porównanie efektywności semiaktywnych i aktywnych tłumików drgań lin

Transkrypt

1 Maciej orman *, JaceK SNAMINA ** porównanie efektywności semiaktywnych i aktywnych tłumików rgań lin COMPARISION OF EFFECTIVeNESs OF SEMIACTIVE AND ACTIVE CABLE VIBRATION DAMPERS Streszczenie Abstract W artykule porównano efektywności semiaktywnych i aktywnych tłumików rgań lin. Do sterowania tłumikami wybrano regulator LQR ze wzglęu na jego popularność w zastosowaniach inżynieryjnych. Różnice mięzy sterowaniem semiaktywnym a aktywnym zostały zaprezentowane za pomocą kryterium rozpraszania energii oraz kryterium maksymalnych wychyleń liny. Jak wykazano na postawie obliczeń, pogorszenie jakości tłumienia lin związane z zastosowaniem tłumików semiaktywnych zależy o wielu czynników i w niektórych przypakach może być znaczące. Słowa kluczowe: tłumik semiaktywny, regulator LQR, regulator clippe LQR The paper presents the comparison of effectiveness of semiactive an active cable vibration ampers. LQR strategy was use to amper control. The issipative energy criterion an the criterion of maximal eflection were use to evaluate the ifference between semiactive an active control. Calculations shown, that the amping effectiveness of semiactive ampers is less than the effectiveness of active ampers. Keywors: semiactive amper, LQR regulator, clippe LQR regulator * Mgr inż. Maciej Orman, Instytut Mechaniki Stosowanej, Wyział Mechaniczny, Politechnika Krakowska. ** Dr hab. inż. Jacek Snamina, prof. AGH, Katera Automatyzacji Procesów, Wyział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Akaemia Górniczo-Hutnicza w Krakowie.

2 72 1. Wstęp Liny są ważnym elementem konstrukcyjnym w nowoczesnych buowlach. Ze wzglęu na znaczne ługości i barzo mały współczynnik wewnętrznego tłumienia liny są barzo poatne na niekorzystne warunki atmosferyczne. W efekcie oziaływań czynników zewnętrznych powstają rgania lin o użej amplituzie [1, 2]. Zaproponowano wiele meto służących eliminacji rgań, m.in. ołączanie o lin oatkowych elementów ograniczających oziaływanie wiatru. Jeną z postawowych meto eliminacji rgań lin jest zastosowanie tłumika umieszczonego w niewielkiej oległości o zamocowania liny. Postawowym kryterium klasyfikacji tłumików jest poział na tłumiki pasywne, aktywne i semiaktywne. Tłumiki pasywne mają ściśle określony współczynnik tłumienia. Tłumiki semiaktywne mają możliwość sterowania współczynnikiem tłumienia poczas ich pracy. Przykłaem takich tłumików mogą być tłumiki magnetoreologiczne (tłumiki MR). Tłumiki aktywne mogą realizować owolny algorytm sterowania siłą oziaływania na obiekt, którego rgania mają być zreukowane. Tłumiki semiaktywne po raz pierwszy zaproponowano o tłumienia rgań zawieszenia samochoów w 1974 r. [3]. Ze wzglęu na niewielki pobór mocy [4], tłumiki semiaktywne są stosowne w wielu współczesnych konstrukcjach. Przykłaowo w konstrukcjach mostów, m.in. Brotonne Brige (Francja), Sunshine Skyway Brige (USA) i Aratsu Brige (Japonia). W pracy [5] została przestawiona przybliżona formuła oboru optymalnego współczynnika la tłumika wiskotycznego umieszczonego w niewielkiej oległości o zamocowania liny. Stosując tę formułę, można obrać optymalny współczynnik tłumienia tylko la jenej formy rgań liny. Optymalny współczynnik tłumienia la wybranej formy nie jest optymalny la pozostałych form rgań. W praktyce truno jest wobec tego stosować omawianą formułę la zapewnienia optymalnej eliminacji rgań [6]. Dlatego stosuje się algorytmy sterowania optymalizujące współczynnik tłumienia la owolnego ruchu liny [7, 8]. Jenym z proponowanych w pracach [7, 8, 9] algorytmów jest algorytm LQR. Jest on obrze znany i szeroko stosowany. Jenak w przypaku zastosowania tłumika semiaktywnego nie jest możliwa ścisła realizacja sterowania LQR ze wzglęu na jego aktywny charakter. Algorytm clippe LQR jest naturalną moyfikacją algorytmu LQR, ostosowaną o zastosowania semiaktywnych tłumików MR [7, 1, 11,12]. W opublikowanych artykułach brakuje jenak wyczerpującej analizy porównawczej tych wóch algorytmów. Celem niniejszego artykułu jest porównanie efektywności tłumika aktywnego ziałającego zgonie z algorytmem LQR oraz tłumika semiaktywnego ziałającego weług algorytmu clippe LQR. 2. Równania ruchu liny Rozważamy pochyło zamocowaną linę. Pochylenie określone jest przez kąt θ, a oległość pomięzy poporami wynosi L. Naciąg liny oznaczono przez T, gęstość liniową przez µ. Do liny ołączony jest tłumik umiejscowiony w oległości ξ o olnego zamocowania liny (rys. 1). Dla większości konstrukcji linowych można przyjąć następujące założenia:

3 siła naciągu liny jest na tyle uża w stosunku o jej ciężaru, że linia statycznej równowagi może być opisana parabolą, a zmienność siły osiowej wzłuż ługości liny może być pominięta, ruch liny obywa się tylko w płaszczyźnie zwisu, przy czym przemieszczenia w kierunku osiowym są pomijalnie małe. 73 Rys. 1. Schemat pochyło zamocowanej liny z ołączonym tłumikiem Fig. 1. Schematic iagram of incline cable with attache amper Uwzglęniając powyższe założenia, przemieszczenie punktów liny związane z rganiami można przestawić zgonie z [1, 2] w następującej postaci Funkcje { (ξ)} k n w( ξ, t) = X ( ξ ) q ( t) (1) k = 1 k X muszą spełniać warunki brzegowe i najczęściej [8] są przyjmowane w po- kπξ staci X k ( ξ ) = sin L. Wektor q = [ q1, q2,..., q ] T n zawiera współrzęne uogólnione. Na jego postawie wprowaza się wektor stanu = q x. Ruch liny można ostatecznie opisać, stosując następujące macierzowe równania q stanu: x ( t) = Ax( t) + BF v ( t) = C x( t) 2 1 y( t) = C x( t) gzie F jest siłą oziaływania tłumika na linę; v jest prękością w punkcie zamocowania tłumika; y jest przemieszczeniem liny w punkcie pomiarowym P, którego położenie określa współrzęna ξ p. Macierze A, B, C 1, C 2 przyjmują następującą formę k

4 74 gzie: I A = B = -1-1 M K, M ( Φ ) (3) T C1 = Φ( ξ ) T C2 = Φ( ξp ) T ( ξ )... X ( ) X ( ξ ) X Ф( ξ ) 1 2 n ξ wektor zależny o położenia tłumika, M i K macierze mas i sztywności. W pracy [8] przestawiono szczegółowe wyprowazenie równań ruchu pochyłej liny z ołączonym tłumikiem. = [ ] 3. Metoy sterowania tłumikiem aktywnym i semiaktywnym Wpływ warunków zewnętrznych zmienia uział poszczególnych form w ruchu liny [8]. Optymalne tłumienie la wybranej formy jest zbyt uże la wyższej formy i zbyt małe la niższej formy. W praktyce ominująca forma rgań jest nieznana i oatkowo ulega ona zmianie w zależności o warunków zewnętrznych oraz w wyniku pracy tłumika. Dlatego pożąane jest sterowanie gwarantujące opowienio uże tłumienie la każej z form. Jenym z algorytmów zapewniającym takie sterowanie jest algorytm LQR Regulator LQR Regulator LQR jest często stosowany w ukłaach reukcji rgań [7, 8]. Generuje on sterowanie w zależności o aktualnego stanu ukłau. Należy wspomnieć, że w praktyce nie jest możliwe okłane określenie pełnego stanu ukłau [7]. Dlatego inżynierskie implementacje wymagają zastosowania estymatora stanu. Jeżeli ukła opisany równaniem jest ukłaem obserwowalnym, to na postawie znanych sygnałów wyjścia y( t ) i sterowania u( t ) można za pomocą opowienio obranego obserwatora wyznaczyć wektor w ( t), bęący estymatorem wektora stanu x ( t). Obserwatorem Luenbergera pełnego rzęu [13] la ukłau nazywamy ukła liniowy n-tego rzęu w ( t) = Fw( t) + Gy( t) + Bu( t) (4) taki, że błą obserwacji stanu la owolnych warunków początkowych x, w i la owolnego sterowania u( t ) zanika z czasem. Konstrukcja obserwatora polega na opowienim oborze macierzy G tak, aby macierz F = A GC 2 miała wartości własne, których części rzeczywiste są ujemne i na płaszczyźnie zespolonej są położone na lewo o biegunów ukłau, la którego obserwator stanu jest stosowany.

5 Jeżeli ukła reukcji rgań posiaa aktywne urzązenie wykonawcze, mogące realizować owolne sterowanie, oraz założymy znajomość stanu ukłau na postawie obserwatora (4), to równanie stanu tego w pełni aktywnie sterowanego systemu ma postać 75 w ( t) = Aw( t) + BU( t) (5) gzie U( t ) jest siłą oziaływania tłumika na linę. Siłę tę otrzymujemy, minimalizując następującą funkcję celu T J( U) = w ( t) Qw( t) + U( t) R U( t) t (6) Wyznaczenie optymalnego sterowania jest przestawione m.in. w [7]. Ma ono postać gzie: -1 T U( t) = Lw ( t) (7) L = R B P ; Q półoatnio określona macierz wag związana z wektorem stanu, R P oatnio określona macierz wag związana ze sterowaniem, rozwiązanie następującego równania Riccatiego Postawiając równanie (7) o równania (5), otrzymujemy T -1 T A P + PA PBR B P + Q = (8) w ( t) = ( A BL) w( t) (9) Tak przyjęta koncepcja sterowania została przestawiona na schemacie (rys. 2). Rys. 2. Schemat sterowania LQR z obserwatorem stanu Fig. 2. Scheme of LQR control with state observer 3.2. Regulator clippe LQR W przeciwieństwie o tłumików aktywnych, tłumiki semiaktywne mogą jeynie rozpraszać energię ukłau [12]. W pracach [4, 14, 15] przestawiono różne koncepcje sterowania takimi tłumikami w zależności o przyjętego kryterium oraz rozaju obiektu. Ponieważ tłu-

6 76 miki semiaktywne nie mogą ostarczać energii o ukłau, nie ma możliwości pełnej realizacji algorytmu LQR. Mimo to algorytm LQR jest postawą wyznaczania sterowania w wielu technicznych realizacjach ukłaów eliminacji rgań [7, 8]. Algorytm LQR zastosowany o sterowania tłumikami semiaktywnymi przyjmuje formę algorytmu clippe LQR. Warunek ostarczana energii o ukłau można zapisać następująco U( t) v > (1) Na rysunku 3 przestawiono zakresy wartości siły i prękości, la których energia jest obierana i ostarczana oraz wykreślono przykłaowe charakterystyki tłumika wiskotycznego i tłumika MR. Rys. 3. Zależność siły sterującej o prękości Fig. 3.The control force vs. velocity Przyjmujemy na postawie [8] następującą efinicję regulatora clippe LQR U( t), U( t) v < F = (11), U( t) v Doatkowo tłumiki MR mają praktycznie ograniczoną siłę, jaką mogą oziaływać na obiekt (rys. 3). Realizacja algorytmu clippe LQR z zastosowaniem tłumika MR sprowaza się wobec tego o następującego określenia siły wytworzonej przez tłumik na postawie wyznaczonego optymalnego sygnału sterującego U(t) Umax, U( t) v < i U( t) > U max U( t), U( t) v < i Umax < U( t) < U max F = (12) Umax, U( t) v < i U( t) < U max, U( t) v gzie U max oznacza maksymalną siłę realizowaną przez tłumik. Koncepcja przyjętego algorytmu sterowania została przestawiona na schemacie (rys. 4). Wprowazone ograniczenia na optymalny sygnał U(t) powoują, że możliwy o zrealizowania przez tłumik semiaktywny algorytm clippe LQR nie jest optymalny w sensie przyjętego kryterium (6). Celem obliczeń jest oszacowanie, poprzez symulację rgań, na ile oejście o sterowania optymalnego zmniejsza efektywność tłumienia rgań.

7 77 Rys. 4. schemat sterowania clippe LQr z obserwatorem stanu Fig. 4. Scheme of clippe LQR control with state observer 4. Porównanie efektywności algorytmów LQR i clippe LQR Obliczenia zostały wykonane la anych zaczerpniętych z [8], gzie poano postawowe parametry mostu Dongting Lake Brige. Oległość pomięzy poporami L = 115 m, kąt pochylenia linii łączącej popory z poziomem θ = 37 naciąg T = 395 kn, gęstość liniowa liny µ = 51,8 kg/m, mouł Younga E = 1, N/m 2, współrzęna punktu zamocowania tłumika ξ /L =,1. W obliczeniach przyjęto n = 3. Przez wzglą na porównawczy charakter pracy, o obliczeń nie wprowazono ograniczenia maksymalnej siły tłumika. Analiza wyników obliczeń może być postawą oboru konkretnego tłumika, którego parametry bęą zapewniać możliwość otrzymania wymaganej siły oziaływania na linę. Moel ukłau z relatywnie użym rozmiarem wektora stanu sprawia, że ilość operacji numerycznych koniecznych o wykonania, przy wyznaczaniu optymalnego sterowania,może uniemożliwić realizację algorytmu w czasie rzeczywistym. Macierze wag Q i R mają istotny wpływ na funkcję celu (6). W pracy [8] przestawiono szczegółowe zasay ich oboru w przypaku poszukiwania sterowania tłumikami rgań. Ze wzglęu na cel pracy, jakim jest porównanie wóch algorytmów sterowania, obliczenia zostały wykonane na postawie jenej pary wag obranych zgonie z zasaami przestawionymi w pracy [8] Q 1, 9 Q = = 8 1 R (13) ( ) gzie = M ( ) Q1 ; macierz M jest utworzona na postawie macierzy mas M po I pozostawieniu w niej tylko elementów na przekątnej głównej. Przyjęcie macierzy Q 1 jako macierzy iagonalnej oznacza taką samą wagę la każego uogólnionego przemieszczenia uwzglęnionego w obliczeniach. W celu ilustracji różnic mięzy efektywnością tłumika aktywnego i semiaktywnego przeprowazono symulacje la różnych warunków początkowych określających początkowe wychylenie liny. Wyniki obliczeń przestawiono na rys. 5 i 6. Zawierają one wykresy przemieszczenia i prękości punktu zamocowania tłumika, siły tłumiącej oraz mocy, wyzna-

8 78 czone la wóch wektorów warunków początkowych x = [, 8,, 5,, 2,,..., ] T (rys. 6). a) (1) x = [,1,,,..., ] T (rys. 5) oraz b) Rys. 5. Wyniki obliczeń la Fig. 5. Results of calculations for ( 1 ) x : a) regulator LQR, b) regulator clippe LQR ( 1 ) x : a) regulator LQR, b) regulator clippe LQR Jeśli sterowanie wyznaczone na postawie algorytmu LQR przechozi w zakres aktywny (na rysunkach rys. 5a i 6a jest to wioczne w chwilach, gy moc przechozi z wartości ujemnej na oatnią) wówczas tłumik semiaktywny, realizujący algorytm clippe LQR, zostaje wyłączony (na rysunku rys. 5b i 6b moc jest ujemna lub równa zero). Po ponownym załączeniu tłumika przemieszczenie liny i jej prękość mogą w barzo krótkim czasie po raz kolejny przyjmować takie wartości, la których tłumik bęzie wyłączony, gyż w przeciwnym wypaku musiałby ostarczać energię o ukłau, co nie jest możliwe. Powouje to efekt szybkiego przełączania się regulatora realizującego algorytm clippe LQR. Częste przełączenia są wioczne na wykresach mocy, siły i prękości (rys. 5b i 6b). W celu zniwelo-

9 wania tego efektu stosuje się oatkowe ograniczenia sterowania poprzez wprowazenie stałej ε, która określa poziom załączenia regulatora poniżej zakresu aktywnego [14]. Ponieważ przeprowazane obliczenia mają ilustrować zachowanie się regulatora oraz wykonywane są w celach porównawczych. ograniczenia te nie zostały wprowazone. a) 79 b) Rys. 6. Wyniki obliczeń la Fig. 6. Results of calculations for x : a) regulator LQR, b) regulator clippe LQR x : a) regulator LQR, b) regulator clippe LQR 4.1. Energia rozpraszana przez tłumik Energia rozpraszana przez tłumik może być miarą efektywności tłumienia. Jest oczywiste, że jeśli energia jest rozpraszana barziej intensywnie, to rgania liny zanikają szybciej. Przyjęte w algorytmie LQR kryterium optymalności opuszcza możliwość ostarczania energii o ukłau w pewnych przeziałach czasu (sterowanie aktywne). Sterowanie jest jenak tak obrane, aby w innych przeziałach czasu znacznie większa ilość energii była obie-

10 8 rana z ukłau. Sumarycznie, biorąc po uwagę jeen cykl rgań, energia ukłau zmniejsza się. Ilość energii, o którą pomniejszyła się energia liny w czasie jenego cyklu rgań jest energią rozpraszaną przez tłumik. Sygnał sterujący otrzymany po zastosowaniu algorytmu clippe LQR jest tak uformowany, że nie może oprowazać energii o rgającej liny, może ją tylko obierać lub w pewnych przeziałach czasu zachowywać się neutralnie, a więc pozostawiać energię na niezmienionym poziomie. W rozziale tym przestawiono obliczenia porównujące ilość energii rozproszonej przez tłumiki realizujące wa rozpatrywane algorytmy sterowania. Energia rozproszona przez tłumik w owolnym przeziale czasu ( t, t m ) jest opisana wzorem t m ( ) E = F v t (14) r t W tabeli 1 zamieszczono wyniki obliczeń energii rozpraszanej przez tłumik aktywny (sterowanie LQR) oraz tłumik semiaktywny (sterowanie clippe LQR ). Przyjęto wektor (1) warunków początkowych x = [,1,,,..., ] T oraz przeział czasu ograniczony olną granicą t = oraz górną granicą określoną wzorem t m = 2 πk/ω la k = 2, 3,..., 5, (ω jest pierwszą częstością rgań nietłumionych liny). Tabela 1 Energia rozproszona przez tłumik aktywny (algorytm LQR) i tłumik semiaktywny (algorytm clippe LQR ) k Energia rozproszona przez tłumik aktywny [kj] Energia rozproszona przez tłumik semiaktywny [kj] Obniżenie efektywności [%] 2 1,45, ,62 1, ,69 1, ,72 1,4 18 W tabeli 2 zamieszczono wyniki analogicznych obliczeń la wektora warunków począt- kowych: x = [,8,,5,,2,,..., ] T. Tabela 2 Energia rozproszona przez tłumik aktywny (algorytm LQR) i tłumik semiaktywny (algorytm clippe LQR ) k Energia rozproszona przez tłumik aktywny [kj] Energia rozproszona przez tłumik semiaktywny [kj] Obniżenie efektywności [%] 2 2,29 1, ,56 1, ,68 1, ,72 1,64 39

11 Analizując otrzymane wyniki, stwierzamy, że w każym rozważanym przypaku tłumik aktywny oebrał więcej energii, pomimo tego, że w pewnych fragmentach przyjętych przeziałów czasu energia była ostarczana o ukłau. Efektywność rozpraszania energii przez tłumik semiaktywny realizujący algorytm clippe LQR jest mniejsza. Wzglęna różnica energii rozproszonej przez tłumik aktywny i tłumik semiaktywny (oniesiona o energii rozproszonej przez tłumik aktywny) zawiera się w przeziale o 18% o 51% i jest tym mniejsza im łuższy jest przeział czasu, w którym obliczamy energię rozpraszaną Maksymalne przemieszczenia liny Miarą efektywności tłumienia jest szybkość zaniku rgań. Szybkość zaniku można określić, baając kolejne maksymalne wychylenia liny. Jako punkt pomiarowy przyjęto punkt położony w śroku liny. Łącząc na wykresie (obrazującym przemieszczenie w funkcji czasu) punkty opowiaające maksymalnym wychyleniom w jeną stronę, można wykreślić obwienię przemieszczeń. Wykresy obwieni zostały sporzązone po wykonaniu symulacji rgań w wóch przypakach różniących się wektorami warunków początkowych. Obwienię przemieszczenia śroka liny wyznaczonego la wektora warunków począt- (1) kowych x = [,1,,,..., ] T przestawiono na rys. 7, a la wektora warunków początko- wych x = [,8,,5,,2,,..., ] T na rys. 8. Jak wynika z przestawionych obliczeń, w obu przypakach barziej efektywnym algorytmem tłumienia jest algorytm LQR. Różnica mięzy maksymalnymi przemieszczeniami wynikającymi z analizy obwieni jest zmienna w czasie. Maksymalna różnica występuje w okolicach 5 sekuny symulacji. W obu przypakach wzglęna różnica mięzy sterowaniem semiaktywnym a aktywnym w poszczególnych punktach w czasie sięga pona 5%. 81 Rys. 7. Obwienia przemieszczenia liny la wektora warunków początkowych Fig. 7. Envelope of the cable isplacement for initial conitions ( 1 ) x ( 1 ) x

12 82 Rys. 8. Obwienia przemieszczenia liny la wektora warunków początkowego Fig. 8. Envelope of the cable isplacement for initial conitions x x 5. Wnioski W artykule przestawiono obliczenia symulacyjne, w celu zbaania efektywności tłumienia rgań w wyniku zastosowania tłumików aktywnych i semiaktywnych, których sterowanie bazuje opowienio na wykorzystaniu algorytmu LQR oraz algorytmu clippe LQR. Obliczenia wykonano, aby oszacować na ile zastosowanie tłumików semiaktywnych zmniejsza efektywność sterowania związanego z algorytmem liniowo-kwaratowym. Jak wykazano na postawie obliczeń, tłumiki aktywne sterowane z zastosowaniem algorytmu LQR są w każym baanym przypaku barziej efektywne niż tłumiki semiaktywne sterowane algorytmem clippe LQR. Ze wzglęu jenak na niewielki pobór mocy tłumiki semiaktywne powinny być stosowane w systemach zabezpieczenia lin prze rganiami. Pogorszenie efektywności tłumienia związane z zastosowaniem tłumików semiaktywnych zależy o wielu czynników, m.in. o parametrów rozważanej liny. Optymalny obór sterowania tłumikami semiaktywnymi przy projektowaniu ukłaów tłumiących lin nabiera wobec tego szczególnego znaczenia. Literatura [1] P a c h e c o B.M., F u j i n o Y., S u l e k h A., Estimation curve for moal amping in stay cables with viscous amper, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 119, No. 6, 1993, [2] P o s t o n R.W., Cable-stay conunrum, Civil Engineering-ASCE, Vol. 68, No. 8, 1998,

13 [3] K a r n o p p D., C r o s b y M., H a r w o o R., Vibration Control Using Semi-Active Force Generators, ASME Journal of Engineering for Inustry, Vol. 96, 1974, [4] J a n s e n L. M., D y k e S. J., Semi-Active Control Strategies for MR Dampers: A Comparative Stuy, ASCE Journal of Engineering Mechanics, Vol. 126, No. 8, 2, [5] K r e n k S., Vibrations of a taut cable with an external amper, Journal of Applie Mechanics, ASME, Vol. 67, No. 4, 2, [6] M a ś l a n k a M., S a p i ń s k i B., S n a m i n a J., Experimental stuy of vibration control of a cable with an attache MR amper, Journal of Theoretical an Applie Mechanics, Vol. 45, No. 4, 27, [7] N i Y.Q., C h e n Y., K o J.M., C a o D.Q., Neuro-control of cable vibration using semi-active magnetorheological ampers, Engineering Structures, Vol. 24, No. 3, 22, [8] Wa n g X.Y., N i b Y.Q., K o b J.M., C h e n c Z.Q., Optimal esign of viscous ampers for multi-moe vibration control of brige cables, Engineering Structures, Vol. 27, No. 5, 25, [9] K w a k e r n a a k H., S i v a n R., Linear Optimal Control System, John & Sons, Inc., [1] I n a u i J.A., Performance of variable-amping systems: Theoretical analysis an simulation, 3r Int. Workshop on Structural Control, France, Paris 2. [11] J o h n s o n E.A., B a k e r G.A., S p e n c e r B.F., F u j i n o Y., Mitigating Stay Cable Oscillation using Semiactive Damping, Smart Structures an Materials Smart Systems for Briges, Vol. 3988, 2, [12] B a k e r G.A., J o h n s o n E.A., S p e n c e r B.F., Jr., Moeling an semiactive amping of stay cables, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 133, No. 1, 27, [13] L u e n b e r g e r D., An introuction to observers, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 16, 1971, [14] J a l i l i N., A Comparative Stuy an Analysis of Semi-Active Vibration-Control Systems, Journal of Vibration an Acoustics, Vol. 124, No. 4, 22, [15] D u p o n t P., K a s t u r i P., S t o k e A., Semi-active Control of Friction Dampers, Journal of Soun an Vibration, Vol. 22, 1997,