Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Transkrypt

1 Teoria liczb Magdalena Lemańska

2 Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson

3 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych.

4 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych. Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych.

5 Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczbpoczątkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych. Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre a Fermata ( ), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Do dwudziestego wieku powszechną była opinia, że teoria ta nie ma żadnego zastosowania. Jednak dzięki wielkiemu rozwojowi kryptografii- nauki zajmującej się układaniem i łamaniem szyfrów- pogląd ten musiał zostać zweryfikowany.

6 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika.

7 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika. Podobnie możemy postąpić dla dowolnych liczb a i b, pod warunkiem, że b 0.

8 Przykład Zacznijmy od przypomnienia szkolnego algorytmu dzielenia liczb naturalnych. Podzielmy 1743 przez 12. W wyniku dzielenia otrzymaliśmy iloraz 145 i resztę 3. Liczby te spełniają równanie 1743 = i reszta jest mniejsza od dzielnika. Podobnie możemy postąpić dla dowolnych liczb a i b, pod warunkiem, że b 0. Twierdzenie Dla dowolnych liczb naturalnych a oraz b > 0 istnieje dokładnie jedna para liczb naturalnych p i q, spełniających warunki: 1 a = b q + r; 2 0 r < b. Liczba q nazywa się ilorazem całkowitoliczbowym a przez b, a r nazywa się resztą z dzielenia.

9 Zauważmy, że iloraz q jest zaokrągleniem w dół normalnego ilorazu: q = a. Resztę b z dzielenia a przez b będziemy oznaczać: a (mod b).

10 Zauważmy, że iloraz q jest zaokrągleniem w dół normalnego ilorazu: q = a. Resztę b z dzielenia a przez b będziemy oznaczać: a (mod b). Przykład 22 (mod 4) = 2, ponieważ 22 = oraz 0 2 < 4.

11 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z.

12 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z. Będziemy to oznaczać przez a b. Zauważmy, że zachodzi wtedy b (mod a) = 0. Liczbę a nazywamy dzielnikiem liczby b.

13 Podzielność liczb Mówimy, że liczba całkowita a 0 dzieli liczbę całkowitą b, jeśli istnieje liczba całkowita z taka, że b = a z. Będziemy to oznaczać przez a b. Zauważmy, że zachodzi wtedy b (mod a) = 0. Liczbę a nazywamy dzielnikiem liczby b. Obserwacja Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c zachodzi: jeśli a b, to a b c, jeśli a b i b c, to a c, jeśli a b i a c, to a (b + c).

14 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m).

15 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3).

16 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3). Jeśli a, b są dodatnie, to a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a i b mają takie same reszty z dzielenia przez m.

17 Miech m będzie dowolną liczbą naturalną różną od zera. Powiemy, że dwie liczby całkowite a i b są równoważne (lub przystają) modulo m, jeżeli m (a b). Będziemy wtedy pisać a = b (mod m) albo a b (mod m). Przykład Mamy 1 4 (mod 3), 3 0 (mod 3), 1 2 (mod 3), 1 7 (mod 3). Jeśli a, b są dodatnie, to a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a i b mają takie same reszty z dzielenia przez m. Lemat Relacja przystawania jest relacją równoważności, czyli spełnia następujące trzy warunki: 1 zwrotność, czyli dla każdego a zachodzi a a (mod m), 2 symetrię, czyli dla każdego a, b, jeżeli a b (mod m), to b a (mod m), 3 przechodniość, czyli dla każdego a, b, c, jeżeli a b (mod m) oraz b c (mod m), to a c (mod m).

18 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m).

19 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m). Dla relacji przystawania modulo m definiujemy klasy abstrakcji. Dla dowolnej liczby całkowitej x, klasę abstrakcji elementu x definiujemy w następujący sposób: [x] = {y y x (mod m)}.

20 Twierdzenie Relacja modulo jest zgodna z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem, czyli jeżeli a b (mod m) oraz c d (mod m), to (a + c) (b + d) (mod m), (a c) (b d) (mod m) oraz a c b d (mod m). Dla relacji przystawania modulo m definiujemy klasy abstrakcji. Dla dowolnej liczby całkowitej x, klasę abstrakcji elementu x definiujemy w następujący sposób: [x] = {y y x (mod m)}. Przykład Dla m = 3 mamy trzy klasy abstrakcji: [0] = {3k k Z} = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...} [1] = {3k + 1 k Z} = {..., 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10,...} [2] = {3k + 2 k Z} = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,...}.

21 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się.

22 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y].

23 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y]. Następna ważna własność klas abstrakcji to ich rozłączność.

24 Zauważmy, że klasy abstrakcji elementów równoważnych pokrywają się. Lemat Jeżeli x y (mod m), to [x] = [y]. Następna ważna własność klas abstrakcji to ich rozłączność. Lemat Jeżeli [x] [y], to [x] = [y], inaczej, dwie klasy abstrakcji [x] i [y] są albo identyczne albo rozłączne.

25 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1].

26 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m.

27 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m. Pierścień Z 5 Rozważmy zbiór reszt modulo 5. Składa się on z pięciu klas: [0], [1], [2], [3], [4]; dla prostoty dalej będziemy opuszczać nawiasy. Mamy więc zbiór Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, dodawanie i mnożenie w tym pierścieniu można ująć w tabelach.

28 Pierścień Z m Klasy abstrakcji relacji modulo m wyglądają następująco: [0], [1],..., [m 1]. Dla dowolnego k z przedziału 0 k m 1, klasa [k] jest postaci [k] = {jm + k j Z}. Zbiór klas abstrakcji modulo m oznacza się przez Z m. Pierścień Z 5 Rozważmy zbiór reszt modulo 5. Składa się on z pięciu klas: [0], [1], [2], [3], [4]; dla prostoty dalej będziemy opuszczać nawiasy. Mamy więc zbiór Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, dodawanie i mnożenie w tym pierścieniu można ująć w tabelach. Pierścień Z 5 Zauważmy, że każdy element oprócz zera ma w tym pierścieniu element odwrotny względem mnożenia, czyli dla każdego x Z 5 {0} istnieje x 1 taki, że x x 1 = 1; 1 1 = 1, 2 1 = 3, 3 1 = 2, 4 1 = 4.

29 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach.

30 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0.

31 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0. Pierścień Z m Zauważmy, że jeżeli liczba m jest złożona, m = p q dla 1 < p, q < m, to w pierścieniu Z m mamy p q = 0 i ani p ani q nie mają elementów odwrotnych.

32 Pierścień Z 4 Rozważmy teraz pierścień reszt modulo 4; Z 4 = {0, 1, 2, 3}, gdzie dodawanie i mnożenie można zebrać w tabelach. W tym pierścieniu nie ma elementu odwrotnego do 2. Ponadto mamy 2 2 = 0. Pierścień Z m Zauważmy, że jeżeli liczba m jest złożona, m = p q dla 1 < p, q < m, to w pierścieniu Z m mamy p q = 0 i ani p ani q nie mają elementów odwrotnych. Pierścień Z m Przypuśćmy, że istnieje p 1. Mamy wtedy 0 = P 1 0 = p 1 (p q) = (p 1 p) q = 1 q = q, czyli q = 0, sprzeczność.

33 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4.

34 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa.

35 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa. Algorytm Euklidesa: Aby obliczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych a, b, powtarzamy aż do skutku:

36 NWD Dla dwóch liczb naturalnych a, b, ich największy swpólny dzielnik to największa liczba naturalna n, która dzieli a i b. Największy wspólny dzielnik a i b będziemy oznaczać przez NWD(a, b). Na przykład NWD(4, 6) = 2, NWD(4, 0) = 4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb można obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa. Algorytm Euklidesa: Aby obliczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych a, b, powtarzamy aż do skutku: Algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa: dopóki a b 0, wykonuj: jeżeli a b, to a := a (mod b), w przeciwnym wypadku b := b (mod a). NWD(a, b) = a + b.

37 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a).

38 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a). Ćwiczenie Przećwiczyć działanie algorytmu na liczbach 36 i 15.

39 Algorytm Euklidesa Powyższy algorytm oblicza reztę z dzielenia większej liczby przez mniejszą tak długo, aż otrzyma zero. Wtedy wynikiem działania algorytmu jest ta druga liczba (jeżeli a = 0, to a + b = b, a jeżeli b = 0, to a + b = a). Ćwiczenie Przećwiczyć działanie algorytmu na liczbach 36 i 15. Algorytm Euklidesa można tak zmodyfikować, by oprócz największego wspólnego dzielnika NWD(a, b) wyliczał także liczby x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

40 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b.

41 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

42 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b).

43 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1.

44 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a.

45 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a. NWD(a, b) := a + b

46 Rozszerzony algorytm Euklidesa Dane wejściowe: dwie liczby naturalne a, b. Dane wyjściowe: NWD(a, b) oraz liczby całkowite x, y takie, że x a + y b = NWD(a, b). podstaw: x a := 1, y a := 0, x b := 0, y b = 1. dopóki a b 0, wykonuj: 1 jeżeli a b, to a := a (mod b), x a := x a x b a b, ya := ya y b a b ; 2 w przeciwnym wypadku b := b (mod a), x b := x b x a b a, y b := y b ya b a. NWD(a, b) := a + b Jeżeli a > 0, to x := x a, y := y a; jeżeli b > 0, to x := x b, y := y b.

47 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p.

48 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

49 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m.

50 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

51 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie Każdą liczbę naturalną n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (niekoniecznie różnych): n = p 1 p 2... p r.

52 Dwie liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, jeśli NWD(a, b) = 1, a liczba naturalna p > 1 jest pierwsza, jeśli jedynymi dzielnikami naturalnymi p są jedynka i samo p. Wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Liczba n > 1, która nie jest pierwsza, jest złożona. Istnieją wtedy dwie liczby k, m < n takie, że n = k m. Twierdzenie Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie Każdą liczbę naturalną n > 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (niekoniecznie różnych): n = p 1 p 2... p r. Lemat Euklidesa Jeżeli n ab i NWD(a, n) = 1, to n b.

53 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem.

54 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita

55 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone.

56 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj:

57 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj: weź pierwszą nieskreśloną liczbę p z listy i dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych. Później skreśl liczbę p z listy i skreśl wszystkie wielokrotności liczby p, które są jeszcze na liście.

58 Sito Eratostenesa Jak wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze nie większe od 200? Jeszcze w czasach starożytnych Eratostenes opisał metodę postępowania rozwiązującą ten problem. Algorytm sita Wczytaj n. Wypisz listę wszystkich liczb naturalnych od 2 do n. Na początku wszystkie liczby są nieskreślone. Dopóki istnieje nieskreślona jeszcze liczba na naszej liście nie większa od n, powtarzaj: weź pierwszą nieskreśloną liczbę p z listy i dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych. Później skreśl liczbę p z listy i skreśl wszystkie wielokrotności liczby p, które są jeszcze na liście. Wszystkie pozostałe, nieskreślone liczby z listy dodaj do zbioru znalezionych liczb pierwszych.

59 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1.

60 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1.

61 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}.

62 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}. Lemat Jeżeli liczba m jest pierwsza, to każdy element a Z m, a 0 jest odwracalny w Z m.

63 Elemeny odwracalne Element odwracalny Element a Z m jest odwracalny w Z m, jeśli istnieje b Z m takie, że a b 1 (mod m). Liczbę b nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a 1. Twierdzenie Liczba a Z m jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1. Zbiór elementów odwracalnych w Z m oznaczamy Z m. Na przykład, Z 8 = {1, 3, 5, 7}. Lemat Jeżeli liczba m jest pierwsza, to każdy element a Z m, a 0 jest odwracalny w Z m. Lemat Jeśli a, b Z m, to a b Z m oraz a 1 Z m.

64 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b.

65 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m).

66 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m). a 1 jest taką liczbą y, że a y 1 (mod m).

67 Równania z kongruencją Twierdzenie Równanie a x b (mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) dzieli b. Jeśli mamy równanie a x b (mod m), to rozwiązaniem jest x b a 1 (mod m). a 1 jest taką liczbą y, że a y 1 (mod m). Przykład Rozwiązać równanie 2 x 101 (mod 637).

68 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1.

69 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}.

70 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n).

71 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n). Twierdzenie Eulera Jeżeli m, a Z + są liczbami względnie pierwszymi, to a Φ(m) 1 (mod m).

