Wykłady z Hydrauliki- dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD 3

Transkrypt

1 WYKŁAD Postawowe prawa hyroynamiki W analizie problemów przepływów cieczy wykorzystuje się trzy postawowe prawa fizyki klasycznej: prawo zachowania masy, zachowania pęu i zachowania energii. W większości przypaków wystarczające jest sformułowanie tych praw la przepływu jenowymiarowego i la cieczy nieściśliwej. W szczegółowych rozważaniach rozpatruje się ściśle określoną objętość kontrolną, ograniczoną umownymi powierzchniami kontrolnymi. Taką objętością kontrolną rozpatrywanego strumienia cieczy jest objętość zawarta w przestrzeni, gzie linie AC i BD są liniami strug a powierzchnie i są przekrojami poprzecznymi, powierzchniami prostopałymi o wektorów prękości (Rys. 19). Natężeniem strumienia masy, pęu lub Rys. 19 Strumień cieczy z objętością kontrolną energii nazywamy tak ilość anej wielkości, która przechozi przez przekrój kontrolny w jenostce czasu. Natężenie strumienia masy jest efiniowane jako m ρ u A ρ v A ρ Q (5) A m gzie m, u jest prękością zmienną w anym przekroju a v prękością śrenią la całego przekroju. Natężenie strumienia pęu można wyrazić jako m β v ρ u u A ρβ Q v (6) A Współczynnik poprawkowy β, zwany współczynnikiem Boussinesqa (la ruchu w pełni burzliwego jest barzo bliski jeności). W oróżnieniu o poprzeniej wielkości, Natężenie 15

2 strumienia pęu jest wielkością wektorową, gzie istotną jest nie tylko ilość (mouł) ale także położenie i kierunek tej wielkości. Natężenie strumienia energii mechanicznej określa się wyrażeniem p α v p u m g H mg z + + ρg z + + u A (7) ρ g g ρ g g A gzie H z + p ρ g v + g jest tzw. całkowitą wysokością energii na przyjęty poziom oniesienia Równanie ciągłości Prawo zachowania masy określa, że zmiana w czasie masy anej kontrolowanej objętości musi być zrównoważona różnicą masy wpływającej (in) i wypływającej (out) przez powierzchnię kontrolną. ρ V V k ( ρ va) in ( ρva) out gzie V - elementarna objętość, V k - objętość kontrolowana. Dla ruchu ustalonego i cieczy nieściśliwej (ρ const.) równanie to upraszcza się o postaci zwanego równaniem ciągłości: Q v ( va) (8) 1 A1 v A ( va) in gzie v 1 i A 1 prękość śrenia i pole przekroju strumienia wpływającego oraz opowienio v i A prękość i pole przekroju strumienia wypływającego. Ilustrację tego prawa przestawiono na rys. 19. Cząsteczki cieczy znajujące się w przekroju w jenostce czasu przemieszczaj się o przekroju i analogicznie z przekroju przemieszczaj się o przekroju, stą δ m δ m gzie δm jest elementarną masą wewnątrz objętości kontrolowanej. out 3.6. Równanie ilości ruchu Zgonie z rugą zasaą Newtona, zmiana pęu mu jest proporcjonalna o przyłożonej siły Dla ośroka płynnego, ciągłego, możemy napisać ( m u ) F (9a) F u m (9b) gzie F siły zewnętrzne wywołujące zmiany pęu, m - elementarna masa cieczy, u jej prękość. 16

3 Możemy napisać, że zmiana w czasie pęu objętości kontrolowanej (V k ) jest równa sumie wszystkich strumieni pęów przepływających przez powierzchnię kontrolną plus suma wszystkich sił ziałających na objętość kontrolowaną czyli postaci Dla ruchu ustalonego, gy m u m u ρ u V + F kv in in out out m m m powyższe równanie sprowaza się o [ v v ] m F out in (30) Rozpatrzmy strumień cieczy przestawiony na rysunku 19 z wyorębnioną masą cieczy zawartą mięzy przekrojami poprzecznymi i oraz elementarną masą cieczy m. Ilość ruchu cieczy zawartej mięzy rozpatrywanymi przekrojami w chwili początkowej bęzie sumą wektorową pęów elementarnych, czyli Po czasie δt ilość ruchu wyorębnionej masy cieczy wyniesie + Przyrost ilości ruchu wywołany sumą wektorową wszystkich się zewnętrznych ziałających na rozpatrywaną ciecz wyniesie F δ t ( po δ t ) ( prze δ t ) + ( po δ t ) ( prze δ t ) (31) ( po δ t ) ponieważ przyjmuje się, że zachozi równość 17

4 ( po δ t ) ( prze δ t ) Dla barzo małego δt, oległości A i B są barzo małe, stą prękości u la wszystkich cząstek przestrzeni są te same, poobnie jak la przestrzeni. Ponieważ prękości w wymienionych obszarach sumowania są stałe choć la każego z nich mogą być różne, możemy je wyciągnąć prze znak sumy: F δt u δm u DC Masa cieczy wyrażona jako suma po obszarze jest masą cieczy, która przeszła przez przekrój w czasie δt i latego może być określona jako ρqδt. Przy tych przyjęciach la ruchu ustalonego możemy napisać: DC δ m δ m ρ Qδ t Zakłaając, że wyprowazone równanie (3) ważne jest także la strumienia cieczy, w powyższym równaniu możemy przyjąć prękości śrenie w przekroju v śr Q/A a zieląc obie strony równania przez δt otrzymamy ostatecznie 1 δm ( v ) (3) F ρ Q v 1 (33) gzie v 1 oraz v oznaczają prękości śrenie opowienio w przekrojach o polu A 1 i o polu A. Równanie (33) wyraża zmiany ilości ruchu strumienia cieczy mięzy tymi przekrojami po wpływem ziałania sił zewnętrznych określonych jako F. Równanie to jest praktycznym wyrażeniem równania (30) Równanie Bernoulliego la strumienia cieczy rzeczywistej Prawo zachowania energii wywozi się z pierwszej zasay termoynamiki, które głosi, że przyrost energii wewnętrznej U w owolnym procesie jest równy różnicy ciepła Q oprowazonego o ukłau oraz pracy L wykonanej przez ukła w czasie tego procesu: U Q - L. Przy pominięciu przepływu ciepła, zasaa ta może być wyrażona za pomocą natężenia strumienia energii mechanicznej Vk u ρ + gz V ( mgh ) in ( mgh ) out L mgh s (34) 18

5 gzie L - jest pracą maszyn takich jak pompy i turbiny a h s 0 wysokość strat energii na pokonanie oporów ruchu strumienia, oniesiona o jenostki ciężaru cieczy. W skrótowym zapisie równanie powyższe można przestawić w następującej postaci H in + H p H out + H t + h s gzie H p i H t przestawia opowienią wysokość energii oniesioną o jenostki ciężaru cieczy ostarczonej przez pompy lub oprowazonej przez turbiny. W praktyce stosuje się to równanie w postaci z p v α p α v H p z H t h g g + + g g + ρ ρ zwane często uogólnioną postacią równania Bernoulliego. 1 s (35) 3.8. Reakcja hyroynamiczna i parcie hyroynamiczne Zgonie z trzecią zasaą Newtona, siła oziaływania cieczy na otaczające ścianki bęzie się nazywała reakcją hyroynamiczną i bęzie miała zwrot przeciwny czyli R F Uwzglęniając zależność określoną powyżej, równanie pozwalające wyznaczyć wartość reakcji hyroynamicznej jest następujące ( v 1 v ) R ρ Q (36) Jest to wyrażenie poane w zapisie wektorowym, gzie v 1 i v są wektorami prękości śrenich w początkowym i końcowym przekroju poprzecznym strumienia - prawa strona równania jest zmianą ilości ruchu (pęu) masy strumienia ograniczonego tymi przekrojami, ze znakiem przeciwnym. W przypakach otyczących oziaływania swobonego strumienia cieczy, w którym następuje zmiana ilości ruchu po wpływem ziałania przeszkoy znajującej się na roze strumienia, oziaływanie strumienia na przeszkoę bęziemy nazywać parciem hyroynamicznym i określać symbolem P. Przy założeniu, że pomijamy ziałanie siły ciężkości oraz pomijamy opory ruchu (zakłaamy przepływ cieczy iealnej) parcie hyroynamiczne możemy wyznaczy wprost z wzoru (36)). 19

6 Rys. 0. Przelew o ostrej krawęzi Przykła 3.1. Przelew prostokątny o ostrej krawęzi. Przelew o ostrej krawęzi (rys. 0) jest stosowany zwykle o pomiaru wyatku w kanałach otwartych poprzez prosty pomiar poziomu zwierciała woy powyżej przelewu. Jest to ciężka płyta ustawiona w poprzek kanału, powyżej której przelewa się woa swobonym strumieniem, w pełni napowietrzonym, tzn. wewnątrz którego ciśnienie równe jest ciśnieniu atmosferycznemu. Rozwiązanie. Rozpatrywana objętość kontrolna strumienia zawarta jest mięzy przekrojami poprzecznymi 1 i, la której z równania ciągłości wynika, że Q v 1 A 1 v A. Przekrój 1 jest przyjęty w takiej oległości, aby strugi były równoległe, zięki czemu w przekroju tym występuje hyrostatyczny rozkła ciśnień. Stą wysokość ciśnienia piezometrycznego w przekroju 1 jest stała, p z + p + h g ρ przy poziomie porównawczym przyjętym na poziomie na kanału. Równanie Bernoulliego la strugi przechozącej przez punkt A w przekroju 1 i punkt B w przekroju otrzymuje postać h + P p ρ g + z B ub + g Zgonie z wyżej przyjętym założeniem p 0 w każym punkcie przekroju, tak więc z powyższego równania otrzymujemy g ( h + P) z przelewu jest ruch jenostajny, wyatek przelewu wynosi u B. Przy założeniu, że w przekroju Q h + P P u B h + P ( z) A g( h + P z) P b z 0

7 Górna granica całkowania nie uwzglęnia epresji zwierciała woy w przelewie. Końcowa zależność ma postać Q µ b 3 3 g h gzie µ jest współczynnikiem wyatku, uwzglęniającym straty hyrauliczne i uproszczenia przyjęte w założeniach o obliczeń. Przykła 3.. Reakcja hyroynamiczna w kolanie rurociągu. Pionowy ocinek rurociągu należy zakotwiczyć w bloku oporowym. Ciśnienia cieczy na wejściu i wyjściu z kolana wynoszą opowienio p 1 i p, w rurociągu obywa się przepływ ustalony Q > va, gzie A - pole przekroju poprzecznego rurociągu. Ciężar kolana G k a ciężar woy w kolanie G w. Obliczyć całkowitą siłę oziaływania kolana na blok oporowy przy uwzglęnieniu także reakcji hyroynamicznej cieczy przepływającej przez rurociąg. W anych warunkach v 1 v v ską skłaowe prękości v 1 (v,0) i v (v cosϕ, v sinϕ). Uwzglęniając rzuty wymienionych sił na osie współrzęnych x i y otrzymamy równania F x ( p A p Acosϕ) + ρ Q( v vcosϕ) 1 F y p Asinϕ + G k + G w + ρ Q ( v sinϕ) Mouł wypakowej F + F x Fy Rys. 1. Reakcja hyrogeologiczna w kolanie rurociągu Przykła 3.3. Parcie hyroynamiczne swobonego strumienia W przypaku swobonego strumienia cieczy iealnej, la którego pomijamy oziaływanie siły ciężkości i opory ruchu cieczy, parcie hyroynamiczne oziaływania strumienia na ściankę zakrzywioną, ochylającą kierunek ruchu strumienia o kąt α wyliczane jest wprost z równa :. 1

8 R x ρ Qv ( 1 cosϕ) R y ρ Qv sinϕ W przypaku uerzenia strumienia w ściankę ustawioną prostopale o kierunku ruchu strumienia, ciecz po uerzeniu w przeszkoę rozpływa się równomiernie we wszystkich kierunkach, stą ρ Q v 0 a całkowita siła parcia hyroynamicznego wynosi: v P ρ Qv ρ Av ρ ga g czyli jest wukrotnie większa o parcia hyrostatycznego wywołanego ciśnieniem równoważnym wysokości prękości. Przykła 3.4. Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór Zakłaamy ruch ustalony, tj. zgonie z równaniem ciągłości opływ o zbiornika równy jest opływowi zięki czemu poziom woy w zbiorniku jest stały. Zakłaamy także, że otwór jest tak mały, że można nie uwzglęniać zmiany prękości na wysokości jego przekroju. Objętość kontrolowana zawarta jest mięzy przekrojami kontrolnymi 1 i i ściankami zbiornika (rys.). Dla poziomu porównawczego przyjętego w osi otworu, równanie Bernoulliego la poanych wyżej przekrojów kontrolnych przybiera postać: Rys. Wypływ cieczy ze zbiornika pa v1 pa v h ρ g g ρ g g po zreukowaniu ciśnienia atmosferycznego p a i przyjęciu v 1 0, otrzymujemy wyrażenie na prękość wypływu cieczy i wyatek: v ϕ g h, Q µ A g h gzie: µ - współczynnik wyatku µ ϕε, la małych otworów możemy przyjmować µ 0,60 0,6, ϕ - współczynnik prękości, ε - współczynnik ławienia bocznego A s ε. A