Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Transkrypt

1 Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111

2 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright; Matematyka yskretna. 4 M. Sysło, N. Deo; Metoy optymalizacji yskretnej z przykłaami w Turbo Pascalu. 5 M. Libura, J. Sikorski; Wykłay z matematyki yskretnej. Cz. I: Kombinatoryka. 6 M. Libura, J. Sikorski; Wykłay z matematyki yskretnej. Cz. II: Teoria grafów. 7 J. Kurose, K. Ross; Sieci komputerowe. O ogółu o szczegółu z Internetem w tle. 8 J. Harris, J. Hirst, M. Mossinghoff; Combinatorics an Graph Theory. 9 D. Mehi, K. Ramasamy; Network Routing: Algorithms, Protocols an Architectures. 10 D. Jungnickel, Graphs; Networks an Algorithms. 11 B. Korte, J. Vygen; Combinatorial optimization. 2 / 111

3 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporząkowaną trójkę: G = V, E, γ gzie: V niepusty zbiór wierzchołków grafu G, E zbiór krawęzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich pozbiorów jeno lub wuelementowych zbioru V. 3 / 111

4 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporząkowaną trójkę: G = V, E, γ gzie: V niepusty zbiór wierzchołków grafu G, E zbiór krawęzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich pozbiorów jeno lub wuelementowych zbioru V. Jeżeli e E oraz γ (e) = {v 1, v 2}, to elementy v 1 i v 2 nazywamy końcami krawęzi e. 4 / 111

5 Przykła W praktyce często wykorzystujemy graficzną reprezentację grafu 1 a b c 3 m l k 2 f 8 4 h 5 6 g 7 5 / 111

6 Przykła W praktyce często wykorzystujemy graficzną reprezentację grafu 1 a b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c,, e, f, g, h, k, l, m}, 6 / 111

7 Przykła W praktyce często wykorzystujemy graficzną reprezentację grafu 1 a b c 3 m l k 2 f 8 4 Niech G = V, E, γ, gzie: h 5 6 g 7 V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c,, e, f, g, h, k, l, m}, zaś funkcja γ określona jest za pomocą tabeli e a b c f g h γ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6} k l m {2, 5} {1, 5} {1, 5} 7 / 111

8 Krawęzie grafu 1 a m l k b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Jeżeli γ (e) = {v, v} = {v}, to krawęź e nazywamy pętlą. 8 / 111

9 Krawęzie grafu 1 a m l k b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Jeżeli γ (e) = {v, v} = {v}, to krawęź e nazywamy pętlą. Na rysunku pętlami są krawęzie b i, ponieważ γ (b) = {2} i γ () = {4}. 9 / 111

10 Krawęzie grafu 1 a m l k b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Jeżeli krawęzie e i f są różne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je krawęziami wielokrotnymi (równoległymi) 10 / 111

11 Krawęzie grafu 1 a m l k b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Jeżeli krawęzie e i f są różne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je krawęziami wielokrotnymi (równoległymi) Na rysunku krawęziami wielokrotnymi są krawęzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} 11 / 111

12 Krawęzie grafu 1 a m l k b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Jeżeli krawęzie e i f są różne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je krawęziami wielokrotnymi (równoległymi) Na rysunku krawęziami wielokrotnymi są krawęzie m i l, bowiem γ (l) = γ (m) = {1, 5} Uwaga W przypaku, gy nie ma w grafie G krawęzi wielokrotnych, to funkcja γ jest różnowartościowa. 12 / 111

13 Jeżeli w grafie G, a i b nie są krawęziami równoległymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy, że: 13 / 111

14 Jeżeli w grafie G, a i b nie są krawęziami równoległymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy, że: 1 Krawęzie a i b są krawęziami sąsienim lub przyległymi (mają wspólny wierzchołek y). 14 / 111

15 Jeżeli w grafie G, a i b nie są krawęziami równoległymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy, że: 1 Krawęzie a i b są krawęziami sąsienim lub przyległymi (mają wspólny wierzchołek y). 2 Wierzchołki x, y (oraz y i z) są wierzchołkami sąsienimi. 15 / 111

