ZYGMUNT TOWAREK MECHANIKA OGÓLNA. Zagadnienia wybrane. Część II KINEMATYKA. Część I STATYKA. Część III DYNAMIKA

Transkrypt

1 ZYGMUNT TOWAREK MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Część I STATYKA Część II KINEMATYKA Część III DYNAMIKA Politechika Łódzka 017

2 Zygmut Towarek MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Wydaie II uzupełioe Łódź 017

3 Recezeci: prof. dr hab. iż. Wiesław Ostachowicz prof. dr hab. iż. Ja Osiecki Redaktor Naukowy Wydziału Orgaizacji i Zarządzaia prof. dr hab. iż. Tomasz Kapitaiak Copyright by Politechika Łódzka 017 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ Łódź, ul. Wólczańska 3 tel , fax zamowieia@ifo.p.lodz.pl ISBN Nakład 00 egz. Ark. druk. 16,0. Papier offset. 80 g, 70 x 100 Druk ukończoo w maju 017 r. Wykoao w Drukari Quick-Druk, Łódź, ul. Łąkowa 11 Nr 18

4 Prezetowae opracowaie jest drugim wydaiem skryptu Mechaika ogóla. Zagadieia wybrae. Wydaie to zostało uzupełioe liczymi przykładami zadań, mających ułatwić zrozumieie i przyswojeie materiału teoretyczego, przedstawioego w postaci twierdzeń, defiicji i wzorów. Skrypt przezaczoy jest dla studetów uczeli techiczych i dostosoway do programu przedmiotu mechaika techicza. Skrypt zawiera treści prowadzoego a kilku kierukach Wydziału Mechaiczego Politechiki Łódzkiej wykładu z mechaiki techiczej i staowi podstawową wiedzę z mechaiki puktu i ciała sztywego, iezbędą do studiowaia wielu przedmiotów techiczych a wszystkich specjalościach tego Wydziału. Jest o rówież formą podręczego poradika dla iżyierów zajmujących się kostruowaiem i eksploatacją dyamiczą maszy i urządzeń. Myślę więc, że przygotoway skrypt będzie iteresującą pozycją dla wielu studetów i iżyierów, którzy chcą ie tylko pozać, ale i wykorzystać w pracy iżyierskiej podstawową wiedzę z mechaiki. Autor

5

6 SPIS TREŚCI WSTĘP... 9 CZĘŚĆ I. STATYKA Pojęcia podstawowe Podstawowe określeia. Prawa Newtoa Więzy i ich oddziaływaia (reakcje) Układ sił zbieżych Wypadkowa płaskiego układu sił zbieżych Aalitycze waruki rówowagi płaskiego zbieżego układu sił Twierdzeie o trzech siłach Wypadkowa przestrzeego zbieżego układu sił Waruki rówowagi przestrzeego zbieżego układu sił Tarcie i prawa tarcia Płaski dowoly układ sił Momet siły względem puktu Wypadkowa dwóch sił rówoległych Para sił. Rówoważość par sił działających w płaszczyźie Redukcja płaskiego dowolego układu sił Waruki rówowagi płaskiego dowolego układu sił Opór przy toczeiu Tarcie cięga o stały krążek Przestrzey dowoly układ sił Momet siły względem puktu w przestrzei Momet siły względem osi Twierdzeia o parach sił działających w przestrzei Redukcja przestrzeego dowolego układu sił do daego puktu Waruki rówowagi przestrzeego dowolego układu sił Niezmieiki przestrzeego układu sił. Skrętik, oś cetrala Środki ciężkości Środki ciężkości powierzchi Środki ciężkości liii Środki ciężkości iektórych liii, powierzchi i brył Środek ciężkości łuku koła Twierdzeia Pappusa-Guldia

7 CZĘŚĆ II. KINEMATYKA Kiematyka puktu Ruch puktu w opisie aalityczym Ruch puktu po torze Prędkość puktu Przyspieszeie puktu. Przyspieszeie we współrzędych aturalych Przyspieszeie puktu w opisie aalityczym Prędkość i przyspieszeie puktu w układzie bieguowym a płaszczyźie Wybrae przypadki ruchu puktu Kiematyka ciała sztywego Położeie ciała w przestrzei. Stopie swobody Związek między prędkościami dwu puktów ciała sztywego Ruch postępowy ciała sztywego Ruch obrotowy ciała sztywego Ruch płaski ciała sztywego Prędkość puktu w ruchu płaskim Przyspieszeie puktu w ruchu płaskim Ruch kulisty ciała sztywego Ruch złożoy puktu wiadomości CZĘŚĆ III. DYNAMIKA Prawa Newtoa Dyamika puktu materialego Dyamicze rówaia ruchu puktu materialego Rówaia ruchu ieswobodego puktu materialego Szczególe przypadki ruchu puktu materialego Pęd puktu i układu puktów materialych Pęd puktu materialego Pęd układu puktów materialych Prawo ruchu środka masy Zasada d Alemberta Momety bezwładości ciała sztywego Momet bezwładości i momet odśrodkowy Twierdzeie Steiera. Momet bezwładości względem osi obrócoej Momety bezwładości wybraych ciał jedorodych Kręt puktu i układu puktów materialych Kręt puktu materialego Kręt układu puktów materialych

8 Kręt układu puktów materialych względem dowolego puktu Kręt ciała w ruchu obrotowym Kręt ciała sztywego w ruchu kulistym Dyamika ruchu obrotowego i płaskiego ciała sztywego Dyamika ruchu obrotowego Dyamika ruchu płaskiego Dyamika ruchu kulistego rówaia Eulera Praca i moc siły. Eergia kietycza Praca i moc siły Eergia kietycza puktu. Prawo zmieości eergii kietyczej puktu materialego Prawo zmieości eergii kietyczej układu puktów materialych Eergia kietycza ciała sztywego Praca siły sprężystej. Praca mometu siły Podstawy teorii uderzeia Uderzeie swobode Uderzeie ieswobode Środek uderzeia Zakończeie Bibliografia

9

10 WSTĘP Mechaika ogóla jest to auka zajmująca się ruchem ciał materialych. Często także używaa azwa mechaika teoretycza określa podstawowe prawa ruchu, dotyczące modeli ciał rzeczywistych jakimi są pukt materialy oraz ciało doskoale sztywe. Mechaika ogóla składa się z dwu podstawowych działów: kiematyki i dyamiki. Kiematyka zajmuje się opisem ruchu puktu lub ciała sztywego w czasie, bez uwzględiaia przyczy wywołujących te ruch, atomiast dyamika zajmuje się ruchem przyjętego modelu ciała rzeczywistego w zależości od działających a iego sił. Jeśli działający a ciało układ sił pozostaje w rówowadze, rozważamy szczególy przypadek dyamiki tego ciała, polegający a jego spoczyku. Te sta zachowaia się ciała został wyodrębioy z dyamiki i osi azwę statyki. Tak więc ze względów dydaktyczych, jak i rozwoju historyczego, mechaikę dzielimy a statykę, kiematykę i dyamikę. Początki rozwoju mechaiki jako auki ścisłej sięgają czasów starożytych. Pierwsze prace dotyczące maszy prostych zawdzięczamy Archytasowi z Tareu oraz Arystotelesowi (IV wiek p..e.), który stwierdził, że każdy ruch musi wyikać z właściwej przyczyy. Podstawy statyki atomiast zawdzięczamy Archimedesowi (III wiek p..e.). Podał o prawa działaia dźwigi, dodawaia sił rówoległych, oraz wprowadził pojęcie środka ciężkości. Zaczący rozwój mechaiki odosi się do drugiego tysiąclecia czasów owożytych. Na przełomie XV i XVI wieku Leoardo da Vici ( ) przedstawił opracowaia związae z toczeiem krążka, zjawiskiem tarcia, rówoległoboku sił czy mometu siły, ale pełe opracowaie zasad statyki zawdzięczamy Kartezjuszowi ( ), który prawa te uporządkował w dziele Traktat o mechaice wydaym po jego śmierci w 1668 roku. Odkrycie Mikołaja Koperika ( ) dało początek owemu spojrzeiu a rolę układu odiesieia w badaiu ruchu plaet i przyczyiło się do sformułowaia zasady rówoważości ruchów względych w układzie słoeczym (heliocetryczym). Podstawy mechaiki teoretyczej zawdzięczamy Isaacowi Newtoowi ( ), który w oparciu o fakty doświadczale sformułował i opublikował prawa dyamiki dla ciała w ruchu postępowym, gdyż w ruchu tym wszystkie pukty poruszają się idetyczie. Poieważ w ruchu dowolym ciała jego pukty mogą wykoywać ruchy róże, obecie prawa Newtoa formułuje się dla puktu materialego, z możliwością przeiesieia a układy puktów. 9

