Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty

Transkrypt

1 Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice, jenak zacząć trzeba o materiału klasycznego. Materiał omawiany w ramach tego i najbliższych wykłaów pogłębiać można przy pomocy następujących poręczników: Rolf Bernt An introuction to symplectic geometry, Grauate Stuies in Mathematics, vol 26, AMS, lub Paulette Liebermann, Charles-Michel Marle, Symplectic Geometry an Analytical Mechnics, 1987 D. Reiel Publishing Company. Prawopoobnie każy z państwa rozwiązywał kieyś (na przykła na ćwiczeniach z GRI) następujące zaanie Zaanie 1 Niech V bęzie przestrzenią wektorową wymiaru n. Pokazać, że la każego niezerowego wukowektora ω 2 V istnieje liczba k, 2k n oraz istnieje baza (ϕ i ) n i=1 w przestrzeni V w której ω ma postać kanoniczną, tzn ω = ϕ 1 ϕ k+1 + ϕ 2 ϕ k ϕ k ϕ 2k. Jeśli ktoś wizi ten problem pierwszy raz w życiu powinien potraktować go jako zaanie omowe. Jenym ze sposobów rozwiązania jest pokazanie metoy konstrukcji opowieniej bazy. Każy wukowektor ω zaaje owzorowanie ω : V V, ω(v) = ω(v, ). W alszym ciągu bęziemy mówić o wukowektorach niezegenerowanych, tzn takich, la których powyższe owzorowanie jest izomofizmem liniowym. W takim przypaku 2k = n, tzn. wukowektor niezegenerowany istnieć może jeynie na przestrzeni wektorowej parzystego wymiaru. Przestrzeń wektorową z niezegenerowanym wukowektorem nazywa się czasami wektorową przestrzenią symplektyczną. W stanarowym kursie algebry liniowej nie rozważa się zazwyczaj takich przestrzeni. Dyskutuje się natomiast przestrzenie z iloczynem skalarnym, czyli przestrzenie wyposażone w owzorowanie wuliniowe, niezegenerowane i symetryczne. Tutaj zastępujemy warunek symetrii przez warunek antysymetrii. Wiele wcześniejszych wykłaów poświęciliśmy na rozmaite problemy związane z rozmaitościami ze strukturą Riemanna, czyli rozmaitościami, na których przestrzenie styczne są przestrzeniami wektorowymi z iloczynem skalarnym. Wymaga się także głakiej zależności iloczynu skalarnego o punktu na rozmaitości, co prowazi o pojęcia tensora Riemanna. Różniczkowym opowienikiem symplektycznej przestrzeni wektorowej jest rozmaitość symplektyczna. Jest to rozmaitość P z wuformą ω niezegenerowaną i zamkniętą, tzn taką, że ω = 0. Wiaomo, że w przestrzeni wektorowej z iloczynem skalarnym zawsze znaleźć można bazę ortonormalną, tzn. taką w której iloczyn skalarny ma postać kanoniczną. Nie uaje się to zazwyczaj na rozmaitości. Zawsze można znaleźć ukła współrzęnych taki, że w jenym punkcie baza związana z tym ukłaem jest ortonormalna, ale już w punktach sąsienich zazwyczaj coś się psuje. Miarą tego psucia jest tensor krzywizny. Możemy zastanowić się na poobnym problemem la rozmaitości symplektycznych. Łatwo stwierzić, że zawsze można znaleźć taki ukła współrzęnych w otoczeniu wybranego punktu, że w tym punkcie forma symplektyczna ma postać kanoniczną. 1

2 Nie wiaomo jenak na pierwszy rzut oka, czy istnieją ukłay współrzęnych obre la całego otocznia a nie tylko jenego punktu. Okazuje się, że jest to jena z postawowych różnic mięzy strukturą Riemanna a strukturą symplektyczną. Do kolekcji wizerunków matematyków pora ołączyć (Fig.1) Jeana Gastona Darboux ( ). Fig. 1: J.G. Darboux Twierzenie 1 (Darboux) Niech (P, ω) bęzie rozmaitością symplektyczną wymiaru 2n. Dla każego punktu x P istnieje otoczenie O i ukła współrzęnych (q i, p i ) n i=1 w tym otoczeniu taki, że w każym punkcie y O forma symplektyczna ω ma postać n ω = q i p i. i=1 Dowó tego twierzenia wymaga o nas pewnych przygotowań otyczących pól wektorowych zależnych o czasu. Zacznijmy o następującego zaania: Zaanie 2 Niech F : R M M bęzie głaką roziną yfeomorfizmów a σ : R M k T M głaką roziną form. Uowonić wzór t (F t σ t ) = Ft t σ t + (ı(x t )σ t ) + ı(x t )σ t ), gzie F t = F (t, ), σ t = σ(t, ) a X t jest polem wektorowym na M o czasu związanym z F t, tzn X t (q) jest elementem T q M stycznym to krzywej s F (t + s, q) w s = 0. Mówimy, że X : R M TM, X(t, q) = X t (q) jest polem zależnym o czasu. 2