16 Jeżeli w grafie G, a i b nie są krawęziami równoległymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy, że: 1 Krawęzie a i b są krawęziami sąsienim lub przyległymi (mają wspólny wierzchołek y). 2 Wierzchołki x, y (oraz y i z) są wierzchołkami sąsienimi. 3 Wierzchołek x (a także y) jest incyentny o krawęzi a (jest końcem tej krawęzi) 16 / 111

17 Graf prosty Graf bez krawęzi wielokrotnych i pętli nazywamy grafem prostym. 17 / 111

18 Graf prosty Graf bez krawęzi wielokrotnych i pętli nazywamy grafem prostym. Przykłaem grafu prostego jest graf G przestawiony na rysunku 3 f b a 4 e c / 111

19 W przypaku grafów bez krawęzi wielokrotnych (w szczególności w przypaku grafów prostych) efinicja grafu sprowaza się o poania zbioru wierzchołków V i krawęzi w postaci {p, q}, gzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisać γ (a) = {1, 3} bęziemy pisać a = {1, 3}. 19 / 111

20 W przypaku grafów bez krawęzi wielokrotnych (w szczególności w przypaku grafów prostych) efinicja grafu sprowaza się o poania zbioru wierzchołków V i krawęzi w postaci {p, q}, gzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisać γ (a) = {1, 3} bęziemy pisać a = {1, 3}. Uwaga W alszej części graf bez krawęzi wielokrotnych (w szczególności graf prosty) bęziemy zapisywali jako G = V, E pamiętając, że E = {{p, q} : p, q V }. 20 / 111

21 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie nieskierowanym Liczbę krawęzi incyentnych o anego wierzchołka v (z pętlami liczonymi powójnie) nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy eg(v). 21 / 111

22 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie nieskierowanym Liczbę krawęzi incyentnych o anego wierzchołka v (z pętlami liczonymi powójnie) nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy eg(v). Liczbę wierzchołków stopnia k oznaczamy D k (G). 22 / 111

23 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie nieskierowanym Liczbę krawęzi incyentnych o anego wierzchołka v (z pętlami liczonymi powójnie) nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy eg(v). Liczbę wierzchołków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla każego grafu efiniujemy ciąg stopni wierzchołków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). 23 / 111

24 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie nieskierowanym Liczbę krawęzi incyentnych o anego wierzchołka v (z pętlami liczonymi powójnie) nazywamy stopniem wierzchołka v i oznaczamy eg(v). Liczbę wierzchołków stopnia k oznaczamy D k (G). Dla każego grafu efiniujemy ciąg stopni wierzchołków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczbę (G) := max eg (v). v V Stopień grafu jest więc równy najwyższemu ze stopni jego wierzchołków. 24 / 111

25 Wierzchołek stopnia zerowego nazywamy wierzchołkiem izolowanym. 25 / 111

26 Wierzchołek stopnia zerowego nazywamy wierzchołkiem izolowanym. Wierzchołek stopnia pierwszego nazywamy wierzchołkiem końcowym lub wiszącym. 26 / 111

27 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 27 / 111

28 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 28 / 111

29 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchołki izolowane, to x 5 i x 7 29 / 111

30 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchołki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchołki wiszące to x 4 i x 6 30 / 111

31 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchołki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchołki wiszące to x 4 i x 6 3 ponato eg (x 1) = 2 i eg (x 2) = 5, eg (x 3) = 4 i eg (x 8) = 3 31 / 111

32 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchołki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchołki wiszące to x 4 i x 6 3 ponato eg (x 1) = 2 i eg (x 2) = 5, eg (x 3) = 4 i eg (x 8) = 3 4 ciąg stopni wierzchołków tego grafu jest następujący (2, 2, 1, 1, 1, 1) 32 / 111

33 Przykła Rozważmy graf: f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku: 1 wierzchołki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchołki wiszące to x 4 i x 6 3 ponato eg (x 1) = 2 i eg (x 2) = 5, eg (x 3) = 4 i eg (x 8) = 3 4 ciąg stopni wierzchołków tego grafu jest następujący (2, 2, 1, 1, 1, 1) 5 stopień tego grafu wynosi więc (G) = 5 33 / 111

