Sumy kolejnych bikwadratów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Sumy kolejnych bikwadratów"

Transkrypt

1 Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi = = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg? Czy suma co najmniej dwóch kolejnych bikwadratów może być bikwadratem? Innymi słowy, czy istnieje taka liczba naturalna n 2, że równanie ( ) x 4 + (x + 1) (x + n 1) 4 = y 4 ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych? W niniejszym artykule próbujemy podać odpowiedzi na te pytania. Łatwo można wykazać, że równanie ( ) nie ma rozwiązań, gdy n = 2, 3, 4, 5 oraz 6. Dla n = 2 takich rozwiązań nie ma, gdyż dobrze wiadomo, że równanie x 4 +y 4 = z 4 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Resztą z dzielenia bikwadratu przez 4 może być tylko 0 lub 1. Bikwadrat liczby parzystej ma resztę równą 0, a bikwadrat liczby nieparzystej ma resztę 1. Wśród czterech kolejnych bikwadratów są zawsze dwie liczby parzyste oraz dwie liczby nieparzyste. Reszta z dzielenia przez 4 sumy cztrech kolejnych bikwadratów jest więc zawsze równa 2. Zatem suma czterech kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Równanie ( ) nie ma więc rozwiązań w przypadku, gdy n = 4. Badanie reszt z dzielenia przez 4 szybko przekonuje nas, że równanie ( ) nie ma rozwiązań dla n = 5 oraz n = 6. Badając w ten sam sposób reszty z dzielenia przez 3 z łatwością dochodzimy do wniosku, że równanie ( ) nie ma również rozwiązań w przypadku gdy n = 3. Oznaczmy przez Ω zbiór wszystkich takich liczb naturalnych n 2, dla których potrafimy udowodnić, że równanie ( ) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Z tego co przed chwilą stwierdziliśmy wynika, że liczby 2, 3, 4, 5, 6 należą do zbioru Ω. Hipoteza 0.1. Każda liczba naturalna większa od 1 należy do zbioru Ω. 1 Wzory, oznaczenia i początkowe własności Niech s k (n) = 1 k + 2 k + + n k. Mamy w szczególności s 1 (n) = n = 1 n(n + 1), 2 s 2 (n) = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 s 3 (n) = n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2.

2 W szczególny sposób interesować nas będą liczby s 4 (n). Wiemy, że s 4 (n) = n 4 = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n3 + 3n 1). Początkowe liczby s 4 (n): s 4 (1) = 1 = 1, s 4 (2) = 17 = 17, s 4 (3) = 98 = 2 7 2, s 4 (4) = 354 = , s 4 (5) = 979 = 11 89, s 4 (6) = 2275 = , s 4 (7) = 4676 = , s 4 (8) = 8772 = , s 4 (9) = = , s 4 (10) = = , s 4 (21) = = , s 4 (22) = = , s 4 (23) = = , s 4 (24) = = , s 4 (25) = = , s 4 (26) = = , s 4 (27) = = , s 4 (28) = = , s 4 (29) = = , s 4 (30) = = , s 4 (11) = = , s 4 (12) = = , s 4 (13) = = , s 4 (14) = = , s 4 (15) = = , s 4 (16) = = , s 4 (17) = = , s 4 (18) = = , s 4 (19) = = , s 4 (20) = = , s 4 (31) = = , s 4 (32) = = , s 4 (33) = = , s 4 (34) = = , s 4 (35) = = , s 4 (36) = = , s 4 (37) = = , s 4 (38) = = , s 4 (39) = = , s 4 (40) = = , W [1] znajdziemy pewne tożsamości, w których te liczby występują. Mamy na przykład równości s 4 = 1s 5 2(6s 1 1) oraz s 4 (n) = ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n+4 5. Oznaczmy przez f n (x) sumę n kolejnych bikwadratów począwszy od x 4 i kończywszy na (x + n 1) 4. Zapamiętajmy: f n (x) = x 4 + (x + 1) 4 + (x + 2) (x + n 1) 4. Początkowe przykłady: f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1, f 3 (x) = 3x x x x + 17, f 4 (x) = 4x x x x + 98, f 5 (x) = 5x x x x + 354, f 6 (x) = 6x x x x + 979, f 7 (x) = 7x x x x , f 8 (x) = 8x x x x , f 9 (x) = 9x x x x

3 Stwierdzenie 1.1. Korzystając ze znanych wzorów, łatwo sprawdzić, że f n (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0, gdzie w 4 = n, w 3 = 2n(n 1) = 4s 1 (n 1), w 2 = n(n 1)(2n 1) = 6s 2 (n 1), w 1 = n 2 (n 1) 2 = 4s 3 (n 1), w 0 = 1 30 n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1) = s 4 (n 1). Dla każdej liczby naturalnej m 2 przez B m oznaczać będziemy zbiór wszystkich bikwadratów w pierścieniu Z m. Innymi słowy, B m jest zbiorem wszystkich takich liczb całkowitych x z przedziału [0, m 1], dla których istnieje liczba całkowita y taka, że x y 4 (mod m). Przykłady: B 2 = {0, 1}, B 3 = {0, 1}, B 7 := {0, 1, 2, 4}, B 13 = {0, 1, 3, 9}, B 17 = {0, 1, 4, 13, 16}, B 19 = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17}, B 25 = {0, 1, 6, 11, 16, 21}, B 49 = {0, 1, 2, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 18, 22, 23, 25, 29, 30, 32, 36, 37, 39, 43, 44, 46}. Zbiory B 7 1, B 7 2,..., B 7 5 Tabela 1.2. Zbiory B m dla m = 11 s. mają odpowiednio 4, 22, 148, 1030, 7207 elementów. s bikwadraty lb 1 0, 1, 3, 4, 5, , 1, 3, 4, 5, 9, 12, 14, 15, 16, 20, 23, 25, 26, 27, 31, 34, 36, 37, 38, 42, 45, 47, 48, 49, 53, 56, 58, 59, 60, 64, 67, 69, 70, 71, 75, 78, 80, 81, 82, 86, 89, 91, 92, 93, 97, 100, 102, 103, 104, 108, 111, 113, 114, 115, s lb Liczby a(m) i b(m) Załóżmy, że m 1 jest liczbą naturalną i oznaczmy przez r resztę z dzielenia przez m liczby s 4 (m) = 1 30 m(m + 1)(2m + 1)(3m2 + 3m 1). Wprowadźmy nowe oznaczenia a(m) = r, gdy r > 0, m, gdy r = 0. ( ) b(m) = nww m, a(m) a(m) m. Jest oczywiste, że jeśli nwd(m, 30) = 1, to a(m) = b(m) = m. W szczególności a(1) = b(1) = 1. 3

