Wstęp do matematyki. Marcin Orchel

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wstęp do matematyki. Marcin Orchel"

Transkrypt

1 Wstęp do matematyki Marcin Orchel

2 Spis treści 1 Ogólne działy Logika Metody numeryczne Wprowadzenie do metod numerycznych Przestrzeń euklidesowa Ciągi Zadania Laboratoria Wprowadzenie do metod numerycznych Podciągi Ciągi Cauchy ego Kres górny, dolny, maksimum, minimum Ciągi monotoniczne Granica dolna i górna Zadania Laboratoria Wprowadzenie do metod numerycznych Kule otwarte, zbiory otwarte, zbiory domknięte Zbiory ograniczone i zbiory zwarte Kombinacje wypukłe, zbiory wypukłe Suma zbiorów, przekrój zbiorów Zadania Laboratoria Wprowadzenie do metod numerycznych Macierze Zadania Laboratoria Wprowadzenie do metod numerycznych Funkcje Funkcja różniczkowalna i ciągle różniczkowalna Hiperpłaszczyzna Twierdzenia o wartościach średnich

3 2.5.5 Zadania Laboratoria Wprowadzenie do metod numerycznych Forma kwadratowa Zadania Wprowadzenie do metod numerycznych Stabilność numeryczna Wprowadzenie do metod numerycznych Równania nieliniowe z jedną niewiadomą Metoda Newtona Metoda interpolacji liniowej Pierwiastki równania n-tego stopnia Zadania Wprowadzenie do metod numerycznych Chaos deterministyczny Zadania Wprowadzenie do metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych Zadania Wprowadzenie do metod numerycznych Interpolacja Zadania Wprowadzenie do metod numerycznych Liczby losowe Metoda Monte Carlo Zadania Optymalizacja Optymalizacja Problem optymalizacyjny Ekstremum lokalne i globalne Problem optymalizacyjny w formie parametrycznej Maksymalizacja użyteczności Minimializacja wydatków Zadania Optymalizacja Cele teorii optymalizacji Twierdzenie Weierstrassa Zadania Optymalizacja Ekstrema bez ograniczeń Warunki na pierwszą pochodną Warunki na drugą pochodną

4 3.3.4 Zadania Optymalizacja Metoda ekspansji Poszukiwanie minimum w przedziale Metoda złotego podziału Metoda Fibonacciego Zadania Optymalizacja Metoda Hooke a-jeevesa Zadania Optymalizacja Metody gradientowe Metoda największego spadku Zadania Optymalizacja Metoda Newtona Zadania Optymalizacja Problemy optymalizacyjne z warunkami Warunki równościowe i twierdzenie Lagrange a Warunki na drugą pochodną Metoda Lagrange a Przykłady Zadania

5 Rozdział 1 Ogólne działy 1.1 Logika Przydatne reguły logiczne w dowodzeniu twierdzeń. (p q) r p r q (p q) r p (q r) (p (q r)) (p q) (p r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) (p q r) 4

6 Rozdział 2 Metody numeryczne 2.1 Wprowadzenie do metod numerycznych Przestrzeń euklidesowa Zbiór liczb naturalnych: Zbiór liczb całkowitych: Zbiór liczb wymiernych: N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 1, 0, 1,...} Q = {x x = p } q, p, q Z, q 0 Liczby rzeczywiste oznaczane są jako R. Wartość bezwzględna liczby x R: { x jesli x 0 x = x jesli x < 0 Odległość euklidesowa między dwoma punktami x, y R zdefiniowana jest jako x y. Dla n N, R n oznacza n-wymiarową przestrzeń euklidesową. Gdy n = 1 piszemy samo R. Punkt x w R n to wektor x = (x 1,..., x n ) gdzie dla i {1..n}, liczba x i R nazywa się i-tą współrzędną punktu x. Symbol 0 oznacza punkt o współrzędnych (0,..., 0). Dodawanie wektorów dla x, y R n x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) Mnożenie skalarne wektora x R n przez liczbę α R αx = (αx 1,..., αx n ) 5

7 Porównywanie dwóch wektorów x = (x 1,..., x n ) i y = (y 1,..., y n ): x = y, jesli x i = y i dla kazdego i {1..n} x y, jesli x i y i dla kazdego i {1..n} x > y, jesli x y i x y x y, jesli x i > y i dla kazdego i {1..n} Gdy n > 1 nie zawsze możemy stwierdzić który wektor jest większy, np: wektory x = (1, 2) i y = (2, 1) nie spełniają obu nierówności x y i y x. Wyróżnimy następujące części przestrzeni R n : nieujemna ściśle dodatnia R n + = {x R n x 0} R n ++ = {x R n x 0} Mamy dane x, y R. Iloczyn skalarny wektorów x i y zdefiniowany jest jako: n x y = x i y i i=1 Iloczyn skalarny ma następujące własności, dla wektorów x, y, z R n i liczb a, b R przemienność: x y = y x dwuliniowość: (ax + by) z = ax z + by z oraz x (ay + bz) = x ay + x bz nieujemność: x x 0, przy czym równość zachodzi tylko gdy x = 0 Nierówność Cauchy-Schwarza. Dla dowolnych x, y R n : x y (x x) 1/2 (y y) 1/2 Norma euklidesowa wektora x R n zdefiniowana jest jako: ( n ) 1/2 x = x 2 i i=1 Zachodzi następujący związek z iloczynem skalarnym: x = (x x) 1/2 Nierówność Cauchy-Szwarza może być zapisana w postaci: x y x y Norma ma następujące własności dla x, y R n i a R: 6

8 nieujemność: x 0, przy czym równość jest spełniona tylko gdy x = 0. jednorodność: ax = a x. nierówność trójkąta: x + y x + y. Odległość pomiędzy dwoma wektorami x, y R n jest zdefiniowana jako: ( n ) 1/2 d (x, y) = (x i y i ) 2 i=1 Odległość d zwana jest również metryką. Jest powiązana z normą: d (x, y) = x y Metryka ma następujące własności, dla dowolnych x, y, z R n : nieujemność: d (x, y) 0, przy czym równość jest spełniona tylko gdy x = y przemienność: d (x, y) = d (y, x) nierówność trójkąta: d (x, z) d (x, y) + d (y, z) Ciągi Ciąg w R n jest to specyfikacja punktu x k R n dla każdej liczby k {1, 2,...}. Ciąg zapisujemy zazwyczaj w postaci x 1, x 2,..., albo {x k }. Definition Ciąg {x k } w R n jest zbieżny do granicy x (co zapisujemy jako x k x), jeśli odległość d (x k, x) zmierza do zera, gdy k dąży do nieskończoności, czyli gdy dla każdego ɛ > 0 istnieje liczba k (ɛ) taka, że dla każdego k k (ɛ) mamy d (x k, x) < ɛ. Przykładowo ciąg w R zdefiniowany jako x k = 1/k dla każdego k jest ciągiem zbieżnym z granicą x = 0. Dowód: weźmy dowolne k (ɛ) > 1/ɛ. Wtedy dla każdego k > k (ɛ) mamy d (x k, 0) = d (1/k, 0) = 1/k < 1/k (ɛ) < ɛ. Theorem Ciąg może mieć maksymalnie jedną granicę. To znaczy, gdy ciąg {x k } jest ciągiem w R n zbieżnym do punktu x R n, to nie może być równocześnie zbieżny do punktu y R n dla y x. Dowód. Z nierówności trójkąta mamy d (x k, y) d (x, y) d (x k, x) Ponieważ d (x, y) > 0 oraz d (x k, x) 0 to z nierówności wynika, że d (x k, y) nie może dążyć do zera, gdy k dąży do nieskończoności, dlatego x k y jest niemożliwe. 7

