Zastosowania Równania Bernoullego - zadania

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowania Równania Bernoullego - zadania"

Anna Maj
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m 3 /s Aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia nasycenia (p 2 > p V ). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2: Ponieważ z 1 = z 2, a zrównania ciągłości wynika: p ρ g + v + z = p ρ g + v + z v = v D d Po podstawieniu otrzymamy: Jeśli się uwzględni, że: p = p ρ v 2 D d 1 p p to: Po podstawieniu wartości: v = 4 Q π D 8 g Q p π D D d 1 p 8 g Q p p + π D D d 1 p 8,3 10 Pa 1

2 Zadanie 2 Obliczyć średnicę d zwężki Venturiego niezbędną do zassania wody o gęstości ρ = 1000 kg/m 3, z naczynia na wysokość h = 0,8 m. Strumień objętości wody w rurociągu Q = 0,12 m 3 /s, średnica rurociągu D = 0,2 m, nadciśnienie w rurociągu p n = N/m 2. Aby nastąpiło zassanie wody z naczynia, podciśnienie w zwężce musi wynosić: p ρ g h Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 przybiera postać: Podstawiając: p ρ g + v = p ρ g + v v = 4 Q π D v = 4 Q π d p = p + p Otrzymujemy: p = p p 8 Q d = π p + p ρ g + 8 Q D Po uwzględnieniu p ρ g h 2 Dla danych wartości liczbowych: 8 Q d π g p ρ g + h + 8 Q D d 154 mm

3 Zadanie 3 Rurociągiem o średnicy D = 0,2 m przepływa powietrze o gęstości ρ = 1,2 kg/m 3. W osi rurociągu umieszczono rurkę Prandtla podłączoną do manometru hydrostatycznego wypełnionego alkoholem o gęstości ρ =780 kg/m 3. Wskazanie manometru h = 0,08 m. Obliczyć strumień objętości powietrza, jeśli φ = v sr / V ma x = 0,8. h D Q = π 0,2 4 v = 2 p ρ Q = π d 4 Q = π d 4 v v = φ v = 2 h (ρ ρ ) g ρ φ 2 h (ρ ρ ) g ρ 2 0,08 (780 1,2) 9,81 0,8 = 0,256 m 1,2 s 3

4 Zadanie 4 Kanałem prostokątnym szerokości b i głębokości h przepływa woda. Rurka Pitota zanurzona do połowy głębokości wskazuje spiętrzenie h = 0,2 m. Obliczyć średnią prędkość przepływu w przekroju kanału przyjmując, że profil prędkości opisany jest równaniem v=c z 0,5. h h/2 h Prędkość w połowie przekroju Stałą c w równaniu: v = h v = c z v = v z = h 2 stąd c = v Średnią prędkość przepływu obliczamy z zależności: v = Q A v b dz = b h v = = h 2 v z b dz h/2 b h = v b h/2 z dz b h 2 2 h = 2 9,81 0,2 = 1,87 m/s 3 = v 4

5 Zadanie 5 Przewodem o średnicy d = 0,05 m przepływa ciecz idealna o strumieniu Q = 0,01 m 3 /s. Na końcu przewodu jest umieszczony dyfuzor o średnicy wylotowej D = 0,1 m, którym ciecz wypływa do atmosfery. Obliczyć wysokość podciśnienia panującego w przekroju wlotowym dyfuzora. Równanie Bernoullego dla przekroju wlotowego i wylotowego dyfuzora ma postać: Po oznaczeniu wysokości podciśnienia Uwzględniając, że: Otrzymujemy: h = p ρ g + v = p ρ g + v p p ρ g = v v p p ρ g = h v = 4 Q π d v = 4 Q π D 8 Q π d g 1 d D = 8 Q0,01 π 0,05 1 0,05 9,81 0,1 = 1,24 m 5 Zadanie 6

