WYKŁAD 3 OGRANICZENIA NIERÓWNOŚCIOWE W URZĄDZENIACH ELEKTRYCZNYCH

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 OGRANICZENIA NIERÓWNOŚCIOWE W RZĄDZENIACH ELEKTRYCZNYCH Ograniczenie temperaturowe Jenym z najistotniejszych ograniczeń występujących praktycznie we wszystkich urzązeniach elektrycznych jest konieczność takiego opasowania geometrii obiektu o warunków pracy aby nie została przekroczona opuszczalna temperatura poszczególnych jego części, najczęściej otyczy to uzwojeń. Wyznaczenie rozkłau temperatur la rozpatrywanego urzązenia jest oparte o zasaę zachowania energii P P we wy E t c gzie E c, oznacza akumulowaną energię cieplną, P we i P wy opowienio moc ostarczaną i obieraną. Przyjmując, że rozpatruje się wyłącznie urzązenie o pewnej objętości V i powierzchni brzegowej S (bez otaczającego go meium chłozącego) równanie zachowania energii przeistacza się o postaci pwe V Twy S V S r t V ρ cϑ V gzie p we objętościowa gęstość wytwarzanej mocy cieplnej, [W/m 3 ], T wy wektor powierzchniowej gęstości strumienia oprowazanej mocy cieplnej, [W/m ], ρ, c są gęstością masy [kg/m 3 ] oraz ciepłem właściwym [J/(kg eg)], ϑ oznacza temperaturę bąź jej przyrost w stosunku o otoczenia, [eg]. P wy P we T I Rys.3. Schemat wymiany ciepła w maszynie elektrycznej

2 Jeżeli nie analizuje się szczegółowo wymiany ciepła pomięzy powierzchnią zewnętrzną a chłozącym meium (najczęściej powietrzem), to T α kp ϑ wy gzie α kp jest współczynnikiem wymiany ciepłą na roze konwekcji i promieniowania, [W/m eg] Najprostszym moelem cieplnym jest wariant, kiey cały baany obiekt jest opisany jeną temperaturą ϑ śr. Bilans mocy w takiej sytuacji zapisuje się w postaci P we ϑsr α kp Sϑśr κ t gzie κ jest tzw. pojemnością cieplną [J/eg] i wynika wprost z równania określającego energię akumulowaną. Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego zwyczajnego jest możliwe przy znajomości warunku początkowego, czyli temperatury śreniej ϑ śr (t0) w chwili początkowej procesu wymiany ciepła. Rozwiązanie to jest w postaci [ exp( t / τ )] + ϑ exp( t / τ ) ϑ śr( t ) ϑ śr śr0 gzie ϑ śr jest ustaloną śrenią temperaturą (przyrostem temperatury) i jest równa P ϑ śr α a stała τ nazywana jest cieplną stałą czasową i wynosi we kp S κ τ α kp S Wartość stałej czasowej można wyznaczyć ze wzoru ϑśr ϑśr0 τ ϑśr ( t 0 ) t także graficznie na postawie znanego np. z pomiarów, przebiegu krzywej nagrzewania lub stygnięcia

3 temperatura krzywa nagrzewania krzywa stygnięcia τ czas Rys.4. Przykłaowa krzywa nagrzewania stygnięcia. Wykorzystując matematyczne analogie z zakresu elektrotechniki (napięcie różnica temperatur, natężenie prąu strumień mocy cieplnej) można zbuować zastępczy schemat cieplny w postaci P we ϑ śr (t) R/α kps Cκ ϑ śr otoczenia Rys.5. Zastępczy schemat cieplny urzązenia o jenym stopniu swoboy. Operowanie jeną temperaturą o opisu procesu nagrzewania jest w większości przypaków niewystarczające. Struktura geometryczna i materiałowa urzązeń elektrycznych jest skomplikowana, oatkowo wartości liczbowe poszczególnych własności materiałów konstrukcyjnych mogą różnić się nawet o wa rzęy wielkości. 3

