RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA

Transkrypt

1 RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA Przepływ osiowo-symetryczny ustalony to przepływ, w którym parametry nie zmieniają się wzdłuż okręgów o promieniu r, czyli zależą od promienia r i długości z, a nie od kąta α R = m 2v 2 + p 2 A 2 x 2 (m v + p A x ) F m -reakcja kanału na strugę W perspektywie osiowosymetrycznej z powodu symetrii działają jedynie siły poosiowe (w kierunku z). Moment względem osi wirnika od prędkości ma postać m 2r 2 v 2n i m r v n. Napory elementarne od ciśnienia (siły) p 2 A 2 i p A posiadają kierunek osi z. Momenty ich względem osi z są równe 0. F siły wypadkowe od ciśnień leżą w osi (r=0) Analogicznie można uprościć siły od naprężeń strug τ da i τ 2 da 2

2 Ostatnia siła, Fm siła masowa, jest to moment od masy zawartej w kanale. Ponieważ masa jest równomiernie rozłożona wokół osi to wypadkowa siły leży na osi, czyli moment jest równy zero. Moment od siły R, z jaką kanał oddziaływuje na przepływ wynosi : M r = m 2r 2 v 2n m r v n m (r 2 v 2n r v n ) Ponieważ (m v) r nazywamy momentem pędy strumienia, dlatego związek nazywamy równaniem momentów pędu strumienia lub rów. momentów ilości ruchu strumienia ZASADA PRACY MASZYN PRZEPŁYWOWYCH Zasada działania maszyn bazuje na zasadzie zachowania energii (I ZT). Jeżeli energia na wlocie maszyny E jest większa od energii na wylocie z maszyny E 2, to z maszyny zostaje wyprowadzona praca, gdy E < E 2 to do maszyny doprowadzamy pracę. S nieruchomy stojan W obracający się wirnik Doprowadzając parę do turbiny mamy wysokie ciśnienie P 0 i na stojanie dochodzi do rozprężenia (P maleje, v rośnie, dzieje się tak dlatego że początek łopatki jest grubszy od końców A 0 < A ) i ukierunkowania strugi (α) Dlatego moment pędu strumienia w przekroju wynosi: m r sr v n Następnie struga wpada na wieniec wirnika i odgina się o (α2) i wylatuje z v2. Moment pędu strumienia wynosi: m r sr v 2n (minus pochodzi od kierunku v)

3 Różnica momentów to: m r sr v 2n m r sr v n czyli moment z jakim para pcha wirnik wynosi: Moc turbiny to: M r = m r sr v 2n + m r sr v n = m r sr (v 2n + v n ) N = ω( M r ) = m r sr ω(v 2n + v n ) = m u(v 2n + v n ). Analogiczne działanie towarzyszy pompie. POMPA LUB SPRĘŻARKA. Kanał na wlocie pompy jest większy przekrój A0 niż na wylocie A (zamiana ciśnienia na prędkość) więc rośnie moment. 2. Rośnie promień więc rośnie moment.

4 SILNIK ODRZUTOWY m pow+ m pal m pow R = m v + p A (m 2v 2 + p 2 A 2 ) Ponieważ λ>> m m 2 m R=m (v v 2 ), gdy p A p 2 A 2 SILNIK RAKIETOWY

5 R=m 2 v 2 + p 2 A 2 PRZEPŁYW JEDNOWYMIAROWY Jest to przepływ w kanale gdy przekroje zmieniają się łagodnie, czyli zmiany profilu są łagodne. Są to przepływy w rurociągu. Średnia prędkość przepływu w rurze wynosi: v sr = a vda A A = V A

6 - związek pomiędzy v(s), p(s), ρ(s) Niech w przestrzeni kontrolnej panują: RÓWNANIE BERNOULLIEGO v=v p=p ρ = ρ v 2 = v + dv p 2 = p + dp ds, (*) ds ρ 2 = ρ + dρ zaś pole przekroju wynosi: A=A A 2 = A + da

7 v p A v + dv p + dp ρ + dρ A + da Zgodnie z równaniem pędu na elementy płynu działają siły pochodzące od ciśnienia i naprężeń stycznych (zakładamy zgodnie z równaniem pędu, że oddziaływanie jest jedynie od powierzchni zamkniętych) Siła działająca w kierunku ds ma postać: () dr = p da da ds-τdv= p ds-τlds ds ds pow. ścianki bocznej obwód pow. A Zmiana dr zgodnie z równaniem pędu wytworzona jest z różnic -2. Po wprowadzeniu związków (*) otrzymamy: (2) dr=m (v + dv ds dρ da ds) + (ρ + ds) (A + ds) (m v+ ρa) df ds ds m s= =m dv ds ds + d ds (da)ds df m s Gdzie dfm-s jest rzutem siły masowej na kierunek ds, dla rurociągu poziomego jest to zero. Z przyrównania równania () i (2) otrzymamy: -podstawiając m = ρav -dzieląc przez dv=ads p + da ds- τlds = m dv ds ds dp da ds + A ds+ p ds ds ds-dfm-s

8 d ds ( 2 v2 ) + dρ ρ ds df m s ρ dv = τ L ρ A Gdzie: A L = r h promień hydrauliczny, a df m s dm = g cos α, jest rzutem wektora na kierunek s (dm = gdv) d ds ( 2 v2 ) + dρ τ + g cos α = ρ ds ρr h / ds Całkując od -2; mnożąc przez (-) d ( 2 v2 ) + τ dp + gdz = ds ρ ρr h 2 v v ρ 2 2 dp + g(z z 2 ) = τ ds ρr h = h 2 Wyraz h 2 oznacza straty w przepływie, wyznaczenie ich na drodze analitycznej jest bardzo trudne dlatego w technice straty wyznacza się eksperymentalnie. Zakładając, że straty te są równe 0 uzyskamy równanie Bernoulliego: 2 ρv2 + p + ρgz = constant 2 ρ v 2 + p + ρ gz = 2 ρ 2v p 2 + ρ 2 gz 2 bilans ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BERNOULLIEGO. Wypływ ze zbiornika

9 2 ρ v 2 + p + ρ gz = 2 ρ v p 2 + ρ gz 2 p=p2, v= A 2 A v 2 - z równania ciągłości czyli v 2 2 [ ( A 2 A ) 2 ] = 2gH v 2 = 2gH ( A 2 A ) 2 gdy A 2 A <0, to v 2 2gH 2. Ciśnienie w punkcie stagnacji v2>v to p2<p l2>l F>F2 ρv p 0 + ρgz 0 = ρv p + ρgz np. skrzydło samolotu lub samochodu z=z0, v=0 (stagnacja) p = pst = 2 ρ 0v p 0 = p max 3. Pomiar ciśnienia całkowitego (rurka Pitota)

10 pc = 2 ρv 2 + p = pc2 = = pst2 = gh(ρ c ρ) 4. Pomiar ciśnienia dynamicznego przy użyciu rurki Prandtla Ciśnienie różnic to pd = pc-pst = 2 ρv 2 2 Zastosowanie: -wyznaczanie profili prędkości -wyznaczanie m i V 5. Przepływ przez kanały rozszerzające się lub zwężające:

11 Zwężka Venturiego pc=ph+pd+pst ph=ρgh pd= 2 ρv2 v m = m 2 2 ρv 2 + p = 2 ρv p 2 p = p p 2 = 2 ρ(v 2 v 2 2 ) z równania ciągłości v 2 2 = ( A A 2 ) 2

12 m- moduł m=d2/d STRATY PRZEPŁYWU Wykres Nikuradse:

13 Współczynnik strat miejscowych dla kolan ZM w zależności od ich geometrii. z Profil rurociągu pc=ph+pd+pst straty ρgz ρv 2 2 v m = m 2. Podzielić rurociąg na odcinki różniące się średnicą. 2. Na każdym wyróżnić odcinki prostoliniowe o stałej średnicy. 3. To, co nie jest prostą rurą stanowi problem w obliczeniach, często straty na kolankach liczy się wzorem, podanym przez producenta.