ZŁOTA ELIPSA I ZŁOTA HIPERBOLA

Transkrypt

1 D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 8 () 0 ZŁOTA ELIPSA I ZŁOTA HIPERBOLA Tdusz Jnszk Abstrct. An llips, prbol nd hyprbol r th curv tht cn b obtind s th pln sction of con; thr r chrctriztions, on of which is by mns of th focus nd dirctrix proprty. Th goldn llips or th goldn hyprbol is th curv, which hs goldn ccntricity. Kywords: llips, hyprbol, prbol, focus, dirctrix, ccntricity, mjor xis, minor xis, qution of th llips, qutions of th hyprbol, qution of th prbol, conic sction curv.. Wstęp Krzyw stożkow możn zdfiniowć jko zbiory punktów płszczyzny, których odlgłości od ustlongo punktu zwngo ogniskim i ustlonj prostj zwnj kirownicą pozostją w stłym stosunku. Ognisko oznczmy symbolm F, ntomist kirownicę symbolm K. Zgodni z przyjętym złożnim mmy: F K. Nich będzi dn liczb dodtni ; nzwimy ją mimośrodm krzywj stożkowj. Dfinicj. Nich M ozncz dowolny punkt płszczyzny. Mówimy, ż punkt M nlży do krzywj stożkowj S, jśli ilorz odlgłości tgo punktu od ognisk F i jgo odlgłości od kirownicy K jst równy liczbi. Czyli M S wtdy i tylko wtdy, gdy MF =. () MK Dfinicj. Jśli 0 < <, wówczs krzywą stożkową S nzywmy lipsą. Tdusz Jnszk Dprtmnt of Mthmtics, Wrocłw Univrsity of Economics, Komndorsk Strt 8/0, Wrocłw, Polnd. E-mil: tdusz.jnszk@u.wroc.pl Zkłdmy, ż ognisko ni lży n kirownicy.

2 56 Tdusz Jnszk Dfinicj 3. Jśli =, wówczs krzywą stożkową S nzywmy prbolą. Dfinicj 4. Jśli >, wówczs krzywą stożkową S nzywmy hiprbolą. W dlszym ciągu zwrócimy uwgę n to, ż prbol m jdno ognisko i jdną kirownicę, ntomist lips i hiprbol mją dw ognisk i dwi kirownic. Rozwżjąc bowim, zgodni z przyjętymi dfinicjmi, lipsę i hiprbolę jko krzyw zlżn od ognisk, kirownicy i mimośrodu różngo od jdynki, zuwżymy, ż w nturlny sposób u obu krzywych pojwi się drugi ognisko i drug kirownic. Nrysujmy kirownicę K i ognisko F orz połączmy prostą K z punktm F z pomocą odcink (zob. rys. ). H P E F K Rys.. Kirownic, ognisko orz punkty wirzchołkow hiprboli, prboli i lipsy Źródło: oprcowni włsn. N rys. ognisko f jst umiszczon w odlgłości dwunstu spcji od kirownicy k. Punkt p lży n środku odcink prostopdłgo do prostj k, łączącgo tę prostą z punktm f. Odlgłość tgo punktu, zrówno od prostj k, jk i od punktu f, wynosi szść spcji. Punkt p, zgodni z przyjętą dfinicją, nlży do prboli, którj prost k jst kirownicą, punkt f ogniskim. Punkt jst położony pomiędzy punktmi p orz f, czyli jgo odlgłość od punktu f jst mnijsz niż odlgłość od prostj k. Wynik z tgo, ż punkt nlży do lipsy, którj prost k jst kirownicą, punkt f EF ogniskim; mimośrodm tj lipsy jst liczb = ; z położni punktu EK wynik, ż zdfiniown liczb jst mnijsz od jdynki.

3 Złot lips i złot hiprbol 57 Anlogiczn rozwżni doprowdzi do tgo, ż punkt H położony między prostą K orz punktm P nlży do hiprboli o mimośrodzi równym = ; z położni punktu H wynik, ż liczb t jst większ od HF HK jdynki.. Elips Spójrzmy n rys.. Zznczono n nim kirownicę K jko linię pionową i odlgł od nij o dwnści spcji ognisko F. Przyjmujmy mimośród równy: =. N linii przrywnj przchodzącj przz ognisko F i prostopdłj do kirownicy K znjdujmy dw punkty lipsy S. Są to punkty M orz N. Punkt M jst odlgły: od kirownicy K o osim spcji i od ognisk F o cztry spcj; punkt N znjduj się w odlgłości dwudzistu cztrch spcji od kirownicy K i dwunstu spcji od ognisk F. Zgodni z przyjętą dfinicją ob punkty M i N nlżą do lipsy S, gdyż ich odlgłości od kirownicy i ognisk spłniją równni () dl =, mmy bowim: MF MK = orz NF NK =. M F N K Źródło: oprcowni włsn. Rys.. Kirownic i punkty wirzchołkow lipsy Widzimy ztm, ż jśli między punktmi F orz N umiścimy punkt F w odlgłości cztrch spcji od punktu N orz ośmiu spcji od ognisk F orz prostą K prostopdłą do linii przrywnj, n którj lżą punkty M, F i N, w odlgłości ośmiu spcji w prwo od punktu N, wówczs otrzymmy drugi ognisko F i drugą kirownicę K. Umiścimy to wszystko n rys. 3, zminijąc przy okzji oznczni: zmist F npiszmy F, zmist K npiszmy K, oznczni M zminimy n A, oznczni N n A.

4 58 Tdusz Jnszk F F A A K K Rys. 3. Dwi kirownic, dw ognisk i dw punkty wirzchołkow Źródło: oprcowni włsn. Widzimy ztm, ż przyjmując w dfinicji lipsy jdno ognisko i jdną kirownicę, odkrywmy, ż pojwiją się symtryczni położon drugi ognisko i drug kirownic. Z rys. 3 możmy wywnioskowć, ż ksztłt lipsy będzi zlżł od odlgłości między ogniskim i odpowidjącą mu kirownicą, oznczmy to liczbą r = F K = F K, symbol r od słow rozstęp, orz od mimośrodu A F = A K A F A K =. Wrcjąc do rys., wybór punktu E położongo między punktmi P i F w sposób jdnoznczny okrśl lipsę o kirownicy K i ognisku F. Rozstęp r jst dny odlgłością punktu F od prostj K, mimośród jst ilorzm odlgłości punktu E od punktu F orz punktu E od prostj K. Wybirjąc ztm punkt E tk, by podził prostopdłgo do kirownicy odcink łączącgo ognisko z tą kirownicą był złoty, otrzymujmy złotą lipsę. Po zpoznniu się z dlszą trścią rtykułu zlc się npisni równni złotj lipsy i wykrślni jj w odpowidnim progrmi komputrowym, np. w Mtlbi. Zgodni z knonmi mlrskimi powinn to być njbrdzij proporcjonln lips z wszystkich możliwych. Anlogiczni, jśli punkt H będzi położony w tn sposób, ż będzi on dzilił tn sm odcink w sposób złoty, z drugij strony otrzymmy złotą hiprbolę. Intrsującym ćwicznim jst podni jj równni i wykrślni w progrmi komputrowym. Aby otrzymć złoty fkt, nlży w pioni i w poziomi polcić zstosowni tj smj wilkości jdnostki. Wyprowdzimy trz równni lipsy w odpowidnio dobrnym ukłdzi współrzędnych.

5 Złot lips i złot hiprbol 59 Umiszczjąc początk ukłdu współrzędnych n linii przrywnj pośrodku obu ognisk (rys. 3), przyjmijmy współrzędn: F ( c, 0), F ( c, 0), A (, 0), A (, 0) ; równni kirownicy K : x = k, kirownicy K : x = k, gdzi liczby c, orz k są dodtni. Jko wyjściow prmtry przyjmujmy rozstęp 3 r > 0 orz mimośród ( 0, ). Wyliczymy liczby c, orz k w zlżności od wyjściowych prmtrów r orz. Otrzymmy j, rozwiązując ukłd równń: c =, () k k c = r, (3) c k + + =. (4) Równni wynikją z nlizy położni punktów n rys. 3. Ukłd tych trzch równń jst ukłdm liniowym; zpiszmy go w postci mcirzowj: ( + ) 0 c 0 = r ; (5) ( ) k 0 rozwiązujmy go z pomocą wzorów Crmr. Wyzncznik główny wyno- W =. Wyzncznik dl niwidomj k jst równy = r, si ( ) dl niwidomj : W = r, wrszci dl niwidomj c: Wc = r. Dostjmy nstępując rozwiązni ukłdu (5): c = r, (6) = r, (7) k = r. (8) W k Oś odciętych pokryw się z linią przrywną. 3 Uwg: trmin rozstęp ni jst ogólni używny, my uwżmy, ż trmin tn jst wygodny.

6 60 Tdusz Jnszk Tk więc z podstwowych prmtrów lipsy: rozstępu r i mimośrodu wywidliśmy współrzędn ognisk, kirownicy i końcowych punktów lipsy położonj w ukłdzi współrzędnych cntrlni, gdzi kirownic są prostopdł do osi odciętych, równolgł do osi rzędnych. Z trzch wzorów (5), (6) i (7) wynikją zlżności między współrzędnymi: c = = k, (9) = k. (0) Odstęp między ogniskmi wynosi c = r ; odlgłość między kirownicmi jst równ k = r ; oś wilk lipsy jst równ = r. Obcni wyprowdzimy równni lipsy w przyjętym ukłdzi współ- M x, y będzi punktm nlżącym do lipsy S. rzędnych. Nich punkt ( ) M A F F A K K K Rys. 4. Kirownic, ognisk, punkty wirzchołkow i dowolny punkt lipsy Źródło: oprcowni włsn. Równni () możmy przpisć w formi: MF MK =, ()

7 Złot lips i złot hiprbol 6 czyli skąd ( x + c) + ( x + k) y =, () + xc + c + y = x + xk k. (3) x + Korzystmy z równości c = = czyli co jst równowżn Podstwijąc k : x + xc + c + y = x + xc + ck, (4) ( ) x + y = ck c, (5) ( ) x + y = c uwzględnijąc równość c = ( ) (6) przz c. (6) b = c, (7) i dziląc obustronni równość, dostjmy klsyczn równni lipsy x + b y =, (8) przy czym równość (7) dj zlżność między współrzędnymi ognisk orz półosią wilką i młą lipsy. Z zlżności tj możn wywiść wzory n kirownicę k, mimośród i rozstęp r, jśli z wyjściow prmtry lipsy przyjmimy wymir półosi wilkij i młj b, gdzi 0 < b < ; dostjmy: b c = b, =, k =. Widć, ż między prmtrmi lipsy zchodzą nirówności 0 < b <, orz 0 < c < < k. b Zlc się wyprowdzni smodzilni równni lipsy i to nwt kilkkrotni. Po wykonniu tych czynności dostrzż się ich wrtość. N zkończni tj części rtykułu o lipsi nszkicujmy lipsę, którą nlizowliśmy n rys. 3.

8 6 Tdusz Jnszk B A F F A K K B Rys. 5. Elips z kirownicmi, ogniskmi i punktmi wirzchołkowymi Źródło: oprcowni włsn. Jśli spcję przyjmimy z jdnostkę, wówczs mmy nstępując prmtry lipsy: =, r =, k = 6, = 8, c = 4, b = 48 n rys. 5 przyjęliśmy jko b szść spcji, więc z nidomirm, gdy próbowliśmy wykonć rysunk z przyjęcim jko b sidmiu spcji, wówczs nrysown lips brdzo przypominł koło. Njlpij wykonywć rysunki w progrmi Mtlb, rtykuł zś jst pisny wyłączni w progrmi Word. Przjdzimy trz do wyprowdzni równni hiprboli. 3. Hiprbol Spójrzmy n rys. 6. Zznczono n nim kirownicę K jko linię pionową i odlgł od nij o dwnści spcji ognisko F. Przyjmujmy mimośród równy: =. N linii przrywnj przchodzącj przz ognisko F i prostopdłj do kirownicy K znjdujmy dw punkty hiprboli S. Są to punkty M orz N. Punkt M jst odlgły: od kirownicy K o cztry spcj i od ognisk F o osim spcji; punkt N znjduj się w odlgłości dwunstu spcji od kirownicy K i dwudzistu cztrch spcji od ognisk F. Zgodni z przyjętą dfinicją ob punkty M i N nlżą do hiprboli S, gdyż ich odlgłości od kirownicy i ognisk spłniją równni () dl =, mmy bowim:

9 Złot lips i złot hiprbol 63 MF MK = NF orz =. NK Z lwj strony punktu N w odlgłości ośmiu spcji od nigo umiścimy punkt F, w odlgłości cztrch spcji n prwo od punktu N prostą K prostopdłą do linii przrywnj, n którj lżą punkty M, F i N. Otrzymujmy w tn sposób drugi ognisko F i drugą kirownicę K. Umiścimy to wszystko n rys. 3, zminijąc przy okzji oznczni: zmist F npiszmy F, zmist K npiszmy K, oznczni M zminimy n A, oznczni N n A. N M F K Źródło: oprcowni włsn. Rys. 6. Kirownic, ognisko i punkt wirzchołkowy hiprboli Widzimy ztm, ż przyjmując w dfinicji lipsy jdno ognisko i jdną kirownicę, odkrywmy, ż pojwiją się: symtryczni położon drugi ognisko i drug kirownic. Z rys. 7 możmy wywnioskowć, ż ksztłt hiprboli będzi zlżł od odlgłości między ogniskim i odpowidjącą mu kirownicą; oznczmy to liczbą r = F K = F K, symbol r od słow rozstęp, orz od mimośrodu A F = A K A F A K =. Wrcjąc do rys., wybór punktu H położongo między punktm P i prostą K w sposób jdnoznczny okrśl hiprbolę o kirownicy K i ognisku F. Rozstęp r jst dny odlgłością punktu F od prostj K, mimośród jst ilorzm odlgłości punktu H od punktu F orz punktu H od prostj K. Powtórzymy jszcz rz uwgę podną przy omwiniu lipsy.

10 64 Tdusz Jnszk F A A F K K Rys. 7. Dwi kirownic, dw ognisk i dw punkty wirzchołkow hiprboli Źródło: oprcowni włsn. Jśli wybirzmy punkt H tk, by podził prostopdłgo do kirownicy odcink łączącgo ognisko z tą kirownicą był złoty, otrzymujmy złotą hiprbolę. Po zpoznniu się z dlszą trścią rtykułu zlc się npisni równni złotj lipsy i wykrślni jj w odpowidnim progrmi komputrowym, np. w Mtlbi. Zgodni z knonmi mlrskimi powinn to być njbrdzij proporcjonln hiprbol z wszystkich możliwych. Anlogiczni, jśli punkt E będzi położony w tn sposób, ż będzi on dzilił tn sm odcink w sposób złoty, z drugij strony otrzymmy złotą lipsę. Zlc się równiż podni jj równni i wykrślni w progrmi komputrowym. Aby otrzymć złoty fkt, nlży w pioni i w poziomi polcić zstosowni tj smj wilkości jdnostki. Wyprowdzimy trz równni lipsy w odpowidnio dobrnym ukłdzi współrzędnych. Umiszczjąc początk ukłdu współrzędnych n linii przrywnj pośrodku obu ognisk (rys. 7), przyjmijmy współrzędn: F ( c, 0), F ( c, 0), A (, 0), A (, 0) ; równni kirownicy K : x = k, kirownicy K : x = k, gdzi liczby c, orz k są dodtni. Jko wyjściow prmtry przyjmujmy rozstęp r > 0 orz mimośród (, ). Wyliczymy liczby c, orz k w zlżności od wyjściowych prmtrów r orz. Otrzymmy j, rozwiązując ukłd równń: c =, (9) k c k = r, (0) c k + + =. ()

11 Złot lips i złot hiprbol 65 Równni wynikją z nlizy położni punktów n rys. 7. Ukłd tych trzch równń jst ukłdm liniowym; zpiszmy go w postci mcirzowj: ( ) 0 c 0 = r ; () ( ) k 0 rozwiązujmy go z pomocą wzorów Crmr. Wyzncznik główny wyno- W =. Wyzncznik dl niwidomj k jst równy = r, si ( ) dl niwidomj : = r, wrszci dl niwidomj c: W c W = r. Dostjmy nstępując rozwiązni ukłdu (5): W k c = r, (3) = r, (4) k = r. (5) Tk więc z podstwowych prmtrów hiprboli: rozstępu r i mimośrodu wywidliśmy współrzędn ognisk, kirownicy i końcowych punktów hiprboli położonj w ukłdzi współrzędnych cntrlni, gdzi kirownic są prostopdł do osi odciętych, równolgł do osi rzędnych. Z trzch wzorów (3), (4) i (5) wynikją zlżności między współrzędnymi: c = = k, (6) = k. (7) Odstęp między ogniskmi wynosi c = r ; odlgłość między kirownicmi jst równ k = r ; oś rzczywist hiprboli jst równ = r.

12 66 Tdusz Jnszk Obcni wyprowdzimy równni hiprboli w przyjętym ukłdzi współrzędnych. Nich punkt M ( x, y) będzi punktm nlżącym do hiprboli S. M F A A F K K Źródło: oprcowni włsn. Rys. 8. Kirownic, ognisk, wirzchołki i punkt hiprboli Równni () możmy przpisć w formi: czyli skąd MF MK ( x c) + ( x k) =, (8) y = x +, (9) xc + c + y = x xk k. (30) czyli Korzystmy z równości c = = k : x xc + c + y = x xc + ck, (3) ( ) x y = c ck, (3)

13 co jst równowżn Podstwijąc Złot lips i złot hiprbol 67 ( ) x y = c uwzględnijąc równość = ( ) (33) przz c. (33) b = c, (34) c i dziląc obustronni równość, dostjmy klsyczn równni hiprboli: x b y =, (35) przy czym równość (34) dj zlżność między współrzędnymi ognisk orz półosią rzczywistą i półosią urojoną hiprboli. Z zlżności tj możn wywiść wzory n kirownicę k, mimośród i rozstęp r, jśli z wyjściow prmtry hiprboli przyjmimy wymir półosi rzczywistj i urojonj b, gdzi: c + = b, + b =, k =. + b Widć, ż między prmtrmi hiprboli zchodzą nirówności orz 0 < k < < c. Zlc się wyprowdzić smodzilni równni lipsy i to nwt kilkkrotni. Po wykonniu tych czynności dostrzż się ich wrtość. 4. Prbol Jśli rzuclibyśmy losowo punkt n odcink łączący ognisko F z kirownicą K (rys. ), wówczs prwdopodobiństwo, ż punkt tn spdni w położni E jst jdn drug; ż spdni w położni H równiż wynosi jdn drug. Prwdopodobiństwo, ż punkt spdni w położni P jst równ zro. Tk więc prwdopodobiństwo, ż losowo rzucony punkt wygnruj lipsę, wynosi jdn drug, ż hiprbolę równiż jdn drug, prwdopodobiństwo wygnrowni prboli wynosi zro. Wyprowdzimy równni prboli o rozstępi między ogniskim i kirownicą równym r w odpowidnio dobrnym ukłdzi współrzędnych.

14 68 Tdusz Jnszk Ukłd współrzędnych dobirzmy w tki sposób, by jgo początk przchodził przz punkt P (rys. ). Ognisko m więc współrzędn r r F, 0, kirownic m równni x =, punkt P ( 0, 0) rys. 9: M P F K Źródło: oprcowni włsn Rys. 9. Kirownic, ognisko, wirzchołk i punkt prboli Biżący punkt ( x y) kirownicy K: czyli M, prboli jst równo odlgły od ognisk F i od MK = MF, (36) r r + = x y. (37) x + Podnosząc równość (37) obustronni do kwdrtu, otrzymujmy co jst równowżn r r x r x + = x r x + y, (38) y = r x. (39) Wzór (39) jst stndrdową wrsją równni prboli o ognisku r i kirownicy K dnj równnim x =. r F, 0

15 Złot lips i złot hiprbol Zkończni Możn wykonć nlizę, jk będzi się zminić krzyw stożkow, gdy gnrujący ją punkt będzi wędrowł pomiędzy kirownicą i ogniskim. Elips będzi podobn do koł, gdy wędrujący punkt będzi się zbliżł do ognisk. Chcąc zwiększyć rozmiry lipsy, trzb odsuwć kirownicę w lwo, czyli zwiększć rozstęp. Co się dzij, kidy punkt zbliż się do kirownicy? Głęzi hiprboli będą się zbliżły do położni kirownicy, jdn głąź z jdnj strony, drug zś z drugij strony kirownicy. Kidy punkt, wędrując od ognisk w kirunku kirownicy, przchodzi przz połowę odcink odbyw się wówczs przskok. Krzyw stożkow zmini się z lipsy, poprzz prbolę, w hiprbolę. Złóżmy, ż mmy rysunk 4 przdstwijący trzy frgmnty trzch krzywych stożkowych: lipsy, prboli i hiprboli, przy czym położni punktów gnrujących lipsę i hiprbolę będzi bliski położni punktu wyznczjącgo prbolę. Frgmnty krzywych przchodzą przz punkty gnrując dną krzywą. Wydrukujmy trzy rysunki, pomiszjmy j i spróbujmy rozpoznć, który z nich jst lipsą, który prbolą, który hiprbolą? Okż się to zdnim trudnym. Wniosk: przskok między krzywymi jst istotny, l dl wybrnych frgmntów prwi nizuwżlny. Z tgo włśni powodu stronomowi myślli kidyś, ż niktór komty krążą wokół Zimi po torch prbolicznych. Myślli, ż komt zbliż się do Zimi, ndltując z przstrzni kosmicznj, i odltuj dlj w bzkrs, by nigdy ni wrócić, gdyż jj tor jst krzywą otwrtą prbolą. Okzło się jdnk, ż zobsrwowny tor poruszni się komty jst frgmntm ogromnj lipsy, ni prboli. Wobc nidoskonłości dokonywnych pomirów trudno się dziwić wnioskom wyciągnym przz stronomów. Jśli wydrukown n krtc ppiru krzyw stożkow możn pomylić, to co dopiro, gdy m się kilk nizbyt prcyzyjnych pomirów i z tych dnych próbuj się odczytć, po jkij trjktorii krąży komt; moż jdnk są komty krążąc po prboli; moż równiż są tki, któr krążą po hiprboli? Brdzij prwdopodobn jst to, ż krążą po hiprboli, bo jk zuwżyliśmy wyżj, prwdopodobiństwo wystąpini hiprboli jst jdn drug, prboli zro; jdnkż, jśli prwdopodobiństwo wynosi zro, ni znczy to, ż zdrzni tki ni moż zchodzić. 4 Rysunk tki możn wykrślić z pomocą progrmu Mtlb.