4 Tabela 2.1. Liczby a(m) oraz b(m) dla 2 m 100 i nwd(m, 30) > 1. m a b m a b m a b m a b m a b Spójrzmy na wielomian f m (x). Wszystkie współczynniki w 1, w 2, w 3 oraz w 4 są podzielne przez m (patrz Stwierdzenie 1.1). Ponadto, w 0 = s 4 (m 1) = s 4 (m) m 4, a więc w 0 s 4 (m) r a(m) (mod m). Mamy zatem Stwierdzenie 2.2. Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f m (x) a(m) (mod m). Innymi słowy, każda suma m kolejnych bikwadratów przystaje do a(m) modulo m. Stąd natychmiast wynika następne stwierdzenie. Stwierdzenie 2.3. Dla dowolnej liczby naturalnej k, każda suma km kolejnych bikwadratów przystaje do k a(m) modulo m. Mamy również Stwierdzenie 2.4. Każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Dowód. Przez [u, v] oznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb u, v. Niech w = [m, a(m)]. Wtedy w = q a(m) dla pewnej liczby naturalnej q. Wtedy b(m) = w m = qm. Dowolna suma b(m) kolejnych bikwadratów (na mocy Stwierdzenia 2.3) przystaje więc do q a(m) modulo m, czyli przystaje do w. Ale m w, więc a(m) rozważana suma jest podzielna przez m. Wykażemy teraz, że b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Lemat 2.5. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy każda liczba postaci 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4, gdzie x jest dowolną liczbą naturalną, jest podzielna przez m. W szczególności n 4 jest podzielne przez m. 4

5 Dowód. Niech x będzie dowolną liczbą naturalną. Z założenia wynika, że liczby x 4 + (x + 1) (x + n 1) 4 oraz (x + 1) 4 + (x + 2) (x + n) 4 są podzielne przez m. Różnica tych liczb (od drugiej liczby odejmujemy pierwszą) jest więc również podzielna przez m. Różnicą tą jest 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4. Lemat 2.6. Niech m = 2 s, gdzie s 1. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez 2 s+1. Dowód. Wiemy (patrz Lemat 2.5), że m n 4. Liczba n jest więc parzysta. Niech n = 2 t n 0, gdzie t 1, 2 n 0. Z założenia wiemy również, że każda liczba postaci f n (x), gdzie x N, jest podzielna przez 2 s. W szczególności f n (2 s ) jest podzielne przez 2 s i to implikuje, że wyraz wolny w 0, wielomianu f n (x), jest podzielny przez 2 s. Ten wyraz wolny jest równy 2 t 1 v, gdzie v = 1 15 n 0(n 1)(2n 1)(3n 2 3n 1). Zauważmy, że v jest nieparzystą liczbą całkowitą. Zatem t 1 s, czyli t s + 1. Ale n = 2 t n 0, więc n jest podzielne przez 2 s+1. Lemat 2.7. Załóżmy, że m jest nieparzyste. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez m. Dowód. Z Lematu 2.5 wiemy, że liczby n 4 oraz 4n + 6n 2 + 4n 3 są podzielne przez m. Przez m jest więc podzielna liczba n 2 (4n + 6n 2 + 4n 3 ) = 4n 3 + 6n 4 + 4n 5 i stąd wynika, że m n 3 (ponieważ m n 2 oraz nwd(4, m) = 1). Zatem m 4n + 6n 2, więc m 4n 2 + 6n 3 = n(4n + 6n 2 ), a zatem n n 2. To dalej implikuje, że m 4n i stąd wynika, że n jest podzielne przez m (ponieważ nwd(4, m) = 1). Z powyższych dwóch lematów wynika następny lemat. Lemat 2.8. Jeśli n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. to n jest również podzielne przez m. Dowód. Niech m = 2 s m 0, gdzie s 0 oraz 2 m 0. Załóżmy, że n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Jeśli s = 0, to teza wynika z Lematu 2.7. Załóżmy, że s 1. Wtedy n jest podzielne przez m 0 (na mocy Lematu 2.7) i jest podzielne przez 2 s (na mocy Lematu 2.6). Ale liczby 2 s i m 0 są względnie pierwsze, więc n jest podzielne przez 2 s m 0 = m. Teraz możemy udowodnić zapowiedzianą wcześniej własność liczby b(m). Stwierdzenie 2.9. Liczba b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. 5

6 Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Stwierdzenie 2.4), że każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m i przypuśćmy, że n < b(m). Wiemy (Lemat 2.8), że m n. Niech n = vm, gdzie v jest pewną liczbą naturalną, Niech w = [m, a(m)]. Niech w = q a(m), gdzie q N. Wtedy b(m) = w m = qm. a(m) Ale vm = n < b(m) = qm, więc v < q. Rozpatrzmy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m oraz v a(m). Oznaczmy: u = [m, v a(m)]. Liczba v a(m) jest, na mocy założenia oraz Stwierdzenia 2.3, podzielna przez m. Zatem u = v a(m). Mamy więc: m u oraz a(m) u. Zatem w u, czyli q a(m) = w u = v a(m), a zatem q v. W szczególności q v, wbrew temu, że q > v. Przypuszczenie n < b(m) prowadzi więc do sprzeczności. 3 Liczby pierwsze typu alfa Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5 i załóżmy, że istnieje p kolejnych bikwadratów, których suma jest bikwadratem. Wtedy równanie f p (x) = y 4 ma rozwiązanie (x, y) w zbiorze liczb naturalnych. Niech f p (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0. Ponieważ nwd(30, p) = 1, więc ze Stwierdzenia 1.1 wynika, że wszystkie współczynniki w 0, w 1,..., w 4 są podzielne przez p. Liczba f p (x) jest więc podzielna przez p. Liczba y 4 jest zatem również podzielna przez p, a zatem f p (x) jest podzielne przez p 4. Modulo p 2 mamy: w 4 p, w 3 = 2p(p 1) 2p, w 2 = p(p 1)(2p 1) p(2p 1) p, w 1 = p 2 (p 1) p 0, w 0 = 1 p(p 1)(2p 30 1)(3p2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) tp(3p 2 3p 1) tp, gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p 2, że 30t 1 (mod p 2 ). Ponieważ liczby 30 i p 2 są względnie pierwsze, więc jest jasne, że takie t istnieje. Niech f p (x) oznacza liczbę f p (x) modulo p 2. Oczywiście f p (x) = 0 (gdyż f p (x) jest podzielne przez p 4 ). Mamy zatem kongruencję p (x 4 2x 3 + x 2 t) 0 (mod p 2 ), z której otrzymujemy kongruencję x 4 2x 3 + x 2 t 0 (mod p). Zauważmy, że x 4 2x 3 + x 2 = x 2 (x 1) 2. Mamy więc kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), gdzie w jest resztą z dzielenia liczby t orzez p. Zauważmy, że w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Wykazaliśmy zatem 6

