(U.5) Zasada nieoznaczoności

Transkrypt

1 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 42 Rozział 26 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 26. Pakiet falowy minimalizujący zasaę nieoznaczoności 26.. Wyprowazenie postaci pakietu Stan kwantowo-mechaniczny (lub funkcja falowa) minimalizujący zasaę nieoznaczoności spełnia równanie (5.26) (Ã iλ B) ϕ( x) = 0, (26.) przy czym parametr λ R zaany jest wzorem (5.27). Rozważymy teraz pakiet falowy związany z cząstką o śrenim położeniu x = a i śrenim pęzie p = b. Ograniczymy się, la prostoty rachunków, o sytuacji jenowymiarowej. A zatem okonujemy utożsamienia operatorów: Ã = ˆx a = x a, B = ˆp b = p b. (26.2) Oczywiście, zgonie z (5.) mamy teraz iĉ = Ã, B = x, p = i, (26.3) więc Ĉ =. Zatem parametr λ w relacji (26.), na to aby zgonie z (5.27) zminimalizować zasaę nieoznaczoności, przyjmuje wartość λ = 2σ 2 (p) = 2σ2 (x). (26.4) Korzystając więc z utożsamień (26.2) i mając parametr λ, na postawie (26.) buujemy równanie la poszukiwanego pakietu falowego ( (x a) iλ i ) x b ϕ(x) = 0. (26.5) Jest to równanie o rozzielających się zmiennych, które możemy przepisać w postaci ϕ(x) x a + iλb x = λ ϕ(x) (26.6) Scałkowanie tego równania jest trywialne, w wyniku otrzymujemy x 2 ax + iλbx + C = ln ϕ(x). (26.7) λ 2 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 42

2 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 43 Owracając logarytm i wprowazając nową stałą owolną e C = A piszemy x 2 ϕ(x) = A exp 2λ ax λ + ibx. (26.8) Pojawiającą się w rezultacie całkowania stałą owolną utożsamiamy ze stałą normalizacyjną, którą bęziemy musieli później wyznaczyć, a na razie możemy nią manipulować. W tym celu przepiszmy powyższe równanie w postaci ϕ(x) = A exp (x 2 2ax + a 2) a2 2λ 2λ + ibx iba + iba. (26.9) Włączając człony rugi i piąty o nowej stałej normalizacyjnej zapisujemy otrzymany pakiet falowy jako (x a) ϕ(x) = A 2 exp + ib 2λ (x a). (26.0) Postać taka jest wygoniejsza o alszej yskusji, zaś A to po prostu (nowa) stała normalizacyjna. Zwróćmy uwagę, że uzyskana funkcja falowa ϕ(x) ma być normowalna, a więc parametr λ musi być ujemny. Szczęśliwie tak jest, co wiać z relacji (26.4), bowiem yspersje zawsze są oatnie. Dlatego też zapiszemy w końcu ϕ(x) w postaci ϕ(x) = A (x a)2 exp 2 λ + ib (x a). (26.) Za pomocą warunku normalizacyjnego x ϕ(x) 2 =, (26.2) musimy obliczyć stałą normalizacyjną A. Przy obliczaniu kwaratu moułu czynnik urojony w eksponencie wzoru (26.) znosi się. Pozostaje o obliczenia całka = A 2 (x a)2 x exp. (26.3) λ Całkę tę łatwo obliczamy okonując zamiany zmiennej całkowania y = (x a)/ λ i wieząc, że y exp( y2 ) = π. W rezultacie otrzymujemy A 2 = π λ = A = ( ) /4, (26.4) π λ przy czym w rugiej równości fazę owolną wybraliśmy równą zeru. Wobec tego mamy ( ) /4 (x a)2 ϕ(x) = exp π λ 2 λ + ib (x a). (26.5) Postawiając wprowazone wcześniej oznaczenia, stwierzamy że ϕ(x) = ( ) /4 2πσ 2 exp (x) (x x )2 4σ 2 (x) + i p (x x ). (26.6) przestawia pakiet falowy (funkcję falową) minimalizujący zasaę nieoznaczoności. Oczywiście powstaje pytanie, jak uzyskany tu pakiet ma się o pakietu yskutowanego uprzenio (patrz (23.73) i ((25.)). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 43

3 (U.5) Zasaa nieoznaczoności Dyskusja wyników W poprzenich rozziałach baaliśmy ewolucję czasową gaussowskiego pakietu falowego, który wyraża się wzorem e iθ(t) ψ(x, t) = e ikox iω 0t exp (x v 0t) 2 4 a 2 π ( + σ 2 t 2 ) 2a 2, (26.7) ( + iσt) gzie oznaczenia są omówione po formule (25.). Dla pakietu tego obliczyliśmy wartości oczekiwane x = v 0 t, x 2 = 2 a2 ( + σ 2 t 2) + v 2 0t 2, p = k 0, p 2 = 2 k a 2, (26.8) co oczywiście pozwala wyznaczyć opowienie (zależne o czasu) yspersje σ 2 t (x) = 2 a2 ( + σ 2 t 2), σ 2 t (p) = 2 2a 2. (26.9) Dyspersja położenia cząstki (pakietu) rośnie kwaratowo w czasie, a pęu jest stała. Pakiet opisuje cząstkę swoboną (nie oziałującą). Zatem nie ma powou, aby zmianom ulegał pę cząstki. Dlatego fakt, że σ 2 t (p) = const., wyaje się być zrozumiały. Wiemy, że pakiet rozmywa się w przestrzeni. Ozwiercieleniem tego jest rosnąca w czasie yspersja σ 2 t (x). Iloczyn obu yspersji wynosi σt 2 (x)σt 2 (p) = 2 ( + σ 2 t 2), (26.20) 4 i la ostatecznie ługich czasów t może mieć owolnie użą wartość. Z relacji tej wizimy, że minimalizacja zasay nieoznaczoności może nastąpić jeynie w chwili początkowej t = 0. W chwili tej pakiet (26.7) reukuje się o ψ(x, t = 0) = 4 a 2 π eikox exp x2 2a 2, (26.2) Jenocześnie z (26.9) mamy σ 2 0 (x) = 2 a2, więc ψ(x, t = 0) = e 4 2πσ ik o x exp x2 0 2(x) 4σ0 2(x),. (26.22) Ponieważ jeszcze k 0 = p / oraz x 0 = 0, więc wizimy, że pakiet ϕ(x) any w (26.6) pokrywa się z powyższym. Minimalizacja zasay nieoznaczoności zachozi w chwili początkowej, a wraz z upływem czasu "psuje się" co pokazuje iloczyn yspersji (26.20) Dyskusja oświaczenia interferencyjnego Wróćmy teraz o oświaczenia z interferencją cząstek. Dyskutując ją poprzenio stwierziliśmy, że nie można określić, przez którą szczelinę przejzie cząstka, o ile tylko nie chcemy zniszczyć obrazu (prążków) interferencyjnych. Cząstka paająca na przesłonę ma pę p = (0, p 0, 0). Ulega ona yfrakcji na jenej ze szczelin i paa na ekran w punkcie M, patrz rysunek 26.. A więc po przejściu przez szczelinę S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 44

4 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 45 cząstka ma pewien pę w kierunku poprzecznym, tj. w kierunku osi x. Całkowity pę musi być zachowany, a więc przesłona absorbuje zmiany pęu p (i) x = p 0 sin θ i, (26.23) gzie i =, 2 numeruje szczelinę przez którą przeszła cząstka. W sytuacji przestawionej na rysunku cząstki uginają się "w górę", zatem przesłona oznaje przesunięcia w ół. Rys. 26.: Przesłona P jest na rolkach i może się przesuwać w górę lub w ół. Mierząc jej przesunięcie można zmierzyć wartość skłaowej pionowej pęu przekazanego płycie w wyniku ugięcia strumienia cząstek przechozących przez otwory. Pozwalamy cząstkom nabiegać pojeynczo i oczekujemy, że po pewnym czasie na ekranie powstaną prążki interferencyjne. Dzięki pomiarom przesunięć przesłony przy przejściu kolejnych cząstek możemy próbować określić, przez którą szczelinę przeszła ana cząstka. Zwracamy uwagę, że w tym rozumowaniu musi być jakaś sprzeczność, bowiem wiemy z oświaczenia, że określenie któręy przeszły kolejne cząstki powinno niszczyć obraz interferencyjny. Nasz błą polega na tym, że w powyższym rozumowaniu przyjęliśmy, iż cząstki mają naturę kwantowo-mechaniczną, zaś przesłonę potraktowaliśmy jako obiekt klasyczny. Przeprowazimy teraz " porząną" analizę opisanego eksperymentu. Aby rozstrzygnąć, przez którą szczelinę przeszła cząstka, błą pomiaru p pęu przesłony musi być użo mniejszy niż różnica pęów p () x i p (2) x (żeby rozróżnić kąty θ i θ 2 ) p p () x. (26.24) Traktując przesłonę jako obiekt także kwantowy, stosujemy o niej zasaę nieoznaczoności. Znów chozi nam o oszacowania, więc ponownie posłużymy się zasaą nieoznaczoności w intuicyjnej postaci (5.34). Szacujemy nieokreśloność jej położenia x p = p () x. (26.25) Z geometrii zaganienia (patrz rys. 26.) wynika, że la małych kątów sin θ x a/2, sin θ 2 x + a/2, (26.26) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 45

5 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 46 gzie x to współrzęna uerzenia cząstki w ekran (punkt M), zaś to oległość pomięzy ekranem a przesłoną. Ponieważ kąty są małe, na mocy (26.23), możemy napisać p () x = p 0 sin θ sin θ 2 p 0 θ θ 2 p 0 x a/2 x + a/2 = p 0 a. (26.27) Pę cząstki paającej p 0 wyrażamy teraz za pomocą postulatu e Broglie a p 0 = h/λ, wobec czego z oszacowania (26.27) otrzymujemy p () x ha λ. (26.28) Wynik ten postawiamy o oszacowania (26.25) la nieokreśloności położenia przesłony. Otrzymujemy więc x λ ha λ a. (26.29) Z elementarnej teorii interferencji wiemy jenak, że iloraz λ/a to nic innego niż oległość pomięzy prążkami interferencyjnymi. Wnioskujemy więc, że określenie położenia pionowego przesłony obywa się z okłanością gorszą niż oległość prążków, co w oczywisty sposób musi prowazić o zupełnego " rozmazania" obrazu interferencyjnego. Posumowując stwierzamy, że aby określić przez którą szczeliną przeszła cząstka powinien być spełniony warunek (26.24). Oszacowanie x w (26.29) uzyskaliśmy przy słabszym ograniczeniu, bowiem wzięliśmy zamiast (26.24) równość. A więc ostrzejszy wymóg nałożony na p tym barziej pogorszy x zwiększy je znacznie pona oszacowanie (26.29), co tym barziej popsuje obraz interferencyjny. Doświaczenie rozstrzygające któręy przejzie cząstka nie może jenocześnie oprowazić o powstania obrazu interferencyjnego. I na owrót, jeśli mamy obraz interferencyjny, to nie możemy określić, przez którą szczelinę przeszła kolejna cząstka. " Wieza o tym, któręy przeszła cząstka niszczy prążki interferencyjne". * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 46