34 Krawęzie szeregowe Mówimy, że wie nierównoległe krawęzie są krawęziami szeregowymi, jeżeli ich wspólny wierzchołek jest stopnia rugiego. 34 / 111

35 Krawęzie szeregowe Mówimy, że wie nierównoległe krawęzie są krawęziami szeregowymi, jeżeli ich wspólny wierzchołek jest stopnia rugiego. f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 35 / 111

36 Krawęzie szeregowe Mówimy, że wie nierównoległe krawęzie są krawęziami szeregowymi, jeżeli ich wspólny wierzchołek jest stopnia rugiego. f x 1 x 2 a b e c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 W grafie krawęzie a i b są szeregowe, natomiast krawęzie b i c są przyległe ale nie są połączone szeregowo, bowiem ich wspólny wierzchołek jest stopnia trzeciego. 36 / 111

37 Izomorfizm grafów Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez krawęzi wielokrotnych). 37 / 111

38 Izomorfizm grafów Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez krawęzi wielokrotnych). Mówimy, że grafy G 1 i G 2 są izomorficzne, jeżeli istnieje wzajemnie jenoznaczne przekształcenie α : V 1 V 2 takie, że krawęź {u, v} jest krawęzią grafu G 1 ({u, v} E 1) wtey i tylko wtey, gy 38 / 111

39 Izomorfizm grafów Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1 oraz G 2 = V 2, E 2 (bez krawęzi wielokrotnych). Mówimy, że grafy G 1 i G 2 są izomorficzne, jeżeli istnieje wzajemnie jenoznaczne przekształcenie α : V 1 V 2 takie, że krawęź {u, v} jest krawęzią grafu G 1 ({u, v} E 1) wtey i tylko wtey, gy {α (u), α (v)} jest krawęzią grafu G 2 ({α (u), α (v)} E 2). 39 / 111

40 Izomorfizm grafów Dla grafów z krawęziami wielokrotnymi sytuacja nieco się komplikuje 40 / 111

41 Izomorfizm grafów Dla grafów z krawęziami wielokrotnymi sytuacja nieco się komplikuje Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy, że grafy G 1 i G 2 są izomorficzne, jeżeli istnieją przekształcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jenoznaczne, takie, że krawęź e E 1 łączy wierzchołki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtey i tylko wtey, 41 / 111

42 Izomorfizm grafów Dla grafów z krawęziami wielokrotnymi sytuacja nieco się komplikuje Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy, że grafy G 1 i G 2 są izomorficzne, jeżeli istnieją przekształcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jenoznaczne, takie, że krawęź e E 1 łączy wierzchołki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtey i tylko wtey, gy opowiaająca jej krawęź β (e) E 2 łączy wierzchołki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. 42 / 111

43 Izomorfizm grafów Dla grafów z krawęziami wielokrotnymi sytuacja nieco się komplikuje Niech ane bęą grafy G 1 = V 1, E 1, γ 1 oraz G 2 = V 2, E 2, γ 2 Mówimy, że grafy G 1 i G 2 są izomorficzne, jeżeli istnieją przekształcenia α : V 1 V 2 i β : E 1 E 2 wzajemnie jenoznaczne, takie, że krawęź e E 1 łączy wierzchołki u, v V 1 (γ 1 (e) = {u, v}) wtey i tylko wtey, gy opowiaająca jej krawęź β (e) E 2 łączy wierzchołki α (u) i α (v) tzn. γ 2 (β (e)) = {α (u), α (v)}. Zapis G 1 G 2 czytamy: grafy G 1 i G 2 są izomorficzne. 43 / 111

44 Izomorfizm grafów 44 / 111

45 Izomorfizm grafów 45 / 111

46 Niezmienniki izomorfizmu grafów Z efinicji izomorfizmu wynika, że grafy izomorficzne muszą mieć 1 tę samą liczbę wierzchołków 2 tę samą liczbę krawęzi 3 tę samą liczbę pętli 4 tę samą liczbę wierzchołków końcowych 5 tę samą liczbę wierzchołków izolowanych 6 równą liczbę wierzchołków tego samego stopnia 7 ten sam ciąg stopni wierzchołków (D 0 (G), D 1 (G),...) Powyższe warunkami są warunkami koniecznymi izomorfizmu wu grafów, ale nie są warunkami wystarczającymi. 46 / 111