9 Ciąg {x k } jest ciągiem ograniczonym, kiedy istnieje liczba rzeczywista M taka, że x k M dla każdego k. Ciąg, który nie jest ograniczony zwie się ciągiem nieograniczonym i zachodzi: ciąg {x k } jest nieograniczony, gdy dla każego M R istnieje k (M) taka, że x k(m) > M. Theorem Każdy ciąg zbieżny w R n jest ograniczony. Dowód. Załóżmy, że x k x oraz, że ɛ = 1 w definicji ciągu zbieżnego. Wtedy istnieje k (1) takie, że dla każdego k k (1), d (x k, x) < 1. Ponieważ d (x k, x) = x k x, to z nierówności trójkąta dla każdego k k (1) x k = (x k x) + x (x k x) + x < 1 + x Teraz zdefiniujmy M jako maksimum skończonego zbioru liczb { } x 1,..., x k(1) 1, 1 + x Wtedy M x k dla każdego k. Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli ciąg nie jest ograniczony, to nie jest zbieżny. Kiedy np. ciąg {x k } jest zdefiniowany jako x k = k. Ale to, że ciąg nie jest ograniczony nie jest jedyną przyczyną braku zbieżności ciągu. Przykładowo ciąg: x k = { 1 k, k = 1, 3, 5, k, k = 2, 4, 6,... jest ograniczony, ponieważ zachodzi x k 1 dla każdego k, ale nie jest zbieżny, ponieważ dla nieparzystych k ciąg zbiega do 0, a dla nieparzystych do 1, a ciąg zbieżny może mieć jedną tylko granicę. { Theorem Ciąg x k} w R n jest zbieżny do granicy x, wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) x k i x i dla każdego i {1,..., n}, gdzie x k = x k 1,..., xk n oraz x = (x 1,..., x n ). Dowód. Odległość pomiędzy dwoma punktami w R n może być zapisana jako: ( n ) 1/2 d (x, y) = x i y i 2 i=1 gdzie x i y i to odległość pomiędzy punktami x i i y i w R. W pierwszym kroku załóżmy, że x k x. Musimy pokazać, że x k i x i dla każdego i, czyli, że dla dowolnych i oraz ɛ > 0 istnieje k i (ɛ) takie, że dla każdego k k i (ɛ) mamy x k i x i < ɛ. Z definicji ( ) x k x wiemy, że istnieje k (ɛ) takie, że d x k, x < ɛ takie, że k k (ɛ). Dlatego też dla każdego k k (ɛ) i dla każdego i zachodzi: x k i x i = ( x k i x i 2 ) 1/2 ( n 1/2 x k 2) j x j = d l=1 8 ( ) x k, x < ɛ

10 Dlatego wystarczy wziąść k i (ɛ) = { k (ɛ)} dla każdego i. W drugim kroku załóżmy, że x k i jest zbieżne do x i dla każdego i. Niech ɛ > 0. ( ) Pokażemy, że istnieje k (ɛ) takie, że d x k, x < ɛ dla każdego k k (ɛ), co gwarantuje, że x k x. Zdefiniujmy liczbę p = ɛ/ n. Dla każdego i istnieje k i (p) takie, że dla każdego k k i (p) zachodzi x k i x i < p. Zdefiniujmy k (ɛ) jako maksimum ze skończonego zbioru liczb k 1 (p),..., k n (p). Wtedy dla k k (ɛ) mamy x k i x i < p dla każdego i, dlatego: ( ( ) d x k n 1/2 (, x = x k 2) n [ ] ) ɛ 2 1/2 i x i < = ɛ n Theorem Niech i=1 i=1 { x k} będzie ciągiem w R n zbieżnym do granicy x. Załóżmy, że dla każdego k zachodzi a x k b, gdzie a = (a 1,..., a n ) oraz b = (b 1,..., b n ) są pewnymi stałymi wektorami w R n. Wtedy zachodzi, a x b. Dowód. Twierdzenie zostanie udowodnione, gdy pokażemy, że a i x i b i dla każdego i {1..n}. Załóżmy, że nie zachodzi powyższe, to znaczy dla pewnego i mamy x i < a i. Z poprzedniego twierdzenia mamy, że x k x, to z tego wynika, że x k j x j dla każdego j {1..n}, czyli również x k i x i. Ale to oznacza wraz z x i < a i, że dużych k musi zachodzić x k i < a i, co jest sprzeczne z hipotezą, że a x k b. Podobnie dla x i > b i Zadania Zadanie 1. Ile wynosi norma wektora (3, 4, 12) i jaka jest jej interpretacja geometryczna? Zadanie 2. Zbadać czy poniższe ciągi są zbieżne. Jeśli tak to do jakiej granicy: 1. (1/k, ( 1) k) 2. (k 1/k, 1/k sin k) 3. (2, cos 1/k) 4. (k, (k 1) /2k) Laboratoria 1. Zadania na 3.0 (a) Opanować wyszukiwanie granic na stronie wolframalpha.com, oraz wyświetlanie wykresów ciągów. (b) Napisać funkcję zwracającą dokładność przybliżenia liczby e, za pomocą wartości ciągu k dla dużego k. Funkcja jako parametr przyjmuje liczbę e ( ) k wczytaną uprzednio z pliku pochodzącego np ze strony 9

11 2. Zadania na 4.0 (a) Napisać funkcję sprawdzającą czy dany ciąg jest ograniczony daną liczbą, funkcja przyjmuje jako parametry ciąg w postaci klasy abstrakcyjnej, oraz wartość ograniczenia, sprawdzamy wartości ciągu począwszy od k = 1, a skończywszy na wybranej dużej liczbie k. 3. Zadania na 5.0 (a) Zaimplementować z definicji wyszukiwanie granic ciągów liczbowych, jednowymiarowych. Wskazówki: rozpatrujemy wybrany duży przedział dla wartości k [a, b], ɛ wybierane takie, które pojawiły się dla rozpatrywanego przedziału k, kandydat na granicę wybierany za pomocą sprawdzenia wartości dla dużego k. Program zwraca informację czy dany kandydat może być granicą, dokładniej zwraca informację o otoczeniu podanej granicy, w którym może znajdować się prawdziwa granica. Ciągi do testowania: sin k 1 k dla wybranych a > 0 ( 1) k k 1 k sin k k 2 cos 1 k k k 1 2k ( k k a k sin 1 k e k k k k q k ) k 10

12 dla q < 1 ( 1 + a ) k k dla a N dla a > 0 dla a R k k ln k k e k k a k a k! ( n ln ) n ( ) k a 1/k 1 k i=1 ln ln k ln k a k k! 1 i ln k dowolnie wybrane ciągi arytmetyczne i geometryczne k 2 + 2k + 1 3k Wprowadzenie do metod numerycznych Podciągi Mamy dany {x k } w R n. Niech m będzie dowolną regułą, która przyporządkowuje dla każdego k N wartość m (k) N. Załóżmy ponadto, że m wzrasta wraz ze wzrostem } k, co znaczy dla każdego k N m (k) < m (k + 1). Możemy zdefiniować nowy {x m(k), którego k-ty element jest m (k) elementem {x k }. Ten nowy ciąg jest zwany podciągiem. Mówiąc inaczej podciąg jest dowolnym nieskończonym podzbiorem wyjściowego ciągu, który zachowuje kolejność elementów. Pomimo tego, że {x k } nie jest zbieżny, to może zawierać podciągi, które są zbieżne. Przykładowo ciąg 0, 1, 0, 1, 0, 1,... nie ma granicy, ale podciągi 0, 0, 0,... i 1, 1, 1,... mają granicę. Jeśli ciąg zawiera podciąg zbieżny, to granica podciągu zbieżnego jest zwana punktem skupienia ciągu wyjściowego. Przykładowo ciąg 0, 1, 0, 1,... ma dwa punkty skupienia 0 i 1. 11