3 Rozwiązanie: Rozważmy najpierw przypaek specjalny: M = R Q. Niech także rozważana rozina yfeomorfizmów bęzie barzo prosta (oznaczmy ją ψ t zamiast F t, co przya się póżniej), ψ t (s, q) = (s + t, q). Pole wektorowe związane z tą roziną jest stałe, tzn. nie zależy o t, i ma postać Y t (s, q) = s (znowu zmiana oznaczeń Y t zamiast X t, także przyatna w przyszłości). Rozinę form na R Q można zapisać w następującej postaci: σ t = s a(t, s) + b(t, s) gzie a i b są wuparametrowymi, głakimi rozinami form na M rzęów opowienio k 1 i k. W tej sytuacji ψ t σ t = s a(t, s + t) + b(t, s + t) oraz t (ψ t σ t ) = s t a(t, s + t) + s s a(t, s + t) + t b(t, s + t) + a(t, s + t) (1) s Przyjrzyjmy się teraz skłanikom po prawej stronie wzoru: i po cofnięciu przy pomocy ψ t mamy ψ t t σ t = s t a(t, s) + b(t, s), t t σ t = s t a(t, s + t) + b(t, s + t), (2) t co pasuje o czerwonych skłaników sumy (1). Przechozimy o następnego skłanika: ı(y t )σ t = a(t, s), ψ t (ı(y t )σ t ) = a(t, s + t), (ψ t (ı(y t )σ t )) = s s a(t, s + t) + Qa(t, t + s). (3) Mamy kawałek pasujący o niebieskiego skłanika i jeszcze coś, co jest niepotrzebne. Pora na ostatni skłanik Po zwężeniu z Y t i cofnięciu mamy σ t = s Q a(t, s) + s s b(t, s) + Qb(t, s). ψt (ı(y t )σ t ) = Q a(t, s + t) + s b(t, s). (4) s Ostatni skłanik pasuje o wyrazu zielonego, zaś czarny upraszcza się z tym niepotrzebnym w (3). W przypaku specjalnym wzór został więc uowoniony. Rozważmy trzy owzorowania: j : M R M, j(m) = (0, m) ψ t : R M R M, ψ ( s, m) = (s + t, m) F : R M M, F (t, m) = F t (m) 3

4 Owzorowanie F t możemy zapisać trochę ziwnie, ale przyatnie, jako Liczymy więc t (F t σ t ): F t = F ψ t j wtey F t = j ψ t F t (F t σ t ) = t (j ψ t F σ t ) = j t (ψ t (F σ t )) = Owzorowanie ψ t jest jak w przykłazie specjalnym, wolno więc zastosować wzór: = j ψt t (F σ t ) + (ı(y t )F σ t ) + ı(y t )F σ t = W pierwszym skłaniku owzorowanie F nie zależy o t, zatem można zamienić różniczkowanie po t z cofnięciem. Drugi ze skłaników można przekształcić korzystając z faktu, iż Y t = s a TF (Y t ) = X t, zatem (ı(y t )F σ t = (F ı(x t )σ t ) = F (ı(x t )σ t ) Trzeci skłanik to ı(y t )(F σ t ) = ı(y t )F σ t = F ı(x t )σ t. Po postawieniu powyższych przekształceń mamy = j ψ t F ( t (σ t) + (ı(x t )σ t ) + ı(x t )σ t ) = F t t (σ t) + (ı(x t )σ t ) + ı(x t )σ t. Wzór został więc wyprowazony. Ostatnie wa skłaniki w nawiasie przypominają pochoną Liego formy wzglęem pola wektorowego, zapisuje się więc je czasami jako L Xt σ t. Drugi problem przygotowawcze otyczy potoków pól zależnych o czasu. Nie bęziemy formułować go jako zaania o rozwiązania, przyjrzymy się jenak sytuacji. Zaczynamy o głakiej roziny pól wektorowych na M, którą można zaać przy pomocy owzorowania X : R M TM zachowującego rzut na M. Możemy rozszerzyć to pole o prawziwego i niezależnego o niczego pola X na R M wzorem X(t, m) = t +X t (m). Potok pola X jest określony na R M i ma postać ϕ s (t, m) = (t + s, ϕ s (t, m)). W szczególności warunek początkowy t = 0 la s = 0 aje owzorowanie ϕ s (0, m) = (s, ϕ s (0, m)). Z polem zależnym o czasu związana jest więc jenoparametrowa rozina yfeomorfizmów F : R M M, F (s, m) = ϕ s (0, m, ) Wygląa ona poobnie o jenoparametrowej grupy yfeomorfizmów związanej z polem niezależnym o czasu, jenak nie ma własności grupowych. Ponieważ owzorowanie ϕ s pochozi o prawziwej grupy yfeomofrizmów na R M obowiązuje pewna zasaa skłaania, ale jest ona barziej skomplikowana: ϕ r+s (0, m) = ϕ r (r, ϕ s (0, m)) 4