47 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. 47 / 111

48 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to 48 / 111

49 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku 49 / 111

50 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku q nazywamy końcem łuku 50 / 111

51 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku q nazywamy końcem łuku o łuku e mówimy również, że 51 / 111

52 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku q nazywamy końcem łuku o łuku e mówimy również, że łuk e biegnie o wierzchołka p o wierzchołka q 52 / 111

53 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku q nazywamy końcem łuku o łuku e mówimy również, że łuk e biegnie o wierzchołka p o wierzchołka q łuk e wychozi z wierzchołka p i wchozi o wierzchołka q 53 / 111

54 Graf skierowany Grafem skierowanym lub igrafem G (irecte graph) nazywamy uporząkowaną trójkę G = V, E, γ, gzie V jest niepustym zbiorem wierzchołków, E zbiorem krawęzi skierowanych (łuków), γ owzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Jeśli e (e E) jest łukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy początkiem łuku q nazywamy końcem łuku o łuku e mówimy również, że łuk e biegnie o wierzchołka p o wierzchołka q łuk e wychozi z wierzchołka p i wchozi o wierzchołka q łuk e jest incyentny z wierzchołka p i jest incyentny w wierzchołek q 54 / 111

55 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypaku grafu nieskierowanego mamy Jeżeli γ(e) = (p, p), to e nazywamy pętlą. 55 / 111

56 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypaku grafu nieskierowanego mamy Jeżeli γ(e) = (p, p), to e nazywamy pętlą. Jeżeli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to krawęzie e i k nazywamy równoległymi lub wielokrotnymi. 56 / 111

57 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypaku grafu nieskierowanego mamy Jeżeli γ(e) = (p, p), to e nazywamy pętlą. Jeżeli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to krawęzie e i k nazywamy równoległymi lub wielokrotnymi. Jeżeli G jest grafem prostym (bez pętli i krawęzi równoległych), to przekształcenie γ jest różnowartościowe a graf G możemy oznaczać jako G = V, E. 57 / 111

58 Przykła Weźmy graf G = V, E, γ, w którym ane są zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchołków, E = {(a, b, c,, e, f, g, h, k, l, m} zbiór łuków 58 / 111

59 Przykła Weźmy graf G = V, E, γ, w którym ane są zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchołków, E = {(a, b, c,, e, f, g, h, k, l, m} zbiór łuków oraz funkcja γ postaci: e a b c e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) 59 / 111

60 Przykła Weźmy graf G = V, E, γ, w którym ane są zbiory: V = {u, w, x, y, z} zbiór wierzchołków, E = {(a, b, c,, e, f, g, h, k, l, m} zbiór łuków oraz funkcja γ postaci: e a b c e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) w k z m g f c b l e u x a y h 60 / 111

61 Przykła w k z m g f c b l e u x a y h krawęź h jest pętlą 61 / 111

62 Przykła w k z m g f c b l e u x a y h krawęź h jest pętlą krawęzie c i b są wielokrotne (równoległe) 62 / 111

63 Przykła w k z m g f c b l e u x a y h krawęź h jest pętlą krawęzie c i b są wielokrotne (równoległe) krawęzie l i m nie są wielokrotne (równoległe) 63 / 111

64 Stopień wyjściowy i wejściowy wierzchołka w grafie skierowanym w k z Liczbę krawęzi skierowanych g wychozących z wierzchołka x m nazywamy stopniem wyjściowym l tego wierzchołka i oznaczamy egout(x). x a e f u c b y h 64 / 111

65 Stopień wyjściowy i wejściowy wierzchołka w grafie skierowanym w k z Liczbę krawęzi skierowanych g wychozących z wierzchołka x m nazywamy stopniem wyjściowym l tego wierzchołka i oznaczamy egout(x). x a e f u c b y h egout(x) = 3, egout(u) = 2, egout(z) = 4, egout(w) = 1, egout(y) = 1, 65 / 111

