MODEL MATEMATYCZNY RUCHU GRANUL NAWOZU PO ZEJŚCIU Z TARCZY ROZSIEWAJĄCEJ

Transkrypt

1 InŜynieria Rolnicza 6/006 Wojciech Przystupa Katera Zastosowań Matematyki Akaemia Rolnicza w Lublinie MODEL MATEMATYCZNY RUCHU GRANUL NAWOZU PO ZEJŚCIU Z TARCZY ROZSIEWAJĄCEJ Streszczenie W pracy zbaano wpływ zaburzeń losowych na oległość h, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza ośrokowego. Do opisu ruchu cząsteczek nawozu po tarczy rozsiewacza wykorzystano stochastyczne równanie Langevina. Słowa kluczowe: moel matematyczny, rozsiewacz ośrokowy, równanie Langevina Wykaz oznaczeń ω prękość kątowa tarczy [ra s -1 ], R promień tarczy [m], F siła oporu powietrza [N], g przyspieszenie ziemskie [m s - ], α kąt nachylenia tarczy [º], m masa cząsteczki nawozu [kg], D współczynnik yfuzji [m s -1 ], µ v współczynnik tarcia mięzy materiałem, z jakiego wykonana jest łopatka, a cząstką nawozu, µ współczynnik tarcia mięzy materiałem, z jakiego wykonana jest tarcza, a cząstką nawozu, t czas [s], ρ a gęstość powietrza [kg m -3 ], C w współczynnik oporu, A powierzchnia cząstki nawozu [m ], V prękość cząstki [m s -1 ], ρ p gęstość cząstki nawozu [kg m -3 ], śrenica cząstki nawozu [m]. $**

2 Jb]V\XV[ CemlfghcT Wprowazenie Na jakość pracy tarczowego zespołu rozsiewającego ecyujący wpływ mają parametry geometryczno-kinematyczne tarczy rozsiewającej. Ruch cząstki nawozu pozielić moŝna na wa okresy: ruch po tarczy i swobony lot w powietrzu. Do opisu ruchu cząstek nawozu po tarczy rozsiewającej stosuje się eterministyczne równania ruchu [Mieszkalski 1998; Olieslagers i in. 1996]. W równaniach tych nie uwzglęnia się oziaływania cząstek nawozu mięzy sobą. W ukłaach rzeczywistych trajektoria ruchu cząstki polega zaburzeniom stochastycznym. cząstki nawozu po obracającej się tarczy poany zaburzeniom losowym. W pracy przestawiono prosty moel matematyczny opisujący ruch cząstki nawozu po obracającej się tarczy i po zejściu z tarczy rozsiewacza. Cel i zakres pracy Celem pracy było zbaanie wpływu zaburzeń losowych, jakim polega cząstka nawozu poruszająca się po tarczy rozsiewacza ośrokowego, na oległość w jakiej cząstka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza. Do opisu ruchu cząstki nawozu po obracającej się tarczy wykorzystano stochastyczne równanie Langevina. Równanie ruchu cząsteczki nawozu po tarczy Deterministyczne równanie ruchu cząsteczki nawozu poruszającej się po obracającej się tarczy wzłuŝ łopatki ma postać [Mieszalski 1998]: r r m = mω r mgµ mωµ v (1) Wprowaźmy następujące zmienne bezwymiarowe: τ = ωt X = Po wstawieniu wyraŝeń () o równania (1) otrzymamy: X r R () gµ X = X µ v (3) ω R W przypaku występowania zaburzeń stochastycznych, równanie róŝniczkowe rugiego rzęu (3) moŝna zapisać w postaci [Risken 1984]: $*+

3 @bwx_ `TgX`TglVmal ehv[h!!! X = Y Y gµ = X ω R µ Y + v Dξ( τ ) (4) gzie ξ(τ) jest gaussowskim białym szumem, takim Ŝe < ξ( τ ) >= 0 < ξ( τ ) ξ( τ ) >= δ ( τ τ ) (5) Rozwiązując równanie (4) otrzymujemy skłaową prękości cząsteczki nawozu r wzłuŝ łopatki,. Wartość prękości cząsteczki nawozu w chwili zejścia z tarczy otrzymujemy z wyraŝenia: r V = Rω + (6) Równanie ruchu cząstki nawozu w powietrzu Ogólne równanie ruchu cząstki nawozu po opuszczeniu łopatki la przypaku, gy tarcza jest ustawiona po owolnym kątem w stosunku o powierzchni pola ma następującą postać [Mieszalski 1998, Olieslagers i in. 1996]: x m = F cosα y m = mg F sinα (7) (8) Siła oporu powietrza ziałająca na cząstkę ma postać: F 1 = ρ a Cw AV (9) Zakłaając, Ŝe cząstki nawozu mają kształt kuli, moŝna napisać: π m p 6 3 = ρ (10) A = π (11) 4 $*,

4 Jb]V\XV[ CemlfghcT Wstawiając wyraŝenia (9-11) o (7) i (8) otrzymamy: x x = k x y + (1) gzie: y y = g k k 3 4 x C ρ ρ p y + (13) w a = (14) Wprowaźmy nowe zmienne bezwymiarowe τ, X i Y zefiniowane następująco: t τ =, T x X =, a y Y =. (15) a gzie a i T zefiniowane są następująco: v v a = sin α + cosα gh + v sin α, (16) g g v sinα + v sin α + gh T =. (17) g Po wstawieniu wyraŝeń (15) o równań (1-13) otrzymujemy: X = Vx = kav x Y = V x V V y x + V y (18) (19) (0) Vy gt = a kav gzie: V x i V y oznaczają skłaowe prękości y V x + V y (1) Rozwiązując numerycznie ukła równań (18-1) otrzymujemy oległość h, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza. $+#

5 @bwx_ `TgX`TglVmal ehv[h!!! Wyniki symulacji komputerowych W celu rozwiązania ukłau równań (18-1), wykorzystano metoę Rungego-Kutty o stałym kroku czasowym τ=0, Obliczenia przeprowazono la następujących parametrów: µ v =0,3, µ =0,3, R =0,3m, ω=5,36 ra/s i N=5000 trajektorii. W celu porównania otrzymanych wyników wprowazono wzglęną oległość H określoną następująco: h H = () h 0 gzie: h oległość, w jakiej cząstka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la D 0, h0 oległość, w jakiej cząstka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la D=0. Na rysunkach 1-4 przestawiono rozkłay wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza. Baania symulacyjne przeprowazono la róŝnych wartości współczynników yfuzji D i współczynnika oporu C w. 0,75 0,50 Częstość 0,5 0,00 0,950 0,975 1,000 1,05 1,050 H Rys. 1. Fig. 1. Rozkła wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la współczynnika oporu C w =0,44 i współczynnika yfuzji D=0,001 The istribution of the relative istance H, in which a manure particle will rop from the scatterer isk for the rag coefficient Cw=0,44 an the iffusion coefficient D=0,001 $+$

6 Jb]V\XV[ CemlfghcT 0,75 0,50 Częstość 0,5 Rys.. Fig.. 0,00 0,950 0,975 1,000 1,05 1,050 H Rozkła wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la współczynnika oporu C w =0,44 i współczynnika yfuzji D=0,0001 The istribution of the relative istance H, in which a manure particle will rop from the scatterer isk for the rag coefficient Cw=0,44 an the iffusion coefficient D=0,0001 0,5 0,0 Częstość 0,15 0,10 0,05 Rys. 3. 0,00 0,950 0,975 1,000 1,05 1,050 H Rozkła wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la współczynnika oporu C w =0,5 i współczynnika yfuzji D=0,001 $+%

7 @bwx_ `TgX`TglVmal ehv[h!!! Fig. 3. The istribution of the relative istance H, in which a manure particle will rop from the scatterer isk for the rag coefficient Cw=0,5 an the iffusion coefficient D=0,001 0,5 0,0 Częstość 0,15 0,10 0,05 Rys. 4. Fig. 4. 0,00 0,950 0,975 1,000 1,05 1,050 H Rozkła wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la współczynnika oporu C w =0,4 i współczynnika yfuzji D=0,001 The istribution of the relative istance H, in which a manure particle will rop from the scatterer isk for the rag coefficient Cw=0,4 an the iffusion coefficient D=0,001 Jak wiać na rysunkach 1-wraz ze wzrostem wartości współczynnika yfuzji D i stałej wartości współczynnika oporu C w =0,44 zmienia się rozkła wzglęnej oległości H. W przypaku stałej wartości współczynnika yfuzji D, a róŝnej wartości współczynnika oporu C w otrzymujemy poobne rozkłay przestawione na rysunkach 3-4. Współczynnik yfuzji D moŝe być wykorzystany o baania wpływu zaburzeń losowych na współczynnik nierównomierności poprzecznej rozsiewu. $+&

8 Jb]V\XV[ CemlfghcT Posumowanie W pracy przestawiono prosty moel matematyczny opisujący ruch cząstki nawozu po obracającej się tarczy i po zejściu z tarczy rozsiewacza. Wyznaczono rozkłay wzglęnej oległości H, w jakiej cząsteczka nawozu spanie o tarczy rozsiewacza la wybranych wartości współczynnika yfuzji D i współczynnika oporu powietrza C w. Do opisu ruchu cząstki wzłuŝ łopatki tarczy rozsiewacza wykorzystano stochastyczne równanie Langevina. Bibliografia Mieszkalski L Elementy matematycznego opisu wybranych zespołów narzęzi i maszyn rolniczych. Wyawnictwo ART, Olsztyn. Olieslagers R., Ramon H., Baeremaeker J Calculation of fertilizer istribution patterns from a spinning isc spreaer by means of a simulation moel. Journal of Agricultural Engineering Research Vol. 63: Risken H Fokker-Planck equation: Metho of solution an applications. Springer Verlag, Berlin. MATHEMATICAL MODEL OF MANURE PELLET MOVEMENT AFTER LEASING THE SCATTERING DISK Summary Examine was the effect of ranom isturbances on the istance h, in which a manure particle will rop from the centrifugal scattering isk. To escribe the movement of manure particles on the scatterer isk, a Langevine stochastic equation was use. Key wors: mathematical moel, centrifugal scattering isk, Langevine stochastic equation $+'