13 Theorem Punkt x jest punktem skupienia {x k }, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ɛ > 0, istnieje nieskończenie wiele wartości m takich, że d (x, x m ) < ɛ. } Dowód. Załóżmy, że x jest punktem skupienia {x k }. Wtedy musi istnieć podciąg {x m(k), który jest zbieżny } do x. Z definicji zbieżności dla każdego ɛ > 0 nieskończenie wiele elementów {x m(k) musi spełniać d (x, x m ) < ɛ, dlatego też nieskończenie wiele elementów {x k } musi spełniać d (x, x m ) < ɛ. W drugą stronę załóżmy, że dla każdego ɛ > 0 istnieje nieskończenie wiele } m takich, że d (x, x m ) < ɛ. Z tego wynika, że możemy zdefiniować podciąg {x m(k) ciągu {x k } w następujący sposób: m (1) będzie dowolną liczbą taką, że d (x, x m ) < 1. Dla k = 2, 3,... zdefiniujmy m (k) jako dowolne m spełniające } dwa warunki: d (x, x m ) < 1/k i m (k) > m (k 1). Możemy zauważyć, że {x m(k) zbiega do x, dlatego x jest punktem skupienia {x k }. Ciąg {x k } jest zbieżny do x, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do x. Ciąg {x k } może mieć dowolną liczbę punktów skupienia. Przykładowo punktami skupienia są wszystkie liczby naturalne następującego ciągu: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... Jest możliwe, że żaden podciąg nie jest zbieżny, czyli, że ciąg nie ma punktów skupienia. Przykładowo ciąg {x k } w R zdefiniowany jako x k = k dla każdego k. Każdy podciąg tego ciągu zmierza do Ciągi Cauchy ego Ciąg {x k } w R n spełnia kryterium Cauchy ego, jeśli dla każdego ɛ > 0 istnieje liczba k (ɛ) taka, że dla każdego m, l k (ɛ) mamy d (x m, x l ) < ɛ. Opisowo ciąg {x k } spełnia kryterium Cauchy ego, kiedy wybierając dostatecznie duże k odległość pomiędzy dowolnymi dwoma elementami x m i x l w ogonie ciągu: x k, x k+1, x k+2,... może być uczyniona dowolnie małą. Ciąg, który spełnia kryterium Cauchy ego jest nazywany ciągiem Cauchy ego. Przykładowym ciągiem spełniającym kryterium Cauchy ego jest {x k } w R zdefiniowany jako x k = 1/k 2 dla każdego k. Dowód przebiega następująco weźmy dowolne ɛ > 0. Wybierzmy k (ɛ) takie, że k 2 ɛ > 2. Dla m, l k (ɛ) mamy: d (x m, x l ) = 1 m 2 1 l 2 1 m l 2 1 k (ɛ) k (ɛ) 2 = 2 k (ɛ) 2 < ɛ { Theorem Ciąg x k} w R n jest ciągiem Cauchy ego, wtedy i tylko wtedy, gdy dla { } każdego i {1,..., n} x k i jest ciągiem Cauchy ego w R. 12

14 { Dowód. Niech x k} będzie ciągiem Cauchy ego w R n. Pokażemy, że dla każdego i i ɛ > 0 istnieje k i (ɛ) takie, że dla każdego m, l k i (ɛ) mamy x m i x l i < ɛ. Dane są { ɛ > 0 i i. Ponieważ x k} jest ciągiem Cauchy ego, to istnieje k (ɛ) takie, że dla każdego ( m, l k (ɛ) mamy d x m x l) < ɛ. Dlatego też dla każdego m, l k (ɛ) otrzymujemy: ( x x m i x l m i = i x l i 2) 1/2 1/2 n x m j x l j 2 ( = d x m, x l) < ɛ j=1 { } Wystarczy teraz wybrać k i (ɛ) = k (ɛ). Dowód w drugą stronę: załóżmy, że x k i jest ciągiem Cauchy ego dla każdego i. Pokażemy, że dla każdego ɛ > 0 istnieje k (ɛ) takie, że dla każdego m, l k (ɛ) zachodzi d x m x l < ɛ. Niech ɛ > 0. Zdefiniujmy p = ɛ/ n. { } Ponieważ każdy x k i jest ciągiem Cauchy ego, to istnieje k i (p) takie, że dla każdego m, l k i (p) mamy x m i x l i < p. Zdefiniujmy k (ɛ) = max {k 1 (p),..., k n (p)}. Wtedy dla m, l k (ɛ) mamy ( d x m, x l) = ( n x m i i=1 ) 1/2 ( x l i 2 n ( ) ) ɛ 2 1/2 < = ɛ n i=1 Jedną z różnic między ciągiem zbieżnym i ciągiem Cauchy ego jest to, że w definicji ciągu zbieżnego występuje bezpośrednio granica. Oba typy ciągów w przestrzeni euklidesowej związane są następującym twierdzeniem: Theorem Ciąg {x k } w R n jest ciągiem Cauchy ego, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem zbieżnym, to znaczy, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje x R n takie, że x k x. Dowód. Załóżmy, że ciąg {x k } jest ciągiem zbieżnym. Pokażemy, że jest wtedy ciągiem Cauchy ego. Weźmy ɛ > 0. Zdefiniujmy p = ɛ/2. Ponieważ x k x, to istnieje k (p) takie, że dla każdego j k (p) mamy d (x j, x) < p. Z nierówności trójkąta dla j, l k (p) otrzymujemy: d (x j, x l ) d (x j, x) + d (x l, x) < p + p = ɛ Wystarczy teraz wziąść k (ɛ) = k (p). Dowód w drugą stronę zostanie tutaj pominięty. Można łatwo udowodnić słabsze twierdzenie: Theorem Niech {x k } będzie ciągiem Cauchy ego. Wtedy {x k } jest ograniczony, a także posiada co najwyżej jeden punkt skupienia. Dowód. Na początku pokażemy, że ciąg Cauchy ego jest ograniczony, weźmy ɛ = 1. Wtedy istnieje k (1) takie, że dla każdego j, l k (l) mamy d (x j, x l ) < 1. Z nierówności trójkąta dla j k (1) otrzymujemy: (x ) ( ) x j = j x k(l) + x k(l) xk(l) xk(l) x j x k(l) + <

15 Wybierzmy następnie M jako maksimum ze zbioru: { } xk(l) x 1,..., x k(l) 1, 1 + Dla takiego M zachodzi M x k dla każdego k. Teraz udowodnimy, że ciąg Cauchy ego nie może mieć więcej niż jednego punktu skupienia. Załóżmy, że x jest punktem skupienia ciągu Cauchy ego {x k }. Pokażemy, że x k x. Niech ɛ > 0 i p = ɛ/2. Ponieważ {x k } jest ciągiem Cauchy ego, to istnieje k (p) takie, że d (x j, x l ) < p dla każdego j, l k (p). Ponadto ponieważ x jest punktem skupienia {x k }, istnieją wyrazy ciągu {x k }, które leżą dowolnie blisko x. W szczególności możemy znaleźć m k (p) takie, że d (x m, x) < p. Dlatego, jeśli j k (p) d (x j, x) d (x j, x m ) + d (x m, x) p + p = ɛ Z tego wynika, że x k x. A z tego wynika, że nie może posiadać więcej niż jednego punktu skupienia. Dwa ciągi Cauchy ego {x k } i {y k } są równoważne, jeśli dla każdego ɛ > 0 istnieje k (ɛ) takie, że dla każdego j k (ɛ) zachodzi d (x j, y j ) < ɛ. Ciągi Cauchy ego równoważne zapisujemy jako {x k } {y k }. Można zauważyć, że relacja jest relacją równoważności. Jest zwrotna {x k } {x k }, symetryczna {x k } {y k } z tego wynika {y k } {x k } i przechodnia {x k } {y k } i {y k } {z k } implikuje {x k } {z k }. Dowód przechodniości: niech ɛ > 0 oraz p = ɛ/2. Ponieważ {x k } {y k }, to istnieje k 1 (p) takie, że dla każdego k spełniającego k k 1 (p) zachodzi d (x k, y k ) < p. Podobnie istnieje k 2 (p) takie, że dla każdego k spełniającego k k 2 (p) zachodzi d (y k, z k ) < p. Niech k (ɛ) = max {k 1 (p), k 2 (p)}. Wtedy dla każdego k k (ɛ) zachodzi d (x k, z k ) d (x k, y k ) + d (y k, z k ) < p + p = ɛ, dlatego {x k } {z k }. Równoważne ciągi Cauchy ego muszą mieć tą samą granicę. Dowód: załóżmy, że {x k } {y k } oraz x k x. Niech ɛ > 0. Istnieje k 1 (ɛ) takie, że dla każdego k k 1 (ɛ) zachodzi d (x k, x) < ɛ/2, istnieje także k 2 (ɛ) takie, że dla każdego k k 2 (ɛ) zachodzi d (x k, y k ) < ɛ/2. Ustawiając k (ɛ) = max {k 1 (ɛ), k 2 (ɛ)}, dla każdego k k (ɛ) zachodzi d (x, y k ) d (x, x k ) + d (x k, y k ) < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ, co oznacza y k x Kres górny, dolny, maksimum, minimum Niech A będzie niepustym podzbiorem R. Ograniczenie górne zbioru A, zapisywane jako U (A) jest zdefiniowane jako: U (A) = {u R u a dla kazdego a A} Ograniczenie dolne, L (A) jest zdefiniowane jako: L (A) = {l R l a dla kazdego a A} Zbiór U i zbiór L mogą być puste. Przykładowo dla A = N zbiór U jest pusty, dla A = Z zbiory U i L są puste. Jeśli U (A) jest niepusty to mówimy, że zbiór A jest 14

16 ograniczony od góry. Jeśli L (A) jest niepusty to mówimy, że zbiór A jest ograniczony od dołu. Kres górny zbioru A, zapisywany jako sup A jest najmniejszym elementem ze zbioru ograniczenia górnego. Jeśli U (A) jest niepusty, to sup A jest zdefiniowane jako unikalny punkt a U (A) taki, że a u dla każdego u U (A). Jeśli U (A) jest pusty to piszemy sup A = +. Podobnie kres dolny zbioru A, zapisywany jako inf A jest największym elementem ze zbioru ograniczenia dolnego. Jeśli L (A) jest niepusty, to inf A jest zdefiniowane jako unikalny punkt â L (A) taki, że â l dla każdego l L (A). Jeśli L (A) jest pusty to piszemy inf A =. Theorem Jeśli U (A) jest niepusty, to kres górny istnieje, to znaczy istnieje a U (A) takie, że a u dla każdego u U (A). Podobnie jeśli L (A) jest niepusty, to kres dolny istnieje, to znaczy istnieje â L (A) takie, że â l dla każdego l L (A). Theorem Załóżmy, że sup A jest skończone. Wtedy dla każdego ɛ > 0, istnieje a (ɛ) A takie, że a (ɛ) > sup A ɛ. Dowód. Wprowadźmy oznaczenie a = sup A. Przypuśćmy, że twierdzenie nie będzie spełnione dla pewnego ɛ > 0, to znaczy, że a a ɛ dla każdego a A. Ale wtedy a ɛ będzie należało do ograniczenia górnego A. Ale to stoi w sprzeczności z definicją a jako najmniejszego elementu ograniczenia górnego. Maksimum niepustego zbioru A R, zapisywane jako max A jest zdefiniowane jako punkt z A taki, że z a dla każdego a A. Minimum niepustego zbioru A R, zapisywane jako min A jest zdefiniowane jako punkt w A taki, że w a dla każdego a A. Z definicji wynika, że maksimum musi być elementem ograniczenia górnego A, a minimum musi być elementem ograniczenia dolnego A. Można podać alternatywne definicje takie, że max A = A U (A) i min A = A L (A). Wartości sup A i inf A są zawsze zdefiniowane dla niepustego A, a max A i min A mogą nie istnieć, nawet gdy sup A i inf A są skończone. Dla przykładu A = (0, 1), wtedy U (A) = {x x 1} i L (A) = {x x 0}, sup A = 1, inf A = 0. Ale maksimum i minimum nie istnieje. Z definicji wynika, że jeśli maksimum istnieje, to max A = sup A, co oznacza, że maksimum istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy sup A A. Podobnie z minimum Ciągi monotoniczne Ciąg {x k } w R jest ciągiem rosnącym kiedy a ciągiem malejącym, gdy x k+1 x k dla kazdego k x k+1 x k dla kazdego k Ciąg {x k } w R zmierza do + (x k + ), jeśli dla każdego p N istnieje k (p) takie, że dla każdego k k (p) zachodzi x k p, ciąg {x k } w R zmierza do (x k ), jeśli dla każdego p N istnieje k (p) takie, że dla każdego k k (p) zachodzi x k p. 15

17 Jeśli ciąg zmierza do ±, to musi być nieograniczony, ale odwrotnie niekoniecznie, np. ciąg {x k } zdefiniowany jako { 1 kiedy k jest nieparzyste x k = k kiedy k jest parzyste jest nieograniczony, ale nie zmierza do +. Jeśli {x k } jest ciągiem nieograniczonym, to musi zawierać co najmniej jeden podciąg, który zmierza do + lub. Theorem Niech {x k } będzie ciągiem rosnącym w R. Jeśli {x k } jest nieograniczony, to musi zmierzać do +. Jeśli {x k } jest ograniczony, to jest zbieżny do granicy x, gdzie x to kres górny zbioru punktów {x 1, x 2,...}. Ponieważ {x k } w R jest ciągiem rosnącym, wtedy i tylko wtedy, gdy { x k } jest ciągiem malejącym, to zachodzi następujące twierdzenie: Theorem Niech {x k } będzie ciągiem malejącym w R. Jeśli {x k } jest nieograniczony, to musi zmierzać do. Jeśli {x k } jest ograniczony, to jest zbieżny do granicy x, gdzie x to kres dolny zbioru punktów {x 1, x 2,...} Granica dolna i górna Wprowadzimy konwencje, } że ciąg {x k } posiada punkt skupienia +, kiedy {x k } zawiera podciąg {x m(k), który zmierza do +, ciąg {x k } posiada punkt skupienia, kiedy } {x k } zawiera podciąg {x m(k), który zmierza do. W szczególności jeśli ciąg {x k } zmierza do +, wtedy + będzie traktowane jako granica {x k }. Niech będzie dany {x k } w R. Granica górna {x k } jest zdefiniowana jako granica przy k {a k } zdefiniowanego jako: a k = sup {x k, x k+1, x k+2,...} i jest zapisywana jako: lim sup k x k. Można zauważyć, że granica górna zawsze istnieje, są 3 możliwości dla ciągu a k, po pierwsze a k = + dla pewnego k lub dla każdego k, po drugie {a k } musi spełniać a k+1 a k dla każdego k, ponieważ a k+1 jest kresem górnym z mniejszego zbioru, co oznacza, że {a k } musi być ciągiem nierosnącym w R. Z poprzedniego twierdzenia dla ciągów monotonicznych wynika, że jeśli {a k } jest nieograniczony, to a k, a jeśli {a k } jest ograniczony, wtedy {a k } zmierza do pewnego a. We wszystkich 3 przypadkach granica istnieje. Dlatego lim sup zawsze istnieje. Granica dolna {x k } jest zdefiniowana jako granica przy k {b k } zdefiniowanego jako: i jest zapisywana jako: lim inf k x k. b k = inf {x k, x k+1, x k+2,...} Theorem Niech {x k } będzie ciągiem w R oraz A zbiorem wszystkich punktów skupienia {x k } (włącznie z ± ). Oznaczmy: } a = } lim sup k x k, b = lim inf k x k. Wtedy zachodzi: istnieją podciągi {x m(k) i {x l(k) takie, że x m(k) a i x l(k) b, a = sup A i b = inf A. 16

18 Z powyższego twierdzenia wynika, że lim sup k x k lim inf k x k. Ostra nierówność zachodzi np. dla ciągu {x k } = {0, 1, 0, 1, 0, 1,...}, który ma lim sup k x k = 1 i lim inf k x k = 0. Theorem Ciąg {x k } w R jest zbieżny do granicy x R, wtedy i tylko wtedy, gdy lim sup k x k = lim inf k x k = x. Theorem Ciąg {x k } w R n jest zbieżny do granicy x, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podciąg {x k } jest zbieżny do x. Przykład 1: dany jest ciąg x k = ( 1) k /k. Dla k nieparzystego mamy a k = 1/ (k + 1), dla parzystego a k = 1/k, a zatem lim sup k x k = 0. Przykład 2: dany jest ciąg x k = sin k, wtedy można udowodnić, że a k = 1, a zatem lim sup k x k = Zadania Zadanie 1. Znaleźć granicę dolną i górną następujących ciągów: x k = ( 1) k dla k = 1, 2,... x k = k ( 1) k dla k = 1, 2,... x k = ( 1) k + 1/k dla k = 1, 2,... x k = 1 dla k parzystych, x k = k/2 dla k nieparzystych, k = 1, 2,.... 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... Zadanie 2. Znajdź kres dolny, górny, maksimum, minimum następujących zbiorów: X = {x [0, 1] x jest niewymierne} X = {x x = 1/n, n = 1, 2,...} X = {x x = 1 1/n, n = 1, 2,...} X = {x [0, π] sin x > 1/2} Laboratoria 1. Zadania na 3.0 (a) Napisać metodę w klasie Sequence zwracającą informację czy dany ciąg jest ciągiem malejącym, rosnącym, ściśle malejącym, ściśle rosnącym, stałym. (b) Sprawdzić czy podane ciągi w poprzednim konspekcie w zadaniu na 5.0 są ciągami rosnącymi, malejącymi, itd. (c) Napisać metodę w klasie Sequence zwracającą maksimum i minimum dla ciągów dla zdefiniowanego dużego przedziału, przetestować dla ciągów z poprzedniego konspektu. 17

19 2. Zadania na 4.0 (a) napisać metodę dla klasy Sequence sprawdzającą czy dany ciąg jest zbieżny za pomocą kryterium Cauchy ego. 3. Zadania na 5.0 (a) Napisać metodę w klasie Sequence zwracającą najdłuższy podciąg stały, rosnący, malejący podanego ciągu w zdefiniowanym dużym przedziale. Wskazówka: można zaimplementować algorytm podany tutaj: Wprowadzenie do metod numerycznych Kule otwarte, zbiory otwarte, zbiory domknięte Niech x R n. Kula otwarta B (x, r) ze środkiem x i promieniem r > 0 jest zdefiniowana jako: B (x, r) = {y R n d (x, y) < r} Po zastąpieniu nierówności ostrej nierównością słabą otrzymujemy kulę domkniętą B z (x, r). Zbiór S w R n nazywamy otwartym, jeśli dla każdego x S istnieje r > 0 takie, że B (x, r) S. Intuicyjnie zbiór S jest otwarty, gdy z każdego punktu x S możemy przemieścić się na małą odległość w dowolnym kierunku bez opuszczania S. Zbiór S w R n jest domknięty, kiedy jego dopełnienie S c = {x R n x / S} jest otwarte. Theorem Zbiór S R n jest domknięty, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {x k } takiego, że dla każdego k x k S, zachodzi x k x, gdzie x S. Przykładem zbioru domkniętego jest domknięty przedział jednostkowy [0, 1] = {x R 0 x 1}, a zbioru otwartego otwarty przedział jednostkowy (0, 1) = {x R 0 < x < 1}. Istnieją ponadto zbiory, które nie są otwarte i nie są domknięte. Przykładowo [0, 1) = {x R 0 < x 1} oraz (0, 1] = {x R 0 x < 1} Zbiorami w przestrzeni euklidesowej, które są zarówno otwarte jak i domknięte są tylko zbiór pusty i cała przestrzeń Zbiory ograniczone i zbiory zwarte Zbiór S R n nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje r > 0 takie, że S B (0, r). Czyli gdy zbiór jest całkowicie zawarty w pewnej kuli otwartej ze środkiem w punkcie 0. Przykładowo przedział (0, 1) jest zbiorem ograniczonym w R, natomiast zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony. Zbiór S R n jest zwarty, jeśli dla } każdego ciągu punktów {x k } takiego, że dla każdego k x k S, istnieje podciąg {x m(k) oraz istnieje x S takie, że x m(k) x. Opisowo zbiór jest zwarty, jeśli każdy jego ciąg zawiera podciąg zbieżny do granicy ze zbioru S. Jeśli S R n jest zwarty, to S musi być ograniczony, ponieważ gdyby nie był ograniczony to istniałby ciąg {x k } w S taki, że x k > k, a taki ciąg nie może zawierać podciągu zbieżnego. Podobnie, jeśli zbiór jest zwarty, to musi 18

20 być również domknięty. Jeśli by tak nie byłoby, to istniałby {x k } w S taki, że x k x, gdzie x / S. Wszystkie podciągi wtedy również zmierzają do x, co stoi w sprzeczności z definicją zwartości. Zachodzi ponadto twierdzenie w drugą stronę, w sumie: Theorem Zbiór S R n jest zwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony Kombinacje wypukłe, zbiory wypukłe Dana jest kolekcja punktów x 1,..., x m R n. Punkt z R n jest kombinacją wypukłą punktów (x 1,..., x m ), jeśli istnieje λ R m spełniające λ i 0, i = 1,..., m i m i=1 λ i = 1 takie, że z = m i=1 λ i x i. Zbiór S R n jest wypukły, jeśli każda kombinacja wypukła każdej pary punktów z S jest w S. Intuicyjnie S jest wypukły, jeśli odcinek łączący dowolne dwa punkty w S jest całkowicie zawarty w S. Przykładowo otwarty i domknięty przedział jednostkowy są wypukłe, hiperkula domknięta D = {x R n x 1} jest również wypukła. Okrąg jednostkowy { } C = x R 2 x = 1 nie jest wypukły, ponieważ dla punktów ( 1, 0) C i (1, 0) C istnieje kombinacja wypukła z = (0, 0) / C. Powyższy punkt jest kombinacją wypukłą, ponieważ dla λ = (0.5, 0.5) mamy 0.5 [ 1, 0]+0.5 [1, 0] = [0, 0]. Zauważmy również, że dla podanych dwóch punktów mogą istnieć kombinacje wypukłe należące do C Suma zbiorów, przekrój zbiorów Zbiór A indeksuje kolekcje zbiorów S, jeśli S a S jest zdefiniowany dla każdego a A oraz dla każdego S i S istnieje a A. Kolekcja zbiorów S będzie oznaczana jako (S a ) a A. Jeśli zbiór indeksowy zawiera skończoną liczbę elementów będzie zwany skończonym zbiorem indeksowym, w przeciwnym wypadku dowolnym zbiorem indeksowym. Jeśli B A, wtedy kolekcja (S b ) b B jest nazywana podkolekcją. Skończona podkolekcja będzie oznaczana jako (S ϕ ) ϕ B Dla dowolnej kolekcji (S a ) unia kolekcji zapisywana jako a A S a i przecięcie kolekcji zapisywane jako a A S a są zdefiniowane następująco: S a = {x R n x S a dla pewnego a A} a A a A S a = {x R n x S a dla kazdego a A} Theorem (Prawo de Morgana). Niech A będzie dowolnym zbiorem indeksowym. Niech (G a ) będzie kolekcją zbiorów indeksowanych przez A. Wtedy: ( ) c G a = G c a a A a A 19

21 ( ) c G a = G c a a A a A Theorem Niech A będzie dowolnym zbiorem indeksowym. Załóżmy, że dla każdego a A, G a jest zbiorem otwartym. Wtedy a A G a jest również otwarta. Theorem Niech A będzie dowolnym zbiorem indeksowym. Załóżmy, że dla każdego a A, H a jest zbiorem domkniętym. Wtedy a A H a jest również domknięte. Theorem Niech G 1,..., G l będą zbiorami otwartymi, gdzie l jest dodatnie. Wtedy li=1 G i jest otwarty. Theorem Niech H 1,..., H l będą zbiorami domkniętymi, gdzie l jest dodatnie. Wtedy l i=1 H i jest domknięta. Warto zaznaczyć, że dwa powyższe twierdzenia są spełnione tylko dla skończonych kolekcji G i H. Przykładowo niech A = {1, 2, 3,...}. Załóżmy, że dla każdego a A G a będzie otwartym przedziałem (0, 1 + 1/a), zaś H a będzie zamkniętym przedziałem [0, 1 1/a]. Wtedy ( a A G a) = (0, 1] nie jest zbiorem otwartym, a zbiór ( a A H a) = [0, 1) nie jest zbiorem domkniętym. Dla podkolekcji (S b ) b B mówimy, że podkolekcja ma niepuste przecięcie, gdy ( b B S b). Theorem Niech (S a ) a A będzie kolekcją zbiorów zwartych w R n taką, że każda skończona podkolekcja (S ϕ ) ϕ B ma niepuste przecięcie. Wtedy cała kolekcja ma niepuste przecięcie: ( a A S a). Theorem Niech (S k ) k N będzie kolekcją zbiorów zwartych w R n, która jest zagnieżdżona, to znaczy dla każdego k S k+1 S k. Wtedy k=1 S k. Warto zaznaczyć, że w dwóch powyższych twierdzeniach kolekcja musi składać się ze zbiorów zwartych. Przykładowo dla k N niech S k = [k, ). Zbiory S k nie są zwarte, są domknięte, ale nieograniczone. Kolekcja (S k ) k N jest zagnieżdżona, ale iloczyn zbiorów S k jest pusty, ponieważ dla x R, możemy wziąść k > x, i wtedy x / S k. Zdefiniujmy sumę zbiorów S 1 i S 2 S 1 + S 2 jako: S 1 + S 2 = {x R n x = x 1 + x 2, x 1 S 1, x 2 S 2 } Theorem Jeśli S 1 i S 2 są zwarte, to S 1 + S 2 też jest zwarty. Warto zaznaczyć, że zbiory muszą być zwarte, nie mogą być tylko domknięte. Przykładowo: niech S 1 = { (x, y) R 2 xy = 1 } oraz S 2 = { (x, y) R 2 xy = 1 }. Zbiory S 1 i S 2 są domknięte. Dla każdego k = 1, 2, 3,... zachodzi (k, 1/k) S 1 i ( k, 1/k) S 2, z tego wynika, że (0, 2/k) S 1 + S 2. Ten ciąg zmierza do (0, 0), które nie może należeć do S 1 + S 2, ponieważ (0, 0) może należeć do S 1 + S 2 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje punkt (x, y) S 1 taki, że ( x, y) S 2. Ale xy = ( x) ( y), dlatego (x, y) S 1 implikuje ( x, y) S 1. Kolekcja zbiorów otwartych (S a ) a A w R n jest pokryciem otwartym danego zbioru S R n, jeśli S S a a A 20

22 Pokrycie otwarte posiada skończone podpokrycie, jeśli istnieje skończona podkolekcja (S ϕ ) ϕ F taka, że S ϕ F Wskażemy przykłady zbiorów S i otwartych pokryć (S a ) a A zbioru S, takich, które nie dopuszczają skończonych podpokryć. Przykład: niech S będzie domkniętym, nieograniczonym przedziałem [0, ) i A = N. Dla każdego k N definiujemy S k jako (k 2, k + 2). Oczywiście (S k ) k N jest pokryciem otwartym, które nie posiada skończonego podpokrycia. Przykład 2: Niech S będzie zbiorem ograniczonym, otwartym (0, 1) i A = N. Dla każdego k N niech S k = (1/ (k + 2), 1/k). Możemy zauważyć, że k N S k = (0, 1) = S, co jest równoważne temu, że wybrana kolekcja S k jest pokryciem otwartym. Zauważmy, że kolekcja ta nie posiada skończonego podpokrycia. Niech będzie dany skończony zbiór {k 1,..., k l }. Niech k = max {k 1,..., k l }. Jeśli dane jest x takie, że 0 < x < 1/ (k + 2), wtedy x / l j=1 S kj, co implikuje, że żadna skończona podkolekcja nie pokrywa S. Theorem Zbiór S w R n jest zwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy każde otwarte pokrycie S posiada skończone podpokrycie. Theorem Niech (S a ) a A będzie kolekcją zbiorów wypukłych w R n. Wtedy a A S a jest też wypukły. Theorem Załóżmy, że S 1 i S 2 są zbiorami wypukłymi w R n, wtedy S 1 + S 2 też jest wypukły. Jeśli S 1 i S 2 są wypukłe to nie możemy twierdzić, że S 1 S 2 też jest wypukłe. Przykładowo S 1 = [0, 1], S 2 = [2, 3]. Obydwa zbiory są wypukłe, ale ich suma nie Zadania Zadanie 1. Niech A R 2 będzie zdefiniowany jako: { } A = (x, y) R 2 : 1 < x < 2 i y = x Czy A jest otwarty, ograniczony, zwarty? Zadanie 2. Niech A = {1, 1/2, 1/3,..., 1/n,...} {0}. Czy A jest domknięty, czy A jest zwarty? Zadanie 3. Niech A R 2 będzie zdefiniowany jako: A = {(x, y) R 2 : y = sin 1 } x, x > 0 {(0, 0)} Czy A jest domknięty, otwarty, ograniczony, zwarty? Zadanie 4. Niech A = [ 1, 0) i B = (0, 1]. Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia: 1. A B jest zwarty S ϕ 2. A + B = {x + y : x A, y B} jest zwarty 3. A B jest zwarty 21

23 2.3.6 Laboratoria 1. Zadania na 3.0 (a) Napisać funkcję sprawdzającą czy dana lista punktów należy do podanego okręgu. Funkcja przyjmuje jako parametry listę punktów oraz obiekt klasy okrąg. Punkty powinny być wygenerowane losowo. 2. Zadania na 4.0 (a) Napisać funkcję znajdującą okrąg o najmniejszym możliwym promieniu zawierający losowo wygenerowane punkty na płaszczyźnie. Funkcja przyjmuje jako parametr listę punktów. 3. Zadania na 5.0 (a) Napisać podobną funkcję jak w zadaniu na 4.0 tylko dla przypadku 3d. 2.4 Wprowadzenie do metod numerycznych Macierze Macierz A n m jest zdefiniowania jako tablica: a 11 a a 1m a 21 a a 2m A = a n1 a n2... a nm gdzie a ij jest liczbą rzeczywistą dla każdego i {1,..., n} i j {1,..., m}. Oznaczenie a ij odnosi się do (i, j)-elementu macierzy A. Używamy również zapisu A = (a ij ). Wektor [a i1,..., a im ] jest nazywany i-tym wierszem macierzy A i jest oznaczany jako A r i. Wektor a 1j. a nj jest nazywany j-tą kolumną macierzy A i będzie oznaczane jako A c j. Wobec powyższych oznaczeń: a 11 a a 1m A a 21 a a r 1 2m A =..... =. = [A c 1,..., A c m]. A a n1 a n2... a r n nm 22

24 Suma macierzy A i B o wymiarach n m oznaczana jako A + B jest macierzą n m zdefiniowaną jako: a 11 + b a 1m + b 1m A + B =..... a n1 + b n1... a nm + b nm Suma macierzy jest zdefiniowana tylko dla macierzy o tych samych wymiarach. Jeśli A jest macierzą n m, B jest macierzą m k to ich iloczyn AB jest macierzą n k, której element (i, j) jest iloczynem skalarnym A r i i Bc j. A r 1 Bc 1 A r 1 Bc 2... A r 1 Bc k A r 2 AB = Bc 1 A r 2 Bc 2... A r 2 Bc k A r n B1 c A r n B2 c... A r n Bk c Dla każdego i {1... n} i j {1... k} mamy A r i Bc j = m l=1 a il b lj. Iloczyn macierzy jest zdefiniowany tylko gdy liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B. W ogólności AB nie jest tym samym co BA. Jeśli A ma rozmiar n m, B ma rozmiar m k, wtedy AB jest zdefiniowane, ale BA jest zdefiniowane tylko gdy n = k. Theorem Dodawanie i mnożenie macierzy mają następujące własności: 1. A + B = B + A 2. dodawanie jest łączne (A + B) + C = A + (B + C). 3. mnożenie jest łączne (AB) C = A (BC). 4. mnożenie jest rozdzielne względem dodawania A (B + C) = AB + AC Macierz transponowana do A, zapisywana jako A to macierz, której element (i, j) jest równy a ji. Jeśli A ma rozmiar n m, to A ma rozmiar m n. Przykładowo: a 11 a 12 A = a 21 a 22 a 31 a 33 [ ] A a11 a = 21 a 31 a 12 a 22 a 32 Macierz transponowana ma następujące własności: (A + B) = A + B (AB) = B A W ostatniej własności iloczyn AB jest zdefiniowany, wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn B A jest zdefiniowany. Często wektor x R n w algebrze traktuje się jako wektor kolumnowy, to znaczy macierz o wymiarach n 1, wtedy wektor wierszowy jest oznaczany jako x i jest macierzą 1 n. 23

25 Szczególne typy macierzy Macierz diagonalna to taka, że a ij = 0 dla i j. Macierz kwadratowa to macierz A o wymiarach n m, gdzie n = m. Wartość n = m jest nazywana stopniem macierzy. Elementy A a ii dla i = {1,..., n} są nazywane elementami diagonalnymi, pozostałe zaś niediagonalnymi. Macierz kwadratowa jest macierzą symetryczną, jeśli dla każego i, j {1,..., n} zachodzi a ij = a ji. Macierz diagonalna D stopnia n to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy niediagonalne są zerami. Każda macierz diagonalna kwadratowa jest symetryczna. d d D = d nn Macierz jednostkowa stopnia n to macierz kwadratowa, której elementy diagonalne są jedynkami, a niediagonalne zerami I = Macierz jednostkowa jest macierzą diagonalną. Macierz jednostkowa ma następującą własność: jeśli A ma wymiary k n, a B wymiary n m, to wtedy AI = A oraz IB = B, w szczególności I 2 = II = I. Macierz dolnotrójkątna stopnia n to macierz kwadratowa D, w której wszystkie elementy powyżej głównej przekątnej są zerami: d d 21 d D = d n1 d n2... d nn Macierz górnotrójkątna stopnia n to macierz kwadratowa D, w której wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są zerami: d 11 d d 1n 0 d d 2n D = d nn Macierz transponowana do górnotrójkątnej jest macierzą dolnotrójkątną i odwrotnie. Macierz schodkowa n m to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a wiersze zerowe umieszcza 24

26 się jako ostatnie. Dla macierzy kwadratowej macierz schodkowa jest macierzą górnotrójkątną. Przykład macierzy schodkowej: D = Macierz klatkowa to macierz, której elementami są inne macierze. Przykład: macierz P = może być zapisana w postaci klatkowej: [ P11 P P = 12 P 21 P 22 ] gdzie P 11 = [ ] P 12 = [ ] P 21 = [ ] P 22 = [ ] Rząd macierzy Niech będzie dany skończony zbiór wektorów x 1,..., x k R n. Wektory te są liniowo zależne, jeśli istnieją liczby rzeczywiste a 1,..., a k, takie, że dla pewnego i, a i 0 oraz a 1 x a k x k = 0 Jeśli jednym rozwiązaniem powyższej równości jest α 1 = = α k x 1,..., x k są liniowo niezależne. Przykładowo wektory [ ] [ ] [ ] x = y = z = = 0, to wektory są liniowo zależne, ponieważ x + 3y 2z = 0. Następujące wektory są liniowo niezależne x = 0 y = 1 z = Niech A będzie macierzą n m. Rząd wierszowy A, zapisywany jako p r (A) jest zdefiniowany jako maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy A. Rząd wierszowy A wynosi k, jeśli zachodzą warunki: istnieje podzbiór (l 1,..., l k ) k różnych liczb ze zbioru {1,..., n} takich, że wektory A r l 1,..., A r l k są liniowo niezależne. 25

27 dla każdego podzbioru (l 1,..., l k+1 ) k + 1 różnych liczb ze zbioru {1,..., n}, wektory A r l 1,..., A r l k+1 są liniowo zależne. Jeśli k = n to drugi warunek nie jest konieczny. Rząd kolumnowy A zapisywany jako p c (A) jest zdefiniowany jako maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn A. Zachodzi p r (A) n, p c (A) m. Theorem Rząd wierszowy p r (A) jest równy rzędowi kolumnowemu p c (A). Rząd macierzy oznaczany jest jako p (A). Zachodzi p (A) min {m, n}. Theorem Rząd macierzy A p (A) jest równy rzędowi macierzy transponowanej p (A ) Theorem Następujące operacje nie zmieniają rzędu macierzy. Dana jest macierz A n m. Macierz B n m powstała z A poprzez: zamianę dwóch dowolnych wierszy macierzy A pomnożenie każdego elementu w danym wierszu przez niezerową stałą a zamianę danego wiersza, np. i-tego na ten sam wiersz zsumowany z innym wierszem j pomnożonym przez stałą a posiada rząd p (B) ten sam co rząd A p (A). To samo twierdzenie jest spełnione dla kolumn. Macierz A m n jest pełnego rzędu, jeśli p (A) = min {m, n}. W szczególności macierz kwadratowa A stopnia n jest pełnego rzędu, jeśli p (A) = n. Theorem Niech A ma rozmiar m n Jeśli B ma rozmiar n k, to p (AB) min {p (A), p (B)}. Niech P i Q będą macierzami kwadratowymi stopnia m i n odpowiednio, które są pełnego rzędu. Wtedy p (P A) = p (AQ) = p (P AQ) = p (A) Theorem Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, czyli niezerowych wierszy. Przekształcanie macierzy do postaci macierzy schodkowej za pomocą operacji elementarnych i odczytanie na jej podstawie rzędu macierzy jest nazywane metodą Gaussa obliczania rzędu macierzy. Operacje elementarne to: przestawienie wierszy macierzy, pomnożenie wiersza przez niezerową stałą, zastąpienie wiersza innym wierszem pomnożonym przez dowolną stałą. 26

28 Odwracanie macierzy Dana jest macierz kwadratowa A o wymiarach n n. Macierz odwrotna, zapisywana jako A 1 jest zdefiniowana jako macierz B o wymiarach n n, która posiada własność: AB = I. Theorem Niech A będzie macierzą n n. Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia macierzy odwrotnej do A jest to, że rząd macierzy A jest równy n, albo równoważnie A 0. Jeśli A 1 istnieje, to jest unikalna, to znaczy dwie różne macierze B i C nie mogą być macierzami odwrotnymi macierzy A. Konstruowanie macierz odwrotnej: dana jest macierz spełniająca warunek A = 0. Weźmy pod uwagę podmacierze A powstające poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (o wymiarach (n 1) (n 1)). Wyznacznik takiej macierzy oznaczmy jako A (ij). Zdefiniujmy: C ij (A) = ( 1) i+j A (ij) gdzie C ij jest nazywane (i, j)-tym dopełnieniem algebraicznym A. Teraz konstruujemy macierz n n C (A) której (i, j)-ty element jest równy C ij (A). Macierz transponowana do C (A) jest nazywana macierzą dołączoną: Ostatecznie C 11 (A)... C n1 (A) Adj (A) =..... C 1n (A)... C nn (A) A 1 = 1 Adj (A) A Macierz odwrotna ma następujące własności: 1. Macierz odwrotna do A 1 jest równa A: ( A 1) 1 = A. 2. Macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest transpozycją macierzy odwrotnej: (A ) 1 = ( A 1). 3. (AB) 1 = B 1 A A 1 = 1/ A. 5. Macierz odwrotna do macierzy dolno lub górno trójkątnej jest również odpowiednio macierzą dolno lub górno trójkątną. Metoda Gaussa odwracania macierzy: za pomocą operacji elementarnych sprowadzić macierz klatkową [A I] do macierzy klatkowej [I B]. Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A, symbolicznie: [A I] [ I A 1]. Przykład: A = [ ]

29 Macierz odwrotna istnieje ( A = 2). [ [A I] = ] [ /2 7/2 ] Wyznaczniki Definicja permutacyjna. Będziemy rozważać macierze kwadratowe stopnia n. Wyznacznik to funkcja, która przyporządkowuje A liczbę rzeczywistą zapisywaną jako A. Dla danego zbioru {1,..., n} permutacja tego zbioru to zapisanie tych liczb w dowolnym porządku j 1,..., j n. Weźmy wybraną permutację i wybierzmy dowolne j i. Zliczmy liczby, które następują po j i w zdefiniowanym porządku i jednocześnie są od niej mniejsze. Liczba ta nazywa się liczbą inwersji spowodowaną j i. Jeśli wyznaczymy liczbę inwersji dla każdego j i z danej permutacji i je zsumujemy to otrzymamy całkowitą liczbę inwersji dla permutacji j 1,..., j n. Jeśli ta liczba jest nieparzysta, to permutację nazywamy permutacją nieparzystą, jeśli zaś parzystą to permutację nazywamy permutacją parzystą. Przykładowo mamy daną permutację {4, 2, 3, 1}. Liczba inwersji spowodowana liczbą 4 wynosi 3, dla liczby 2 wynosi 1, dla liczby 3 wynosi 1, dla liczby 1 brak inwersji. Suma wszystkich inwersji jest równa 5, a zatem jest to permutacja nieparzysta. Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n. Niech j 1,..., j n oznacza dowolną permutację zbioru {1,..., n}. Rozważmy wektor (a 1j1,..., a njn ). Wektor ten składa się z dokładnie jednego elementu z każdego wiersza i żadne dwa elementy tego wektora nie leżą w tej samej kolumnie. Weźmy iloczyn tych elementów a 1j1 a 2j2 a njn. Jeśli permutacja jest nieparzysta niech ten iloczyn ma znak ujemny, jest parzysta to dodatni. Suma wszystkich możliwych iloczynów zdefiniowanych jak powyżej jest liczbą zwaną wyznacznikiem macierzy A. Przykład: [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 A = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Theorem Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. 1. Jeśli macierz B powstaje z A poprzez przestawienie dwóch dowolnych wierszy macierzy A, wtedy B = A. 2. Jeśli B powstaje z A poprzez pomnożenie każdego elementu wybranego wiersza przez niezerową stałą a, wtedy B = a A. 3. Jeśli B powstaje z A poprzez zastąpienie wybranego wiersza A przez sumę tego wiersza i innego wiersza pomnożonego przez dowolną stałą a, wtedy B = A. 28

30 4. Jeśli A ma wiersz samych zer, wtedy A = Jeśli A jest macierzą dolnotrójkątną (lub górnotrójkątną) stopnia n, to A = a 11 a nn. W szczególności I = 1. Pierwsze cztery własności są prawdziwe również dla kolumn. Każda macierz, która powstaje z danej macierzy A o wymiarze n m poprzez usunięcie wybranych wierszy lub kolumn jest zwana podmacierzą A. Theorem Niech B będzie macierzą o wymiarze n m. Niech k będzie stopniem maksymalnej podmacierzy kwadratowej B, której wyznacznik jest niezerowy. Wtedy p (A) = k. W szczególności wiersze B są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy B zawiera podmacierz kwadratową stopnia n, której wyznacznik jest niezerowy. Macierz kwadratowa A stopnia n jest rzędu n, wtedy i tylko wtedy, gdy A 0. Rozwinięcie Laplace a. Zachodzi: n A = a ij C ij j=1 gdzie C ij to dopełnienie algebraiczne elementu a ij. Dopełnienie algebraiczne elementu a ij macierzy to wyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, pomnożony przez ( 1) i+j Przykład: A = = Operacje na macierzach [ ] 2 [ Operacje na macierzach przydatne w dowodzeniu. ] + 3 [ ] = = 0 (AB) T = B T A T (2.1) AA 1 = A 1 A = I (2.2) IA = A (2.3) AI = A (2.4) (AB) 1 = B 1 A 1 (2.5) ( T v A) T = A T v (2.6) A (BC) = (AB) C (2.7) (ca) B = c (AB) = (AB) c = A (Bc) (2.8) (A ) T 1 = (A 1) T (2.9) 29

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy... Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

A A A A A A A A A n n

A A A A A A A A A n n DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo