secified conditions imosed on mlitudes nd frequencies nd their reltions. When chnging these rmeters, different hrmonic functions cn be obtined. 14