6 Rurociągiem, przedstawionym na rysunku stosunku średnic D/d = 2, przepływa powietrze. Obliczyć stosunek wskazań manometrów z 1 / z 2 wypełnionych tą samą cieczą. 6 Ponieważ płyn jest doskonały, więc na całym odcinku rurociągu o średnicy d występuje ciśnienie p 1 i prędkość v 1, na odcinku o średnicy D natomiast odpowiednio p 2 i v 2. Z prawa naczyń połączonych dla obu manometrów otrzymamy. Z równania Bernoullego otrzymujemy: p + z ρ g = ρ v p + z ρ g = ρ v p 2 + p 2 + p ρ g + v = p ρ g + v p p = ρ v v Po podstawieniu tego wyrażenia do równań wynikających z prawa naczyń połączonych, otrzymamy: Zatem, Z równania ciągłości: Po podstawieniu: Zadanie 7 2 z = ρ ρ v z = ρ ρ v z = v z v v = D v d z = D z d = 16

7 Obliczyć prędkość v 1 przepływu powietrza o gęstości ρ = 1,2 kg/m 3 przez dyszę o średnicach d = 0,1 m, D = 0,2 m. Manometr różnicowy, wypełniony cieczą o gęstości ρ m =780 kg/m 3 wskazuje wychylenie h = 0,3 m. Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać: p ρ g + v = p ρ g + v Prawo naczyń połączonych dla punktów A i B, po pominięciu ciężaru słupa powietrza w stosunku do słupa rtęci, wyrażone jest równaniem: Z obu równań wynika, że: v = h ρ ρ p = p + ρ v 2 + ρ g h 2 9,81 0,3 780 = = 67,8 m/s 1,2 7 Zadanie 8

8 Woda przepływa ze zbiornika A do zbiornika B za pomocą lewara. Obliczyć średnicę lewara d niezbędną do uzyskania strumienia objętości Q= m 3 /s, dla różnicy poziomów h = 3m. Obliczyć także podciśnienie w kolanie lewara, gdy znajduje się ono na wysokości h = 2 m nad zwierciadłem zbiornika A. d v p b A B Napiszmy równanie Bernoullego przyjmując przekrój 1-1 na poziomie zwierciadła cieczy w zbiorniku A oraz przekrój 2-2 na wylocie z lewara p ρ g + z + h = p + ρ g z + v ρ g Q = v = h π d 4 h 4 Q d = π h = = 0,026 m π 2 9,81 3 Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 3-3 przez punkt szczytowy lewara będzie miało postać: stąd p ρ g = p p ρ g + h + v p = ρ v 2 + ρ g h = ρ g ( h + h) = ,81 (3 + 2) = Pa 8 Zadanie 9

9 Pompa pobiera wodę ze studni o głębokości H = 5m w ilości Q= m 3 /s rurociągiem o średnicy d = 0,05 m. Na jakiej dopuszczalnej wysokości h nad ziemią można ustawić pompę, aby mogło nastąpić zassanie wody. Opory przepływu w odcinku ssawnym pompy pominąć. Przyjąć p b =10 5 N/m 2 oraz ciśnienie nasycenia wody p V = N/m 2. Rozwiązania: Równanie Bernoullego dla przekroju 1-1 leżącego na zwierciadle wody w studni oraz przekroju wlotowego pompy 2-2 będzie miało postać: W celu zachowania ciągłości przepływu p ρ g = P ρ g + v + H + h Zatem p p h p p ρ g v H Po podstawieniu wartości: h p p ρ g 8 Q H d h 4,8 m 9 Zadanie 10