11 MECHANIKA OGÓLNA Prace Newtoa dały początek bardzo szybkiemu rozwojowi mechaiki, a szczególie metod matematyczych, tworząc podstawy mechaiki aalityczej. Szczególe zasługi w rozwoju mechaiki ciała sztywego i podstaw mechaiki aalityczej mają Leohard Euler ( ), Jea d Alembert ( ), Ludwik Lagrage ( ), Carl Friedrich Gauss ( ), Rowa Hamilto ( ), czy Paul Emil Appel ( ). Rozwój auk fizyczych, przypadający a wiek XX, uściślił prawa mechaiki klasyczej związae ze zjawiskami atomowymi, tworząc dziedzię auki zwaą mechaiką kwatową. Początki mechaiki kwatowej stworzyli Max Plack ( ), Erwi Schrodiger ( ) i Paul Dirac ( ). Iym ważym osiągięciem tego stulecia jest uściśleie praw mechaiki związaych z opisem masy poruszającego się ciała. Twórcą teorii względości dającej podstawy mechaiki relatywistyczej, w której uwzględioo relatywistyczą zmieość masy, jest Albert Eistei ( ). Mechaika klasycza ostatiego stulecia związaa jest z takimi azwiskami, jak: I.W. Mieszczerski ( ), T. Huber ( ), czy S. Baach ( ). Sformułowali oi i podali podstawowy zakres mechaiki ogólej i teoretyczej, który z różymi modyfikacjami jest przekazyway a wszystkich uczeliach techiczych. Przyjmoway w mechaice aalityczej model zastępczy ciała rzeczywistego, jako ciała doskoale sztywego, jest oczywistym uproszczeiem. Uproszczeie to pozwala a uzyskaie prostego i przejrzystego obrazu praw i zasad rządzących ruchem, jedak w wielu zagadieiach techiczych taki model ciała jest iewystarczający i ależy uwzględić jego odkształceia. Problemami tymi dla ciał stałych zajmuje się mechaika ciała odkształcalego (teoria sprężystości, teoria plastyczości, reologia), dla cieczy mechaika płyów (hydromechaika) i dla gazów mechaika gazów (areomechaika). 10

12 CZĘŚĆ I. STATYKA 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawowe określeia. Prawa Newtoa Puktem materialym azywamy taki model ciała, który moża potraktować jak pukt geometryczy, któremu przypisao masę. Jest to ciało o tak małych wymiarach w stosuku do przestrzei, w której ruch się odbywa, że moża pomiąć przemieszczeia tego ciała wywołae przez obrót. Ciało doskoale sztywe jest to taki model ciała, którego pukty pod działaiem przyłożoych sił ie zmieiają położeń względem siebie. Ciało to ie ulega odkształceiom, a więc odległości między jego puktami ie ulegają zmiaie. Siłą azywamy oddziaływaie ciał a siebie. Moża je podzielić a siły oddziaływaia bezpośrediego i a odległość (siły przyciągaia, magetycze, elektrostatycze). Siły rozłożoe a powierzchi w sposób ciągły moża zastąpić rówoważą siłą skupioą, przyłożoą w odpowiedim pukcie. Jak już wspomiao we wstępie, statyka jest wyodrębioym działem mechaiki ogólej, której podstawę staowią prawa Newtoa sformułowae i ogłoszoe w 1687 r. w pracy pt. Philosophiae aturalis pricipia mathematica wydaej w Lodyie. Prawa te, odiesioe do puktu materialego, mają astępującą treść. Prawo pierwsze. Pukt materialy, a który ie działa żada siła, lub działające siły rówoważą się, pozostaje w spoczyku lub porusza się ruchem jedostajym po liii prostej. Prawo drugie. Przyspieszeie puktu materialego o stałej masie, a który działa siła jest proporcjoale do tej siły i ma kieruek tej siły. m p = P (1.1) Jest to rówaie wektorowe, opisujące zależość między wartościami wektorów siły P i przyspieszeia p. Prawo trzecie. Siły wzajemego oddziaływaia dwóch puktów materialych są rówe co do wartości liczbowej, przeciwie skierowae i działają wzdłuż prostej łączącej te pukty. P 1, = - P,1 11

13 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae W obowiązującym w Polsce międzyarodowym układzie jedostek SI (Systemie Itratioal), jako jedostki podstawowe przyjęto: długość 1 metr (1 m), czas 1 sekuda (1 s) i masa 1 kilogram (1 kg). Jedostką siły w układzie SI jest 1iuto (1 N), który a podstawie drugiego prawa Newtoa w jedostkach podstawowych ma wartość: 1 iuto = 1 N = 1 kg 1 m/s = 1 mkg/s (1.) Ozacza to, że 1 N jest to siła, która ciału o masie 1 kg adaje przyspieszeie 1 m/s. W układzie SI występują rówież wielokrotości 1 N, takie jak 1 kn i 1 MN: 1 kiloiuto = 1 kn = 10 3 N 1 megaiuto = 1 MN = 10 6 N W fizyce spotyka się jeszcze jedostkę siły związaą z układem CGS (cetymetr, gram, sekuda). Jedostka ta azywa się dyą i jako pochoda jedostek podstawowych ma wartość: 1 dya = 1 g 1 cm/s = 1 gcm/s Zależość miedzy jedym iutoem i jedą dyą wyosi: 1 N = 1 kg 1 m/s = 1000 g 100 cm/s = 10 5 dy Siłą ciężkości azywamy siłę z jaką Ziemia przyciąga rozważae ciało materiale. Wartość tej siły azywamy ciężarem ciała, a jej wielkość wyika z drugiego prawa Newtoa. (1.3) G = mg Ciężarem więc jest iloczy masy i wartości przyspieszeia ziemskiego. Przyspieszeie ziemskie zależy od szerokości geograficzej i ajwiększą wartość osiąga w okolicach biegua. Dla Polski przyspieszeie ziemskie moża przyjąć g = 9,81 m/s. W układzie techiczym albo ciężarowym jako jedą z jedostek podstawowych przyjmuje się jedostkę siły. Przyjmując tak jak w układzie SI jedostkę długości 1 metr, czasu 1 sekuda, trzecią jedostką podstawową ie jest masa, a jedostka siły (1 kg): 1 kg = 1 kg 9,80665 m/s = 9,80665 mkg/s = 9,80665 N Z wystarczającym przybliżeiem dla praktyczych obliczeń moża przyjąć 1 kg = 9,81 N. 1

14 CZĘŚĆ I. Statyka Więzy i ich oddziaływaia (reakcje) Więzami będziemy azywali ograiczeia ruchu w przestrzei. Spośród więzów spotykaych w statyce moża wyróżić więzy obustroe i jedostroe, wewętrze i zewętrze oraz ideale, czyli takie, w których ie występuje tarcie. Jak podao we wstępie statyka zajmuje się rówowagą układów sił działających a przyjęty model ciała rzeczywistego. Jeśli siły przyłożoe do ciała tworzą układ rówoważący się, to ciało to może pozostawać w spoczyku. Zadaiem statyki jest więc wyzaczeie waruków, jakie muszą spełiać działające układy sił, aby ciało, a które działają było w rówowadze. Poieważ badaie rówowagi dotyczy ciał swobodych, ależy istiejące więzy zastąpić odpowiedimi reakcjami i po ich przyłożeiu traktować jak ciało swobode poddae działaiu sił czyych i reakcji więzów. Poiżej przedstawioo ważiejsze przypadki więzów, którym mogą być poddae ciała materiale. Reakcja ormala N reakcja przyłożoa w pukcie zetkięcia się daego ciała z powierzchią iego ciała, o kieruku ormalym do powierzchi styku. Więzy jedostroe, ideale. Rys Należy pamiętać, że każdemu działaiu towarzyszy rówe co do wartości, wzdłuż tej samej prostej, przeciwdziałaie, czyli jeśli podłoże działa a ciało reakcją ormalą N, to z taką samą reakcją działa ciało a podłoże. Przegub walcowy stały R reakcja przechodząca przez oś sworzia. Po zastąpieiu przegubu walcowego stałego odpowiedią reakcją, do rozpatrywaego układu wprowadzamy dwie iewiadome: wartość liczbową tej reakcji oraz wartość kąta achyleia jej kieruku. Więzy dwustroe zewętrze. 13

15 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys. 1. W rozwiązaiach techiczych uwolieie od więzów przegubu walcowego stałego polega a przyłożeiu do układu dwu składowych wyzaczaej reakcji. Składowe te mogą mieć kieruki dowole, ale ajwygodiej ze względów matematyczych jest, aby kieruki te były do siebie prostopadłe. Zgodie z rysukiem dla prostopadłych składowych reakcji, całkowita wartość reakcji przegubu stałego wyosi: R y R x R (1.4) a jej kieruek z poziomem, ozaczoy kątem α, moża wyzaczyć z zależości: cos R R x x R Podpora przesuwa R B reakcja prostopadła do płaszczyzy, po której mogą toczyć się rolki podpory przesuwej. Więzy dwustroe zewętrze. y Rys

16 CZĘŚĆ I. Statyka Cięgo lub lekki pręt S reakcja przyłożoa do rozpatrywaego ciała w miejscu zamocowaia cięga lub lekkiego pręta, o kieruku pokrywającym się z kierukiem uwaliaego cięga czy pręta. Jest to wyikiem uwolieia od więzów części wiotkiego cięga, a przykład AA 1 (rys. 1.4). Otóż jeśli ciało odkształcale pod działaiem układu sił zajduje się w rówowadze, to pozostaie rówież w rówowadze, jeśli ciało to potraktujemy jako sztywe. Na odciek cięga AA 1 działają dwie siły przyłożoe w puktach A i A 1. Jeśli odciek te zajduje się w rówowadze, siły te są rówe i leżą a jedej prostej tworząc układ sił rówoważących się, czyli zerowy. Zgodie z zasadą działaia i przeciwdziałaia do ciała przykładamy siłę S1 a kieruku uwaliaego cięga lub lekkiego pręta. Dla cięga więzy jedostroe zewętrze, atomiast dla pręta więzy dwustroe zewętrze. Rys. 1.4 Rys

17 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae 1.. UKŁAD SIŁ ZBIEŻNYCH Wypadkowa płaskiego układu sił zbieżych Układ sił, którego liie działaia leżą w jedej płaszczyźie i przeciają się w jedym pukcie, azywamy płaskim układem sił zbieżych. Rozważmy układ dwu sił P 1 i P przyłożoych do puktu A ciała sztywego. Z zasady rówoległoboku wyika, że dwie siły przyłożoe do jedego puktu, rówoważe są jedej sile przyłożoej w tym samym pukcie, będącej przekątą rówoległoboku zbudowaego a tych siłach. Rys. 1.6 Suma tych sił osi azwę siły wypadkowej R i w zapisie wektorowym moża ją zapisać: R P1 P (1.5) Wartość liczbowa tej wypadkowej wyika z twierdzeia cosiusów i wyosi: R P P P P cos 1 1 Do puktu O rozważaego ciała (rys. 1.7) został przyłożoy układ sił zbieżych P 1, P, P 3, P 4. Chcąc wyzaczyć wypadkową tego układu, ależy wykoać astępujące postępowaie. Stosując zasadę rówoległoboku dla sił P 1 i P wyzaczyć ich wypadkową. Wypadkową tą, jak zazaczoo a rysuku, jest wektor OB, który astępie ależy dodać do siły P 3, budując odpowiedi rówoległobok z tych wektorów. Otrzymaą wypadkową jest teraz wektor OC, który dalej ależy dodać do siły P 4. W kosekwecji otrzymao jedą siłę R, jako wypadkową działającego układu sił. Przedstawioy powyżej sposób dodawaia sił tworzących układ płaski zbieży moża zastosować do dowolej ich liczby. 16

18 CZĘŚĆ I. Statyka Rys. 1.7 Jak wyika z rysuku, wypadkowa R jest zamykającym bokiem wieloboku OABCD, atomiast boki tego wieloboku odpowiadają wektorom odpowiedich sił P 1, P, P 3 i P 4. Wielobok tak zbudoway azywa się wielobokiem sił, a wypadkowa R jest sumą geometryczą wszystkich sił staowiących układ. Moża stwierdzić: Każdy płaski zbieży układ sił P 1, P,, P przyłożoych do jedego puktu O możemy zastąpić jedą siłą wypadkową R przyłożoą w pukcie zbieżości, rówą sumie geometryczej tych sił: R P P P P (1.6)... 1 i i Aalitycze waruki rówowagi płaskiego zbieżego układu sił Rzut wektora a oś Niech w pukcie O dowolego ciała działa siła P. Z puktem O tego ciała zwiążmy prostokąty układ współrzędych Ox i Oy, aby w płaszczyźie Oxy zajdowała się siła P. Z końca siły P, a więc przez pukt A poprowadźmy proste prostopadłe do osi przyjętego układu. Proste te a osiach układu odcięły odciki OA 1 i OA, które azwiemy rzutami siły P a osie przyjętego układu współrzędych. Rys

19 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Składowe wektora P w prostokątym układzie współrzędych Oxy wyoszą: P x = P cos α P y = P si α (1.7) Odwracając zagadieie i przyjmując za zae składowe siły w prostokątym układzie współrzędych, jej wartość liczbową oraz kieruek wyrażoy fukcją trygoometryczą moża zapisać: P P P P cos x x x y P Px Py Zgodie z rozważaiami o wypadkowej płaskiego zbieżego układu sił P 1, P,, P, moża stwierdzić, że aby płaski zbieży układ sił był w rówowadze, wielobok sił zbudoway ze składowych musi być figurą zamkiętą. Waruek te w zapisie wektorowym ma postać: 1 i i1 P P... P P 0 (1.8) Zwiążmy z puktem zbieżości O płaskiego układu sił P 1, P,..., P, prostokąty układ osi współrzędych, poprowadzoy w płaszczyźie działającego układu sił. P Rys. 1.9 Na podstawie rówaia (1.6), z którego wyika, że płaski układ sił zbieżych moża zastąpić siłą wypadkową R rówą ich sumie geometryczej, mamy: 18

20 CZĘŚĆ I. Statyka R P i (1.9) i1 Opierając się a twierdzeiu o rzucie siły wypadkowej, według którego rzut siły wypadkowej a dowolą oś rówy jest sumie rzutów sił składowych a tę samą oś, możemy wyzaczyć aalityczie składowe siły wypadkowej R a osie Ox i Oy: R P P... P P x 1x x x ix i1 R P P... P P y 1y y y iy i1 (1.10) Jak już udowodioo, warukiem rówowagi płaskiego zbieżego układu sił jest zamkięty wielobok zbudoway a tych siłach. Ozacza to, że siła wypadkowa R rozważaego układu musi być wówczas rówa zero, czyli rzuty tej wypadkowej a osie Ox i Oy dowolego prostokątego układu współrzędych, przyjętego w płaszczyźie działaia tych sił, muszą być rówe zero. Z powyższych zależości otrzymujemy bezpośredio dwa aalitycze waruki rówowagi: Pix 0 Piy 0 (1.11) i1 i1 Tak więc warukiem rówowagi płaskiego zbieżego układu sił jest, aby suma rzutów wszystkich sił a dwie osie dowole, oby ierówoległe i leżące w tej samej płaszczyźie, była rówa zero. Przykład 1.1 Między dwie gładkie płaszczyzy tworzące między sobą kąt α włożoo kulę o ciężarze Q. Kula opiera się o pioową płaszczyzę w pukcie A oraz o płaszczyzę pochyłą w pukcie B, jak pokazao a rysuku. Wyzaczyć reakcje w miejscach podparcia. Rozwiązaie Po uwolieiu od więzów a kulę działają trzy siły: siła ciężkości Q, reakcja ormala N A w pukcie styku kuli ze ściaą pioową oraz reakcja ormala N B w pukcie styku kuli z płaszczyzą pochyłą. 19

21 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys Rówaia rówowagi w rozpatrywaym przypadku mają postać: P N N cos0 ix A B P N siq0 iy B Po rozwiązaiu otrzymaego układu rówań, względem iewiadomych reakcji ormalych, wyzaczoo odpowiedie reakcje podparcia: Q NA Qctg NB si Przykład 1. Kulę o ciężarze Q ustawioo a gładkiej rówi pochyłej. Położeie rówowagi kuli zapewia lia OA zaczepioa w środku kuli i tworząca kąt β z pioem. Obliczyć reakcje rówi i cięga a kulę, jeżeli rówia tworzy kąt α z poziomem. Rozwiązaie Po uwolieiu od więzów a kulę działają trzy siły: siła ciężkości Q, reakcja ormala N w pukcie styku kuli z rówią oraz siła w liie S działająca wzdłuż cięga. 0

22 CZĘŚĆ I. Statyka Rys Rówaia rówowagi układu sił działających a kulę mają postać: Po rozwiązaiu otrzymaego układu rówań otrzymao wartości reakcji: si S Q si( ) P SsiNsi Twierdzeie o trzech siłach ix P Scos N cos Q 0 iy si N Q si( ) Niech w puktach A, B, C ciała sztywego działają trzy ierówoległe siły P 1, P i P 3. Poieważ z założeia, liie działaia tych sił przeciają się w jedym pukcie O, siły P i P 3 moża przesuąć do tego puktu i dodać metodą rówoległoboku. Otrzymao wypadkową P = P + P 3. W wyiku przeprowadzoego działaia a ciało działają teraz dwie siły: P 1 przyłożoa w pukcie A i P przyłożoa w pukcie O. Aby ciało było w rówowadze, siły te muszą tworzyć układ zerowy, tz. muszą być rówe co do wartości liczbowych, przeciwe co do kieruku i działać wzdłuż jedej prostej. A więc liia działaia siły P 1 musi także przechodzić przez pukt O, jak założoo a początku. Poadto układ sił musi być układem rówoważącym się, czyli trójkąt sił zbudoway z wektorów P 1, P i P 3 musi być zamkiętym. 1

23 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys. 1.1 Jako wyik powyższych rozważań moża sformułować twierdzeie dotyczące rówowagi trzech ierówoległych sił: Aby trzy ierówoległe siły działające w jedej płaszczyźie były w rówowadze, liie działaia tych sił muszą przeciać się w jedym pukcie, a same siły tworzyć trójkąt zamkięty. Przykład 1.3 Lekki pręt AB o długości l wstawioo do kaału o szerokości c i obciążoo jego koiec B pioową siłą P. Pręt opiera się o gładką pioową ściaę w pukcie A oraz o krawędź kaału w pukcie D, jak pokazao a rysuku. Określić kąt α, pod jakim ależy ustawić pręt, aby pozostał w rówowadze. Rys. 1.13

24 CZĘŚĆ I. Statyka Rozwiązaie Na pręt działają trzy siły: pioowa siła P, przyłożoa a końcu B pręta oraz reakcje N A i N D. Kieruek reakcji N A jest prostopadły do ściay kaału, atomiast reakcji N D jest prostopadły do pręta. W położeiu rówowagi liie działaia wszystkich sił muszą przeciać się w jedym pukcie O. Z kostrukcji przedstawioej a rysuku zajdujemy: Z trójkąta AOB mamy AO = l cosα, astępie z trójkąta ADO moża wyzaczyć: AD AO cos poieważ c = AD cosα, po prostych przekształceiach zajdujemy: AD c AO cos cos Porówując powyższą wartość AO z wyzaczoą z trójkąta AOB, otrzymujemy: c lcos cos ostateczie mamy: cos Z otrzymaej zależości wyika, że rówowaga jest możliwa tylko w przypadku gdy c 1. l Chcąc wyzaczyć wartości reakcji N A i N D, ależy przyjąć układ osi współrzędych, apisać rówaia rówowagi jako rówaia rzutów wszystkich sił a osie, a astępie otrzymay układ rówań algebraiczych rozwiązać względem iewiadomych reakcji Wypadkowa przestrzeego zbieżego układu sił Układ sił przyłożoych do jedego puktu, których liie działaia ie leżą w jedej płaszczyźie azywamy przestrzeym układem sił zbieżych. Taki układ złożoy z czterech sił P 1,..., P 4 przedstawioo a rysuku Zajdziemy jego wypadkową. Przez siły P 1 i P przyłożoe do puktu O poprowadzoo płaszczyzę, w której zgodie z zasadą rówoległoboku wyzaczoo wypadkową R 1 jako przekątą rówoległoboku zbudowaego a tych siłach. Wypadkowa R 1 przyłożoa jest do puktu O i jest sumą geometryczą sił składowych. Mamy więc: 3 c l 3

25 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae R 1 = P 1 + P (a) Rys Podobie poprowadzoo płaszczyzę przez wypadkową R 1 i siłę P 3. W płaszczyźie tej wyzaczoo wypadkową R sił R 1 i P 3 : R = R 1 + P 3 = P 1 + P + P 3 Postępując aalogiczie z astępymi siłami, a więc R i P 4, otrzymao ostateczie: R = R + P 4 = P 1 + P + P 3 + P 4 Przedstawioy a rysuku przestrzey zbieży układ sił zastąpiliśmy jedą siłą wypadkową R, rówą domykającemu bokowi OD przestrzeego wieloboku sił OABCD zbudowaego z wektorów składowych. Jeśli do jedego puktu będzie przyłożoych sił, ich wypadkowa będzie rówa: 1 i i1 R P P... P P (1.1) Dowoly przestrzey układ sił przyłożoych do jedego puktu zastąpić możemy jedą siłą wypadkową przyłożoą w tym pukcie i rówą sumie geometryczej wszystkich sił Waruki rówowagi przestrzeego zbieżego układu sił W dowolym pukcie O ciała sztywego przyłożoo siłę P. Z puktem tym związao trzy wzajemie prostopadłe osie Ox, Oy, Oz tworzące prawoskręty prostokąty układ współrzędych. Następie z końca siły P poprowadzoo trzy (b) (c) 4

26 CZĘŚĆ I. Statyka płaszczyzy prostopadłe do osi układu, które w przecięciu z osiami odcięły składowe siły P w przyjętym układzie osi. Rys P x = P cos P y = P cos P z = P cos gdzie, i są kątami, jakie siła P tworzy z osiami Ox, Oy i Oz jak pokazao a rys Cosiusy tych kątów azywamy cosiusami kierukowymi siły P. Wartość siły P wyrażoa poprzez składowe w prostokątym układzie współrzędych wyosi: P P P P x y z Po wyzaczeiu składowych siły w prostokątym układzie współrzędych cosiusy kierukowe wyoszą: P x cos P P y cos P Pz cos P Jeśli powyższe rówaia podiesiemy do kwadratu i stroami dodamy, otrzymamy związek jaki muszą spełiać cosiusy kierukowe: cos + cos + cos = 1 Niech do puktu O ciała sztywego będzie przyłożoy przestrzey układ sił zbieżych P 1, P,..., P, jak pokazao a rysuku. 5

27 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Wypadkowa tego układu, jak już wiadomo, rówa jest sumie geometryczej wszystkich sił i wyosi: R P i (1.13) i1 Z twierdzeia o rzucie siły wypadkowej i jej składowych a dowolą oś, składowe siły wypadkowej R wyoszą: R x P i1 ix R y P i1 iy R z P (1.14) i1 iz Po wyzaczeiu z powyższych wzorów składowych R x, R y i R z możemy zaleźć wartość liczbową wypadkowej R oraz jej kosiusy kierukowe. Rys Jak wiadomo, przestrzey zbieży układ sił moża zastąpić jedą siłą wypadkową będącą sumą geometryczą wszystkich działających sił. Wyika z tego, że aby rozważay układ sił pozostawał w rówowadze, jego wypadkowa musi się rówać zero: R P 0 (1.15) i1 i Same siły tworzące przestrzey zbieży układ muszą tworzyć wielobok zamkięty, czyli koiec ostatiego wektora powiie być początkiem pierwszego. 6

28 CZĘŚĆ I. Statyka Zerowaie się wypadkowej R przestrzeego układu sił zbieżych ozacza, że jej rzuty a osie przyjętego układu współrzędych muszą być rówież rówe zero. Otrzymujemy w te sposób trzy aalitycze waruki rówowagi: i1 P 0 ix i1 P 0 iy Piz 0 (1.16) i1 Warukiem rówowagi przestrzeego zbieżego układu sił jest, aby suma rzutów wszystkich sił a trzy dowole osie, oby ierówoległe i ieleżące w jedej płaszczyźie, była rówa zero. Najczęściej układ osi przyjmujemy jako prostokąty. Przykład 1.4 Wsporik zbudoway z trzech lekkich prętów, połączoych przegubowo, zamocowao do pioowej ściay, jak pokazao a rysuku. Wyzaczyć siły w prętach wsporika, jeśli obciążymy go ciężarem Q w przegubie D. Rys Rozwiązaie Układ uwaliamy od więzów. Przykładamy ciężar Q i w miejsce prętów przyłożoo siły w ich działające, jak pokazao a rysuku. Pręty AD i BD przyjęto jako rozciągae, a pręt CD jako ściskay. Przyjęto układ osi współrzędych i wyzaczoo rówaia rzutów sił a te osie. 7

29 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Pix S1 coss cos0 Piy S1 si Ssi S3si0 P S cosq0 iz 3 Rozwiązując powyższy układ rówań względem iewiadomych sił w prętach, otrzymao ich wartości: tg S1 S Q si S 3 1 Q cos 1.3. TARCIE I PRAWA TARCIA Rozpatrzmy ciało o ciężarze Q, spoczywające a chropowatej powierzchi, jak pokazao a rysuku. Do ciała tego przyłóżmy poziomą siłę P powodującą jego ruch. Rys Z doświadczeia wiadomo, że aby astąpił ruch ciała, wartość siły P musi być większa od pewej graiczej wartości. Siła miejsza od wartości graiczej ie spowoduje ruchu i ciało będzie pozostawać w spoczyku. Wyika z tego, że oprócz reakcji ormalej podłoża N, istieje jeszcze składowa stycza, którą ozaczamy T i azywamy siłą tarcia. W wyiku wielu doświadczeń przeprowadzoych przez Coulomba i Morea dla różych stykających się powierzchi, zostały ustaloe prawa tarcia zawierające zależość między maksymalą wartością siły tarcia T a aciskiem ormalym N. 1. Siła tarcia ie zależy od wielkości powierzchi stykających się ciał, a jedyie od ich rodzaju. 8

30 CZĘŚĆ I. Statyka. Wartość siły tarcia dla ciała zajdującego się w spoczyku może zmieiać się od zera do maksymalej wartości, która jest proporcjoala do całkowitego acisku ormalego: T N (1.17) 3. Siła tarcia dla ciała będącego w spoczyku jest skierowaa przeciwie do zamierzoego kieruku ruchu (rys. 1.18). Natomiast siła tarcia dla ciała będącego w ruchu jest przeciwa do kieruku ruchu i maleje wraz ze wzrostem prędkości. Występujący we wzorze a siłę tarcia współczyik µ, dla ciała będącego w spoczyku, osi azwę współczyika tarcia statyczego, atomiast w przypadku, gdy ciało ślizga się, współczyik tarcia ozaczamy µ i osi o azwę współczyika tarcia kietyczego. Ozaczoy a rysuku kąt ρ, jaki tworzy całkowita reakcja R, przy maksymalej sile tarcia, z ormalą do powierzchi styku, osi azwę kąta tarcia i wyosi: T N tg czyli tg a więc współczyik tarcia jest rówy tagesowi kąta tarcia. Przykładowe współczyiki tarcia statyczego : żeliwo po żeliwie, bez smarowaia, obrobioe zgrubie = 0, stal po żeliwie, bez smarowaia, obrobioe zgrubie = 0,16 stal po żeliwie, ze smarowaiem, obróbka dokłada = 0,10 stal po żeliwie, powierzchie szlifowae, dokładie smarowae = 0,0 drewo po drewie = 0,4-0,7 Przykład 1.5 Ciało o ciężarze Q ustawioo a rówi pochyłej tworzącej kąt α z poziomem. Wyzaczyć maksymalą wartość kąta pochyleia rówi w graiczym położeiu rówowagi. Współczyik tarcia statyczego wyosi. Rozwiązaie Spoczywające a rówi ciało uwaliamy od więzów. Przykładamy siłę ciężkości Q, siłę ormalą N oraz siłę tarcia T, która jest przeciwa do ewetualego kieruku ruchu ciała, a więc skierowaa w górę rówi. 9

31 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys Waruki rówowagi, jako rzuty sił a osie przyjętego układu współrzędych Oxy, gdzie oś Ox pokrywa się z liią spadku rówi, a oś Oy jest prostopadła do rówi, mają postać: P QsiT0 ix P NQcos0 iy Z prawa tarcia mamy: T = N. Rozwiązując otrzymay układ rówań i uwzględiając waruek wyikający z prawa tarcia, otrzymujemy graiczą wartość kąta w położeiu rówowagi: tgtg Na podstawie otrzymaego wyiku moża stwierdzić, że w położeiu rówowagi kąt pochyleia rówi ie powiie przekraczać kąta tarcia ρ. Przykład 1.6 Na płaszczyzach przeciających się pod kątem α ustawioo dwa bloki o ciężarach Q i G. Współczyik tarcia między blokami wyosi µ, atomiast między blokami a podłożem wyosi μ 1. Wyzaczyć maksymalą siłę P, jaką moża przyłożyć do bloku o ciężarze G w graiczym położeiu rówowagi układu. Rys

32 Rozwiązaie CZĘŚĆ I. Statyka Rozważay układ uwaliamy od więzów. Usuwamy myślowo podłoże i zastępujemy je reakcją ormalą (siły N 1 i N ). W pukcie styku bloków przykładamy rówież reakcję ormalą jako prostopadłą do styczej poprowadzoej w miejscu styku (siła N 3 ). Następie przykładamy siły tarcia w miejscach styku przemieszczających się względem siebie powierzchi. Poieważ rozpatrujemy przypadek rówowagi układu przy sile P max, zamierzoy ruch układu będzie odbywał się w górę. Mamy więc (rys. 1.1): Rówaia rówowagi rozpatrywaych układów, wyikające z rzutów działających sił a przyjęte układy osi współrzędych, mają postać: układ a) układ b) P ix = Q si + T1- N3 = 0 Piy = - Q cos T3 + N1 = 0 Pix = T Pmax + N3 cos + T3 si = 0 Piy = N G N3 si + T3 cos = 0 a) b) Rys

33 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Z prawa tarcia w graiczym położeiu rówowagi mamy: T 1 = μ 1 N 1 T = μ 1 N T 3 = μ N 3 Rozwiązując powyższy układ rówań względem poszukiwaej wielkości siły P max, otrzymao jej wartość. 1 Pmax G1 Q si 1 cos si cos PŁASKI DOWOLNY UKŁAD SIŁ Momet siły względem puktu Niech a ciało materiale działa siła P przyłożoa do pewego puktu tego ciała. Obierzmy dowoly pukt O, którego odległość h od liii działaia tej siły l azwiemy ramieiem siły P. Rys. 1. Momet siły względem puktu jest to wektor, którego wartość rówa jest iloczyowi wartości liczbowej siły P i jej ramieia wyzaczoego względem puktu O. Wektor te, ozaczoy M 0, przyłożoy jest w pukcie O, prostopadle do płaszczyzy przesuiętej przez liię działaia siły i te pukt i skieroway tak, że patrząc z jego końca siła P stara się obrócić względem puktu O zgodie z ruchem trygoometryczym. 3

34 CZĘŚĆ I. Statyka Wartość bezwzględa mometu siły względem puktu wyosi: M 0 = P h (1.18) Jeśli zbudujemy trójkąt, którego podstawą będzie wektor P, a wierzchołkiem pukt O, wartość bezwzględą mometu siły względem puktu moża rówież przedstawić jako dwa pola otrzymaego trójkąta: M 0 = P h = F OAB (1.19) Momet siły względem puktu może mieć wartość dodatią lub ujemą. Jeśli siła P działa tak, że wywołuje obrót względem puktu O, zgody z kierukiem trygoometryczym, momet jest dodati, atomiast jeśli kieruek obrotu siły P względem puktu O jest przeciwy, momet jest ujemy. Rys. 1.3 Momet siły względem puktu w ujęciu wektorowym Jeżeli położeie siły P względem puktu O opiszemy promieiem wektorem r, to momet tej siły względem puktu O moża przedstawić jako iloczy wektorowy promieia r i wektora siły P. Rys

35 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Zgodie z kierukami wektorów przedstawioych a rysuku mamy: M rp (1.0) 0 Z własości iloczyu wektorowego dwu wektorów wyikają wszystkie parametry mometu M 0. Jego wartość, kieruek oraz zwrot. Wartość liczbowa tego iloczyu wyosi: M 0 Ph Na rysuku poiżej przedstawioo dwie siły P 1 i P przyłożoe do jedego puktu A oraz ich wypadkową R przyłożoą rówież w tym pukcie. Mamy więc: R = P 1 + P (a) Ozaczmy momet wypadkowej R względem dowolego puktu B przez M B, a sił składowych odpowiedio M 1B i M B. Możemy zapisać: MB rr M1B rp1 (b) M rp B Rys. 1.5 Wstawiając (a) do pierwszego rówaia (b), mamy: M r( P P ) (c) B 1 34

36 CZĘŚĆ I. Statyka po prostych przekształceiach oraz wykorzystaiu zależości (b) otrzymao: MB rp1 rp M1B M B (d) W ogólym przypadku siły składowe P 1 i P oraz pukt B ie leżą w jedej płaszczyźie. Jeżeli jedak rozpatrujemy układ płaski, wektory mometów wszystkich sił są prostopadłe do płaszczyzy ich działaia, czyli moża je odłożyć a jedej prostej. Zależości (d) moża adać algebraiczą postać: MB M1B MB (1.1) Z wyprowadzoego rówaia (1.1) wyika twierdzeie Varigoa: Momet siły wypadkowej dwu sił przyłożoych do jedego puktu A względem dowolego puktu B rówy jest sumie mometów sił składowych względem tegoż puktu B. Udowodioe twierdzeie moża uogólić dla dowolego układu sił zbieżych. Jedostką mometu siły w układzie SI jest 1 iutoometr (1 Nm). kgm kgm 1Nm 1 1m 1 s s W układzie techiczym jedostką mometu siły jest 1 kilogramometr (1 kgm). 1 kgm 9.81 Nm Wypadkowa dwóch sił rówoległych Siły zgodie skierowae Dwie siły ierówoległe, których liie działaia leżą w tej samej płaszczyźie, moża dodać, zastępując ich działaie wypadkową, jako przekątą rówoległoboku zbudowaego a tych siłach. W przypadku sił rówoległych, kiedy ich liie działaia są rówoległe, zbudowaie rówoległoboku jest iemożliwe. Dodaie więc dwóch sił rówoległych wymaga wykoaia astępującego rozwiązaia. 35

37 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys. 1.6 W puktach A i B ciała sztywego działają dwie siły rówoległe P 1 i P zgodie skierowae. Do puktów tych przyłożoo układ zerowy sił S i S 1 działających wzdłuż prostej AB. Mamy: S = - S 1 Siły P 1 i S przyłożoe do puktu A oraz siły P i S 1 przyłożoe do puktu B możemy zastąpić wypadkowymi: R 1 = P 1 + S R = P + S 1 (b) Liie działaia sił R 1 i R przeciają się w pukcie O. Po przesuięciu ich do puktu O moża zbudować rówoległobok i wyzaczyć ich wypadkową: wstawiając (a) i (b) do powyższego rówaia mamy: (a) R = R 1 + R (c) 36

38 CZĘŚĆ I. Statyka R = R 1 + R = P 1 + S + P + S 1 = P 1 + P (d) Tak więc siły P 1 i P przyłożoe do puktów A i B zastąpioo jedą siłą wypadkową R rówoległą do tych sił. Wartość liczbowa tej wypadkowej rówa jest sumie wartości liczbowych sił P 1 i P : R = P 1 + P (1.) Liia działaia wypadkowej R przecia odciek AB w pukcie C, którego położeie wyzaczymy z zależości geometryczych. Z podobieństwa trójkątów AOC i FAH mamy: AC S CO P Trójkąty BOC i LBK są rówież podobe i także moża apisać: 1 BC S1 S CO P P Dzieląc stroami otrzymae proporcje, otrzymujemy: AC P BC P Otrzymae wyiki moża podsumować astępująco: Dwie siły rówoległe zgodie skierowae P 1 i P, przyłożoe w puktach A i B ciała sztywego, zastąpić możemy jedą siłą wypadkową R, rówoległą i zgodie z imi skierowaą, o wartości rówej sumie wartości liczbowych tych sił. Liia działaia siły wypadkowej dzieli wewętrzie odciek AB a odciki odwrotie proporcjoale do wartości liczbowych tych sił. Siły przeciwie skierowae Niech a ciało sztywe działają dwie siły rówoległe P 1 i P przeciwie skierowae, przyłożoe w puktach A i B tego ciała. Załóżmy, że siła P 1 ma wartość liczbową większą od siły P. 1 37

39 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys. 1.7 Postępując jak poprzedio, przykładamy w puktach A i B dwie siły S i S 1, rówe co do wartości i przeciwie skierowae wzdłuż tej samej prostej. Zastępujemy siły P 1 i S wypadkową R 1 oraz siły P i S 1 wypadkową R. Przesuwamy astępie siły R 1 i R wzdłuż ich liii działaia do puktu przecięcia się tych liii i zastępujemy wypadkową: R = R 1 + R = P 1 + P Siła wypadkowa rówa jest sumie geometryczej sił P 1 i P. Poieważ siły te leżą a jedej prostej, wartość liczbowa siły wypadkowej jest różicą wartości liczbowych tych sił: R = P 1 - P (1.3) Wypadkowa R skierowaa jest zgodie z siłą o większej wartości, czyli w rozpatrywaym przypadku zgodie z siłą P 1. Pukt C, w którym liia działaia wypadkowej R przecia prostą poprowadzoą przez pukty A i B, wyzaczamy opierając się a podobieństwie trójkątów AOC oraz BOC do odpowiedich trójkątów sił. Na podstawie rysuku mamy: (a) 38

40 CZĘŚĆ I. Statyka AC CO S P 1 Poieważ S = S 1, ostateczie mamy: AC P BC P 1 1 BC CO Dwie siły rówoległe i przeciwie skierowae P 1 i P, przyłożoe w puktach A i B ciała sztywego, zastąpić możemy jedą wypadkową R, rówież rówoległą, skierowaą zgodie z siłą o większej wartości liczbowej. Liia działaia wypadkowej leży po stroie siły większej i dzieli zewętrzie odciek AB a odciki odwrotie proporcjoale do wartości liczbowych przyłożoych sił. Wartość wypadkowej R rówa jest różicy wartości liczbowych działających sił. S P Para sił. Rówoważość par sił działających w płaszczyźie W poprzedim pukcie przedstawioo zajdowaie siły wypadkowej dwóch sił rówoległych przeciwie skierowaych. Jak wyika otrzymaych rozwiązań, taka wypadkowa istieje, jeżeli siły P 1 i P, mają róże wartości liczbowe. Jeśli P dąży do P 1, wartość liczbowa wypadkowej R dąży do zera, atomiast pukt C, przez który przechodzi jej liia działaia, ieskończeie się oddala. Tak więc dwie siły rówoległe, przeciwie skierowae o rówych wartościach liczbowych, ie mają siły wypadkowej i tworzą układ, który azywamy parą sił. Mamy więc z założeia P = P, czyli P = -P. Odległość między liiami działaia sił tworzących parę osi azwę ramieia pary sił. Na rysuku odległość h. Jak już podao, para sił ie ma siły wypadkowej. Parę sił charakteryzuje momet pary sił, który określa jej obrotowe działaie a ciało materiale. Mometem pary sił azywamy wektor M, o wartości bezwzględej rówej iloczyowi wartości liczbowej jedej z sił oraz ramieia pary. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzy działaia tej pary i skieroway tak, że patrząc z jego końca para sił stara się wywołać obrót zgody z ruchem trygoometryczym, czyli: M rp (1.4) 39

41 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rys. 1.8 Wartość wektora mometu pary sił wyosi: MPrsiP h (1.5) Poieważ wektor mometu pary sił jest zawsze prostopadły do płaszczyzy działaia tej pary, do określeia mometu M wystarczy podać tylko jego wartość względem osi prostopadłej do płaszczyzy pary: M = P h (1.6) Zak plus ależy przyjąć, jeśli para stara się obrócić zgodie z kierukiem trygoometryczym, mius jeśli para stara się obrócić w kieruku przeciwym do trygoometryczego. Wyzaczmy sumę mometów sił P i P tworzących parę względem dowolie obraego puktu O leżącego w płaszczyźie działaia tej pary. Rys

42 CZĘŚĆ I. Statyka Momet przedstawioej a rysuku pary wyosi MrP, atomiast suma mometów sił wchodzących w skład pary względem puktu O ma wartość: M0 raprbp' (1.7) Poieważ r A = r B + r oraz Pʹ = -P, ostateczie mamy: M ( r r) Pr PrP (1.8) 0 B B Wykazaliśmy, że suma mometów sił tworzących parę, względem dowolego puktu O płaszczyzy działaia tej pary, rówa jest mometowi tej pary. Tak więc wektor mometu pary sił jest wektorem swobodym, przyłożoym w dowolym pukcie płaszczyzy działaia tej pary. Na rysuku poiżej przedstawioo parę sił P i P, o momecie rówym M = Pa i liiach działaia sił odpowiedio m i m. Poprowadźmy dwie ie proste rówoległe i, ale tak, aby ich kieruki ie były rówoległe do liii działaia sił P i P. Rys Siłę P przesuńmy do puktu G, a siłę P przesuńmy do puktu E. W puktach G i E przyłóżmy układy zerowe sił działające wzdłuż poprowadzoych prostych i. A więc w pukcie E przyłożymy siły Q i -Q, atomiast w pukcie G siły Q 1 i -Q 1. Przy czym zakładamy, że Q 1 = -Q, co ozacza, że przyłożoe siły mają rówe wartości liczbowe Q. Wartość tej siły jest taka, że spełia oa rówaie: Qb = Pa (a) 41

43 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Przyłożoe w pukcie G siły P i -Q 1 zastąpioo wypadkową R = P-Q 1, a siły P i -Q działające w pukcie E wypadkową R 1 = P -Q. Poieważ założoo, że Q 1 = -Q oraz P = -P, otrzymae wypadkowe spełiają zależość R 1 = -R i leżą a przekątej EG rówoległoboku EHGF. Jak wyika z rysuku: otrzymujemy ostateczie: EF a a Q i z założeia (b) FG b b P EF Q (c) FG P Z otrzymaej proporcji wyika, że rówoległoboki utworzoe z sił P i -Q 1 oraz P i -Q są podobe do rówoległoboku EHGF. Wypadkowe R i R 1 leżą więc a przekątej EG tego rówoległoboku. Poieważ siły R i R 1 mają rówe wartości i tworzą układ zerowy, pozostają ostateczie tylko dwie siły Q i Q 1 przyłożoe w puktach odpowiedio E i G. Siły te tworzą parę, sił której momet wyosi: M 1 = Qb Uwzględiając poczyioe a początku założeie, mamy: M 1 = Qb = Pa = M Tak więc otrzymaliśmy w kosekwecji parę sił, której momet rówy jest mometowi pary sił P i P. Wyika z tego, że każdą parę sił działającą a ciało sztywe moża zastąpić dowolą parą o tym samym momecie i tej samej płaszczyźie działaia. Udowodioe twierdzeie moża wykorzystać do sumowaia par sił działających w tej samej płaszczyźie. Miaowicie, gdy w jedej płaszczyźie ciała sztywego działa par sił, to pary te moża zastąpić jedą parą wypadkową, której momet rówy jest sumie mometów par składowych. Wartość pary wypadkowej wyosi: M i i1 (d) (e) M (1.9) Redukcja płaskiego dowolego układu sił Aby wyjaśić redukcję układu sił działających w płaszczyźie, rozpatrzmy rówoległe przesuięcie tylko jedej siły. 4

44 CZĘŚĆ I. Statyka Niech w pukcie A ciała sztywego działa siła P. Chcąc przesuąć ją do dowolego puktu O tego ciała, w pukcie tym przykładamy układ zerowy sił P i P = -P. Zgodie z własością układu zerowego, rówowaga istiejącego układu sił ie zmiei się, jeśli do układu tego dodamy lub odejmiemy układ zerowy. Rys Siła P przyłożoa w pukcie O, z siłą P przyłożoą do puktu A, tworzą parę sił o momecie MrP. Poieważ h jest odległością puktu redukcji O od prostej działaia siły P i jedocześie ramieiem siły P przyłożoej w pukcie A względem puktu O, momet otrzymaej pary sił i momet siły względem obraego puktu O są sobie rówe. Mamy: M = M 0 = P h gdzie M 0 jest wartością mometu siły P względem puktu O. Udowodiliśmy astępujące twierdzeie: Siłę P przyłożoą do puktu A ciała sztywego możemy przeieść do dowolego puktu O tego ciała, dodając jedocześie momet pary sił rówy mometowi daej siły względem puktu O. Dla uogólieia rozważań rozpatrzmy płaski układ sił P 1, P,, P, przyłożoych odpowiedio w puktach A 1, A,, A ciała sztywego, jak pokazao a rysuku. W płaszczyźie działaia sił obierzmy pukt O, który azwiemy środkiem redukcji. W pukcie tym przyłóżmy układy zerowe sił P 1 i P 1 = -P 1, P 43

45 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae i P = -P,, P i P = -P. Otrzymaliśmy w wyiku układ płaski sił zbieżych P 1, P,, P o środku zbieżości w pukcie O oraz pary sił, których momety, zgodie z udowodioym powyżej twierdzeiem, rówe są mometom odpowiedich sił względem środka redukcji O. Rys. 1.3 Wszystkie siły P 1, P,, P, tworzące płaski zbieży układ przyłożoy w pukcie O, możemy zastąpić wypadkową R rówą sumie geometryczej tych sił: R Pi i1 (1.30) Także otrzymae pary sił możemy zastąpić jedą parą wypadkową, której momet będzie rówy sumie mometów tych par. Ozaczając przez M 0 momet wypadkowy, mamy: i 0 M i0 i1 M (1.31) Otrzymae wyiki możemy podsumować astępującym stwierdzeiem: Dowoly płaski układ sił przyłożoy do ciała sztywego zredukować możemy do dowolego puktu O, przykładając w tym pukcie siłę R, jako sumę geometryczą działających sił, oraz parę o momecie M 0 rówym sumie algebraiczej mometów daych sił względem puktu O. Siłę R azywać będziemy wektorem główym, atomiast momet M 0 mometem główym. 44

46 CZĘŚĆ I. Statyka Waruki rówowagi płaskiego dowolego układu sił W wyiku redukcji płaskiego dowolego układu sił P 1, P,, P przyłożoego do puktów ciała sztywego, otrzymaliśmy układ złożoy z siły R P i przyłożoej do obraego środka redukcji O oraz momet pary sił i1 o momecie M M. Oczywiste jest, że rówowaga rozważaego układu 0 i0 i1 będzie spełioa, jeśli zarówo siła R, jak i momet M 0 będą rówe zeru. Stąd wyikają dwa geometrycze waruki rówowagi: R i1 P 0 i M M 0 (1.3) 0 i0 i1 Jeśli wektor główy R ma być rówy zero, to rówież jego rzuty a dowole osie muszą być rówe zero. Wyika z tego, że sumy rzutów wszystkich sił a osie x i y dowolego prostokątego układu współrzędych muszą być rówe zeru. Z powyższego otrzymujemy trzy aalitycze waruki rówowagi (rówaia rówowagi): i1 P 0 ix i1 P 0 iy MiO 0 (1.33) i1 Warukiem rówowagi płaskiego dowolego układu sił jest, aby suma rzutów wszystkich sił a dwie osie dowole, oby ierówoległe była rówa zero oraz suma mometów wszystkich sił względem dowolego puktu była także rówa zero. Zazwyczaj osie, a które wyzaczamy rzuty sił, są osiami prostokątego układu współrzędych. Pukt O, względem którego przyrówujemy do zera sumę mometów daych sił, ie musi pokrywać się z początkiem przyjętego układu osi. Wśród wyprowadzoych rówań rówowagi mamy dwa rówaia rzutów i jedo rówaie mometów. Spełieie geometryczych waruków rówowagi moża zapewić rówież, kiedy apiszemy trzy rówaia mometów lub dwa rówaia rzutów i jedo mometów. Rówoważe waruki rówowagi wyikające z trzech rówań mometów mają postać: i1 M 0 ia i1 M 0 ib MiC 0 (a) i1 z zastrzeżeiem że pukty A, B i C ie mogą leżeć a jedej prostej. 45

47 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rówoważe waruki rówowagi wyikające z jedego rówaia rzutów i dwóch rówań mometów mają postać: i1 P 0 ix i1 M 0 ia MiB 0 (b) i1 z zastrzeżeiem że oś x ie jest prostopadła do odcika AB. Przykład 1.7 Ciężką belkę o ciężarze Q i długości l podparto a przegubach stałym w końcu A belki i przesuwym w końcu B. Dodatkowo belkę obciążoo siłą P 1 przyłożoą w odległości a od przegubu stałego, której kieruek tworzy kąt α z pioem, oraz siłą P w odległości b od przegubu B, tworzącą kąt β z poziomem. Wyzaczyć reakcje podpór. Rozwiązaie Rys Na belkę działają astępujące siły: siła ciężkości Q przyłożoa w środku ciężkości belki, dae siły P 1 i P oraz reakcje R Ax i R Ay w przegubie stałym A i reakcja R B w przegubie przesuwym B. Po uwolieiu od więzów otrzymaliśmy do rozwiązaia płaski dowoly układ sił, z trzema iewiadomymi związaymi z reakcjami w przegubach. Przyjmując układ osi współrzędych, apiszemy trzy rówaia rówowagi wyikające z rzutów i mometów działających sił. 46

48 P R P sip cos0 ix Ax 1 Piy RAy P1 cosqp sirb 0 l MiA P1 cosaq P si ( la) RBl 0 CZĘŚĆ I. Statyka Rozwiązując otrzymay układ rówań względem iewiadomych R Ax, R Ay i R B, wyzaczoo reakcje podpór: R P cosp si Ax 1 1 a b RAy QP(1 1 )cosp si l l a 1 b RB P1 cos QP (1 )si l l Przykład 1.8 Lekką belkę o długości a utwierdzoo w pukcie A, a drugi jej koiec B zamocowao przegubowo z lekkim łukiem o promieiu a. Łuk te podparto przegubem przesuwym C i obciążoo parą sił o momecie M, jak pokazao a rysuku. Wyzaczyć całkowitą reakcję w miejscu utwierdzeia belki oraz reakcję w przegubie przesuwym C, jeśli belkę obciążymy stałą siłą P działającą pod kątem α do poziomu. Rys

49 MECHANIKA OGÓLNA Zagadieia wybrae Rozwiązaie Rozpatryway układ jest płaskim dowolym układem sił, złożoym z dwu układów prostych. Wyodrębioe układy ależy uwolić od więzów. Więzy utwierdzeia zastępujemy reakcją R A, przykładając składowe R Ax i R Ay oraz mometem utwierdzeia, przykładając momet pary sił M u. Rys Waruki rówowagi dla rozpatrywaych układów mają postać: układ I układ II P R PcosR 0 ix Ax Bx P R PsiR 0 iy Ay By M M PsiaR a 0 ix ia u By P R 0 Bx P R R 0 iy C By M R am0 ib C 48

50 CZĘŚĆ I. Statyka Rozwiązując powyższy układ rówań, otrzymujemy poszukiwae reakcje w miejscu utwierdzeia A oraz w przegubie C. Mamy więc: R Ax Pcos M RAy Psi a M PasiM R u C M a Rozwiązując płaski dowoly, złożoy układ sił, moża apisać tyle waruków rówowagi, ile jest układów prostych razy trzy. Jedak ie zawsze do wyzaczeia poszukiwaych reakcji potrzebe są wszystkie waruki rówowagi. Moża więc abierając wprawy pisać tylko takie waruki, z których wyzaczymy iteresujące as wielkości. I tak dla rozpatrywaego układu reakcje w przegubie B, które as ie iteresują, moża potraktować jako siły wewętrze i rówaia rówowagi apisać dla całego układu, dopisując brakujące rówaie dla układu II jako rówaie mometów względem właśie puktu B. Mamy więc: Rys Dla całego układu: P R Pcos0 ix Ax P R PsiR 0 iy Ay C M M PsiaR 3aM0 ia u C 49