7 Stwierdzenie 3.1. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Niech x będzie liczbą naturalną. Jeśli suma p kolejnych bikwadratów x 4, (x + 1) 4,..., (x + p 1) 4 jest bikwadratem, to x 2 (x 1) 2 t (mod p). Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Mówić będziemy, że liczba pierwsza p jest typu alfa jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Udowodniliśmy zatem: Stwierdzenie 3.2. Każda liczba pierwsza typu alfa należy do zbioru Ω. Teraz udowodnimy Twierdzenie 3.3. Jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba postaci należy do zbioru Ω. n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3}, p n 0, Dowód. Niech n = n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3} oraz n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p 4, więc prawdziwa jest kongruencja f n (x) 0 (mod p i+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p i ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p i+1 ), gdzie t = 1 30 nodulo pi+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p i+1, że 30t 1 (mod p i+1 ). Ale nwd(n 0, p i+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Powyższe twierdzenie można jeszcze nieco uogólnić. Zapis v p (n) = k oznacza, że p k n oraz p k+1 n. Dla przykładu v 5 (50) = 2, v 7 (20) = 0. Twierdzenie 3.4. Niech p będzie liczbą pierwszą typu alfa i niech n będzie liczbą naturalną. Jeżeli liczba v p (n) nie jest podzielna przez 4, to n należy do zbioru Ω. Dowód. Niech s = v p (n) i załóżmy, że 4 s. Wtedy s 1 oraz n = n 0 p s, gdzie n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p s, a zatem y 4 jest podzielne przez p s. Ale 4 s, więc y 4 jest podzielne przez p s+1 i mamy kongruencję f n (x) 0 (mod p s+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p s ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p s+1 ), 7

8 gdzie t = 1 30 nodulo ps+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p s+1, że 30t 1 (mod p s+1 ). Ale nwd(n 0, p s+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Z tego twierdzenia w szczególności wynika, że jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba naturalna podzielna przez p i niepodzielna przez p 4 należy do zbioru Ω. To samo dotyczy liczb naturalnych podzielnych przez p 5 i niepodzielnych przez p 8. Spójrzmy na kilka przykładów. Przykład 3.5. Liczba pierwsza 7 nie jest typu α. Dowód. Mamy (mod 7), a więc w tym przypadku w = 4. Kongruencja x 2 (x 1) 2 4 (mod 7) ma rozwiązanie; na przykład x = 2. Liczba pierwsza 7 nie jest więc typu alfa. Przykład 3.6. Liczba pierwsza 11 jest typu α. Dowód. Mamy (mod 11), a więc w tym przypadku w = 7. Badamy kongruencję x 2 (x 1) 2 7 (mod 11). Niech g(x) = x 2 (x 1) 2. Modulo 11 mamy: g(0) 0, g(1) 0, g(2) 4, g(3) 1, g(4) 1, g(5) 4, g(6) 9, g(7) 4, g(8) 1, g(9) 3, g(10) 4. Badana kongruencja nie ma więc rozwiązań. Zatem 11 jest liczbą pierwszą typu alfa. Przykład 3.7. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 100 : Jest ich , 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97. Przykład 3.8. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 1000 : 11, 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199, 211, 229, 233, 251, 263, 271, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 367, 383, 397, 401, 419, 421, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 479, 491, 503, 521, 523, 541, 547, 557, 569, 571, 577, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 709, 733, 743, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 829, 839, 853, 863, 881, 883, 887, 907, 919, 929, 937, 941, 971, 977, 983, 991, 997. Jest ich

9 Liczb pierwszych typu alfa mniejszych od 10 4 jest 771. Przypomnijmy jeszcze raz, że liczba pierwsza p 7 jest typu alfa, jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Tutaj w jest taką liczbą naturalną, że w < p oraz 30w 1 (mod p). Z tej definicji wynika w szczególności, że jeśli symbol Legendrea ( ) w p jest równy 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Zauważmy, że 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p = 30w p = 30 w p p, a zatem ( ) ( ) w p = 30 p. Wykazaliśmy więc Stwierdzenie 3.9. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą. Jeśli ( ) 30 p = 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Implikacja w przeciwnym kierunku nie musi zachodzić. Istnieją liczby pierwsze p typu alfa z symbolem ( ) 30 p równym 1. Takich liczb pierwszych jest dużo. Najmniejszą z nich jest p = 103. Zanotujmy znane fakty, które mogą się w przyszłości okazać przydatne. Stwierdzenie Zakładamy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5. (1) ( ) 2 p = ( 1) (p 2 1)/8 i stąd wynika, że ( ) 2 p = 1 p = 8k ± 1. (2) ( ) 3 p = 1 p = 12k ± 1. (3) ( ) 5 p = 1 p = 10k ± 1. (4) ( ) 6 p = 1 p = 24k + r, gdzie r {1, 5, 19, 23}. 4 Zbiory E(m) Niech m 2 będzie liczbą naturalną. Przez E(m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, dla których kongruencja (e) f n (x) y 4 (mod m) nie ma rozwiązań. Z tego co napisaliśmy w rozdziale wstępnym wynika, że liczby 4, 5, 6 należą do zbioru E(4), a liczba 3 należy do zbioru E(3). Wiemy, że jeśli n = b(m), to dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f n (x) 0 (mod m). Zatem liczba b(m) nie należy do zbioru E(m) Jeśli r należy do E(m), to każda liczba naturalna postaci k b(m) + r również należy do zbioru E(m). Założyliśmy, że m 2. To założenie nie jest potrzebne. Dla m = 1 mamy E(m) =. Przez E 0 (m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych ze zbioru E(m), które są mniejsze od b(m). Mamy na przykład E 0 (2) =, E 0 (4) = {4, 5, 6}, E 0 (3) = {3}, E 0 (6) = {3, 12, 21, 30}. 9