10 Z zamkniętego zbiornika, w którym panuje nadciśnienie p n = 0, N/m 2 wypływa ciecz doskonała przez przewód o średnicy D = 0, 08 m, konfuzor o długości l=0, 2 m i przewód o średnicy d=0, 04 m. Obliczyć rozkład ciśnienia w konfuzorze, gdy H = 2 m, a do atmosfery wpływa ciecz o ciśnieniu P b = 10 5 N/m 2. Prędkość wypływu płynu ze zbiornika: Natomiast ciśnienie v = v = p ρ g + H p = p Równanie Bernoullego dla przekroju x-x i przekroju 2-2 będzie miało postać Stąd p ρ g + v = p ρ g + v p = p + ρ 2 (v v ) Z równania ciągłości otrzymamy: v = v d d Gdzie d = D x (D d) I Po podstawieniach i redukcji równanie opisujące rozkład ciśnienia w konfuzorze przybiera postać: Ciśnienie w przekroju wlotowym 1-1: d p = p + (p + ρ p H) 1 D x (D d) I 10 p = p + (p + ρ p H) 1 d D Dla danych wartości: Zadanie 11 p = 1, Pa

11 Obliczyć prędkość v z jaką ciecz doskonała będzie wypływać z fontanny Herona oraz wysokość H, na jaką podniesie się struga, jeśli h 1 = 25 m, h 2 = 5 m, h 3 = 1 m. h1 h2 h3 H Z prawa naczyń połączonych wynika, że na powierzchnię cieczy z zbiorniku III działają nadciśnienie h 1. Ponieważ zbiornik II jest połączony ze zbiornikiem III przewodem C, więc na powierzchnię cieczy w zbiorniku II działa to samo nadciśnienie co w zbiorniku III. Na podstawie prawa naczyń połączonych otrzymuje się równanie: h = h + h + H Skąd: H = h (h + h ) = 25 (5 + 1) = 19 m Prędkość w przekroju wylotowym można obliczyć ze wzoru Torricellego: v = h = 19,3m/s 11 Zadanie 12

12 W rurociąg o średnicy D = 0,18 m wbudowano zwężkę Venturiego o średnicy przewężenia d = 0,06 m. Do zwężki podłączono manometr rtęciowy. Obliczyć strumień objętościowy wody, jeśli wysokość mierniczego spadku ciśnienia h m =0,25 m, ρ = 1000 kg/m 3, ρ r = kg/m 3. Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 będzie miało następującą postać: po przekształceniach: p ρ g + v = p ρ g + v p p = ρ 2 (v v ) Z równania ciągłości: Zatem v = v D d p p = ρ v 2 D d 1 v = 2 (p p ) ρ 1 D d 1 Różnicę ciśnień p 1 -p 2 można obliczyć na podstawie prawa naczyń połączonych: stąd Po podstawieniu: p + ρ g z = p + ρ g (z h ) + h ρ g Q = π D 4 p p = h (ρ ρ) g 2 h (ρ ρ) g ρ 1 D d 1 12 Po podstawieniu wartości liczbowych: Zadanie 13. Q = 0,124 m s

13 Zbiornik hydroforowy jest wypełniony cieczą idealną o gęstości ρ = 1000 kg/m 3 do wysokości H = 2 m. Na zwierciadło wody działa nadciśnienie p n = N/m 2. W pewnym momencie w zbiorniku został wykonany mały otwór na wysokości H 1 =1,5 m. Obliczyć w jakiej odległości s od zbiornika nastąpi zetknięcie strumienia z poziomem dna. Drogę przebytą przez strumień można obliczyć w dwu kierunkach: poziomym i pionowym. Ponieważ w kierunku poziomym ruch jest jednostajny, więc w czasie t zostanie przebyta droga : s = v t Natomiast w kierunku pionowym dla ruchu jednostajnie przyspieszonego: H = Ponieważ czas ruchu strumienia w obu kierunkach jest jednakowy i parametr t można z obu równań wyeliminować, więc: Jeśli się uwzględni, że: g t 2 s = v 2 H g To: v = p ρ g + H H s = 2 p ρ g + H H H s = ,5 1,5 = 17,4 m ,81 13

Podobne dokumenty

Zadanie 1. Zadanie 2.

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 1. Określić nadciśnienie powietrza panujące w rurociągu R za pomocą U-rurki, w której znajduje się woda. Różnica poziomów wody w U-rurce wynosi h = 100 cm. Zadanie 2. Określić podciśnienie i ciśnienie