5 i nie a się wyrazić w terminach samego owzorowania F. Skonstruowane powyżej owzorowanie F nazywa się czasami potokiem pola zależnego o czasu. Dowó twierzenia Darboux Niech (P, ω) bęzie rozmaitością symplektyczną. Ustalamy punkt x P oraz otoczenie U tego punktu w którym wybieramy ukła współrzęnych ϕ : U R n taki, żeby w punkcie x forma ω miała postać kanoniczną. Używając owzorowania związanego z mapą możemy także przeciągnąć na otoczenie U kanoniczną formę symplektyczną z R 2n. Przeciągnieta forma jest oczywiście w postaci kanonicznej. Oznaczmy ją η. W punkcie x mamy ω x = η x. Dowó polegał bęzie na znalezieniu owzorowania F : O M, które bęzie yfeomorfizmem O na F (O) zachowującym punkt x la pewnego O zawartego w U spełniającym warunek F η = ω. Nowa mapa w otoczeniu punktu x postaci ϕ F ostarczy współrzęnych kanonicznych la formy ω w otoczeniu O punktu x. Niech ω t bęzie roziną form symplektycznych aną wzorem ω t = tη + (1 t)ω. Możemy myśleć o tej rozinie jako o eformacji formy ω. Istotnie bowiem ω 0 = ω zaś ω 1 = η. Potrzebujemy teraz roziny yfeomorfizmów spełniających warunek Ft ω t = ω i zachowujących x, tzn. F t (x) = x. Poszukiwanym owzorowaniem F byłoby wtey F 1. Jak znaleźć taką rozinę? Skoro F t ω t = ω, to Skorzystajmy więc ze wzoru z zaania: 0 = F t t (F t ω t ) = 0. t ω t + ı(x t )ω t ı(x t )ω t Każa z form ω t jest zamknięta, więc ostatni wyraz w nawiasie znika. Postać ω t jest znana, możemy policzyć pierwszy skłanik: t ω t = η ω. Wzór przyjmuje więc postać 0 = F t (η ω + ı(x t )ω t ), a skoro F t to yfeomorfizmy, cofnięcie można opuścić. Ostatecznie warunek na zależne o czasu pole wektorowe związane z F t ma postać ı(x t )ω t = ω η. Formy symplektyczne ω i η są zamknięte, a więc lokalnie zupełne. Jeśli λ jest taką lokalną formą, że λ = ω η, to X t można poszukiwać w postaci spełniające równanie ı(x t )ω t = λ. Każa z form ω t jest niezegenerowana przynajmniej la pewnego otoczenia zera w R, zatem wybór formy pierwotnej λ eterminuje X t w sposób jenoznaczny. Dyskutując pola zależne o czasu zauważyliśmy, że każemu takiemu polu opowiaa lokalna rozina yfeomorfizmów. Zmniejszając ewentualnie otoczenie na którym jest ona określona możemy zapewnić, że rozwiązanie bęzie istniało także la t = 1. Wybierając λ mamy pewną swoboę. Ustalając λ x = 0 zapewnimy, że X t (x) = 0, wtey F t bęzie zachowywało punkt x. Pokazaliśmy zatem, że możliwe jest skonstruowanie owzorowana F spełniającego nasze wymagania, a co za tym izie możliwe jest skonstruowanie kanonicznego ukłau współrzęnych w otoczeniu każego punktu. 5

6 W alszym ciągu kwestia kanonicznych współrzęnych nie bęzie nam spęzała snu z powiek. W mechanice istotna jest struktura symplektyczna na przestrzeni totalnej wiązki kostycznej, gzie współrzęne kanoniczne mamy za armo. Czasami pojawiają się inne przestrzenie fazowe, n.p. afiniczne wersje wiązki kostycznej, jenak także w tym przypaku nie ma truności ze skonstruowaniem opowienich współrzęnych. 6