4 Tabela. Parametry fizyczne wybranych materiałów stosowanych w konstrukcji urzązeń elektrycznych Materiał Przewoność cieplna [W/m eg] Gęstość masy [kg/m 3 ] Ciepło właściwe [J/kg eg] Mieź Aluminium Stal Blacha elektrotechniczna Żywica poliamiowa Żywica poliestrowa Preszpan Powietrze (ϑ75 o C) Wymiana ciepła wewnątrz urzązenia zachozi przeważnie na roze przewonictwa cieplnego. Załóżmy, że można wyorębnić wie części urzązenia o możliwie równomiernych temperaturach czyli o użej przewoności cieplnej, ozielone warstwą materiału o niskiej przewoności. Przykłaem tu może być uzwojenie i rzeń przezielone izolacją elektryczną. W takim przypaku można przyjąć, że strumień cieplny o pewnej gęstości T przechozący z obszaru o wyższej temperaturze tu uzwojenia, o obszaru o niższej temperaturze tu rzenia, jest w izolacji jenorony. α kp S L ϑ R T R T R ϑ R płaszczyzny symetrii cieplnej Rys.6. Schemat rozpływu ciepła w żłobku maszyny elektrycznej. Prawo przewonictwa Fouriera Kirchoffa o postaci T R λ gra ϑ i gzie T R jest gęstością powierzchniową strumienia przechozącego z uzwojenia o rzenia 4

5 a λ i oznacza przewoność cieplną izolacji, przekształca się o P S R R λ i ϑ ϑ R R gzie S R jest powierzchnią styku obywu części (wymiar charakterystyczny poprzeczny o kierunku przepływu strumienia cieplnego) a R jest grubością izolacji (wymiar charakterystyczny połużny wzglęem kierunku przepływu strumienia cieplnego). Różnica temperatur pomięzy uzwojeniem i rzeniem wyniesie więc ϑ ϑ R λ S i R R P R Schemat zastępczy z rys.5 ulegnie poszerzeniu o oatkowe elementy P we ϑ śr (t) ϑ śr R (t) R R R /λ i S R R/α kps Cκ Cκ R ϑ śr otoczenia Rys.7. Zastępczy schemat cieplny urzązenia o wu stopniach swoboy. W stanie ustalonym temperatury poszczególnych części urzązenia nie zmieniają się, tym samym schemat zastępczy uprości się o zwykłego zielnika rezystancyjnego. P we ϑ śr (t) ϑ śr R (t) R R R /λ i S R R/α kps ϑ śr otoczenia Rys.8. Zastępczy schemat cieplny urzązenia o wu stopniach swoboy w stanie ustalonym. 5

6 Moele obwoowe ruchu ciepła są obrym przybliżeniem rzeczywistych warunków przy założeniu, że ich parametry zastępcze zostaną prawiłowo określone. Najprostsza sytuacja jest z pojemnością cieplną la jenoronych obszarów wykorzystuje się wzór efinicyjny, natomiast la kompozytów takich jak np. uzwojenie stosuje się śrenią ważoną. Przykłaowo, la niskonapięciowych uzwojeń maszyn elektrycznych wzglęny uział miezi w objętości uzwojenia jest rzęu k V ( ). Tym samym zastępcza pojemność cieplna uzwojenia o objętości V wyniesie κ k k k k [ ρ Cu k V c Cu + i ( k V ) c i ] V ρ V c ρ Przewoność cieplna takiego kompozytu może być oszacowana z zależności uzyskanej na postawie moeli numerycznych wycinka uzwojenia, a jest ona w postaci λ λ i 3. 3 k V λ i Największe ryzyko błęu powstaje przy obliczaniu oporności przejścia o otoczenia. W przeziale temperatur (0-00) o C współczynnik α kp0 la konwekcji naturalnej (grawitacyjnej) wynosi α kp0 (3-7) W/m eg. Większe wartości otyczą powierzchni pionowych i poziomych oających ciepło o góry, mniejsze są la poziomych oających ciepło o ołu. Dla konwekcji wymuszonej intensywność przejmowania ciepłą rośnie wraz z prękością i w pierwszym przybliżeniu może być oszacowana z empirycznego wzoru α kp α kp0 ( +. v ) gzie v jest prękością strugi czynnika chłozącego, [m/s]. Matematyczny opis przejmowania ciepła przez płyn o zmiennej w przestrzeni prękości jest jenym z najtruniejszych w klasycznej fizyce (równanie Naviera-Stokesa) a rozwiązanie tego problemu wymaga zastosowania specjalizowanych systemów obliczeniowych. Znajomość geometrii i stałych materiałowych pozwala na okłane wyznaczenie pola temperatur za pomocą meto numerycznych. W chwili obecnej czas takich obliczeń jest zbyt ługi, aby mogły one znaleźć wprost zastosowanie w poszukiwaniach optymalizacyjnych, 6

7 tym niemniej jest to najlepszy sposób na oszacowanie okłaności przyjmowanych uproszczeń. Poniżej przestawiono przykłaowe rozwiązania D i 3D pola temperaturowego w poziałce żłobkowej maszyny elektrycznej. α 5 W /m eg a. α 0 W /m eg b. c. Rys.9. Dwuwymiarowy moel rozpływu ciepła w poziałce żłobkowej w stanie ustalonym a. siatka elementu skończonego i materiały, b. rozkła temperatury, [eg] c. rozpływ strumienia cieplnego, [W/mm ] W obliczeniach przyjęto, że objętościową gęstość wyzielanej mocy cieplnej ma wartość niezerową jeynie w obszarze uzwojenia i wynosi p k V J γ Cu gzie J jest wartością skuteczną gęstości prąu w uzwojeniu, γ Cu oznacza konuktywność elektryczną. 7

8 W moelu trójwymiarowym założono, że współczynnik przejmowania ciepła z zewnętrznej powierzchni stojana wynosi α 5 W/m eg a z powierzchni połączeń czołowych i przyszczelinowej rzenia α 0 W/m eg. Przewoność cieplna uzwojenia jest ortotropowa wzłuż rutów cewki λ k V λ Cu, a w kierunkach poprzecznych λ λ. W obywu moelach przyjęto występowanie warstwy powietrza na nie żłobka. a. b. c. Rys.0. Trójwymiarowy moel rozpływu ciepła w poziałce żłobkowej w stanie ustalonym a. siatka elementu skończonego i materiały, b. rozkła temperatury, [eg] c. rozpływ strumienia cieplnego, [W/mm ] 8

9 Ograniczenie nasycenia magnetycznego Praktycznie wszystkie urzązenia zasilane z sieci 50 Hz mają obwó magnetyczny wykonany z blach elektrotechnicznych. Typowa charakterystyka magnesowania takiego materiału charakteryzuje się gwałtownym wzrostem natężenia pola magnetycznego H po przekroczeniu pewnej wartości inukcji magnetycznej B > B tns zwanej inukcją technicznego nasycenia. Przykłaową zależność H(B) pokazano na rys H [A/m] B [T] Rys.. Charakterystyka magnesowania blachy typu M4 Pamiętając, że z reguły wymuszeniem w ukłaach elektrycznych jest napięcie a opowiezią natężenie prąu elektrycznego, uzyskuje się z prawa Faraay a, iż wymuszeniem w obwozie magnetycznym jest strumień, który z kolei jest proporcjonalny przy pewnych uproszczeniach na poziomie lokalnym o inukcji magnetycznej. Opowieź prąową ukłau wyznacza się za pomocą prawa Ampere a l( S ) H l S( l ) J S Jeżeli można przyjąć, że obwó magnetyczny można pozielić na wie części o jenoronym polu H 0 w powietrzu oraz H Fe w ferromagnetyku, to równanie powyższe upraszcza się o H0 δ 0 + H Feδ Fe N i gzie δ 0, δ Fe połużne (wzglęem pola) rozmiary szczeliny powietrznej i ferromagnetyka, N, i liczba zwojów i wartość chwilowa natężenia prąu. 9

10 Rozpatrzmy przykłaowy obiekt o geometrii pokazanej na rys.. δ Fe δ 0 Ni Rys.. Geometria rzenia typu C Przyjmując ane liczbowe δ 0 mm, δ Fe 00 mm, N000 oraz zamieszczoną wyżej charakterystykę magnesowania otrzymuje się la sinusoialnej w czasie inukcji o amplituzie B m przebiegi prąu pokazane na rys.3. natężenie prąu, [A] la B m.6 T la B m. T kąt, [r] Rys.3. Przebiegi prąu w uzwojeniu rzenia C la różnych amplitu inukcji. Przez inukcję technicznego nasycenia rozumie się taką jej amplituę, przy której występuje wyraźne okształcenie prąu o sinusoiy (przy sinusoialnym wymuszeniu). Wartość ta zależy o gatunku blachy oraz o uziału szczelin powietrznych w obwozie magnetycznym i waha się o.4 T (blachy prąnicowe niskiej jakości) o.8 T (blachy transformatorowe). 0

11 Ograniczenie wytrzymałości ielektrycznej Każa izolacja elektryczna może ulec zniszczeniu w wyniku przebicia ielektrycznego. Kryterium jest poawane w postaci granicznej wartości natężenia pola elektrycznego tzw. wytrzymałości ielektrycznej bęącej wielkością stałą la anego materiału. Substancja Tabela. Wytrzymałość i stała ielektryczna la wybranych materiałów Wytrzymałość ielektryczna [ kv/mm ] Stała ielektryczna powietrze 3 parafina 0.3 nylon szkło plexi polietylen, polistyren 5.5 teflon 60. Rozpatrzmy elementarny przypaek wuwarstwowej, płaskiej i nieskończenie rozległej izolacji pokazanej na rys.4. C C Rys.4. Schemat wuwarstwowej, płaskiej izolacji Z zasay zachowania łaunku wynika C C wzglęniając bilans napięć oraz wzór na konensator płaski + S C

12 otrzymuje się wyrażenia określające tzw. zielnik pojemnościowy C C C C C C Natężenia pola elektrycznego w poszczególnych warstwach wyniosą kr kr E E E E < + < + Równania te pozwalają także na obliczanie zakrzywionych powierzchni izolacyjnych, przy założeniu, że promień ich krzywizny jest wielokrotnie większy o grubości warstw izolacyjnych. W przypaku, kiey założenie to nie jest spełnione, należy rozpatrywać każą geometrię inywiualnie. Dla nielicznych, prostych przypaków istnieją rozwiązania analityczne, jenak w ogólności należy stosować metoy numeryczne. Przykła obliczeniowy Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w izolacji pomięzy cewkami różnych uzwojeń fazowych w obszarze połączeń czołowych. Przyjąć, że maksymalne napięcie mięzyfazowe wynosi max N 800 V, promień rutu r0.4 mm, współczynnik zapełnienia miezią k V 0.5 Rozwiązanie D. Przyjmijmy schemat ułożenia rutów na granicy cewek jak na rys.5. Wykorzystując efinicję współczynnika zapełnienia miezią Cu V a 4 r S S k π gzie wymiary r, a pokazane są na rys.5, można obliczyć oległość a 4 k V r a π Po postawieniu anych otrzymuje się a0.5 mm.

13 V V zwojenie powierzchnie ekwipotencjalne r a zwojenie W V V powierzchnie symetrii potencjału Rys.5. Wyznaczenie obszaru obliczeniowego o analizy natężenia pola elektrycznego D. Wykorzystując powierzchnie symetrii geometrycznej można zreukować obszar obliczeniowy o wycinka izolacji przyległej o jenego z rutów pokazanego na rys.5. Warunki brzegowe efiniujące zaanie pokazano na rys.6, a wyniki obliczeń zestawiono na rys.7. V0 V400 Rys.6. Warunki brzegowe zaania analizy natężenia pola elektrycznego D. a. b. Rys.7. Rozwiązanie zaania analizy natężenia pola elektrycznego D a. izolinie potencjału, [V] b. izolinie moułu natężenia pola elektrycznego, [V/mm] 3

14 Rozwiązanie 3D. Rozwiązanie trójwymiarowe problemu natężenia pola elektrycznego w izolacji połączeń czołowych różnić się bęzie o zaania wuwymiarowego jeynie w przypaku, kiey ruty sąsiaujących uzwojeń bęą skierowane po różnymi kątami. Przyjmując te same promienie rutów i zapełnienie miezią wykonano moel 3D o geometrii i warunkach brzegowych pokazanych na rys.8. Poobnie jak w przypaku zaania D rozwiązanie poszukiwane jest jeynie w obszarze izolacji ograniczonej płaszczyznami symetrii geometrycznej. Wyniki obliczeń zestawiono na rys.9. V V V V Rys.8. Geometria i warunki brzegowe zaania analizy natężenia pola elektrycznego 3D. a. b. Rys.7. Rozwiązanie zaania analizy natężenia pola elektrycznego 3D a. izolinie potencjału, [V] b. izolinie moułu natężenia pola elektrycznego, [V/mm] Porównując otrzymane rozkłay naprężeń la sąsiaujących rutów prostopałych (zaanie 3D) z problemem la rutów równoległych (zaanie D) wizimy, że natężenie pola elektrycznego w pobliżu rutów równoległych jest około razy większe, co wynika z tylekroć mniejszej pojemności takiego ukłau w stosunku o ukłau z rutami prostopałymi. 4

15 Ograniczenia geometryczne i technologiczne Postępowanie optymalizacyjne obywa się w ziezinie liczb rzeczywistych, natomiast wszystkie wymiary maszyny są liczbami nieujemnymi. Doatkowo niektóre wymiary konstrukcyjne są ograniczone wzglęami technologicznymi, np. minimalna szczelina mechaniczna, minimalne otwarcie żłobka itp. W ogólnym przypaku zachozić więc bęzie x i min x i x i max i 5