66 Stopień wyjściowy i wejściowy wierzchołka w grafie skierowanym w k z m g f c b l e u x a y h Liczbę łuków wchozących o wierzchołka x nazywamy stopniem wejściowym wierzchołka x i oznaczamy egin(x). egout(x) = 3, egout(u) = 2, egout(z) = 4, egout(w) = 1, egout(y) = 1, 66 / 111

67 Stopień wyjściowy i wejściowy wierzchołka w grafie skierowanym w k z m g f c b l e u x a y h Liczbę łuków wchozących o wierzchołka x nazywamy stopniem wejściowym wierzchołka x i oznaczamy egin(x). egout(x) = 3, egin(x) = 2, egout(u) = 2, egin(u) = 1, egout(z) = 4, i egin(z) = 1, egout(w) = 1, egin(w) = 2, egout(y) = 1, egin(y) = 5, 67 / 111

68 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie skierowanym Stopniem wierzchołka eg(x) w grafie skierowanym nazywamy sumę stopni wejściowych i wyjściowych wierzchołka x. eg(x) = egout(x) + egin(x) 68 / 111

69 Stopień wierzchołka i stopień grafu, w grafie skierowanym Stopniem wierzchołka eg(x) w grafie skierowanym nazywamy sumę stopni wejściowych i wyjściowych wierzchołka x. eg(x) = egout(x) + egin(x) Stopień grafu (G) określamy jako maksymalny stopień wierzchołka w tym grafie, czyli (G) = max u V eg(u) 69 / 111

70 Źróło i ujście w grafie skierowanym W igrafach wyróżniamy szczególnie wa typy wierzchołków, które nie występują w grafach nieskierowanych, są to źróła i ujścia. 70 / 111

71 Źróło i ujście w grafie skierowanym W igrafach wyróżniamy szczególnie wa typy wierzchołków, które nie występują w grafach nieskierowanych, są to źróła i ujścia. Źrółem w igrafie nazywamy nieizolowany wierzchołek, o którego nie wchozi żaen łuk. Wierzchołek u jest w igrafie źrółem wtey i tylko wtey gy egin(u) = 0 egout(u) > 0 71 / 111

72 Źróło i ujście w grafie skierowanym W igrafach wyróżniamy szczególnie wa typy wierzchołków, które nie występują w grafach nieskierowanych, są to źróła i ujścia. Źrółem w igrafie nazywamy nieizolowany wierzchołek, o którego nie wchozi żaen łuk. Wierzchołek u jest w igrafie źrółem wtey i tylko wtey gy egin(u) = 0 egout(u) > 0 Nieizolowany wierzchołek igrafu, który nie jest początkiem żanego łuku nazywamy ujściem. Wierzchołek t jest ujściem wtey i tylko wtey, gy egout(t) = 0 egin(u) > 0 72 / 111

73 Przykła a b c e 73 / 111

74 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: 74 / 111

75 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 75 / 111

76 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 76 / 111

77 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 77 / 111

78 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 eg() = egout() + egin() = = 2 78 / 111

79 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 eg() = egout() + egin() = = 2 eg(e) = egout(e) + egin(e) = = 2 79 / 111

80 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 eg() = egout() + egin() = = 2 eg(e) = egout(e) + egin(e) = = 2 Stopień grafu wynosi: (G) = max u V eg(u) = 3 80 / 111

81 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 eg() = egout() + egin() = = 2 eg(e) = egout(e) + egin(e) = = 2 Źrółem w grafie G są wierzchołki a i c. Stopień grafu wynosi: (G) = max u V eg(u) = 3 81 / 111

82 Przykła a b c e Stopnie wierzchołków w grafie wynoszą: eg(a) = egout(a) + egin(a) = = 1 eg(b) = egout(b) + egin(b) = = 3 eg(c) = egout(c) + egin(c) = = 2 eg() = egout() + egin() = = 2 eg(e) = egout(e) + egin(e) = = 2 Stopień grafu wynosi: Źrółem w grafie G są wierzchołki a i c. Ujściem jest wierzchołek e. (G) = max u V eg(u) = 3 82 / 111

83 Grafy ważone, sieci Grafem ważonym nazywamy graf, w którym każej krawęzi przyporząkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wagą tej krawęzi. 83 / 111

84 Grafy ważone, sieci Grafem ważonym nazywamy graf, w którym każej krawęzi przyporząkowana jest liczba rzeczywista (czasami tylko nieujemna) zwana wagą tej krawęzi / 111

85 Ważnym zastosowaniem grafów ważonych są sieci. W teorii grafów terminami określającymi węzeł jest wierzchołek, a łącze jest krawęzią. 85 / 111

86 Ważnym zastosowaniem grafów ważonych są sieci. W teorii grafów terminami określającymi węzeł jest wierzchołek, a łącze jest krawęzią. 86 / 111

87 Ważnym zastosowaniem grafów ważonych są sieci. W teorii grafów terminami określającymi węzeł jest wierzchołek, a łącze jest krawęzią. W sieci, którą wykorzystujemy o rozwiązywania problemów praktycznych waga krawęzi może oznaczać ługość ocinka rogi, czas przejazu, koszt buowy tego ocinka rogi, przepustowość (w sieci gazowej lub woociągowej), prawopoobieństwo przejścia sygnałów, niezawoność połączenia (w sieci telekomunikacyjnej lub komputerowej) albo owolną inną cechę mierzalną ilościowo przyporząkowaną anej krawęzi. 87 / 111

88 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 88 / 111

89 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G 89 / 111

90 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 90 / 111

91 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G Mówimy, że roga e 1e 2...e n jest rogą ługości n o wierzchołka x 1 o wierzchołka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 91 / 111

92 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G jest to roga ługości 5, o wierzchołka x 5 o wierzchołka x 3 Mówimy, że roga e 1e 2...e n jest rogą ługości n o wierzchołka x 1 o wierzchołka x n+1. γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} 92 / 111

93 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G jest to roga ługości 5, o wierzchołka x 5 o wierzchołka x 3 γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy, że roga e 1e 2...e n jest rogą ługości n o wierzchołka x 1 o wierzchołka x n+1. Wierzchołek x 1 nazywamy wierzchołkiem początkowym, x n+1 - wierzchołkiem końcowym rogi. 93 / 111

94 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 roga efkhk jest rogą w grafie G jest to roga ługości 5, o wierzchołka x 5 o wierzchołka x 3 x 5 jest wierzchołkiem początkowym, x 3 jest wierzchołkiem końcowym γ(e) = {x 5, x 5}, γ(f ) = {x 5, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3}, γ(h) = {x 3, x 4}, γ(k) = {x 4, x 3} Mówimy, że roga e 1e 2...e n jest rogą ługości n o wierzchołka x 1 o wierzchołka x n+1. Wierzchołek x 1 nazywamy wierzchołkiem początkowym, x n+1 - wierzchołkiem końcowym rogi. 94 / 111

95 Droga w grafie e x 5 f c g k b x 4 h x 3 Drogą w grafie G nazywamy skończony ciąg krawęzi e 1e 2...e n taki, że e i E, i = 1,..., n oraz istnieją wierzchołki x 1x 2...x n+1 takie, że γ(e i ) = {x i, x i+1 } la i = 1,..., n. x 1 x a 2 Ciąg krawęzi ec nie jest rogą w grafie G, ponieważ γ(e) = {x 5, x 5} a γ(c) = {x 1, x 3} Mówimy, że roga e 1e 2...e n jest rogą ługości n o wierzchołka x 1 o wierzchołka x n+1. Wierzchołek x 1 nazywamy wierzchołkiem początkowym, x n+1 - wierzchołkiem końcowym rogi. 95 / 111

96 Droga w grafie Jeżeli w roze wierzchołek początkowy pokrywa się z wierzchołkiem końcowym, to taką rogę nazywamy rogą zamkniętą. e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 96 / 111

97 Droga w grafie Jeżeli w roze wierzchołek początkowy pokrywa się z wierzchołkiem końcowym, to taką rogę nazywamy rogą zamkniętą. e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Droga egba jest rogą zamkniętą. Droga zaczyna się i kończy w wierzchołku x / 111

98 Droga prosta (ścieżka) Drogą prostą lub ścieżką nazywamy rogę, w której wszystkie krawęzie są różne. 98 / 111

99 Droga prosta (ścieżka) Drogą prostą lub ścieżką nazywamy rogę, w której wszystkie krawęzie są różne. e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Droga egbac jest rogą prostą x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 99 / 111

100 Droga prosta (ścieżka) Drogą prostą lub ścieżką nazywamy rogę, w której wszystkie krawęzie są różne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 c b c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga egbac jest rogą prostą x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1, x 3 Droga fkhkc nie jest rogą prostą, ponieważ krawęź k powtarza się wa razy. 100 / 111

101 Cykl w grafie Zamkniętą rogę prostą, której opowiaa ciąg wierzchołków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem jeśli wszystkie wierzchołki x 1x 2...x n są różne. 101 / 111

102 Cykl w grafie Zamkniętą rogę prostą, której opowiaa ciąg wierzchołków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem jeśli wszystkie wierzchołki x 1x 2...x n są różne. e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Droga gba jest rogą prostą, zamkniętą. Ciąg wierzchołków, które jej opowiaają jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a więc wszystkie wierzchołki x 1, x 5, x 3, x 2 są różne. 102 / 111

103 Cykl w grafie Zamkniętą rogę prostą, której opowiaa ciąg wierzchołków x 1x 2...x nx 1, nazywamy cyklem jeśli wszystkie wierzchołki x 1x 2...x n są różne. e f g k x 4 h e f g k x 4 h x 5 x 3 x 5 x 3 c b c b x 1 x a 2 x 1 x a 2 Droga gba jest rogą prostą, zamkniętą. Ciąg wierzchołków, które jej opowiaają jest postaci x 1, x 5, x 3, x 2, x 1, a więc wszystkie wierzchołki x 1, x 5, x 3, x 2 są różne. Droga egba nie jest cyklem, chociaż jest rogą prostą, zamkniętą, ponieważ w ciągu wierzchołków, opowiaających tej roze x 1, x 5, x 5, x 3, x 2, x 1 wierzchołek x 5 powtarza się. 103 / 111

104 Graf acykliczny Graf nie zawierający cykli nazywamy grafem acyklicznym. 104 / 111

105 Graf acykliczny Graf nie zawierający cykli nazywamy grafem acyklicznym. Graf acykliczny. 105 / 111

106 Graf acykliczny Graf nie zawierający cykli nazywamy grafem acyklicznym. e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Graf acykliczny. Graf posiaa cykle np. fgh, acb it. 106 / 111

107 Oległość wierzchołków Oległością pomięzy wierzchołkiem u i wierzchołkiem v nazywamy ługość najkrótszej rogi o u o v i oznaczamy ją symbolem (u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a / 111

108 Oległość wierzchołków Oległością pomięzy wierzchołkiem u i wierzchołkiem v nazywamy ługość najkrótszej rogi o u o v i oznaczamy ją symbolem (u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Oległość pomięzy wierzchołkami x 2 i x 4 wynosi (x 2, x 4) = / 111

109 Oległość wierzchołków Oległością pomięzy wierzchołkiem u i wierzchołkiem v nazywamy ługość najkrótszej rogi o u o v i oznaczamy ją symbolem (u, v). e f g k x 4 h x 5 x 3 c b x 1 x a 2 Oległość pomięzy wierzchołkami x 2 i x 4 wynosi (x 2, x 4) = 2. Każa inna roga łącząca te wierzchołki ma ługość większą niż 2 np. roga x 2x 3x 1x 5x 4 ma ługość / 111

110 Graf spójny Graf G nazywamy spójnym wtey i tylko wtey, gy, każa para jego różnych wierzchołków jest połączona rogą w tym grafie. 110 / 111

111 Drzewo Graf spójny i acykliczny nazywamy rzewem. w u t v m s k l y x z n 111 / 111