ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

Transkrypt

1 ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 1. Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem: x, dla _ x 0 x =, x, dla _ x < 0 Wartość bezwzględna liczby nazywana jest takŝe czasami modułem lub wartością absolutną liczby. Zobaczmy kilka przykładów: 4 = 4 5 = = 10 = 10 Własności 4 3 = 1 = 1 3 π = π 3 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniŝsze własności: x 0 x = x x = 2 x x y = x y x y x y =, y 0 2. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględną liczby moŝna interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego: 3. Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną Przy rozwiązywaniu równania moŝna wykorzystać własność:

2 ZADANIE: RozwiąŜ: x + 4 = 2 I SPOSÓB: W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną moŝna posłuŝyć się tylko definicją, np.: x + 4 = 2 lub x + 4 = - 2 x = - 2 x = - 6 II SPOSÓB: Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, aby rozwiązać równanie zapytamy: jakie liczby są oddalone o 2 jednostki od ( - 4) na osi liczbowej? Odp. x = - 2 x = - 6 ZADANIE: JeŜeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie: x x 2 = 6 Tutaj równieŝ naleŝy posłuŝyć się definicją. Pierwsze wyraŝenie objęte wartościa bezwzględną jest ujemne w przedziale (- ; - 4) i dodatnie w przedziale (- 4;+ ). Natomiast drugie wyraŝenie jest ujemne w przedziale ( - ; 2) i dodatnie w przedziale (2;+ ). Dostajemy więc trzy przedziały, które naleŝy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują): 1. (- ; - 4) gdzie oba wyraŝenia są ujemne 2. ( 4;2) gdzie pierwsze jest dodatnie a drugie ujemne 3. (2;+ ) gdzie oba wyraŝenia są dodatnie W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeŝeli x < ( 4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyŝ musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz naleŝy obliczyć równanie do kaŝdego z przedziałów. x (- ; - 4) W tym przypadku zmienią się znaki dla kaŝdej wartości bezwzględnej: x 4 x + 2 = 6 x = 4 Liczba ta nie naleŝy do przedziału, więc w przedziale x (- ; - 4) równanie nie ma rozwiązań. x < - 4; 2)

3 x + 4 x + 2 = 6 6 = 6 ToŜsamość. Oznacza to, Ŝe w przedziale x < - 4; 2) kaŝda liczba spełnia równanie. x < 2 ; ) x x 2 = 6 x = 2 Liczba naleŝy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania. Podsumowując wcześniejsze obliczenia naleŝy podsumować, Ŝe: x < - 4; 2) 4. Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną Przy rozwiązywaniu nierówności moŝna wykorzystać poniŝsze własności: x < a -a < x < a ( x > - a i x < a ) x a -a x a ( x - a i x a ) x > a ( x < - a lub x > a ) x a ( x - a lub x a ) W przypadku niektórych nierówności moŝemy posłuŝyć się którąś z powyŝszych własności np.: ZADANIE RozwiąŜmy nierówność x wykorzystując własność x a -a x a ( x - a i x a ), gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy: x x ( x - 15 i x 5 ) Odp. x < - 15; 5>. 5. Wykresy funkcji z wartością bezwzględną. ZADANIE: Naszkicuj wykres funkcji a) y = x c) y = x + 3 1, e) y = x 2 + 4x b) y = 2x d) y = x 2 + 2x Metoda pozwalająca poradzić sobie z takimi wykresami polega na wykonaniu poszczególnych kroków rysunkowych, aŝ do uzyskania końcowego wykresu. Kroki te są następujące (szczegółowo zobaczysz jak je stosować w omówionych przykładach) : 1. Rysujemy wykres tego co,,siedzi między kreskami. (przypomnij sobie jak rysować linie proste i parabole) 2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy wszystko co było pod osią x nad oś x). 3. Jeśli przed wartością bezwzględną był minus to wszystko co mamy na rysunku przekładamy pod oś x (oczywiście gdy przed wart. bezwz. nic nie ma to nic nie robimy).

4 4. Jeśli za wartością bezwzględną jest jakaś liczba, to gdy ona jest dodatnia wszystko przesuwamy do góry (o tyle ile ona nam pokazuje), gdy jest ona ujemna przesuwamy wszystko w dół. Osobiście doradzam, aby poszczególne fazy rysowania robić róŝnymi kolorami (najlepiej na oddzielnych układach współrzędnych). Często oglądałam wykonane,,wykresy które z matemą nie miały nic wspólnego, na dodatek nikt nie wiedział gdzie jest końcowy wynik. Bierzemy się za przykłady Ad. a) y = x Krok 1. Rysujemy to co między kreskami, czyli y = x + 1 (to linia prosta) Krok 2. Rysujemy to co między kreskami razem z kreskami (przenosimy to co było pod osią x nad tę oś),narysowaliśmy wykres funkcji y = x + 1 Krok 3. PoniewaŜ przed wartością bezwzględną,,nic nie ma, to krok 3 nie wymaga pracy. Krok 4. Za wartością bezwzględną jest liczba 2; trzeba, więc wykres z kroku 2 przesunąć w dół o 2. Otrzymujemy końcowy wynik naszej pracy, czyli wykres funkcji y = x + 1 2

5 Ad. b) y = 2x Krok 1. Rysujemy to co miedzy kreskami, czyli y = 2x + 2 Krok 2. Rysujemy to co między kreskami, razem z kreskami, czyli y = 2x +2 (to spod osi x na górę) Krok 3. Pomijamy (,,nic nie ma przed wart. bezwz.) Krok 4. Za wart. bezwz. jest +1 (przesuwamy wszystko z kroku 2 o jeden do góry), mamy y = 2x

6 Ad. c) y = x Krok 1. y = x +3 Krok 2. y = x + 3 Krok 3. PoniewaŜ przed wart. bezwz. jest minus to wykres z punktu 2 przenosimy pod oś x; mamy y = x + 3

7 Krok 4. y = x (o jeden w dół wykres z kroku 3) Ad. d) y = x 2 + 2x Krok 1. y = x 2 + 2x..(wykresem jest parabola) Krok 2. y = x 2 +2x..(wszystko co jest pod osią x przekładamy nad oś x). I mamy końcowy wynik.

8 Ad. e) y = x 2 + 4x Krok 1. y = x 2 + 4x 3 Krok 2. y = x 2 + 4x 3 Krok 3. y = x 2 + 4x 3

9 Krok 4. y = x 2 + 4x ZADANIE Narysuj wykres funkcji : a) y = x 4 3..b) y = 2x c) y = x d) y = x 2 + 4x 2.. e) y = x 2 + 2x