72 Funkcja Eulera Funkcja Eulera jest to funkcja, która liczbie m przyporządkowuje Φ(m) liczbę elementów odwracalnych w Z m. Z definicji przyjmujemy Φ(1) = 1. Przykład Φ(8) = 4, bo w Z 8 są odwracalne {1, 3, 5, 7}. Lemat 1 Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolnego α 1, Φ(p α ) = p α 1 (p 1). W szczególności Φ(p) = p 1. 2 Jeżeli m, n są względnie pierwsze, to Φ(m n) = Φ(m) Φ(n). Twierdzenie Eulera Jeżeli m, a Z + są liczbami względnie pierwszymi, to a Φ(m) 1 (mod m). Przykład Za pomocą twierdzenia Eulera obliczyć (mod 23).

73 Twierdzenie chińskie o resztach Skąd ta nazwa? w starożytnych Chinach generałowie używali pewnego ciekawego sposobu liczenia swoich żołnierzy.

74 Twierdzenie chińskie o resztach Skąd ta nazwa? w starożytnych Chinach generałowie używali pewnego ciekawego sposobu liczenia swoich żołnierzy. Żołnierze

75 Twierdzenie chińskie o resztach Dla kilku niewielkich liczb, na przykład 3, 5, 7 obliczano i zapamiętywano reszty z dzielenia liczby żołnierzy przez te liczby.

76 Twierdzenie chińskie o resztach Dla kilku niewielkich liczb, na przykład 3, 5, 7 obliczano i zapamiętywano reszty z dzielenia liczby żołnierzy przez te liczby. Żołnierze W celu obliczenia reszt, kazano żołnierzom ustawiać się trójkami...

77 Twierdzenie chińskie o resztach piątkami...

78 Twierdzenie chińskie o resztach piątkami i siódemkami.

79 Jeśli przy następnym apelu wszystkie trzy reszty były takie same, to znaczyło, że nie brakuje żadnego żołnierza.

80 Jeśli przy następnym apelu wszystkie trzy reszty były takie same, to znaczyło, że nie brakuje żadnego żołnierza. Wybrane liczby muszą być względnie pierwsze.

81 Twierdzenie chińskie o resztach. Niech m 1,..., m r będą dodatnimi liczbami względnie pierwszymi, to znaczy dla każdej pary 1 i < j r mamy NWD(m i, m j ) = 1 oraz niech a 1,..., a r będą dowolnymi resztami. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba naturalna 1 a m 1 m 2... m n taka, że a 1 a (mod m 1 ) a 2 a (mod m 2 )... a r a (mod m r )

82 Twierdzenie chińskie o resztach. Niech m 1,..., m r będą dodatnimi liczbami względnie pierwszymi, to znaczy dla każdej pary 1 i < j r mamy NWD(m i, m j ) = 1 oraz niech a 1,..., a r będą dowolnymi resztami. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba naturalna 1 a m 1 m 2... m n taka, że a 1 a (mod m 1 ) a 2 a (mod m 2 )... a r a (mod m r ) Przykład Rozwiąż układ kongruencji: 3 a (mod 5) 5 a (mod 6).

83 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L =

84 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L = Niech p, q- liczby względnie pierwsze, r = p q, L (0, r). Niech s- liczba naturalna taka, że NWD(s, p 1) = 1 oraz NWD(s, q 1) = 1.

85 Kod RSA Niech litery alfabetu- liczby 1 26, pauza- 27, pozostałe znaki- powyżej 27. Z danego słowa otrzymujemy liczbę L. Na przykład: ADAM : ; L = Niech p, q- liczby względnie pierwsze, r = p q, L (0, r). Niech s- liczba naturalna taka, że NWD(s, p 1) = 1 oraz NWD(s, q 1) = 1. Kod C liczby naturalnej L obliczamy według wzoru: C L s (mod r).

86 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1.

87 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)).

88 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q).

89 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q). L otrzymamy, rozwiązując układ równań L C a (mod p), L C a (mod q).

90 Kod RSA Jak odkodować liczbę L? Z tego, że NWD(s, p 1) = 1 wynika, że istnieją liczby całkowite a, b takie, że s a + (p 1) b = 1. W takim razie L = L 1 = L s a+(p 1) b = L s a L (p 1) b = C a (mod p) (ponieważ z twierdzenia Eulera mamy, że L p 1 1 (mod p)). Podobnie, z tego, że NWD(s, q 1) = 1 otrzymamy, że L C a (mod q). L otrzymamy, rozwiązując układ równań L C a (mod p), L C a (mod q). Przykład Dla p = 13, q = 17, s = 5 zakodować AB.