10 E 0 (28) = {4, 5, 6, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 44, 45, 46, 52, 53, 54}. Później podamy liczne inne przykłady. Jest jasne, że jeśli E 0 (m) =, to E(m) =. Ponadto, { } E(m) = r + k b(m); k 0, r E 0 (m). W szczególności jeśli n 1 n 2 (mod b(m)), to n 1 E(m) n 2 E(m). Zanotujmy kilka podstawowych własności zbiorów postaci E(m). Stwierdzenie 4.1. Niech d, m N. Jeśli d m, to E(d) E(m). Stwierdzenie to jest oczywiste. Wynika natychmiast z definicji zbioru E(m). Stwierdzenie 4.2. Jeśli m 1, m 2 są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to E(m 1 m 2 ) = E(m 1 ) E(m 2 ). Dowód. Inkluzja wynika ze Stwierdzenia 4.1. Udowodnimy inkluzję w przeciwnym kierunku. Załóżmy, że n E(m 1 m 2 ) i przypuśćmy, że n E(m 1 ) E(m 2 ). Wtedy n E(m 1 ) oraz n E(m 2 ). Kongruencje f n (x) y 4 (mod m 1 ) oraz f n (x) y 4 (mod m 2 ) mają więc rozwiązania; odpowiednio (x 1, y 1 ) oraz (x 2, y 2 ). Niech x, y będą takimi liczbami całkowitymi, że { x x1 (mod m 1 ) x x 2 (mod m 2 ) oraz { y y1 (mod m 1 ) y y 2 (mod m 2 ). Takie liczby całkowite istnieją na mocy twierdzenia chińskiego o resztach. Mamy wtedy f n (x) f n (x 1 ) y 4 1 y 4 (mod m 1 ), f n (x) f n (x 2 ) y 4 2 y 4 (mod m 2 ), czyli m 1 f n (x) y 4 oraz m 2 f n (x) y 4. Ale nwd(m 1, m 2 ) = 1, więc m 1 m 2 f n (x) y 4 i mamy f n (x) y 4 (mod m 1 m 2 ) wbrew temu, że n E(m 1 m 2 ). Zanotujmy również następujące oczywiste stwierdzenie. Stwierdzenie 4.3. Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Jeśli istnueje taka liczba naturalna m, że n E(m), to n należy do zbioru Ω. Czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje co najmniej jedna taka liczba naturalna m, że n należy do zbioru E(m)? Dzisiaj ( ) wiem, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od 481 mają rozważaną własność. Nie potrafię tego wykazać dla n = 481. Czy liczba 481 należy do zbioru Ω? Następną liczbą tego typu jest n =

11 5 Potęgi dwójki Tabela 5.1. Bikwadraty modulo m = 2 s. s bikwadraty lb 1 0, , , , , 1, 16, , 1, 16, 17, 33, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, 497, 513, 528, 529, 545, 561, 577, 593, 609, 625, 641, 657, 673, 689, 705, 721, 737, 753, 769, 784, 785, 801, 817, 833, 849, 865, 881, 897, 913, 929, 945, 961, 977, 993, s lb Tabela 5.2. Elementy zbiorów E 0 (2 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(2 s ). s b elementy lb , 5, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, Zbiory E 0 (2 7 ), E 0 (2 8 ), E 0 (2 9 ) oraz E 0 (2 10 ) mają odpowiednio 227, 457, 914 oraz 1831 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 128k + 75 należy do zbioru Ω. Lemat 5.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 s 1 modulo 2 s. 11

12 Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 2 s. Jest oczywiste, że suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 2 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 15 (2s 1) 2 s 1 ( 2 s+1 1 ) ( (3 2 2s 3 2 s 1 ), więc 15u ( 1)2 s 1 ( 1)( 1) = 2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 15c 1 (mod 2 s ). Takie c istnieje gdzyċ liczby 15 i 2 s są względnie pierwsze. Oczywiście c jest nieparzyste; niech c = 2k + 1. Mamy więc i to kończy dowód. u c2 s 1 = (3k + 1)2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 5.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (2 s ) = 2 s 1, b (2 s ) = 2 s+1. Czy bikwadrat może przystawać do 2 s 1 modulo 2 s? Okazuje się, że tak się może zdarzyć. Dla s = 5 mamy = 2 4 (mod 2 5 ). Dla s = 9 mamy podobnie: = 2 8 (mod 2 9 ). Lemat 5.5. Jeśli s 1, to następujące dwa warunki są równoważne. (1) Liczba s jest postaci 4k + 1. (2) Istnieje liczba całkowita x taka, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ). Dowód. (1) (2). Niech s = 4k + 1. Wtedy dla x = 2 k mamy x 4 2 4k = 2 s 1 (mod 2 s ). (2) (1). Załóżmy, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ) dla pewnej liczby całkowitej x. Wtedy x 4 2 s 1 = 2 s a, gdzie a Z. Jeśli s = 1, to s jest postaci 4k + 1 i nie ma czego dowodzić. Niech więc s 2. Wtedy x jest parzyste; niech x = 2 k u, k 1, 2 u. Wtedy 2 4k u 4 2 s 1 = 2 s a i po podzieleniu przez 2 s 1 otrzymujemy równość 2 4k (s 1) u 4 1 = 2a. Ale u jest nieparzyste, więc 4k (s 1) = 0 i mamy s = 4k + 1. Z powyższych faktów otrzymujemy następujące dwa stwierdzenia. Stwierdzenie 5.6. Każda potęga dwójki postaci 2 s, gdzie s 1, s 1 (mod 4), należy do zbioru Ω. Stwierdzenie 5.7. Każda liczba postaci 2 s + k2 s+1, gdzie s 1, s 1 (mod 4) oraz k 0, należy do zbioru Ω. 12

13 Zauważmy, że 2 s + k2 s+1 = 2 s (2k + 1). Powyższe stwierdzenie można więc wysłowić w następujący sposób. Stwierdzenie 5.8. Niech n będzie liczbą naturalną i niech s = v 2 (n). Jeśli s 2 oraz s 1 (mod 4), to n należy do zbioru Ω. W szczególności każda liczba naturalna podzielna przez 4 i niepodzielna przez 32 należy do zbioru Ω. Każda liczba naturalna podzielna przez 64 i niepodzielna przez 512 należy do zbioru Ω. Czy liczby postaci 2 4k+1 również należą do zbioru Ω? Liczba 32 = 2 5 należy do Ω, gdyż każda liczba postaci 121k+32 należy do Ω. Liczba 512 = 2 9 należy do Ω, gdyż 512 = i każda liczba postaci 81k + 26 należy do Ω. Liczba 8192 = 2 13 należy do Ω, gdyż 2 13 = i każda liczba postaci 125k + 67 należy do Ω. W podobny sposób możemy, za pomocą Maple, wykazać, że pewne inne liczby postaci 2 4k+1 również należą do Ω. Otrzymane wyniki dla takich 2 s przedstawiają poniższe tabele. s bk + r 17 25k k k k k k + 22 s bk + r k k k k k k s bk + r k k k k k k + 76 s bk + r 89? 93 25k k ? 6 Potęgi trójki Tabela 6.1. Bikwadraty modulo m = 3 s. s bikwadraty lb 1 0, , 1, 4, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 81, 82, 85, 88, 91, 94, 97, 100, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124, 127, 130, 133, 136, 139, 142, 145, 148, 151, 154, 157, 160, 163, 166, 169, 172, 175, 178, 181, 184, 187, 190, 193, 196, 199, 202, 205, 208, 211, 214, 217, 220, 223, 226, 229, 232, 235, 238, s lb

14 Tabela 6.2. Elementy zbiorów E 0 (3 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(3 s ). s b elementy lb , 8, 9, 12, 17, 18, , 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, , 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, 75, 80, 81, 84, 89, 90, 93, 98, 99, 102, 107, 108, 111, 116, 117, 120, 125, 126, 129, 134, 135, 138, 143, 144, 147, 152, 153, 156, 161, 162, 165, 170, 171, 174, 179, 180, 183, 188, 189, 192, 197, 198, 201, 206, 207, 210, 215, 216, 219, 224, 225, 228, 233, 234, Zbiory E 0 (3 5 ) oraz E 0 (3 6 ) mają odpowiednio 238 oraz 718 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 81k + 57 należy do zbioru Ω. Lemat 6.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 3 s. Jest oczywiste, że suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 3 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 10 (3s 1) 3 s 1 (2 3 s 1) ( (3 2s+1 3 s+1 1 ), więc 10u ( 1)3 s 1 ( 1)( 1) = 3 s s 1 (mod 3 s ) i stąd 5u 3 s 1 (mod 3 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 5c 1 (mod 3 s ). Oczywiście takie c istnieje, gdyż liczby 5 i 3 s są względnie pierwsze. Oczywiście 3 c. Zatem c jest postaci 3k + 1 lub 3k + 2. Jeśli c = 3k + 1, to 3 5(3k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 3 4. Zatem c = 3k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u c3 s 1 = (3k + 2)3 s s 1 (mod 3 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 6.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (3 s ) = 2 3 s 1, b (3 s ) = 3 s+1. Lemat 6.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y s 1 (mod 3 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y s 1 = v3 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 3. Niech y = 3 p c, gdzie c Z, 3 c. Wtedy 3 4p c s 1 = v3 s i stąd 4p s 1 oraz 3 4p s+1 c 4 2 = 3v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 3 2. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 3v + 2, a bikwadrat nie przystaje do 2 modulo 3. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. 14

15 Twierdzenie 6.6. Każda potęga trójki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 3 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 6.7. Każda liczba postaci 3 s + k3 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 7 Potęgi piątki Przykład 7.1. Bikwadraty modulo m = 5 s. s bikwadraty lb 1 0, , 1, 6, 11, 16, , 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, , 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201, 206, 211, 216, 221, 226, 231, 236, 241, 246, 251, 256, 261, 266, 271, 276, 281, 286, 291, 296, 301, 306, 311, 316, 321, 326, 331, 336, 341, 346, 351, 356, 361, 366, 371, 376, 381, 386, 391, 396, 401, 406, 411, 416, 421, 426, 431, 436, 441, 446, 451, 456, 461, 466, 471, 476, 481, 486, 491, 496, 501, 506, 511, 516, 521, 526, 531, 536, 541, 546, 551, 556, 561, 566, 571, 576, 581, 586, 591, 596, 601, 606, 611, 616, s lb Tabela 7.2. Elementy zbiorów E 0 (5 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(5 s ). s b elementy lb , 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, , 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 47, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 59, 60, 61, 65, 66, 67, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 90, 91, 92, 97, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 109, 110, 111, 115, 116, 117, 122, Zbiory E 0 (5 3 ) oraz E 0 (5 4 ) mają odpowiednio 323 oraz 1623 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 125k + 74 należy do zbioru Ω. Lemat 7.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje do 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 5 s. Jest oczywiste, że suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 5 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 6 (5s 1) 5 s 1 (2 5 s 1) ( (3 5 2s 3 5 s 1 ), 15

16 więc 6u ( 1)5 s 1 ( 1)( 1) = 5 s s 1 (mod 3 s ) i stąd 3u 2 5 s 1 (mod 5 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 3c 1 (mod 5 s ). Takie c istnieje, gdyż liczby 3 i 5 s są względnie pierwsze. Oczywiście 5 c. Zatem c jest postaci 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 lub 5k + 4. Jeśli c = 5k + 1, to 5 3(5k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 5 2. Jeśli c = 5k + 3, to 5 3(5k + 3) 1 i mamy sprzeczność: 5 8. Jeśli c = 5k + 4, to 5 3(5k + 4) 1 i mamy sprzeczność: Zatem c = 5k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u 2c5 s 1 = 2(5k + 2)5 s s 1 (mod 5 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 7.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (5 s ) = 4 5 s 1, b (5 s ) = 5 s+1. Lemat 7.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y s 1 (mod 5 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y s 1 = v5 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 5. Niech y = 5 p c, gdzie c Z, 5 c. Wtedy 5 4p c s 1 = v5 s i stąd 4p s 1 oraz 5 4p s+1 c 4 4 = 5v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 5 4. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 5v + 4, a bikwadrat nie przystaje do 4 modulo 5. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. Twierdzenie 7.6. Każda potęga piątki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 5 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 7.7. Każda liczba postaci 5 s + k5 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 8 Następne własności liczb a(m) i b(m) Rozpoczynamy ten rozdział od następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.1. Jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30, to a(2m 1 ) = m 1 oraz b(2m 1 ) = 4m 1. Dowód. Niech m = 2m 1, w = s 4 (m) i niech t = 1 (mod m), tzn. t jest taką 15 liczbą naturalną mniejszą od m, że 15t 1 (mod m). Oczywiście t jest nieparzyste; niech t = 2k + 1. Mamy wtedy 15w m 1 m 1 (mod 2m 1 ) i stąd w tm 1 = (2k + 1)m 1 = mk + m 1 m 1 (mod m). Zatem a(m) = m 1 i b(m) = m [m, a(m)]/a(m) = m [2m 1, m 1 ]/m 1 = 2m = 4m 1. 16

17 W podobny sposób dowodzimy, że jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30 oraz m jest podaną wielokrotnością liczby m 1, to liczby a(m) i b(m) są takie jak w poniższej tabeli. Tabela 8.2. m a(m) b(m) 3m 1 2m 1 9m 1 5m 1 4m 1 25m 1 6m 1 m 1 36m 1 m a(m) b(m) 10m 1 3m 1 100m 1 15m 1 7m 1 225m 1 30m 1 29m 1 900m 1 Podane przykłady są szczególnymi przypadkami następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.3. Niech u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 0, j 0, k 0 oraz niech m 1 będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Wtedy ) ) a (um 1 = a(u)m 1, b (um 1 = b(u)m 1. Dowód. Niech d = nwd(u, 30), uαd, 30 = βd, α, β N. Wtedy liczby β, u są względnie pierwsze. Istotnie, przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza p taka, że p u oraz p β. Wtedy p 30 (gdyż β 30) oraz p u, a zatem p d = nwd(30, u) i stąd otrzymujemy sprzeczność: p Istnieje więc r {1, 2,..., u 1} takie, że rβ 1 (mod u). Mamy zatem u = αd = 30 βd α 1 αr (mod u) i stąd otrzymujemy β a(u) s 4 (u) = u 30 (u + 1)(2u + 1)(3u2 + 3u 1) αr (mod u), a zatem αr = a(u) + vu, gdzie v Z. Z tego, że β 30 oraz nwd(30, m 1 ) = 1 wynika, że nwd(β, m 1 ) = 1. Ale nwd(β, u) = 1, więc nwd(β, um 1 ) = 1. Istnieje więc t {1, 2,..., um 1 1} takie, że tβ 1 (mod um 1 ). Wtedy tβ 1 (mod u), a więc t r (mod u). Mamy więc pewną równość postaci t = su + r, w której s jest jakąś liczbą całkowitą. Oznaczmy: m = um 1. Mamy teraz modulo m : ) a(m) = a (um 1 u m 30 1(m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) αalphatm 1 (m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) tm 1 ( ) = α(su + r)m 1 = αrm 1 sm αr m 1 ( ) = a(u) + vu m 1 = a(u)m 1 + vm a(u)m 1. Wykazaliśmy więc, że a(um 1 ) = a(u)m 1. Mamy teraz: b(um 1 ) = [um 1, a(um 1 )] a(um 1 ) um 1 = [um 1, a(u)m 1 ] um 1 = a(u)m 1 17 [u, a(u)] um 1 = b(u)m 1. a(u)

18 To kończy dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Chcąc obliczyć liczby a(m) oraz b(m) wystarczy, na mocy Stwierdzenia 8.3, znać tylko liczby a(u) oraz b(u). Jeśli i = j = k = 0, to u = 1 i wtedy a(u) = b(u) = 1. Znamy liczby a(u) oraz b(u) w przypadku, gdy dokładnie jedna z liczb i, j, k jest większa od zera. Przypomnijmy (patrz Stwierdzenia 5.4, 6.4 oraz 7.4): : Stwierdzenie 8.4. Jeśli s 1, to ) ) (1) a (2 s = 2 s 1, b (2 s = 2 s+1 ; ) ) (2) a (3 s = 2 3 s 1, b (3 s = 3 s+1 ; ) ) (3) a (5 s = 4 5 s 1, b (5 s = 5 s+1. Teraz rozpatrzymy pozostałe cztery przypadki. Stwierdzenie 8.5. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 1, j 1, k 1, to a(u) = 29 u 30 oraz b(u) = 30u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 30 i modulo u mamy Stąd dalej otrzymujemy a(u) u 30 u u 30 = (30 1) u 30 = 29 u 30. b(u) = [a(u) u] a(u) u = [ 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1, 2 i 3 j 5 k] 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1 u = 29 2 i 3 j 5 k u = 30u 29 2 i 1 3 j 1 5k 1 i to kończy dowód. Stwierdzenie 8.6. Jeśli u = 2 i 3 j, gdzie i 1, j 1, to a(u) = 2 i 1 3 j 1 oraz b(u) = 6u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 6 i modulo u mamy 5a(u) u u u = 5 u, a więc a(u) = i 1 3 j 1 [a(u) u]. Stąd dalej otrzymujemy b(u) = u = a(u) [ 2 i 1 3 j 1, 2 i 3 j ] u = 2i 3 j u = 6u. 2 i 1 3 j 1 2 i 1 3 j 1 Stwierdzenie 8.7. Jeśli u = 2 i 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 3 2 i 1 5 k 1 oraz b(u) = 10u. 18

19 Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 10 i modulo u mamy 3a(u) u u u = (10 1) u = 9 u, a więc a(u) = i 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [3 2i 1 5 k 1, 2 i 5 k ] u = 3 2i 5 k u = 10u. a(u) 3 2 i 1 5 k i 1 5 k 1 Stwierdzenie 8.8. Jeśli u = 3 j 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 7 3 j 1 5 k 1 oraz b(u) = 15u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 15 i modulo u mamy 2a(u) u u u = (15 1) u = 14 u, a więc a(u) = j 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [7 3j 1 5 k 1, 3 j 5 k ] u = 7 3j 5 k u = 15u. a(u) 7 3 j 1 5 k j 1 5 k 1 Z powyższych stwierdzeń otrzymujemy: Stwierdzenie 8.9. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0, to b(u) = du, gdzie d = nwd(u, 30). Stąd następnie wynika: Twierdzenie Dla dowolnej liczby naturalnej m zachodzi równość b(m) = nwd(30, m) m. Dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Ponieważ nwd(30, m 1 ) = 1, więc d = nwd(30, m) = nwd(30, um 1 ) = nwd(30, u) Mamy więc (na mocy poprzednich stwierdzeń) b(m) = b(um 1 ) = b(u)m 1 = dum 1 = dm. 19

20 9 Tablice zbiorów E(p) p cc lb , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela 9.1. Zbiory E(p) z elementami mniejszymi lub równymi p cc p cc p cc Zbadano pod tym względem wszystkie liczby pierwsze p mniejsze od

21 10 Tablice zbiorów E(p 2 ) p p 2 cc lb , 13, 20, 27, 34, , 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, , 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, , 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, , 22, 23, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, , 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, , 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, , 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, 998, 1035, 1072, 1109, 1146, 1183, 1220, 1257, 1294, , 82, 123, 164, 205, 246, 287, 328, 369, 410, 451, 492, 533, 574, 615, 656, 697, 738, 779, 820, 861, 902, 943, 984, 1025, 1066, 1107, 1148, 1189, 1230, 1271, 1312, 1353, 1394, 1435, 1476, 1517, 1558, 1599,

22 Zbiory E(p 2 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 2 cc lb , 42, 43, 55, 85, 86, 98, 128, 129, 141, 171, 172, 184, 214, 215, 227, 257, 258, 270, 300, 301, 313, 343, 344, 356, 386, 387, 399, 429, 430, 442, 472, 473, 485, 515, 516, 528, 558, 559, 571, 601, 602, 614, 644, 645, 657, 687, 688, 700, 730, 731, 743, 773, 774, 786, 816, 817, 829, 859, 860, 872, 902, 903, 915, 945, 946, 958, 988, , 46, 47, 66, 93, 94, 113, 140, 141, 160, 187, 188, 207, 234, 235, 254, 281, 282, 301, 328, 329, 348, 375, 376, 395, 422, 423, 442, 469, 470, 489, 516, 517, 536, 563, 564, 583, 610, 611, 630, 657, 658, 677, 704, 705, 724, 751, 752, 771, 798, 799, 818, 845, 846, 865, 892, 893, 912, 939, 940, 986, , 53, 105, 106, 158, 159, 211, 212, 264, 265, 317, 318, 370, 371, 423, 424, 476, 477, 529, 530, 582, 583, 635, 636, 688, 689, 741, 742, 794, 795, 847, 848, 900, 901, 953, , 59, 117, 118, 176, 177, 235, 236, 294, 295, 353, 354, 412, 413, 471, 472, 530, 531, 589, 590, 648, 649, 707, 708, 766, 767, 825, 826, 884, 885, 943, , 61, 121, 122, 182, 183, 243, 244, 304, 305, 365, 366, 426, 427, 487, 488, 548, 549, 609, 610, 670, 671, 731, 732, 792, 793, 853, 854, 914, 915, 975, , 66, 67, 98, 133, 134, 165, 200, 201, 232, 267, 268, 299, 334, 335, 366, 401, 402, 433, 468, 469, 500, 535, 536, 567, 602, 603, 634, 669, 670, 701, 736, 737, 768, 803, 804, 835, 870, 871, 902, 937, 938, , 112, 141, 183, 212, 254, 283, 325, 354, 396, 425, 467, 496, 538, 567, 609, 638, 680, 709, 751, 780, 822, 851, 893, 922, 964, , 68, 73, 78, 141, 146, 151, 214, 219, 224, 287, 292, 297, 360, 365, 370, 433, 438, 443, 506, 511, 516, 579, 584, 589, 652, 657, 662, 725, 730, 735, 798, 803, 808, 871, 876, 881, 944, 949, , 79, 157, 158, 236, 237, 315, 316, 394, 395, 473, 474, 552, 553, 631, 632, 710, 711, 789, 790, 868, 869, 947, , 165, 248, 331, 414, 497, 580, 663, 746, 829, 912, , 178, 267, 356, 445, 534, 623, 712, 801, 890, , 194, 291, 388, 485, 582, 679, 776, 873, , 201, 302, 403, 504, 605, 706, 807, , 103, 205, 206, 308, 309, 411, 412, 514, 515, 617, 618, 720, 721, 823, 824, 926, , 107, 213, 214, 320, 321, 427, 428, 534, 535, 641, 642, 748, 749, 855, 856, 962, , 109, 217, 218, 326, 327, 435, 436, 544, 545, 653, 654, 762, 763, 871, 872, 980, , 226, 339, 452, 565, 678, 791,

23 11 Tablice zbiorów E(p 3 ) Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 3 cc lb , 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97, 104, 111, 118, 125, 132, 139, 146, 153, 160, 167, 174, 181, 188, 195, 202, 209, 216, 223, 230, 237, 244, 251, 258, 265, 272, 279, 286, 293, 300, 307, 314, 321, 328, , 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, 110, 120, 121, 131, 132, 142, 143, 153, 154, 164, 165, 175, 176, 186, 187, 197, 198, 208, 209, 219, 220, 230, 231, 241, 242, 252, 253, 263, 264, 274, 275, 285, 286, 296, 297, 307, 308, 318, 319, 329, 330, 340, 341, 351, 352, 362, 363, 373, 374, 384, 385, 395, 396, 406, 407, 417, 418, 428, 429, 439, 440, 450, 451, 461, 462, 472, 473, 483, 484, 494, 495, 505, 506, 516, 517, 527, 528, 538, 539, 549, 550, 560, 561, 571, 572, 582, 583, 593, 594, 604, 605, 615, 616, 626, 627, 637, 638, 648, 649, 659, 660, 670, 671, 681, 682, 692, 693, 703, 704, 714, 715, 725, 726, 736, 737, 747, 748, 758, 759, 769, 770, 780, 781, 791, 792, 802, 803, 813, 814, 824, 825, 835, 836, 846, 847, 857, 858, 868, 869, 879, 880, 890, 891, 901, 902, 912, 913, 923, 924, 934, 935, 945, 946, 956, 957, 967, 968, 978, 979, 989, 990, , 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, 165, 168, 178, 181, 191, 194, 204, 207, 217, 220, 230, 233, 243, 246, 256, 259, 269, 272, 282, 285, 295, 298, 308, 311, 321, 324, 334, 337, 347, 350, 360, 363, 373, 376, 386, 389, 399, 402, 412, 415, 425, 428, 438, 441, 451, 454, 464, 467, 477, 480, 490, 493, 503, 506, 516, 519, 529, 532, 542, 545, 555, 558, 568, 571, 581, 584, 594, 597, 607, 610, 620, 623, 633, 636, 646, 649, 659, 662, 672, 675, 685, 688, 698, 701, 711, 714, 724, 727, 737, 740, 750, 753, 763, 766, 776, 779, 789, 792, 802, 805, 815, 818, 828, 831, 841, 844, 854, 857, 867, 870, 880, 883, 893, 896, 906, 909, 919, 922, 932, 935, 945, 948, 958, 961, 971, 974, 984, 987, 997, , 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, 350, 360, 369, 379, 388, 398, 407, 417, 426, 436, 445, 455, 464, 474, 483, 493, 502, 512, 521, 531, 540, 550, 559, 569, 578, 588, 597, 607, 616, 626, 635, 645, 654, 664, 673, 683, 692, 702, 711, 721, 730, 740, 749, 759, 768, 778, 787, 797, 806, 816, 825, 835, 844, 854, 863, 873, 882, 892, 901, 911, 920, 930, 939, 949, 958, 968, 977, 987, , 22, 23, 42, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, 525, 528, 529, 548, 551, 552, 574, 575, 594, 597, 598, 617, 620, 621, 640, 643, 644, 663, 666, 667, 686, 689, 690, 709, 712, 713, 732, 735, 736, 755, 758, 759, 778, 781, 782, 801, 804, 805, 824, 827, 828, 847, 850, 851, 870, 873, 874, 893, 896, 897, 916, 919, 920, 939, 942, 943, 962, 965, 966, 985, 988,

24 Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 3 cc lb , 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, 839, 840, 868, 869, 897, 898, 926, 927, 955, 956, 984, , 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, 930, 960, 961, 991, , 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, Eliminacje Rozpatrzmy wszystkie liczby naturalne z przedziału [2, 100]. Wykażemy, że każda z tych liczb należy do zbioru Ω. Oczywiście 2 Ω. Po odrzuceniu tych liczb naturalnych, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ), zostaną trzy liczby: 31, 32, 33. Liczby 32, 33 należą do zbioru E(121), a liczba 31 należy do zbioru E(67). Każda więc liczba naturalna z przedziału [2, 100] należy do zbioru Ω. Rozpatrzmy teraz przedział [101, 480]. Wykażemy, że wszystkie liczby naturalne z tego przedziału również należą do zbioru Ω. Eliminujemy te liczby naturalnn, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ). Pozostanie 14 liczb: 131, 163, 193, 194, 195, 226, 227, 257, 258, 289, 321, 418, 419, 451. Eliminujemy te liczby naturalne, o których mowa w Twierdzeniu 3.4. Zostały 4 liczby: 195, 227, 257 oraz 289. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 195 E(7 3 ), 227 E(19 2 ), 257 E(43 2 ), 289 E(29 2 ). Każda zatem liczba naturalna z przedziału [2, 480] należy do zbioru Ω. Udowodniliśmy: Stwierdzenie Jeśli 2 n 480, to suma n kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Rozpatrzmy teraz przedział [2, 1000]. Robiąc eliminacje podobne do poprzednich zostanie 7 liczb: 481, 514, 544, 546, 833, 931 oraz 994. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 514 E(103 2 ), 544 E(109 2 ), 833 E(139 2 ), 931 E(263 2 ), 994 E(199 2 ). 24

25 Pozostały dwie liczby: 481 = oraz 546 = Nie potrafię rozstrzygnąć czy te dwie liczby należą do zbioru Ω. To samo dotyczy następujących liczb naturalnych mniejszych od : 1568 = 2 7 2, 1795 = 5 359, 2371 = 2371, 2657 = 2657, 3169 = 3169, 3458 = , 3683 = , 3939 = , 4801 = 4801, 4802 = 2 7 4, 5089 = 7 727, 5314 = , 5506 = , 5569 = 5569, 5987 = 5987, 6113 = 6113, 6207 = , 6338 = , 6594 = , 6818 = , 7202 = , 7395 = , 7427 = , 7651 = , 7714 = , 7907 = 7907, 7971 = , 8258 = , 8545 = , 9121 = , 9443 = , 9571 = Uwagi i komentarze Przeglądając tablice zbiorów postaci E(p 2 ) zauważmy, że często p 1 E(p 2 ). Tak jest na przykład dla p = 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 62, 67, 71, 79, 83. Tak nie jest dla p = 17, 41, 73, 89, 97 i w tych przypadkach mamy podzielność: 8 p 1. Sprawdziłem, że to zachodzi dla wszystkich liczby pierwszych większych od 5 i mniejszych od 263. Czy to ma jakieś uogólnienie? Nie potrafię tego udowodnić. Można również zauważyć, że jesli 8 p 1, to liczby 2p 1, 3p 1 i ogólniej liczby postaci kp 1, gdzie p k, należą do zbioru E(p 2 ). Nie potrafię tego udowodnić. Literatura [1] A. Nowicki, Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby, Podróże po Imperium Liczb, cz.8. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie Drugie [2] A. Nowicki, Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi, Podróże po Imperium Liczb, cz.9. Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, [3] J. O Flynn, When is the sum of consecutive nth powers an nth power?, Mathematical Gazette 92(523)(2008) Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Toruń, Poland, ( 25

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 06. Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Rozdział 10 10. Sporadyczne ciągi arytmetyczne Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 10

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Kongruencje twierdzenie Wilsona Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Kongruencje i ich zastosowania

Kongruencje i ich zastosowania Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata

Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata Przypomnijmy... a p, a p 1 1 (mod p). Zachodzi naturalne pytanie...... czy z faktu a m 1 1 (mod m) wynika, że m = p? Niekoniecznie. Wprawdzie, jeszcze przed 25 wiekami chińscy matematycy uważali, że podzielność

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów..................................

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

I) Reszta z dzielenia

I) Reszta z dzielenia Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Funkcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział. Ciągi komplementarne Andrzej Nowicki 16 kwietnia 013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Ciągi komplementarne

Bardziej szczegółowo

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup. Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21

Bardziej szczegółowo

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE

Bardziej szczegółowo

Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb

Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

OLIMPIADA MATEMATYCZNA OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

LXII Olimpiada Matematyczna

LXII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo