Obserwatory stanu, zasada separowalności i regulator LQG

Transkrypt

1 Obserwatory stanu, zasada separowalności i regulator LQG Zaawansowane Techniki Sterowania Wydział Mechatroniki Politechniki Warszawskiej Anna Sztyber ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber / 29

2 Plan wykładu Obserwatory stanu Przykład - odwrócone wahadło na wózku 2 Zasada separowalności 3 Regulator LQG Przykład - odwrócone wahadło na wózku ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 2 / 29

3 Motywacje Do implementacji sterowania: u = Kx musimy znać cały wektor stanu x. Zazwyczaj trudne do zrealizowania w praktyce Wynikiem dostępnych pomiarów jest y: y = Cx Wprowadzamy obserwator stanu, który na podstawie modelu układu i danych pomiarowych odtwarza x. ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 3 / 29

4 Obserwator stanu [3] Wprowadzamy system liniowy ˆx R n : Chcemy: d ˆx = Fˆx + Gu + Ly dt x (ˆx x) dla t W jaki sposób dobrać macierze F, G i L? Błąd oszacowania: e(t) = ˆx(t) x(t) ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 4 / 29

5 Obserwator stanu d dt e = d dt ˆx d dt x = Fe + (F A + LC)x + (G B)u Dobieramy: G = B F = A LC Otrzymujemy: ė = (A LC)e Wartości własne macierzy A LC możemy dobrać dowolnie dobierając macierz L o ile para (A, C) jest obserwowalna. ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 5 / 29

6 Przypomnienie - obserwowalność Para (AC) jest obserwowalna jeśli: rank C CA CA 2. CA n = n ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 6 / 29

7 Obserwator stanu Interpretacja: d ˆx = Aˆx + Bu + L(y Cˆx) dt Wprowadzamy korektę od błędu oszacowania y Cˆx O czym nie mówimy Obserwatory niepełnego rzędu D.G. Luenberger: Observing the state of a linear system. IEEE Trans. Military Electronics, MIL-8,pp 74-8, 964 O czym jeszcze będzie Jak dobrać dobrą macierz L w obecności szumów i zakłóceń - Filtr Kalmana ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 7 / 29

8 Obserwator - przykład [] Zaprojektować obserwator stanu dla układu: ẋ(t) = [ ] x(t) + [ ] u(t) 2 y(t) = [.5 ] x sprawdzić warunek obserwowalności umieścić bieguny obserwatora w [ 4, 4] ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 8 / 29

9 Przykład - obserwator A LC = [ ] [ l l 2 ] [.5 ] det(iλ (A LC)) = λ 2 + (2 +.5l 2 )λ + (.5l +.5l 2 + ) Przyrównujemy do : (λ + 4) 2 Otrzymujemy: l = 8, l 2 = 2 [ ] d dt ˆx(t) = ˆx(t) + [ ] u(t) + 2 [ ] 8 (y(t) [ ] ).5 ˆx(t) 2 Uwaga Problem przesuwania biegunów dla celów sterowania rozwiązujemy identycznie ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 9 / 29

10 Zadanie Zaprojektować dyskretny obserwator stanu dla układu: ẋ(t) = [ ] x(t) + [ ] u(t) 2 y(t) = [.5 ] x(t) dobrać okres próbkowania i zdyskretyzować układ sprawdzić warunek obserwowalności umieścić bieguny obserwatora w [.6,.7] sprawdzić działanie w obecności szumów (wykres) ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber / 29

11 Wahadło na wózku - obserwator stanu %% parameters C = [ ; ]; %% observability obsv (A,C) rank ( obsv (A,C)) %% observer % L_T = place (Ad ',C ',[.3,.,.5,.5]) ; L_T = place (Ad ',C ',[.8,.9,.85,.87]) ; % L_T = place (Ad ',C ',[.9,.95,.98,.97]) ; L=L_T '; ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber / 29

12 Symulacja układu z obserwatorem x = X; %z = X; z = [;;;]; for k =: length ( tspan ) u = -K*x; [,y] = ode5s (@(t,y) pendulum_on_car_derivatives (y,u),: Tp /: Tp,x); x = y(end,:) '; y = x +.* randn (4,) ; z = Ad*z + Bd*u + L*(C*y - C*z); end ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 2 / 29

13 Obserwator - znany warunek początkowy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 3 / 29

14 Obserwator - zerowy warunek początkowy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 4 / 29

15 Obserwator - zerowy warunek początkowy, agresywne nastawy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 5 / 29

16 Obserwator - szum pomiarowy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 6 / 29

17 Obserwator - szum pomiarowy - powiększenie ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 7 / 29

18 Obserwator - szum pomiarowy, agresywne nastawy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 8 / 29

19 Obserwator - szum pomiarowy, mało agresywne nastawy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 9 / 29

20 Obserwator - pomiar wyłącznie x ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 2 / 29

21 Zasada separowalności d ˆx = Fˆx + Gu + Ly dt y = Cx, u = Kˆx ė = (A LC)e Rozważmy układ rozszerzony (regulator + obserwator): ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 2 / 29

22 Zasada separowalności d ˆx = Fˆx + Gu + Ly dt y = Cx, u = Kˆx ė = (A LC)e Rozważmy układ rozszerzony (regulator + obserwator): Przekształcając: d dt d dt [ ] [ x A BK = ˆx LC F GK ] [ ] x ˆx [ ] [ ] [ x x A BK BK = = e ˆx x A LC ] [ ] x e ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 2 / 29

23 Zasada separowalności det ([ ]) A BK BK = det (A BK) det (A LC) A LC Zasada separowalności Bieguny regulatora i obserwatora możemy dobrać niezależnie. ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 22 / 29

24 Regulator LQG (Linear-Quadratic-Gaussian) Założenie: występują zakłócenia addytywne o rozkładzie normalnym Regulator LQR Filtr Kalmana Regulator i obserwator projektujemy oddzielnie u d System x Sensory y n Regulator y M LQR ˆx Obserwator ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 23 / 29

25 Gwarantowany zapas stabilności [2] Możliwe rozwiązania Loop Transfer Recovery sterowanie odporne H ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 24 / 29

26 Symulacja układu z obserwatorem x = X; %z = X; z = [;;;]; for k =: length ( tspan ) u = -K* z; % only difference [,y] = ode5s (@(t,y) pendulum_on_car_derivatives (y,u),: Tp /: Tp,x); x = y(end,:) '; y = x +.* randn (4,) ; z = Ad*z + Bd*u + L*(C*y - C*z); end ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 25 / 29

27 LQR + obserwator stanu ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 26 / 29

28 LQR + obserwator stanu - pomiar tylko x ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 27 / 29

29 LQR + obserwator stanu - mało agresywne nastawy ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 28 / 29

30 Literatura Prof. Alberto Bemporad. Automatic control : State estimation and linear observers. bemporad/teaching/ac/pdf/6b-estimator.pdf, 2. [Online; accessed ]. J. Doyle. Guaranteed margins for lqg regulators. IEEE Transactions on Automatic Control, 23(4): , Aug 978. D. H. Jacobson, D. H. Martin, M. Pachter, and T. Geveci. Extensions of Linear-Quadratic Control Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 98. ZTS (IAiR PW) LQR Anna Sztyber 29 / 29